LOGIKA INFORMATIKA

OPERASI LOGIKA
OPERASI UNARY
 Hanya ada satu operasi unary: Ingkaran / Negasi
(Negation).
 Notasi :  didepan kalimat yang diingkar.
 Dibaca: tidak / bukan / tidak benar / non / not
Contoh:
1. P : Paris Ibukota negara Perancis.
P : Paris bukan ibukota negara Perancis.
Q : Semua perokok adalah pecandu narkotik.
Q : Tidak semua perokok adalah pecandu narkotik,
atau
Beberapa perokok adalah pecandu narkotik.
3. R : Ada bilangan riil yang logaritmanya sama dengan
satu.
R :Tidak benar bahwa ada bilangan riil yang
logaritmanya sama dengan satu, atau
Semua bilangan riil logaritmanya sama dengan
satu.
4. S : 2 + 2 < 5
S : Tidak benar bahwa 2 + 2 < 5, atau
2 + 2 = 5 atau 2 + 2 > 5, atau
2 + 2  5.
2.
Tabel Nilai Negasi
 Nilai kebenaran
ingkaran / negasi
selalu berlawanan
dengan pernyataan /
kalimatnya.
P
P
T
F
F
T
Catatan:
 Operasi unary dengan operator  termasuk dalam kata-kata
penggandeng kalimat (logical connectives) walaupun nampak
hanya satu kalimat (proposisi) saja yang dioperasikan, karena
sesungguhnya untuk mengingkari diperlukan proposisi lain yaitu:
Hal itu tidak benar
 Suatu proposisi tidak boleh diganti oleh proposisi lain yang artinya
sama. Hal ini mengingat bahwa pada logika proposisi tidak
diijinkan menafsirkan arti kalimatnya.
Contoh:
 P : Jono tidak lapar
 Q : Jono kenyang
Proposisi P tidak boleh digantikan oleh proposisi Q (demikian pula
sebaliknya).
Dengan demikian, “Tidak Q” tidak boleh menjadi “Jono lapar”
OPERASI LOGIKA
OPERASI BINARY
KONJUNGSI
 Merangkai kalimat menjadi pernyataan dengan penghubung
“dan”/ “and”.
 Notasi: .
Contoh:
 P : Hari hujan
Q : Matahari tidak bersinar




PQ
P  Q
P  Q
P  Q
: Hari hujan dan matahari tidak bersinar.
: Hari tidak hujan dan matahari tidak bersinar.
: Hari hujan dan matahari bersinar.
: Hari tidak hujan dan matahari bersinar.
Definisi : Konjungsi
 Konjungsi 2 pernyataan bernilai benar hanya jika
kedua pernyataan bernilai benar.
 Dalam pembicaraan sehari-hari: seseorang mengaku
dirinya sebagai hartawan dan bangsawan. Ia
dianggap berbohong jika salah satu komponennya
tidak benar.
Tabel Nilai Konjungsi
Tabel Nilai Non-Konjungsi
P
Q
PQ
P
Q
PQ
T
T
T
T
T
F
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
T
T
F
F
F
F
F
T
DISJUNGSI
 Merangkai 2 kalimat menjadi pernyataan majemuk dengan
penghubung “atau”.
 Notasi: .
Contoh:
 P : x = 0 merupakan akar persamaan kuadrat x2 - x = 0.
Q : x = 1 merupakan akar persamaan kuadrat x2 - x = 0.
P  Q : x = 0 atau x = 1 merupakan akar persamaan kuadrat,
x2 - x = 0.
 R : 22/7 adalah bilangan rasional.
S : 3 adalah bilangan rasional.
R  S : 22/7 atau 3 adalah bilangan rasional.
Definisi: Disjungsi
 Disjungsi dua pernyataan adalah benar jika salah
satu pernyataannya benar.
Contoh penggunaan inclusive OR
 Nanti siang, kamu boleh makan sate atau soto.
Contoh penggunaan eXclisive OR (XOR)
 Saya berada di Kuningan atau Cirebon pada pukul
13.00 WIB kemarin.
Tabel Nilai Disjungsi Inklusive (), Non Disjungsi (),
eXlusive OR (), dan eXlusive NOR ()
P
Q
PQ
PQ
PQ
PQ
T
T
T
F
F
T
T
F
T
F
T
F
F
T
T
F
T
F
F
F
F
T
F
T
IMPLIKASI
 Implikasi dari dua pernyataan P dan Q dinyatakan
dengan
Jika P, maka Q (if P, then Q)
 Pernyataan / proposisi P disebut antecedent /
hypothesis, sedangkan Q disebut consequent /
conclusion.
 Notasi : .
