(negasi) (tidak), konjungsi (dan), disjungsi

LOGIKA
MATEMATIKA
Dalam Logika Matematika ada dua kalimat penting
yaitu pernyataan dan kalimat terbuka.
Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai
nilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus
benar dan salah. Yang di maksud benar atau salah
adalah sesuai dengan keadaan yang sesunguhnya.
Untuk lebih jelasnya ada contoh kalimat di bawah ini
1. Samarinda adalah ibu kota Provinsi Kalimantan
Timur ( benar )
2. Hasil 2 x 5 = 15 ( salah )
3. Pantai Kuta terletak di Sulawesi Utara ( salah )
4. Anak kecil itu cantik ( ? )
5. Hari ini hujan lebat ( ? )
6. Contoh bilangan genap adalah 4 ( benar )
Pada contoh diatas kalimat 1,2,3,6 merupakan
pernyataan karena kalimat - kalimat tersebut dapat
dinilai benar atau salahnya. Sementara itu kalimat 4
dan 5 belum merupakan pernyataan karena perlu
penyelidikan terlebih dahulu dengan keadaan
sesungguhnya.
Nilai kebenaran digunakan untuk menentukan benar
atau salahnya suatu pernyataan. Suatu pernyataan
bisa dituliskan dengan lambang huruf kecil misalnya
p,q,r,s dan seterusnya. Contoh : Pernyataan “
Samarinda adalah ibu kota Kalimantan Timur”
dituliskan sebagai p:Samarinda ibu kota Kalimantan
Timur. Nilai kebenaran unutk p, dilambangkan
dengan T ( P ) adalah benar, secara singkat T(p)=B
Kalimat terbuka adalah kalimat yang masih memuat
peubah ( variabel ), sehingga belum dapat ditentukan
nilai benar atau salahnya. Variabel adalah lambang
yang di gunakan
untuk mewakili anggota
sembarang dari suatu semesta pembicaraan.
Variabel tidak harus mewakili angka saja tetapi juga
dapat benda atau tempat.
Ingkaran atau negasi yaitu suatu pernyataan baru
yang dikonstruksi dari pernyataan semula sehingga
bernilai benar jika pernyataan semula salah dan
bernilai salah jika pernyataan semula benar (
dilambangkan dengan ~)
Contoh dari ingkaran adalah
p: Semua laki – laki pembohong
~p: Tidak benar bahwa semua laki – laki pembohong
r : Ada negara yang presidennya adalah wanita
~r : Tidak benar bahwa ada negara yang presidennya
adalah wanita
q: Saya seorang siswa
~q: Tidak benar bahwa saya seorang siswa atau saya
bukan
seorang siswa
p: 8+4>12
~p: 8+4≤12
r : 8+9≤17
~r : 8+9>17
Kata kunci
Pernyataan
Ingkaran
=
<
>
≥
≤
≠
≥
≤
<
>
Kalimat majemuk adalah kalimat yang diperoleh dengan
menggabungkan dua pernyataan atau lebih. Dua pernyataan dapat
digabungkan menggunakan kata sambung seperti ini: dan, atau,
jika…..maka…..,…….jika dan hanya jika…..,meskipun,tetapi.
Untuk Logika matematika ada 5 macam penghubung pernyataan yaitu
ingkaran
(negasi)
(tidak),
konjungsi
(dan),
disjungsi
(atau),implikasi(jika…maka…) dan biimplikasi (jika dan hanya jika).
Tabel Kata Hubung Logika
Kata Hubung Logika
Lambang
Istilah
…dan…
Λ
Konjungsi
…atau…
V
Disjungsi
Jika…maka…

Implikasi
…jika dan hanya jika…

biimplikasi
Contoh kalimat majemuk adalah
p :Bulan mengelilingi bumi
q :Es melebur pada suhu 320
p^q:Bulan mengelilingi bumi dan es melebur
pada
suhu 320
pvq : Bulan mengelilingi bumi atau es melebur
pada suhu 320
pq: Jika bulan mengelilingi bumi maka es
melebur pada suhu 320
Pq: Bulan mengelilingi bumi jika dan hanya
jika es melebur pada suhu 320
Konjungsi adalah dua pernyataan p dan q digabungkan untuk
membentuk kalimat majemuk dengan menggunakan kata
hubung dan, serta, lalu, kemudian, walaupun, meskipun,dsb.
