logika matematika

LOGIKA MATEMATIKA
Oleh :
LUFVIANA LIKKU TRIMINTARUM
A 410 080 096
A. PERNYATAAN, KALIMAT TERBUKA, DAN INGKARAN
Pernyataan adalah suatu kalimat yang
bernilai benar atau bernilai salah, tetapi
tidak dapat bernilai benar dan salah.
Pernyataan juga disebut dengan kalimat
deklaratif, statemen atau proposisi dan
dilambangkan dengan huruf kecil.
Kalimat terbuka
adalah kalimat yang masih mengandung peubah (variabel), sehingga
belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Peubah (variabel)
merupakan suatu lambang yang dapat diganti-ganti nilainya, sedang
konstanta adalah bilangan tetap atau suku yang tidak mengandung
variabel.
Perhatikan kalimat-kalimat di bawah ini:
Contoh1:
1. Ibukota negara Indonesia terletak di Atambua.
2. Bilangan prima terkecil adalah 2.
3. Dia benar-benar anak yang cantik, pandai dan ramah.
4. Berapakah nilai dari 2log 8.
5. 5x + 3 = 13.
Keterangan:
• Kalimat no.1 merupakan pernyataan, sebab dapat ditentukan nilai
kebenarannya. Kalimat tersebut bernilai salah, sebab Ibukota
Indonesia terletak di Jakarta.
• Kalimat no. 2 merupakan pernyataan sebab dapat ditentukan nilai
kebenarannya. Kalimat tersebut bernilai benar.
• Kalimat no.3 merupakan kalimat terbuka, sebab belum dapat
ditentukan nilai kebenarannya. Kalimat terbuka pada no.3 ini
menggunakan variabel kata “dia”.
• Kalimat no.4 bukan pernyataan dan juga bukan kalimat terbuka, tetapi
merupakan kalimat pertanyaan.
• Kalimat no.5 merupakan kalimat terbuka dengan variabel x dan
terdapat dua konstanta yaitu 3 dan 13. Jika nilai x diganti dengan
sebuah nilai maka akan menjadi kalimat pernyataan. Nilai x yang dapat
mengubah kalimat terbuka menjadi pernyataan yang benar disebut
Himpunan Penyelesaian
B. INGKARAN DAN NEGASI
Negasi adalah kalimat baru yang didapat
dengan cara mengingkar kalimat yang
diberikan. Negasi dari pernyataan p ditulis
dengan p atau p. Jika pernyataan p
bernilai benar maka p bernilai salah dan
jika bernilai salah maka p bernilai benar.
Contoh 2:
Tentukan negasi dari kalimat-kalimat di bawah ini:
1. Baju adik berwarna merah.
4. 2 < 5
2. Jakarta terletak di Pulau Jawa.
5. 2x + 3 
3. Enam tidak habis dibagi.
6. 3x + 2y = 10
Jawab:
1. Baju adik tidak berwarna merah.
2. Jakarta tidak terletak di Pulau Jawa.
3. Enam habis dibagi 2.
4. 2 ≥ 5
5. 2x + 3 < 4
6. 3x + 2y ≠ 10
Dari contoh diatas kita dapat membuat tabel sebagai berikut:
P
p
(p)
B
S
S
B
B
S
P
p
=
≠
<
>
≤

≠
=

≤
>
<
C. KONJUNGSI, DISJUNGSI, IMPLIKASI DAN BIIMPLIKASI
Pernyataan komposisi atau pernyataan majemuk
adalah suatu pernyataan yang diperoleh dengan
penggabungan dua pernyataan atau lebih dengan
menggunakan kata hubung logika. Kata hubung logika
yang digunakan terlihat pada tabel berikut:
Kata hubung logika
… dan …
… atau …
jika … maka …
… jika dan hanya jika …
Lambang Pernyataan majemuk




