LOGIKA - Directory UMM

LOGIKA
Logika adalah suatu metode atau teknik yang digunakan untuk meneliti
ketepatan penalaran. Ketepatan penalaran adalah kemampuan untuk menarik
konklusi (kesimpulan) yang tepat dari bukti-bukti yang ada. Penalaran adalah
suatu bentuk pemikiran. Secara umum logika dibedakan menjadi logika deduktif
dan logika induktif.
Logika deduktif menelaah tentang bentuk atau pola dari prinsip-prinsip
penarikan kesimpulan yang sah. Logika deduktif juga disebut logika formal,
karena yang dibicarakan hanyalah bentuk dari penarikan kesimpulan yang sah
terlepas dari isi yang dibicarakan.
Sedangkan logika induktif membahas tentang prinsip-prinsip penarikan
kesimpulan yang sah yang bersifat umum berdasarkan hal-hal yang bersifat
khusus. Logika induktif juga disebut logika material karena berusaha menemukan
prinsip penalaran yang tergantung kesesuaiannya dengan kenyataan.
I.
Pernyataan
Penyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah tetapi tidak
sekaligus benar dan salah, dan pernyataan itu disebut kalimat tertutup.
contoh :
1. 3 − 7 < 0 (salah)
2. 3 adalah bilangan prima (benar)
3. 10 habis dibagi 3 (salah)
II. Kalimat Terbuka
Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang tidak dapat ditentukan nilai
kebenarannya yang memuat variabel (peubah), dan tergantung pada nilai
pengganti variabelnya.
contoh :
1. 𝑥 − 7 = 3
Jika x = 10 maka 𝑥 − 7 = 3 bernilai benar, sedangkan jika 𝑥 ≠ 10 maka
𝑥 − 7 = 3 bernilai salah.
2. Dia adalah mahasiswa teladan
Kalimat terbuka dia mahasiswa teladan, dia diganti dengan Arnum
menjadi pernyataan Arnum mahasiswa teladan. Jika dia diganti dengan
batu maka menjadi batu mahasiswa teladan, dan itu bukan pernyataan.
Himpunan Penyelesaian Kalimat Terbuka
1. Penyelesaian suatu kalimat terbuka adalah konstanta-konstanta pengganti
variabel yang menyebabkan kalimat terbuka tersebut menjadi pernyataan
yang benar.
2. Himpunan yang memuat semua penyelesaian yang mungkin disebut
himpunan penyelesaian.
III. Lambang-lambang (operator) Proposional
Dalam logika matematika, ada beberapa lambang-lambang (operator)
proposisional yang digunakan didalam pengoperasiannya. Adapun lambanglambang tersebut adalah :
No.
Urut
OPERATOR
Nama
Lambang
Arti dalam Bahasa Sehari-hari
1.
Negasi
∼
tidak, bukan
2.
Konjungsi
⋀
dan, tetapi, meskipun, walaupun
3.
Disjungi
⋁
atau
4.
Implikasi
⇒
jika … maka …
5.
Biimplikasi
⟺
jika dan hanya jika … maka …
IV. Nilai dan Tabel Kebenaran
1. NEGASI
Suatu pernyataan 𝑝 adalah pernyataan ~ 𝑝 yang bernilai benar jika 𝑝
bernilai salah dan bernilai salah jika 𝑝 bernilai benar.
Nilai kebenaran konjungsi disajikan dengan tabel kebenaran dibawah ini.
𝑝
~𝑝
B
S
S
B
contoh :
a.
𝑝 ∶ 3 + 2 = 7 ………………………………….. (S)
~ 𝑝 ∶ 3 + 2 ≠ 7 …………………………………. (B)
b.
𝑝 ∶ Putri memakai baju putih
~ 𝑝 ∶ Putri tidak memakai baju putih
2. KONJUNGSI
Merupakan pernyataan majemuk dengan kata penghubung “dan”. Dua
pernyataan 𝑝 dan 𝑞 yang dinyatakan dalam bentuk 𝑝 ∧ 𝑞 disebut konjungsi
dan dibaca 𝑝 dan 𝑞.