Contoh :
p : 12 habis di bagi 6 ( benar )
q : 16 habis dibagi 5 ( salah )
pΛq: 12 habis dibagi 6 dan 16 habis dibagi 5 ( salah )
p: 3+4 =7 ( benar )
q: 7 adalah bilangan prima ( benar )
pΛq: 3+4=7 dan 7 adalah bilangan prima (benar)
p:Matahari mengelilingi bumi ( salah )
q:Bumi adalah meteor ( salah )
pΛq: Matahari mengelilingi bumi dan bumi adalah meteor
( salah )
p:Es membeku pada suhu yang panas ( salah )
q:pancaran kalor adalah radiasi ( benar )
pΛq:Es membeku pada suhu yang panas dan pancaran kalor
adalah radiasi ( salah)
Tabel konjungsi pernyataan :
P
S
PΛS
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
S
Jika p dan q dua pernyataan , maka pq
bernilai benar jika p dan q keduanya
bernilai benar, sebaliknya p dan q
bernilai salah jika salah satu dari p atau
q bernilai salah atau keduanya salah.
Operasi disjungsi juga merupakan operasi binary yang
dilambangkan dengan tanda ”v”. Operasi ini menggabungkan dua
pernyataan menjadi satu dengan kata hubungan “atau”. Jika p dan
q dua pernyataan maka pq bernilai benar jika p dan q keduanya
bernilai benar atau salah salah satu dari p atau q bernilai benar,
sebaliknya p dan q bernilai salah jika keduanya bernilai salah.
Contoh dari disjungsi adalah
1. p : Bogor adalah kota hujan ( benar )
q : Bogor ada di pulau Sulawesi ( salah )
pvq : Bogor adalah kota hujan atau bogor ada di pulau Sulawesi
( benar )
2. p : 2 + 4 x 5 = 30 ( salah )
q : 2 + 4 x 5 = 22 ( benar )
pvq : 2 + 4 x 5 = 30 atau 2 + 4 x 5 = 30 ( benar )
3. p : Indonesia adalah negara berkembang ( benar )
q : Jepang adalah negara maju ( benar )
pvq : Indonesia adalah negara berkemba Jepang adalah negara
maju ( benar )
4. p : Inggris adalah negara asia ( salah )
q : Danau Toba ada di Irian Jaya ( salah )
pvq : Inggris adalah negara asia atau Danau Toba ada di Irian
Jaya ( salah )
Tabel Kebenaran Disjungsi
p
B
B
S
S
q
B
S
B
S
pvq
B
B
B
S
Operasi Biimplikasi ( Bikondisional).
Biimplikasi yaitu pernyataan majemuk yang menggunakan kata
hubung “……jika dan hanya jika …..” dinotasikan “” .
Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis p  q dibaca p jika dan
hanya jika q.Pernyataan p  q dapat juga dibaca :
1. p equivalent q
2. p adalah syarat perlu dan cukup bagi q
Jika p dan q dua buah pernyatan maka p  q benar bila kedua
pernyataan tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama,
sebaliknya p  q salah bila salah satu salah , atau salah satu benar
Contoh dari biimplikasi
1. p : Ayah mendapat gaji ( benar )
q : Ayah bekerja ( benar )
pq : Ayah mendapat gaji jika dan hanya jika ayah bekerja ( benar)
2. p : Ani lulus ujian ( benar )
q : Ani malas belajar ( salah )
pq : Ani lulus ujian jika dan hanya jika Ani malas belajar ( salah )
3. p : Padi tidak tumbuh subur ( salah )
q : Padi diberi pupuk ( benar )
pq : Padi tidak tumbuh subur jika dan hanya jika padi diberi
pupuk ( salah )
4. p : Doni mendapat nilai jelek ( salah )
q : Doni malas belajar ( salah )
pq : Doni mendapat nilai jelek jika dan hanya jika Doni malas
belajar ( benar ).
