KONSEP DASAR MATEMATIKA

KONSEP DASAR LOGIKA
MATEMATIKA
Riri Irawati, M.Kom
Logika Matematika - 3 sks
Agenda
2


Pengantar Logika
Kalimat pernyataan (deklaratif)






Jenis-jenis pernyataan
Nilai kebenaran
Variabel dan konstanta
Kalimat terbuka
Tabel kebenaran
Kata hubung kalimat





Negasi
Konjungsi
Disjungsi
Implikasi
Biimplikasi atau bikondisional
PENGANTAR LOGIKA
3

Logika merupakan ilmu yang mempelajari aturan - aturan matematika,
sains,
hukum,
dan
bidang
lainnya.
Logika
berhubungan
dengan Pernyataan. Oleh karena itu, dalam logika hanya terdapat dua
kemungkinan kebenarannya, yaitu benar atau salah.

Logika (logic) yang berasal dari kata bahasa Yunani ‘logos’ adalah ilmu
pengetahuan yang mempelajari atau berkaitan dengan prinsip-prinsip
dari penalaran argumen/pernyataan yang benar dan tepat (valid).

Dalam pengoperasian komputer hanya dikenal dua kondisi analog
dengan logika yaitu ada atau tidak adanya Aliran Listrik. Kondisi ini
dapat
diartikan
dalam
kondisi “True” atau “False”.
bahasa
logika
sebagai
Pengantar Logika
4

Masih ingatkah dengan bilangan biner? Sistem bilangan inilah yang digunakan
dalam setiap instruksi pada komputer. Instruksi ini pada dasarnya merupakan
serangkaian kombinasi logis. Pernyataan dan bukan pernyataan.

Kalimat merupakan rangkaian kata - kata yang disusun sedemikian rupa
sehingga memiliki arti yang utuh.

Kalimat itu sendiri dikelompokan menjadi 2 (dua) kelompok, yaitu : Kalimat
pernyataan
Ada
pun
(deklaratif)
yang
menjadi
bahasan
dan
dalam
bukan
logika
pernyataan.
matematika
adalah
kalimat Pernyataan (deklaratif). Kalimat seperti ini memiliki ciri khusus, yaitu
kita dapat menentukan kalimat itu sebagai kalimat yang benar saja atau
sebagai kalimat yang salah saja.
Contoh kalimat pernyataan
5
(a) Sembilan adalah bilangan ganjil.
(b) Kucing adalah hewan yang tidak suka makan ikan.
(c) Ibukota Indonesia adalah Yogyakarta.
(d) Pada segitiga siku - siku berlaku kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat sisi
- sisi yang lain
Penjelasan :
Kalimat-kalimat di atas merupakan kalimat pernyataan, mengapa? Karena dari
kalimat-kalimat tersebut kita dapat menentukan nilai kebenarannya (benar atau
salah). Bahwa (a) dan (d) merupakan kalimat - kalimat yang memiliki nilai
kebenaran benar dan kalimat (b) dan (C) adalah kalimat yang nilai kebenarannya
salah.
Maka dengan demikian dari penjelasan di atas, diperoleh definisi bahwa :
Pernyataan adalah kalimat yang hanya mempunyai nilai Benar atau Salah saja, tetapi
tidak sekaligus kedua - keduanya.
Contoh kalimat bukan pernyataan
6
a. x + 5 = 17
b. Jarak antara Jakarta dan Surabaya adalah dekat.
o
Apakah
kalimat-kalimat
diatas
merupakan
kalimat
pernyataan?
o
Bukan pernyataan. Sebab pada kalimat tersebut kita tidak
dapat menentukan nilai kebenarannya, apakah kalimat itu
benar atau salah.
Contoh kalimat bukan pernyataan
7

Beberapa kalimat yang termasuk bukan pernyataan di
antaranya adalah yang berbentuk kalimat tanya, perintah
dan harapan. seperti contoh di bawah ini :
(a) Apakah anda sudah Sholat?
(b) Tolong buatkan saya kopi!
(c) Semoga tahun depan saya dapat naik haji.
Kalimat Pernyataan (Deklaratif)
8
Definisi:
Suatu pernyataan (proposisi) adalah suatu
kalimat deklaratif yg bernilai benar saja atau
salah saja tetapi tidak sekaligus benar dan salah.
Contoh:
1. Sekarang mata kuliah logika matematika.
2. Besok hari minggu.
Pernyataan
9