Nilai kebenaran konjungsi disajikan dengan tabel kebenaran dibawah ini.
𝑝
𝑞
𝑝∧𝑞
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
S
contoh :
a. ~𝑝 ∧ 𝑞
b.
𝑝
𝑞
∼𝑝
~𝑝 ∧ 𝑞
B
B
S
S
B
S
S
S
S
B
B
B
S
S
B
S
𝑝 ∶ Dana lahir di Madura
𝑞 ∶ Dana Kuliah di Malang
𝑝 ∧ 𝑞 ∶ Dana lahir di Madura dan Kuliah di Malang.
3. DISJUNGSI
Merupakan pernyataan majemuk dengan kata penghubung “atau”. Dua
pernyataan 𝑝 dan 𝑞 yang dinyatakan dalam bentuk 𝑝 ∨ 𝑞 disebut disjungsi
dan dibaca 𝑝 atau 𝑞.
Nilai kebenaran disjungsi disajikan dengan tabel kebenaran dibawah ini.
𝑝
𝑞
𝑝∨𝑞
B
B
B
B
S
B
S
B
B
S
S
S
contoh :
a. ∼ 𝑝 ∨∼ 𝑞
b.
𝑝
𝑞
∼𝑝
∼𝑞
∼ 𝑝 ∨∼ 𝑞
B
B
S
S
S
B
S
S
B
B
S
B
B
S
B
S
S
B
B
B
𝑝 ∶ Zahro membeli baju
𝑞 ∶ Zahro membeli tas
𝑝 ∨ 𝑞 ∶ Zahro membeli baju atau tas
4. IMPLIKASI
Dua pernyataan 𝑝 dan 𝑞 yang dinyatakan dalam bentuk kalimat “jika 𝑝
maka 𝑞” disebut implikasi / kondisional / pernyataan bersyarat dan
dilambangkan sebagai 𝑝 ⇒ 𝑞.
Nilai kebenaran implikasi disajikan dengan tabel kebenaran dibawah ini.
𝑝
𝑞
𝑝⇒𝑞
B
B
B
B
S
S
S
B
B
S
S
B
contoh :
a. 𝑝 ⇒ (𝑝 ∧ 𝑞)
𝑝
𝑞
𝑝∧𝑞
𝑝 ⇒ (𝑝 ∧ 𝑞)
B
B
B
B
B
S
S
S
S
B
S
B
S
S
S
B
𝑝 ∶ Lisa memilih jurusan IPA
b.
𝑞 ∶ nilai rata-rata dibidang studi MIPA sekurang-kurangnya 8
𝑝 ⇒ 𝑞 ∶ Lisa memilih jurusan IPA maka nilai rata-rata bidang studi
MIPA sekurang-kurangnya 8
5. BIIMPLIKASI
Biimplikasi adalah pernyataan 𝑝 dan 𝑞, yaitu 𝑝 ⇔ 𝑞 bernilai benar jika 𝑝
dan 𝑞 mempunyai nilai kebenaran yang sama.
Nilai kebenaran biimplikasi disajikan dengan tabel kebenaran dibawah ini.
𝑝
𝑞
𝑝⇔𝑞
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
Untuk menentukan kebenaran nilai biimplikasi dapat digunakan table
kebenaran dengan meninjau 𝑝 ⇔ 𝑞 ≡ (𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ (𝑞 ⇒ 𝑝).