Tabel Kebenaran Biimplikasi
p
B
B
S
S
q
B
S
B
S
pq
B
S
S
B
Operasi Implikasi.
Operasi implikasi (kondisional) adalah operasi penggabungan dua
pernyataan yang menggunakan kata hubung “ jika …. maka ….” yang
dilambangkan “ “.
Implikasi dari pernyataan p dan q ditulis pq dan dibaca “ jika p maka q”.
Pernyataan bersyarat pq juga dapat dibaca “ p hanya jika q” atau “ p
adalah syarat cukup bagi q atau “ q adalah syarat perlu bagi p”.
Dalam pernyataan pq
p disebut hipotesa / anteseden / sebab
q disebut koklusi / konequen / akibat
Jika p dan q dua buah pernyataan maka pq salah jika p benar dan q
salah,dalam kemungkinan lainnya pq benar.
Contoh dari Implikasi
1. p : 10 adalah bilangan genap ( benar )
q : 10 habis di bagi 2 ( benar )
pq : Jika 10 adalah bilangan genap maka 10 habis di bagi 2 ( benar ).
2. p : Indonesia di lalui garis khatulistiwa ( benar )
q : Di Indonesia ada empat musim ( salah )
pq : Jika Indonesia di lalui garis khatulistiwa maka di Indonesia ada
empat musim ( salah )
3. p : 12 adalah bilangan prima ( salah )
q : 12 habis dibagi 4 ( benar )
pq : Jika 12 adalah bilangan prima maka 12 habis dibagi 4 (
benar )
4. p : Inggris adalah negara berkembang ( salah )
q : Inggris bukan anggota organisasi negara maju ( salah )
pq : Jika Inggris adalah negara berkembang maka Inggris bukan
anggota organisasi negara maju ( benar )
Tabel Kebenaran Implikasi
p
B
B
S
S
q
B
S
B
S
pq
B
S
B
B
Menentukan Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk.
Dari pernyataan-pernyataan tunggal p, q, r, . . . dan dengan
menggunakan operasi-operasi pernyataan negasi (~), konjungsi (Λ),
disjungsi (v), implikasi () dan biimplikasi () dapat disusun suatu
pernyataan majemuk yang lebih rumit.
Contoh : 1) ~( p v ~q)
2) ~(pΛ(pq))
3) ~((pvq)r)
Nilai kebenaran pernyataan majemuk seperti itu dapat ditentukan
dengan menggunakan pertolongan tabel kebenaran dasar untuk
negasi, konjungsi, disjungsi , implikasi dan biimplikasi yang telah
dibahas di depan.Untuk memahami cara-cara menentukan nilai
kebenaran pernyataan majemuk yang lebih rumit ,perhatikan contoh
berikut .
Contoh : Tentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk ~ (pv~q ).
p
q
~q
(p v q)
~(p v ~q)
B
B
S
S
B
S
B
S
S
B
S
B
B
B
S
B
S
S
B
S
Mendeskripsikan Invers, Konvers Dan Kontraposisi
Dari suatu pernyataan bersyarat “ p q ” yang diketahui dapat dibuat
pernyataan lain sebagai berikut :
1. qp disebut pernyataan Konvers dari pq
2.~p~q disebut pernyataan Invers dari pq
3.~q~p disebut pernyataan Kontraposisi dari pq
Untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan
komponen p dan q, hubungan nilai kebenaran konvers, invers, dan
kontraposisi dengan implikasi semula, dapat ditunjukkan dengan
memakai tabel kebenaran .