Biasanya disimbolkan dengan huruf p, q, r, …

Nilai kebenaran masing-masing dinyatakan
dengan “B” jika benar dan “S” jika salah.
Jenis-jenis pernyataan
10
1. Pernyataan sederhana
2. Pernyataan majemuk
1.
Pernyataan Sederhana
11

Definisi:
Pernyataan sederhana adalah pernyataan yang hanya
menyatakan pikiran tunggal dan tidak mengandung kata
hubung kalimat.
Contoh :
1. Rambut saya berwarna hitam.
2. Ibukota negara Indonesia adalah Jakarta.
3. Matahari terbit pada malam hari.
2.
Pernyataan majemuk
12

Definisi:
pernyataan majemuk adalah pernyataan yang terdiri dari
pernyataan sederhana (satu atau lebih) dengan bermacam-
macam kata hubung kalimat (connective).
Contoh :
1. Saya menyukai warna merah dan hari ini cerah.
2. Adi suka kopi atau lina suka roti.
Nilai Kebenaran
13

Nilai
kebenaran
pernyataan
sederhana
tergantung pada realitas yg dinyatakan.

Nilai
kebenaran
pernyataan
majemuk
tergantung pada nilai kebenaran pernyataanpernyataan sederhana yg menyusunnya dan kata
hubung kalimat yg digunakan.
Contoh
14
Tentukan nilai kebenaran dari 5 contoh diatas!
1. Rambut saya berwarna hitam.
2. Ibukota negara Indonesia adalah Jakarta.
3. Matahari terbit pada malam hari.
Variabel dan Konstanta
15


Definisi:
Variabel adalah simbol untuk menunjuk suatu
anggota yang belum spesifik dalam semesta
pembicaraan.

Konstanta adalah simbol untuk menunjuk suatu
anggota tertentu (yang sudah spesifik) dlm
semesta pembicaraan.
Kalimat Terbuka
16
Definisi:
Kalimat terbuka adalah kalimat yg mengandung
variabel,
sedemikian
sehingga
jika
kita
mensubstitusikan variabel dg konstanta di dalam
semesta pembicaraannya, kalimat terbuka itu
menjadi pernyataan.
Contoh:
17
1. 4 + x = 7
4 +…. = 7
2. p < 5
Latihan
18

Manakah dari pernyataan-pernyataan berikut yang merupakan proposisi?
(a) Apakah ini jawabanmu sudah benar, Bowo?
(b) Santi pergi kuliah.
(c) 4 adalah angka prima
(d) Jawablah pertanyaan ini !
(e) Bandung adalah ibukota Jawa Timur.
(f) Jam berapakah ini ?
(g) Musim kemarau di Indonesia adalah panas dan kering.
(h) Badu kaya raya dan memiliki banyak harta.
(i) 7 + x = 10
(j) Angka 8 adalah anggota bilangan genap.
Tabel Kebenaran
19


Tabel kebenaran adalah suatu tabel yang menunjukkan secara sistematis satu demi
satu nilai-nilai kebenaran sebagai hasil kombinasi dari proposisi-proposisi yang
sederhana.
Pada tabel kebenaran terdapat perangkai logika atau operator (ditunjukkan pada
tabel dibawah ini);
Perangkai

Simbol
Dan (and)

Atau (or)

Tidak/bukan (not)

Jika...maka...(if..then../implies)

Jika dan hanya jika (if and only if)

Pada tabel kebenaran hanya digunakan konstanta proposisional T untuk True dan F
untuk False, bukan B atau S.
Kata Hubung Kalimat
20
Macam-macam kata hubung kalimat:
 Negasi
 Konjungsi
 Disjungsi
 Implikasi
 Biimplikasi/Bikondisional
Negasi []
21



Definisi
Negasi suatu pernyataan adalah pernyataan yang
benilai benar jika pernyataan semula salah, dan
sebaliknya.
Negasi pernyataan p ditulis –p.
Negasi pada pernyataan biasanya menggunakan
kata ‘bukan’, ‘tidak benar’, ‘tidak’.
Tabel Kebenaran Negasi
22
p
-p
T
F
F
T
Contoh
23
Apa bentuk kebalikan (negasi) dari proposisi berikut?
(a) Hari ini adalah hari sabtu.
(b) Tidak ada musim hujan di Indonesia.
(c) 2 + 3 = 5
(d) Jakarta ibukota RI.
(e) Zainal memakai kacamata.
(f) Gunung Merapi terletak di 2 Propinsi dan 3 Kabupaten.
Konjungsi []
24

Definisi:
Misalkan A dan B adalah proposisi. Proposisi “A dan B”,
yang disimbolkan dengan AB, adalah proposisi yang
bernilai benar, jika A dan B keduanya benar, lainnya pasti
salah. Proposisi berbentuk A B disebut konjungsi A dan B.