𝑝
𝑞
𝑝⟺𝑞
𝑝⇒𝑞
𝑞⇒𝑝
(𝑝 ⇒ 𝑞) ∨ (𝑞
⇒ 𝑝)
B
B
B
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
B
S
B
S
S
S
S
B
B
B
B
contoh :
a. 𝑝 ⇔ (𝑝 ∧ 𝑞)
𝑝
𝑞
𝑝∧𝑞
𝑝 ⇔ (𝑝 ∧ 𝑞)
B
B
B
B
B
S
S
S
S
B
S
S
S
S
S
B
b. 𝑝 ∶ 3 bilangan prima
𝑞 ∶ 3 hanya mempunyai dua faktor pembagi
𝑝 ⟺ 𝑞 ∶ 3 bilangan prima jika dan hanya jika 3 hanya mempunyai dua
faktor pembagi
V. Penarikan Kesimpulan
Penarikan kesimpulan suatu argumen dimulai dari ditentukannya
himpunan pernyataan tunggal yang saling berelasi dan telah diketahui
kebenarannya , kemudian dapat diturunkan suatu pernyataan tunggal atau
pernyataan majemuk.
Himpunan pernyataan tunggal atau pernyataan majemuk yang ditentukan
(diketahui) disebut premis. Pernyataan tunggal atau pernyataan majemuk
yang diturunkan dari premis-premis disebut kesimpulan (konklusi). Kumpulan
satu atau lebih premis yang sudah dibuktikan kebenarannya dan satu konklusi
yang diturunkan dari premis-premisnya disebut argumen.
Suatu argumen dikatakan sah (valid) jika dapat dibuktikan bahwa
argumen itu merupakan suatu tautologi untuk semua nilai kebenaran premispremisnya. Metode yang sederhana untuk membuktikan suatu argument sah
(valid) adalah dengan bantuan tabel kebenaran.
Pola penarikan kesimpulan disajikan dengan bentuk.
Premis (1)
𝑃1
Premis (2)
𝑃2
Premis (3)
𝑃3
…………
…
Premis (n)
𝑃𝑛
∴ Konklusi
∴𝑘
Berberapa pola penarikan kesimpulan yang sah, yaitu :
1. MODUS PONENS
Modus ponens adalah argumentasi yang berbentuk {(𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ 𝑝} → 𝑞
atau dituliskan :
𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠 1 ∶ 𝑝 ⇒ 𝑞
(suatu pernyataan yang benar)
𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠 2 ∶ 𝑝
(suatu pernyataan yang benar)
𝐾𝑜𝑛𝑘𝑙𝑢𝑠𝑖 ∶ 𝑞
(suatu pernyataan yang benar)
Dapat ditunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa modus ponens
merupakan argumentasi yang sah yaitu :
𝑝
𝑞
𝑝→𝑞
(𝑝 → 𝑞) ∧ 𝑝
{(𝑝 → 𝑞) ∧ 𝑝} → 𝑞
B
B
B
B
B
B
S
S
S
B
S
B
B
S
B
S
S
B
S
B
contoh :
Tunjukkan bahwa persamaan kuadrat 𝑥 2 − 14𝑥 + 49 = 0 mempunyai
dua akar real yang sama.
𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠 1 ∶ Jika diskriminan persamaan 𝑥 2 − 14𝑥 + 49 = 0 sama dengan
nol, maka persamaan tersebut mempunyai dua akar real yang sama
(𝑥1 = 𝑥2 )
𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠 2 ∶ 𝐷 = (−14)2 − 4,49 = 0
𝐾𝑜𝑛𝑘𝑙𝑢𝑠𝑖 ∶ Persamaan 𝑥 2 − 14𝑥 + 49 = 0 mempunyai dua akar real
yang sama.
