DASAR-DASAR LOGIKA

DASAR-DASAR LOGIKA
Pertemuan 2
Matematika Diskrit
25-2-2013
Materi Pembelajaran
1.
2.
3.
4.
5.
Kalimat Deklaratif
Penghubung kalimat
Tautologi dan Kontradiksi
Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Inferensi Logika
a. Argumen valid dan invalid
b. Metode-metode inferensi
6. Predikat dan kalimat berkuantor
History
a. Cabang matematika yang membahas segala
sesuatu yang bersifat diskrit.
b. Diskrit: tidak saling berhubungan (lawan dari
kontinyu).
c. Mata kuliah utama dan dasar untuk bidang
ilmu komputer atau informatika (algoritma,
struktur data, basis data, otomata, keamanan
komputer, dll).
Apa itu diskrit?
a. Diskrit (discrete): sejumlah berhingga elemen
yang berbeda
b. Contoh diskrit: himpunan bilangan bulat
(integer)
c. Elemen-elemen yang tidak bersambungan
(unconnected). Contoh: bilangan real
Contoh Persoalan Diskrit
1. Berapa banyak kemungkinan password yang
dapat dibuat dari 8 karakter?
2. Bagaimana nomor ISBN sebuah buku
divalidasi?
3. Bagaimana lintasan terpendek dari kota A ke
kota B?
4. Diberikan dua buah algoritma untuk
menyelesaikan masalah, manakah yang
terbaik?
Contoh Persoalan Diskrit
5. “Makanan murah tidak enak, makanan enak
tidak murah”. Apakah kedua pernyataan
tersebut sama?
6. Dapatkah kita melalui semua jalan di
kompleks tepat hanya sekali dan kembali lagi
ke tempat semula?
Logika Matematika
a. Alat untuk bekerja dengan pernyataan
(statement) majemuk yang rumit.
b. Termasuk di dalamnya:
• Bahasa untuk merepresentasikan pernyataan
• Notasi yang tepat untuk menuliskan sebuah pernyataan
• Metodologi untuk bernalar secara objektif untuk
menentukan nilai benar-salah dari pernyataan
• Dasar-dasar untuk menyatakan pembuktian formal dalam
semua cabang matematika
02/20/08
(c)2001-2003, Michael P. Frank
8
Topic #1 – logika proposisi
Logika Proposisi
Logika proposisi adalah logika pernyataan majemuk
yang disusun dari pernyataan-pernyataan
sederhana yang dihubungkan dengan
penghubung Boolean (Boolean connectives)
Beberapa aplikasinya dalam ilmu komputer:
• Merancang sirkuit elektronik digital
• Menyatakan kondisi/syarat pada program
• Query untuk basisdata dan program pencari
(search engine)
02/20/08
(c)2001-2003, Michael P. Frank
George Boole
(1815-1864)
Chrysippus of Soli
9
(ca. 281 B.C. – 205 B.C.)
Kalimat Deklaratif
Ilmu logika mengarah pada bentuk kalimat
(sintaks) daripada arti kalimat (semantik)
Kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi
tidak keduanya
Topic #1 – logika proposisi
Contoh-contoh proposisi
•
•
•
•
•
•
“Hari ini hujan.” (Situasinya diberitahukan)
“Beijing adalah ibu kota China.”
“1 + 2 = 3”
Penduduk Indonesia berjumlah 50 juta orang
4 adalah bilangan prima
“1 + 2” (expresi tanpa nilai benar/salah)
02/20/08
(c)2001-2003, Michael P. Frank
11
Contoh kalimat yang bukan proposisi
Berikut ini yang BUKAN proposisi:
• “Siapa itu?” (pertanyaan)
• “La la la la la.” (kata-kata tak bermakna )
• “Lakukan saja!” (perintah)
• “Ya, sepertinya begitu” (tidak jelas)
• Dimanakah letak pulau Sulawesi?
• Siapakah namamu?
• Simon lebih tinggi dari Lala
• X+y=3
• 5 mencintai 7
Penghubung Kalimat
a.
b.
c.
d.
e.
Not
And
Or
Implikasi
Bi-implikasi
Mahasiswa diminta menggambarkan simbolnya
Penghubung Kalimat
Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r,
….