Kalimat P  Q dibaca:
 Jika P, maka Q
(if P, then Q)
 P mengakibatkan Q (P implies Q)
 Q, jika P
(Q, if P)
 Q, bilamana P
(Q whenever P)
 P hanya jika Q
(P only if Q)
 P syarat cukup bagi Q (P is sufficient for Q)
 Q syarat perlu bagi P (Q is necessary for P)
Perhatikan bahwa:
 Syarat perlu belum tentu cukup.
 Syarat cukup tidak usah perlu.
 Syarat cukup agar seseorang dapat melamar pekerjaan
sebagai programer adalah




Lulusan S1 Informatika
IPK minimal 2,75
Berusia maksimal 25 tahun, dan
Menguasai Java.
 Perhatikan bahwa seseorang dapat melamar pekerjaan
sebagai programer adalah perlu memiliki ijasah S1
informatika, IPK minimal 2,75, dan berusia maksimal 25
tahun. Namum itu belum cukup untuk dapat melamar,
karena ia juga harus menguasai bahasa pemrograman Java.
Tabel Nilai Implikasi
 Dalam pembicaraan sehari-hari, penggunaan frasa: “Jika...,
maka...” biasanya ada sesuatu hubungan antara anteseden
dan konsekuennya.
Misalnya:
1. Apabila kamu lulus, ayahmu akan membelikan sepeda
motor.
2. Jika kamu membiasakan diri mandi malam hari, maka
kemudian kamu akan menderita penyakit reumatik.
3. Apabila bel berbunyi, maka kegiatan perkuliahan dimulai.
4. Apabila benda dijatuhkan dari ketinggian tertentu, maka
akan jatuh menuju pusat gravitasi bumi.
5. Apabila mahasiswa itu laki-laki, maka ia wajib berlatih
militer
Hubungan dimaksud:
1. Merupakan suatu janji
2. Terdapat suatu hungan sebab akibat
3. Merupakan suatu tanda
4. Dapat diturunkannya konsekuen dari anteseden
dengan menggunakan hukum tertentu (fisika).
5. Merupakan suatu peraturan
 Dalam logika matematika hal ini dihindari (dan oleh
karenanya dihilangkan) dengan melakukan penertiban.
 Meniadakan syarat bahwa harus ada sesuatu hubungan
antara anteseden dan konsekuen.
Keberartian (meaningfulness) suatu implikasi hanya
tergantung pada keberartian kalimat-kalimat
komponennya dan benar / salah suatu implikasi hanya
didasarkan pada benar / salah kalimat-kalimat
komponennya.
Contoh:
6. Jika Ahmad lulus, maka dunia berhenti berputar
 Tabel ditentukan sedemikian sehingga memuat inti
berserikatn (uni-valence) dari bermacam-macam
pemakaian di percakapan sehari-hari.
Artinya, tabel itu berlaku jika diterapkan dalam
pembicaran sehari-hari.
 Pada Contoh 6. Di atas, sesuai dengan baris ke-4.
 Tidak pernah terjadi bahwa jika suatu implikasi bernilai
benar, antesedennya benar dan konsekuennya salah.
Pada Contoh 1. Jika kamu lulus tetapi ayahmu tidak
membelikan sepeda motor. Ini sesuai dengan baris ke-2
tabel. Sedangkan konotasi yang muncul adalah ayahmu
ingkar janji, dan ini adalah tidak benar
Memang terasa ganjil bahwa jika antesedennya salah,
dan konsekuennya benar, menghasilkan implikasi
bernilai benar. Tapi sebenarnya memang demikian. Pada
Contoh 5. Jono (mahasiswa laki-laki) tidak berlatih
militer, maka ia dikenai hukuman. Ini sesuai dengan
baris ke-2 tabel implikasi.
Sekarang, bagaimana dengan Siti (mahasiswi)? Berlatih /
tidak berlatih militernya Siti, maka ia tetap tidak
melanggar aturan (implikasi terpenuhi dari sebab
antesedennya salah). Ini sesuai dengan baris ke-3 dan
baris ke-4 Tabel Implikasi.
 Sekali lagi, kadang tidak dipercaya bahwa dari sesuatu yang
yang salah dengan langkah-langkah yang correct dapat
diturunkan hal yang benar. Tetapi memang demikian.
 Perhatikan Modus Barbara pada logika tradisional berikut:
Premis 1
Premis 2
Konklusi
:
:
:
Semua a adalah b (all a are b)
Semua b adalah c (all b are c)
Semua a adalah c (all a are c)
Pandang,
Premis 1 : Semua orang Belanda adalah orang Indonesia (F)
Premis 2 : Semua orang Indonesia adalah manusia (T)
Konklusi : Semua orang Belanda adalah manusia (T)
P
T
T
F
F
Q
T
F
T
F
PQ
T
F
T
T
 Contoh penerapan tabel nilai implikasi adalah pada hukum
matematika berikut:
“Apabila a = b, maka a x c = b x c.”
