Operator Logika (Tabel Kebenaran)

Operator Logika
PERTEMUAN 3
VISKA ARMALINA, ST.,M.ENG
Pendahuluan
Kata penghubung yang digunakan untuk menghubungkan proposisi atomikproposisi atomik menjadikan kalimat tersebut menjadi kalimat majemuk.
Kata penghubung itu dapat diganti dengan simbol tertentu, yang disebut
Operator Logika.
Penekanan logika pada penarikan kesimpulan tentang validitas suatu
argumen untuk mendapatkan kebenaran yang bersifat abstrak, yang
dibangun dengan memakai kaidah-kaidah dasar logika tentang kebenaran
dan ketidakbenaran yang menggunakan operator logika, yakni:
“dan (and)”, “atau (or)”, “tidak (not)”, “jika…maka…(if…then…)”,
dan “…jika dan hanya jika…(…if dan only if…)”
Tabel Kebenaran
Setiap operator pada logika memiliki nilai kebenarannya masing-masing
sesuai jenis operator logika yang digunakan.
 Untuk mengetahui nilai kebenarannya, digunakan aturan dengan memakai
Tabel Kebenaran (truth table).
Tabel kebenaran adalah tabel nilai yang mendefinisikan nilai kebenaran
keseluruhan kalimat berdasarkan nilai kebenaran masing-masing kalimat
penyusunnya.
Operator Logika (1)
Setiap perangkai pada logika memiliki nilai kebenarannya masing-masing
sesuai jenis perangkai logika yang digunakan.
Perangkai logika atau operator dalam bentuk simbol digunakan untuk
membuat bentuk-bentuk logika atau ekspresi logika.
Digunakan konstanta proposisional T untuk TRUE dan F untuk FALSE.
Operator Logika (2)
Perangkai / Operator
Dan (and)
Atau (or)
Tidak/Bukan (not)
Jika... maka.... (if......then...../implies)
Jika dan hanya jika (if and only if)
Simbol
˄
˅
~
→
↔
Konjungsi ( ˄ )
 Konjungsi (conjunction) adalah kata lain dari operator “dan (and)”.
 Operator ini akan menghasilkan pernyataan yang bernilai benar (T) jika
semua komponennya bernilai benar (T), dan akan bernilai salah (F) jika
salah satu komponennya bernilai salah (F).
Perangkai atau operator ˄ disebut Perangkai Binary (Binary Logical
Connective)  karena ia merangkai dua variabel proposisional.
Tabel Kebenaran Konjungsi ( ˄ )
Konjungsi p ^ q bernilai benar (T) jika p dan q keduanya benar (T), selain itu nilainya
salah (F).
Contoh Konjungsi
p
: 17 adalah bilangan prima
Benar
q
: bilangan prima selalu ganjil
Salah
Pertanyaan : bagaimana konjungsi dari p dan q tersebut? ( p ˄ q )
Jawab :
p
Benar ( T )
q
Salah ( F )
p ˄ q : 17 adalah bilangan prima dan bilangan prima selalu ganjil
Salah ( T )
lihat tabel kebenaran
Contoh Tabel Kebenaran Konjungsi
Yang Lebih Rumit
P
Q
R
P˄Q
(P ˄ Q) ˄ R
Q˄R
P˄(Q˄R)
F
F
F
F
F
F
F
F
F
T
F
F
F
F
F
T
F
F
F
F
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
F
F
F
F
F
T
F
T
F
F
F
F
T
T
F
T
F
F
F
T
T
T
T
T
T
T
Disjungsi ( ˅ )
 Disjungsi (disjunction) adalah kata lain dari operator “atau (or)”.
 Disjungsi juga disebut Perangkai Binary (Binary Logical Connective)
 Operator ini akan menghasilkan pernyataan yang bernilai benar ( T ) jika
salah satu komponen proposisi bernilai benar ( T ), dan akan bernilai salah
(F) jika semua komponennya bernilai salah (F)
Tabel Kebenaran Disjungsi ( ˅ )
Disjungsi p v q bernilai salah (F) jika p dan q keduanya salah (F), selain itu nilainya benar (T)
Contoh Disjungsi
Tentukan nilai kebenaran dari proposisi “p  q”
p
: 2 adalah bilangan prima
q
: 4 adalah bilangan prima
pq
: 2 atau 4 adalah bilangan prima
Jawab :
p
Benar (T)
q
Salah (F)
p˅q
Benar (T)
lihat tabel kebenaran
Negasi ( ~ )
 Negasi (negation) digunakan untuk menggantikan operator “tidak (not)”.