Contoh:
p menyatakan kalimat 13 adalah bilangan ganjil.
q menyatakan kalimat hari ini adalah hari Rabu.
Nyatakan dalam simbol and
Fany_LI02_09
14
Penghubung Kalimat
Jenis-jenis proposisi :
– Atomic (tunggal) : p, q
– Composite (majemuk) : kombinasi p dan q.
Bagaimana dengan penggunaan kata tetapi?
Review penggunaan kata tetapi
Ekspresi lain dari p → q
Fany_LI02_09
15
• Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan
=
• Pemuda itu tinggi dan tidak tampan.
• Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun tampan
=
• Tidak benar bahwa pemuda itu pendek dan pemuda itu tidak
tampan.
Fany_LI02_09
16
Operator logika disjungsi eksklusif: xor
Notasi: 
Tabel kebenaran:
p q pq
T
T
F
F
T
F
T
F
F}
T
T
F
Lihat
Bedanya
Dengan
OR.
17
Cara-cara mengekspresikan implikasi p  q :
•
Jika p, maka q
•
Jika p, q
•
p mengakibatkan q (p implies q)
•
q jika p
•
p hanya jika q
•
p syarat cukup untuk q
(hipotesis menyatakan syarat cukup (sufficient condition) )
•
q syarat perlu untuk p
(konklusi menyatakan syarat perlu (necessary condition) )
•
q bilamana p (q whenever p)
18
Penghubung Kalimat
• p: hari ini panas
• q: hari ini cerah
Nyatakan kalimat berikut dengan simbol logika:
a. Hari ini tidak panas tetapi cerah
b. Hari ini tidak panas dan tidak cerah
c. Tidak benar bahwa hari ini panas dan cerah
Penghubung Kalimat
a) Dalam perayaan itu, tamu boleh
menyumbang uang atau barang
b) Saya akan melihat pertandingan itu di TV
atau di lapangan
Konsep  (inclusive OR) dan  (exclusive OR)
Contoh Soal
1. k: Monde orang kaya
s: Monde bersuka cita
Soal: Tuliskan bentuk simbolik kalimat berikut
a. Monde orang miskin tetapi bersuka cita
b. Monde orang kaya atau ia sedih
c. Monde tidak kaya ataupun bersuka cita
d. Monde seorang miskin atau ia kaya tetapi
sedih
Contoh Soal
2. Buatlah tabel kebenaran kalimat simbolik
berikut:
a.
b.
c.
d.
Tidak (tidak p atau tidak q)
Tidak (tidak p iff q)
(Jika p maka q) dan tidak (p atau q)
(Tidak p dan (tidak q dan r)) atau (q dan r) atau
(p dan r)
Hukum Ekuivalensi Logika
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Hukum komutatif
Hukum asosiatif
Hukum distributif
Hukum identitas
Hukum ikatan
Hukum negasi
Hukum negasi ganda
Hukum idempoten
Hukum de Morgan
Hukum absorbsi
Negasi
Lihat tabel
Cara pembuktian ekuivalensi P ↔ Q
TAUTOLOGI
• Bentuk kalimat yang selalu bernilai benar (T),
tidak peduli bagaimana pun nilai kebenaran
masing-masing kalimat penyusunnya
• Selalu bernilai true (T) pada semua baris
KONTRADIKSI
• Bentuk kalimat yang selalu bernilai salah (F),
tidak peduli bagaimana pun nilai kebenaran
masing-masing kalimat penyusunnya
• Selalu bernilai false (F) pada semua baris
KONVERS, INVERS, KONTRAPOSISI
Mis diketahui implikasi p→q
Konvers: q→p
Invers: ¬p → ¬q
Kontraposisi: ¬q → ¬ p
Implikasi selalu ekuivalen dengan kontraposisi
KONVERS, INVERS, KONTRAPOSISI
Jika A merupakan bujursangkar, maka A
merupakan suatu persegi panjang.
Tentukan:
Konvers
Invers
Kontraposisi
Referensi
1. Siang, Jong Jek. Matematika Diskret dan
Aplikasinya dalam Ilmu Komputer.
Yogyakarta: Andi.
2. Rosen, Kenneth. Discrete Mathematics and
Its Application (online).