Konjungsi
Disjungsi
Implikasi
Biimplikasi
1.
Konjungsi
Dua pernyataan p dan q dapat dibentuk dengan
menggunakan kata hubung logika “dan”. Konjungsi dari
pernyataan p dan q ditulis dengan lambang: p ! q (dibaca: p dan
q). Perhatikan tabel berikut:
p
q
pq
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
S
Tabel diatas artinya B = benar dan S = salah, sehingga diperoleh:
BB=B
BS=S
SB=S
SS=S
Kadang-kadang kata hubung logika “dan” diganti dengan kata
lain yang mempunyai arti sama seperti “tetapi” atau
“walaupun”.
Contoh 3:
Tentukan nilai kebenaran dari konjungsi berikut:
a. Yogyakarta ibukota Indonesia dan Yogyakarta
kota Pelajar.
b. Dua bilangan genap dan bilangan prima.
Jawab:
a. Yogyakarta ibukota Indonesia
:S
SB=S
Yogyakarta kota pelajar
:B
Jadi Yogyakarta ibukota Indonesia dan Yogyakarta
pelajar bernilai salah.
b. Dua bilangan genap
:B
BB=B
Dua bilangan prima
:B
Jadi “Dua bilangan genap dan bilangan prima”
bernilai benar
2. Disjungsi
Disjungsi dari pernyataan p atau q dinyatakan dengan
lambang
p

q
(baca:
p
atau
q).
Perhatikan tabel berikut:
p
q
B B
B S
S B
S S
pq
B
B
B
S
Tabel diatas artinya B = benar dan S = salah, sehingga
diperoleh:
BB=B
BS=B
SB=B
SS=S
Contoh 4:
a. Tentukan nilai kebenaran dari disjungsi berikut:
Gus Dur adalah Presiden RI ke-4 atau Megawati Wakil
Presiden RI yang ke-4 juga.
b. Dua merupakan bilangan bulat atau dua merupakan
bilangan rasional.
Jawab:
a. Gus Dur Presiden RI yang ke-4
:B
BS=B
Megawati wakil Presiden RI yang ke-4 : S
Jadi “Gus Dur adalah presiden RI yang ke-4 atau
Megawati wakil presiden RI yang ke-4 juga” bernilai
benar.
b. Dua merupakan bilangan bulat
:B
BB=B
Dua merupakan bilangan rasional
:B
Jadi “Dua merupakan bilangan bulat atau dua
merupakan bilangan rasional” bernilai benar.
3. Implikasi
Implikasi dari pernyataan p dan q ditulis dengan lambang: “p

q”
Lambang p  q dapat dibaca antara lain:
(1) Jika p dan q
(4) p syarat cukup untuk q
(2) p berimplikasi q (5) q syarat untuk p
(3) q hanya jika p
Pada implikasi p  q, p disebut anteseden atau hipotesis
dan q disebut konklusi atau kesimpulan.
Perhatikan tabel berikut:
Tabel disamping: B : benar dan S : salah,
p
q
pq
maka diperoleh:
B
B
B
BB=B
B
S
S
BS=S
S
B
B
S
S
B
SB=B
SS=B
Contoh 5:
a.
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut ini:
Jika Cilacap berada di Jawa Tengah maka Cilacap kota pantai.
Jika 3 merupakan bilangan rasional maka 6 merupakan faktor dari 3.
Jawab:
a. Cilacap berada di jawa Tengah
:
B
BB=B
Cilacap kota pantai
:
B
Jadi jika Cilacap berada di Jawa Tengah maka Cilacap kota pantai
bernilai
benar.
b. 3 merupakan bilangan rasional :
B
BS=S
6 merupakan faktor dari 3
:
S
Jadi “Jika 3 merupakan bilangan rasional maka 6 merupakan faktor
dari 3” bernilai salah.
4. Implikasi Logis
Implikasi logis adalah suatu pernyataanmajemuk yang
mempunyai nilai kebenaran, benar semua atau salah semua.
Implikasi logis yang mempunyai nilai kebenaran benar semua
disebut Tautologi, sedang yang mempunyai nilai kebenaran salah
semua
disebut
Kontradiksi.
Contoh
6:
Dengan menggunakan tabel kebenaran tunjukkan bahwa
pernyataan p  (p  q) adalah sebuah tautologi.
Jawab:
P
q
pq
p  (p  q)
B
B
S
S
B
S
B
S
B
B
B
S
B
B
B
B
Keterangan:
Tampak bahwa nilai kebenaran untuk p  (p  q) bernilai benar
semua, jadi p  (p  q) merupakan tautologi.
Contoh 6:
Dengan menggunakan tabel kebenaran tunjukkan bahwa
pernyataan (p  q)(p  q) adalah sebuah kontradiksi.
p
q
pq
pq
(pq)
(pq) p (pq)
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
S
B
S
B
B
S
B
S
S
S
S
S
S
Karena nilai kebenaran dari (pq) p (pq) semua
bernilai salah, maka pernyataan (pq) p (pq) disebut
dengan Kontradiksi.
5. Biimplikasi
dan Biimplikasi Logis
a.
Biimplikasi dari
lambang: p 
Tabel
B

