menerapkan logika matematika dalam
advertisement
MENERAPKAN LOGIKA MATEMATIKA DALAM PEMECAHAN DALAM PEMECAHAN MASALAH YANG BERKAITAN DENGAN PERNYATAAN MAJEMUK DAN PERNYATAAN BERKUANTOR. A. Mendiskripsikan Pernyataan (Kalimat Tertutup) dan bukan Pernyataan (Kalimat Terbuka). 1. Pernyataan 1.1. Pengertian Pernyataan . Pernyataan adalah kalimat yang hanya benar saja atau salah saja, akan tetapi tidak sekaligus benar dan salah. Kalimat tanya dan kalimat perintah tidak termasuk pernyataan. Contoh : a. 1 tahun terdiri dari 12 bulan. (merupakan pernyataan yang bernilai benar) b. Berapa usia kamu? (bukan merupakan pernyataan) 1.2. Lambang dan nilai kebenaran suatu pernyataan Dalam matematika, pernyataan-pernyataan dinotasikan dengan huruf kecil, seperti p, q, r, s dan seterusnya. 2. Kalimat Terbuka. Kalimat terbuka adalah kalimat yang masih mengandung variabel, sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah). Kalimat terbuka tersebut dapat diubah menjadi bentuk pernyataan, jika variabelnya diganti dengan suatu konstanta. Contoh : x+5=9 Jika x diganti dengan 4 maka 4 + 5 = 9 (bernilai benar) dan akan bernilai salah untuk x yang lain. Akan tetapi tidak semua kalimat yang mengandung variabel adalah kalimat terbuka. Contoh : x+2=x–2 Karena untuk setiap x, x + 2 = x – 2 bernilai salah, maka x + 2 = x – 2 adalah pernyataan bernilai salah. B. Mendeskripsikan Ingkaran, Konjungsi, Disjungsi, Implikasi. 1. Ingkaran atau Negasi atau penyangkalan Negasi dari pernyataan adalah suatu pernyataan baru yang diperoleh dari pernyataan semula sedemikian sehingga bernilai benar jika pernyataan salah dan bernilai salah jika pernyataan benar. Negasi dari suatu penyataan dinotasikan dengan ~p. Demikian tabel kebenaran untuk pernyataan p dan ~p adalah sebagai berikut : p ~p B S S B Contoh : a. misalkan p : 2 bilangan prima, maka ~p : 2 bukan bilangan prima b. misalkan p : 3 + 4 sama dengan 7, maka ~p : 3 + 4 tidak sama dengan 7 2. Pernyataan Majemuk. Apabila suatu pernyataan terdiri lebih dari satu pernyataan maka diantara satu pernyataan dengan pernyataan lainnya dibutuhkan suatu kata penghubung sehingga diperoleh suatu pernyataan majemuk. Untuk Logika matematika ada 5 macam penghubung pernyataan yaitu ingkaran (negasi) (tidak), konjungsi (dan), disjungsi (atau),implikasi(jika…maka…) dan biimplikasi (jika dan hanya jika). Ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi disebut operasi dalam logika.Simbol-simbol dari operasi dalam logika diberikan dalam tabel berikut. 3. Operasi Logika Penghubung Lambang Ingkaran Tidak, non ~ Konjungsi Dan Disjungsi Atau Implikasi Jika….maka…. Biimplikasi Jika dan hanya jika Operasi Konjungsi Operasi konjungsi merupakan operasi biner (operasi yang dikenakan pada dua pernyataan) yang dilambangkan dengan tanda “ ”. Dengan operasi ini dua pernyataan dihubungkan dengan kata “ dan “. Perhatikan rangkaian listrik berikut ini! Tabel nilai kebenaran dari operasi konjungsi. 4. p q pq B B B B S S S B S S S S Operasi Disjungsi Operasi disjungsi juga merupakan operasi binary yang dilambangkan dengan tanda ” ”. Operasi ini menggabungkan dua pernyataan menjadi satu dengan kata hubungan “atau”. Tabel nilai kebenaran Disjungsi 5. p q p q B B B B S B S B B S S S Negasi dari Konjungsi dan Disjungsi Negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan baru yang nilai kebenarannya selalu berlawanan dengan pernyataan semula. Dengan demikian negasi dari “p q” adalah pernyataan baru yang diperoleh dari “p q” sedemikian sehingga bernilai benar jika “p q” bernilai salah, dan sebaliknya. Perhatika tabel berikut. p q ~p ~q p q ~p ~q p q ~p ~q B B S S B S B S B S S B B S S B S B B S B S S B S S B B S B S B Dengan demikian dapat dirumuskan sebagai berikut : ~( p q) ≡ ~p ~q ~ (p q) ≡ ~p ~q 6. Operasi Implikasi. Operasi implikasi (kondisional) adalah operasi penggabungan dua pernyataan yang menggunakan kata hubung “ jika …. Maka ….” Yang dilambangkan “ “. Implikasi dari pernyataan p dan q ditulis p q dan dibaca “ jika p maka q”. Pernyataan bersyarat p q juga dapat dibaca “ p hanya jika q” atau “ p adalah syarat cukup bagi q atau “ q adalah syarat perlu bagi p”. Dalam pernyataan p q p disebut hipotesa / anteseden / sebab q disebut koklusi / konequen / akibat Jika p dan q dua buah pernyataan maka p q salah jika p benar dan q salah,dalam kemungkinan lainnya p q benar. Tabel nilai kebenaran operasi implikasi p q pq B B B B S S S B B S S B 7. Operasi Biimplikasi ( Bikondisional). Biimplikasi yaitu pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung “……jika dan hanya jika …..” dinotasikan “ ” . Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis p q dibaca p jika dan hanya jika q. Pernyataan p q dapat juga dibaca : 1) p equivalen q 2) p adalah syarat perlu dan cukup bagi q Jika pdan q dua buah pernyatan maka p q benar bila kedua pernyataan tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama, sebaliknya p q salah bila salah satu salah , atau salah satu benar . Tabel nilai kebenaran operasi Biimplikasi. 8. p q p q B B B B S S S B S S S B Menentukan Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk. Dari pernyataan-pernyataan tunggal p, q, r, . . . dan dengan menggunakan operasioperasi pernyataan negasi (~), konjungsi ( ), disjungsi ( ), implikasi ( ) dan biimplikasi ( ) dapat disusun suatu pernyataan majemuk yang lebih rumit. Contoh : 1) ~( p ~q) 2) ~ p p q 3) p q r Nilai kebenaran pernyataan majemuk seperti itu dapat ditentukan dengan menggunakan pertolongan tabel kebenaran dasar untuk negasi, konjungsi, disjungsi , implikasi dan biimplikasi yang telah dibahas di depan.Untuk memahami cara-cara menentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk yang lebih rumit ,perhatikan contoh berikut . Contoh 1: Tentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk ~ ( p ~q ). Jawab : p q ~q ( p ~q ) ~ ( p ~q ) B B S B S B S B B S S B S S B S S B B S Jadi nilai kebenaran pernyataan majemuk ~ ( p ~q ) adalah S S B S 9. Negasi Pernyataan Majemuk Untuk menentukan negasi dari pernyataan majemuk dapat digunakan sifat-sifat negasi pernyataan majemuk pada tabel berikut ini: Operasi Lambang Negasi Konjungsi pq ~ p ~ q Disjungsi pq ~ p ~ q Implikasi pq p ~ q Biimplikasi pq p ~ q atau ~ p q