Tabel hubungan nilai kebenaran q  p,~p  ~q , ~q  ~p dengan p  q
IMPLIKASI
KONVERS
INVERS
KONTRAPOSISI
p
q
~p
~q
pq
qp
~p~q
~q~p
B
B
S
S
B
S
B
S
S
S
B
B
S
B
S
B
B
S
B
B
B
B
S
B
B
B
S
B
B
S
B
B
Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalui bernilai benar
Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah
Kuantor universal , kuantor ini dilambangkan dengan
(x)p(x)
ditandai dengan kata semua, segenap, setiap. Ingkaran kuantor
unversal adalah
((x))~p(x).
Kunator eksitensial (x)p(x) ditandai dengan kata ada, sebagian,
beberapa. Ingkaran kuantor eksistensial adalah
Negasi Pernyataan Majemuk,
untuk menentukan negasi dari
pernyataan majemuk dapat digunakan sifat-sifat negasi pernyataan
majemuk pada tabel berikut ini:
Operasi
Lambang
Negasi
Konjungsi
Disjungsi
Implikasi
Biimplikasi
pΛq
pvq
pq
pq
~pv~q
~pΛ~q
pΛ~q
p~q atau ~pq
Penarikan kesimpulan, diantaranya adalah Modus Ponens, Modus Tollens, dan
Silogisme.
Modus Ponens
Jika p  q benar dan p benar maka q benar. Skema argumen dapat ditulis sebagai
berikut :
p  q. . . . . . premis 1
p
. . . . . . premis 2
 q . . . . . . kesimpulan / konklusi
Dalam bentuk implikasi, argumentasi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut :
(pq)Λp)q. Argumentasi ini dikatakan sah kalau pernyataan implikasi
(pq)Λp)q. merupakan tautologi. Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk
yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataanpernyataan komponennya.
Tabel nilai kebenaran dari (pq)Λp)q
p
q
pq
(pq)Λp
(pq)Λp)p
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
B
B
S
S
S
B
B
B
B
Dari tabel pada kolom (5) tampak bahwa
(pq)Λp)q merupakan tautologi,jadi
argumen tersebut sah.

Modus Tollens
Jika pq benar dan ~q benar maka p benar
Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut:
p  q . . . . . . premis 1
~q
. . . . . . . premis 2
. . . . . . kesimpulan / konklusi
~p
Dalam bentuk implikasi, modus tollens dapat dituliskan sebagai
(pq)Λ~q)~p,sah
atau tidaknya modus tollens dapat diuji dengan tabel kebenaran
(pq)Λ~q)~p sebagai berikut !
p
q
~p
~q
pq
(pq)Λ~q
(pq)Λ~q)~p
B
B
S
S
B
S
B
S
S
S
B
B
S
B
S
B
B
S
B
B
S
S
S
B
B
B
B
B
Dari tabel pada kolom 7 tampak bahwa (pq)Λ~q)~p
merupakan tautologi. Jadi modus tollens merupakan
argumentasi yang sah .
Silogisma
Dari premis-premis pq dan qr dapat ditarik konklusi
pr . Penarikan kesimpulan seperti ini disebut kaidah
silogisma . Skema argumnya dapat dinyatakan sebagai
berikut :
p  q . . . . . . premis 1
~q
. . . . . . . premis 2
pr
...
kesimpulan / konklusi
Dalam bentuk implikasi, silogisme
. dapat dituliskan sebagai  p  q  q  r    p  r 
sah atau tidaknya silogisme dapat diuji dengan tabel kebenaran sebagai berikut :
Dari tabel pada
Tabel nilai kebenaran  p  q  q  r    p  r 
p
q
r
pq
qr
pr
 p  q  q  r 
 p  q  q  r    p  r 
B
B
B
B
S
S
S
S
B
B
S
S
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
S
B
B
S
S
B
B
B
B
B
S
B
B
B
S
B
B
B
S
B
S
B
B
B
B
B
S
S
S
B
S
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
kolom (8) tampak
bahwa
 p  q  q  r    p  r 
merupakan
tautologi. Jadi
silogisme merupakan
argumentasi yang
sah.