B

S

S

p
B
B
S
S
Biimplikasi
pernyataan p dan q ditulis dengan
q (dibaca p jika dan hanya jika q).
disamping
artinya:
B
=
B
S
=
S
B
=
S
S
=
B
Perhatikan tabel berikut:
Tabel disamping artinya:
q
pq
B
S
B
S
B
S
S
B
BB=B
BS=S
SB=S
SS=B
Dari tabel dapat dibuktikan pula bahwa: p  q = (p  q) (q  p)
p
q
pq
qp
(pq)  (qp)
pq
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
B
B
B
S
B
B
S
S
B
B
S
S
B
Contoh 8:
Pernyataan p : 2 + 6 = 8 (benar)
q : 2 < 8 (benar)
maka p  q : 2 + 6 = 8 jika dan hanya jika 2 < 8 (bernilai benar)
Pernyataan p : 2 + 6 > 9 (salah)
q : 6 < 9 (benar)
maka p  q : 2 + 6 > 9 jika dan hanya jika 6 < 9 (bernilai salah)
b. Biimplikasi Logis
Biimplikasi logis adalah suatu bentuk biimplikasi yang selalu bernilai
benar
untuk
setiap
pernyataan
yang
diberikan.
Contoh 9:
Tunjukkan dengan tabel kebenaran pernyataan (p  q) 
(p  p) merupakan biimplikasi logis.
Jawab:
p
p
B
S
S
B
p  q p  p
B
B
B
B
(p  q)  (p  p)
B
B
Karena kolom (p  p)  (p  p) bernilai benar semua
untuk semua pernyataan maka (p  p)  (p  p)
merupakan biimplikasi logis.
D. PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN
Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen jika dan hanya
jika mempunyai nilai kebenaran yang sama.
Pernyataan p ekuivalen dengan q ditulis dengan p  q.
Contoh:
Buktikan bahwa pernyataan “(p  q)  (q  p)”
Jawab:
p
q
p
q
p  q
q  p
B
B
S
S
B
S
B
S
S
S
B
B
S
B
S
B
S
B
B
B
S
B
B
B
Karena nilai kebenaran p  q sama dengan nilai
kebenaran q  p maka dikatakan: “(p  q)  (q  p)”
E. NEGASI DARI PERNYATAAN MAJEMUK
Negasi atau ingkaran dari pernyataan majemuk
yang meliputi konjugsi, disjungsi, implikasi dan
biimplikasi adalah sebagai berikut:
a.
b.
c.
d.
Negasi Konjungsi
: (p  q)  p  q
Negasi Gisjungsi : (p  q)  p  q
Negasi Implikasi : (p  q)  p  q
Negasi Biimplikasi
: (p  q)  (p  q)  (q  p)
F. KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI
Dari suatu implikasi p  q dapat dibentuk implikasi lain yaitu:
q  p, yang disebut konvers dari p  q
p  q, yang disebut invers dari p  q
q  p, yang disebut kontraposisi dari p  q
hubungan antara implikasi-implikasi tersebut dapat ditunjukkan
pada diagram dan tabel sebagai berikut:
pq
Konvers
qp
Invers
Kontraposisi
Invers
p  q
Konvers
p  q
Tabel kebenaran
p
B
B
S
S
q
B
S
B
S
p
S
S
B
B
q
S
B
S
B
p  q q  p p  q q  p
B
B
B
B
S
B
B
S
B
S
S
B
B
B
B
B
Sama
Sama
Dari tabel diperoleh:
1. p  q  q  p