Konjungsi p dan q ditulis ‘p ᴧ q’ dibaca: p dan q.
Contoh
25
Diketahui :
p = Ima anak yang rajin.
q = bunga mawar berbau harum.
r=2+3<6
Tentukan: p ᴧ q, p ᴧ r, q ᴧ r.
Tabel Kebenaran Konjungsi
26
p
q
pᴧq
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
F
Disjungsi []
27

Definisi:
Misalkan A dan B adalah proposisi. Proposisi “A atau B”,
yang disimbolkan dengan A  B, adalah proposisi yang
bernilai salah, jika nilai A dan B keduanya salah, jika lainnya
pasti benar. Proposisi berbentuk A  B, disebut disjungsi A dan
B.

Disjungsi p dan q ditulis ‘p v q’ dibaca: p atau q.
Contoh
28

Diketahui :
p : Lia minum kopi.
q : Lia minum teh.
Tentukan p v q & q v p !
Tabel Kebenaran Disjungsi
29
p
q
pvq
T
T
T
T
F
T
F
T
T
F
F
F
Implikasi []
30
Definisi:

Misalkan A dan B adalah proposisi. Implikasi dari “A
implikasi B”, yang disimbolkan dengan A B adalah
proposisi yang bernilai salah, jika nilai A bernilai benar dan
nilai B bernilai salah, dan jika lainnya pasti benar. Pada
implikasi ini, A disebut antecedent (hipotesa/premis) dan B
disebut consequence (kesimpulan).
Contoh
31
Diketahui :
p: Hari ini hujan.
q: Saya membawa payung.
Tentukan p→q & q→p !
Tabel kebenaran implikasi
32
p
q
p→q
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
F
T
Biimplikasi []
33
Definisi:
Misalkan A dan B adalah proposisi. Biimplikasi “A jika dan hanya jika B”,
yang disimbolkan dengan AB adalah proposisi yang bernilai benar,
jika nilai A bernilai benar dan B bernilai benar, dan nilai A bernilai salah
dan nilai B bernilai salah.
Contoh
34
A: Amir mempunyai mobil.
B: Amir orang kaya
Tentukan A  B!
Tabel kebenaran biimplikasi
35
p
q
p↔q
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T
Konvers, Invers dan Kontraposisi
36
Definisi:

Konvers dari implikasi p→q adalah q→p

Invers dari implikasi p→q adalah –p → –q

Kontraposisi dari implikasi p→q adalah –q → –p
Contoh
37
Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari:
“Jika Amir mempunyai mobil, maka ia orang kaya.”
Penyelesaian:
Konvers
: Jika Amir orang kaya, maka ia mempunyai mobil.
Invers
: Jika Amir tidak mempunyai mobil, maka ia bukan orang
kaya.
Kontraposisi
: Jika Amir bukan orang kaya, maka ia tidak mempunyai
mobil.
Tabel Kebenaran konvers, invers dan kontraposisi
38
p
q
p→q
q→p
-p→-q
-q→-p
T
T
T
T
T
T
T
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
F
T
T
T
T
Kesepakatan penggunaan kata hubung kalimat
39

Logika menggunakan tanda kurung untuk menunjukkan urutan pengerjaan.

Jika tidak ada tanda kurung maka disepakati urutan pengerjaan sbb:
1. Negasi
2. Konjungsi, disjungsi
3. Implikasi
4. Biimplikasi
Latihan
40
Diketahui: p = Geometri sangat sukar , q = bahasa sangat menarik , r = logika
sangat mudah.
1. Tuliskan secara simbolik pernyataan-pernyataan berikut:
a. Tidak benar bahwa logika sangat mudah dan geometri sangat sukar.
b. Geometri sangat mudah jika dan hanya jika logika sangat mudah dan bahasa sangat
menarik.
c. Tidak benar bahwa jika logika matematika sangat mudah maka geometri sangat sukar.
2. Tentukan nilai kebenarannya dengan menggunakan tabel kebenaran:
a. –(p ᴧ q)
d. (p → q) ↔ ( q → p)
b. (p→q)  r
e. (p  q)  (((p q) →p)  q)
c. p↔(q  r)
f. r  (p  q)