 Perhatikan bahwa kita dapat mengmbil substitusi apa saja
yang memenuhi hukum matematika tersebut. Akan tetapi,
karena dalilnya benar, maka tidak mungkin mengadakan
substitusi dengan anteseden benar dan konsekuen salah
 Implikasi yang digunakan di matematika disebut
implikasi material (material implication).
 Implikasi yang digunakan dalam bahasa sehari-hari
disebut implikasi biasa (ordinary implication).
 Implikasi yang untuk meaningfulnessnya disyaratkan
bahwa konsekuennya dapat diturunkan dari anteseden
disebut implikasi logika (logical implication).
 Implikasi logika merupakan himpunan bagian dari
implikasi material, tetapi tidak sebaliknya
Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Jika P  Q sebuah implikasi, maka
 Q  P disebut konvers dari implikasi mula-mula.
 P  Q disebut invers dari implikasi mula-mula.
 Q  P disebut kontraposisi dari implikasi
mula-mula
1.
Jika x bilangan positif, maka 2x juga bilangan positif. [T]
Misalkan P : x bilangan positif dan Q : 2x bilangan positif.
Maka P : x bukan bilangan positif atau P : x bilangan negatif
Dan Q : 2x bukan bilangan positif atau Q : 2x bilangan
negatif.
Sehingga,
 Konvers
:
QP
Jika 2x bilangan positif, maka x pun bilangan positif. [T]
 Invers
:
P  Q
Jika x bilangan negatif, maka 2x pun bilangan negatif. [T]
 Kontraposisi
:
Q  P
Jika 2x bilangan negatif, maka x pun bilangan negatif. [T]
2.
Jika x bilangan positif, maka x2 juga bilangan positif.
[T]
Misalkan P : x bilangan positif dan Q : x2 bilangan positif.
Maka P : x bilangan negatif dan Q : x2 bilangan negatif.
Sehingga,
 Konvers :
QP
Jika x2 bilangan positif, maka x pun bilangan positif. [F]
 Invers
:
P  Q
Jika x bilangan negatif, maka x2 pun bilangan negatif. [F]
 Kontraposisi
:
Q  P
Jika x2 bilangan negatif, maka x pun bilangan negatif. [T]
3.
Jika bangun ABCD bujursangkar, maka diagonaldiagonalnya potong memotong tegak lurus. (implikasi
bernilai benar).
Jika diagonal-diagonal suatu bangun tidak saling
memotong dengan tegak lurus, maka bukan
bujursangkar. [True]
 Dari contoh di atas, nampak bahwa apabila implikasi
benar, maka konvers dan invers nya belum tentu benar
dan belum tentu salah, tetapi kontraposisinya pasti
benar.
 Dapat disimpulkan bahwa
(implikasi)  (kontraposisi)
BIIMPLIKASI
 Biimplikasi menghubungkan 2 kalimat P dan Q dengan kata
penghubung “Jika dan hanya jika”.
 Notasi : .
Kalimat P  Q dibaca:
 P jika dan hanya jika Q
 Q jika dan hanya jika P
 P syarat perlu dan cukup bagi Q
sufficient for Q)
 Q syarat perlu dan cukup bagi P
sufficient for P)
 Jika P maka Q, dan sebaliknya
(P if and only if Q)
(Q if and only if P)
(P is necessary and
(Q is necessary and
(if P then Q, and conversely)
Tabel Nilai BiImplikasi
P
T
T
F
F
P
T
T
F
F
Q
T
F
T
F
PQ
T
F
T
T
PQ
T
F
F
T
Q
T
F
T
F
QP
T
T
F
T
(QP)  (PQ)
T
F
F
T
 Dari kedua tabel di atas tampak bahwa
( P  Q )  ((QP)  (PQ))
Sehingga untuk membuktikan kalimat P  Q , harus
dibuktikan:
 QP, yaitu dengan Q sebagai ketentuan menurunkan P.
 PQ, yaitu dengan P sebagai ketentuan menurunkan Q.
 Misalnya harus dibuktikan bahwa syarat perlu dan cukup
supaya ABC sama sisi adalah bahwa sudut-sudutnya
sama besar.
Maka yang harus dibuktikan


Apabila sudut-sudutnya sama besar, maka sisi-sisinya sama panjang.
Apabila sisi-sisinya (dari ABC) sama panjang, maka sudutsudutnya sama besar
Catatan:
 Di matematika, implikasi dan bi-implikasi harus dibedakan
dengan tajam, kecuali dalam suatu definisi, yaitu frasa
“apabila maka”, yang dimaksud adalah “jika dan hanya jika”
Contoh
Definisi:
 Jika sisi-sisi bangun datar ABCD yang berhadapan sejajar,
maka disebut jajaran genjang.
Yang dimaksud definisi itu adalah
 Jika dan hanya jika sisi-sisi bangun datar ABCD yang
berhadapan sejajar, maka disebut jajaran genjang.