2. q  p  p  q
Contoh:
Diketahui sebuah implikasi: “Jika kamu berusaha maka kamu
akan berhasil”. Tentukan:
a. Konvers b. Invers
c. Kontraposisi
Jawab:
a. Jika kamu akan berhasil maka kamu berusaha
b. Jika kamu tidak berusaha maka kamu tidak
akanberhasil
c. Jika kamu tidak berhasil maka kamu tidak
berusaha
G. KALIMAT BERKUANTOR
1. Pengertian
(kalimat (pernyataan) berkuantor adalah pernyataan
mengenai himpunan obyek yang mengandung atau
memakai ukuran kuantitas, seperto”semua (setiap),
beberapa (sekurang-kurangnya) atau tidak ada”. Jadi
kuantor menyatakan pengertian “berapa banyak”.
Ada dua jenis kuantor yaitu:
1. Kuantor universal (umum) yang memuat kata
“semua/setiap” yang dilambangkan dengan x atau
Ax dibaca untuk semua x.
2. Kuantor eksistensial (khusus) yang memuat kata
“beberapa/ada/sebagian” yang dilambangkan
dengan
x atau Ex yang dibaca untuk beberapa x.
Contoh:
1. Semua orang akan mati
2. Ada anjing berkaki tiga
3. ( x  R) (x2  0) dibaca = untuk setiap x
anggota bilangan nyata berlaku x2  0.
4. ( x  R) (x + 5 = 4), dibaca = ada x anggota
bilangan nyata, sehingga x + 5 = 4
2. Ingkaran pernyataan berkuantor
Pernyataan
1.Semua
A adalah B
2.Ada A adalah B
1.
2.
3.
Ingkaran
Beberapa A bukan B
Semua A bukan B, atau tiada A
yang merupakan B
“Semua pelajar naik kelas” ingkarannya “Ada
pelajar yang taknaik kelas”.
“Beberapa wanita suka merokok” ingkarannya
“Semua wanita tidak suka merokok”.
“Tiada orang yang sukses” ingkarannya “Ada
orang yang sukses”.
H. PENARIKAN KESIMPULAN
Dalam logika matematika kita kenal beberapa model cara
penarikan kesimpulan, yaitu:
a. Modus Ponens
Mempunyai pola sebagai berikut:
Premis 1
:pq
Premis 2
: p
Kesimpulan : q
Contoh:
Premis 1
: Jika Qurrina belajar maka ia menjadi pandai
Premis 2
: Qurrina belajar
Kesimpulan : Jadi Qurrina menjadi pandai
b. Modus Tolfens
Mempunyai pola sebagai berikut:
Premis 1
:pq
Premis 2
: q
Kesimpulan :q
Contoh:
Premis 1
: Jika Sembara membawa cemeti amal
rasulimaka mak lampir lari ketakutan.
Premis 2
: Mak lampir tidak ketakutan
Kesimpulan : Jadi Sembara tidak membawa cemeti
amal rasuli
c. Silogieme
Mempunyai pola sebagai berikut:
Premis 1
: pq
Premis 2
: qr
Kesimpulan: p  r
Contoh:
Premis 1
: Jika jari hujan maka saya tidak masuk
sekolah
Premis 2
: Jika saya tidak masuk ekolah maka
bapak saya marah-marah
Kesimpulan: Jika hari hujan maka bapak saya
marah-marah