 Negasi suatu pernyataan P adalah pernyataan baru yang bernilai salah (F)
jika P benar (T) dan bernilai benar (T) jika P bernilai salah (F).
 Negasi berarti hanya kebalikan dari nilai variabel proposisi yang
dinegasinya.
 Perangkai ~ disebut Perangkai Unary atau monadic  karena hanya dapat
merangkai satu variabel proposisional.
Tabel Kebenaran Negasi ( ~ )
p
~p
~~p
F
T
F
T
F
T
Negasi p, yaitu ~p, bernilai benar (T) jika p salah (F) , juga sebaliknya akan bernilai salah (F) jika
p benar (T).
Contoh Negasi
Tentukan nilai kebenaran dari proposisi “~p” jika :
p : 2 adalah bilangan prima
~p : 2 bukan bilangan prima
Proposisi “p” merupakan suatu proposisi yang bernilai benar.
Proposisi “~p” merupakan suatu proposisi yang bernilai salah.
Implikasi ( → )
 Implikasi (implication) merupakan pernyataan bersyarat.
 Digunakan untuk menggantikan operator “jika…maka… (if…then)”.
 Implikasi dinyatakan dengan “p  q”
 Proposisi “p” disebut sebagai antecedent atau hipotesis atau premis,
 Proposisi “q” disebut consequent atau konklusi atau kesimpulan
Operator ini akan menghasilkan pernyataan yang bernilai benar (T) jika
kensekuensinya bernilai benar (T) , atau premis dan kesimpulan keduanya
bernilai salah (F), dan akan bernilai salah (F) jika premis bernilai benar (T),
sedangkan kesimpulan bernilai salah (F).
Pembahasan Implikasi
 Implikasi juga disebut conditional
kemungkinan saja sebab dan akibat.
karena
mengondisikan
satu
 Implikasi dapat menimbulkan salah pengertian jika dipahami dengan
bahasa sehari-hari.
 Contoh pernyataan :
Jika hari hujan, maka saya akan membawa payung
PERHATIKAN TABEL KEBENARANNYA, HANYA ADA SATU NILAI F pada (p
→ q) yaitu jika p bernilai True dan q bernilai False.
Tabel Kebenaran Implikasi ( → )
Hanya ada satu nilai F, yaitu jika
p bernilai benar (T), dan q
bernilai salah (F), bukan
sebaliknya.
Contoh Implikasi
Tentukan nilai kebenaran dari p → q
p : manusia memiliki sayap
q : manusia bisa terbang
p  q : jika manusia memiliki sayap maka bisa terbang
Bukti :
Proposisi “p” merupakan suatu proposisi yang bernilai salah.
Proposisi “q” merupakan suatu proposisi yang bernilai salah.
Sehingga proposisi “p  q” bernilai benar. Lihat tabel kebenaran.
Biimplikasi /Ekuivalensi(↔ )
 Biimplikasi (biimplication) digunakan untuk menggantikan operator “…jika
dan hanya jika… (…if only if…)”.
 Biimplikasi dapat disebut sebagai bicondisional karena ia mengkondisikan
dua ekspresi logika.
 Operator ini akan menghasilkan pernyataan yang bernilai benar (T) jika
pasangan proposisi penyusunnya bernilai sama. Jika pasangannya memiliki
nilai berbeda, maka nilai proposisi yang tersusun bernilai salah (F).
Tabel Kebenaran Biimplikasi
p ↔ q nilainya True jika p
maupun q nilainya sama
p ↔ q nilainya True jika p
maupun q nilainya sama
Contoh Biimplikasi
Tentukan nilai kebenaran dari p ↔ q
p : manusia memiliki sayap
False
q : manusia bisa terbang
False
p ↔ q : manusia memiliki sayap jika dan hanya jika bisa terbang
Lihat tabel kebenaran.
p : False,
q : False
p ↔ q : True
Operator nand ( | )
 Merupakan kebalikan dari operator Dan , dibaca operator “tidak dan” (not and)
 Operator nand kadang disebut Sheffer Stroke , sehingga simbol dari operator nand disebut
vertical stroke ( | ).
 Operator ini akan menghasilkan pernyataan yang bernilai salah (F) jika semua
komponennya bernilai benar (T), dan akan bernilai benar (T) jika salah satu komponennya
bernilai salah (F).
Pernyataan tersebut menghasilkan pernyataan yang terbalik dari operator and.
Perbandingan Tabel Kebenaran Nand ( | ) dengan
Tabel Kebenaran And ( ˄ )
Tabel Kebenaran Nand ( | )
Tabel Kebenaran And ( ˄ )
p
q
p|q
p
q
p˄q
F
F
T
F
F
F
F
T
T
F
T
F
T
F
T
T
F
F
T
T
F
T
T
T
Operator nor (↓)
 Merupakan kebalikan dari operator Atau, dibaca operator “tidak atau”
(not or)
 Disebut juga Peirce Arrow (↓)
 Operator ini akan menghasilkan pernyataan yang bernilai benar ( T ) jika
semua komponen proposisi bernilai salah ( F ), dan akan bernilai salah (F)
jika salah satu komponennya bernilai benar (T).
Pernyataan tersebut menghasilkan pernyataan yang terbalik dari operator
or .
Perbandingan Tabel Kebenaran Nor (↓) dengan Tabel
Kebenaran Or (˅)
Tabel Kebenaran Nor (↓)
Tabel Kebenaran Or (˅)
p
q
p(↓)
p
q
p(˅)q
F
F
T
F
F
F
F
T
F
F
T
T
T
F
F
T
F
T
T
T
F
T
T
T
Operator xor (⊕)
 Operator xor (exclusive or) dengan simbol (⊕) mempunyai hasil tabel
kebenaran yang terbalik dari operator biimplikasi /ekuivalensi (↔).
 Operator ini akan menghasilkan pernyataan yang bernilai salah (F) jika
pasangan proposisi penyusunnya bernilai sama. Jika pasangannya memiliki
nilai berbeda, maka nilai proposisi yang tersusun bernilai benar (T).
Perbandingan Tabel Kebenaran xor (⊕) dengan Tabel
Kebenaran Biimplikasi/Ekuivalensi (↔)
Tabel Kebenaran xor (⊕)
Tabel Kebenaran Biimplikasi/Ekuivalensi (↔)
p
q
p(⊕)q
p
q
p(↔)q
F
F
F
F
F
T
F
T
T
F
T
F
T
F
T
T
F
F
T
T
F
T
T
T
Latihan Soal (1)
Ubahlah kalimat proposisi berikut ini ke dalam bentuk logika (gunakan
variabel p, q,r....)
a. Dewi akan membayar hutang jika sudah mendapatkan uang
b. Yuli dan Yeni adalah mahasiswi berprestasi
c. Budi akan memperoleh beasiswa jika mempunyai IPK minimal 3
atau mempunyai prestasi tingkat nasional
d. Ana dan Ani akan berangkat ke Bandung jika telah lulus kuliah.
Latihan Soal (2)
Buatlah tabel kebenaran dengan semua kemungkinan nilai kebenaran dari
ekspresi-ekspresi logika berikut :
1. p ˄ ( p ˅ q )
2. p ˄ ((r ˅ q) ↔ r)
3. ~ ( p ˄ q)
4. (p ˄ q) ˅ ((~p ˄ q) → p)
5. (p ˄ q) ↔ r
Latihan Soal (3)
Misalkan p, q, dan r adalah variabel proporsisi :
p : Toni sakit flu
q : Toni mengikuti ujian
r : Toni lulus
Ubah ekspresi berikut menjadi pernyataan/kalimat dalam bahasa Indonesia :
1. ~p
2. p  q
3. (p  ~q)  (q  ~r)
4. (p  q)  (~q  r)