2. MODUS TOLLENS
Modus tollens adalah argumentasi yang berbentuk {(𝑝 ⇒ 𝑞) ∧∼ 𝑞} →∼ 𝑝
atau dituliskan:
𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠 1 ∶ 𝑝 ⇒ 𝑞
(benar)
𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠 2 ∶ ∼ 𝑞
(benar)
𝐾𝑜𝑛𝑘𝑙𝑢𝑠𝑖 ∶ ∼ 𝑝
(benar)
Dapat ditunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa modus tollens
merupakan argumentasi yang sah yaitu :
𝑝
𝑞
~𝑝
~𝑞
𝑝→𝑞
(𝑝 → 𝑞) ∧
[(𝑝 → 𝑞) ∧∼ 𝑞]
∼𝑞
→ ~𝑝
B
B
S
S
B
S
B
B
S
S
B
S
S
B
S
B
B
S
B
S
B
S
S
B
B
B
B
B
contoh :
𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠 1 ∶ Jika △ 𝐴𝐵𝐶 sama sisi, maka∠𝐴 = ∠𝐵 = ∠𝐶
𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠 2 ∶ ∠𝐴 ≠ ∠𝐵 ≠ ∠𝐶
𝐾𝑜𝑛𝑘𝑙𝑢𝑠𝑖 ∶ △ 𝐴𝐵𝐶 bukan segitiga sama sisi
3. SILOGISME
Silogisme adalah argumentasi yang berbentuk {(𝑝 ⇒ 𝑞) ∧ (𝑞 ⇒ 𝑟)} →
(𝑝 ⇒ 𝑟) atau dituliskan :
𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠 1 ∶ 𝑝 ⇒ 𝑞
(benar)
𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠 2 ∶ 𝑞 ⇒ 𝑟
(benar)
𝐾𝑜𝑛𝑘𝑙𝑢𝑠𝑖 ∶ 𝑝 ⇒ 𝑟
(benar)
Dapat ditunjukkan dengan tabel kebenaran bahwa silogisme merupakan
argumentasi yang sah yaitu :
𝑝
𝑞
~𝑝
𝑝∨𝑞
(𝑝 ∨ 𝑞)
[(𝑝 ∨ 𝑞) ∧∼ 𝑝]
∧ ~𝑝
→𝑞
B
B
S
B
S
B
B
S
S
B
S
B
S
B
B
B
B
B
S
S
B
S
S
B
contoh :
𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠 1 ∶ Jika pada △ 𝐴𝐵𝐶 berlaku (𝑎 − 𝑏) cos 𝐶 = 0 maka
𝑎 = 𝑏 ∨ 𝐶 = 900
𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠 2 ∶ Jika 𝑎 = 𝑏 atau 𝐶 = 900 maka △ 𝐴𝐵𝐶 adalah sama kaki atau
siku-siku
𝐾𝑜𝑛𝑘𝑙𝑢𝑠𝑖 ∶ Jika pada △ 𝐴𝐵𝐶 berlaku (𝑎 − 𝑏) cos 𝐶 = 0 maka △ 𝐴𝐵𝐶
sama kaki atau siku-siku
VI. Menyelesaikan Soal-soal yang Berkaitan dengan Aljabar dari
Proposisi, Implikasi, dan Biimplikasi
Dalam Logika, kita dapat menyelesaikan pernyataan dalam bentuk aljabar.
Misal :
Tentukan kebenaran x agar kalimat “(2𝑥 + 1 = 11) ∧ 5 adalah bilangan
prima” bernilai :
a. Benar
b. Salah
Jawab :
𝑝(𝑥) ∶ 2𝑥 + 1 = 11
𝑞 ∶ 5 adalah bilangan prima ............................................(B)
Agar kalimat 𝑝(𝑥) ∧ 𝑞 bernilai benar maka 𝑝(𝑥) harus benar.
𝑝(𝑥) ∶ 2𝑥 + 1 = 11
2𝑥 = 10 → 𝑥 = 5
Untuk 𝑥 = 5 maka 𝑝(𝑥) ∶ 2𝑥 + 1 = 11 bernilai benar, sehingga 𝑝(𝑥) ∧ 𝑞
bernilai benar.
Untuk 𝑥 ≠ 5 maka 𝑝(𝑥) ∧ 𝑞 bernilai salah.
𝑥
𝑝(𝑥)
𝑞
𝑝(𝑥) ∧ 𝑞
𝑥=5
B
B
B
𝑥≠5
S
B
S
SOAL LATIHAN
1.
Selidiki apakah penarikan kesimpulan berikut sah!
Jika ia mahasiswa ITB, maka ia pandai.
Ia mahasiswa ITB.
∴ Ia pandai
2.
Buatlah tabel kebenaran (𝑝 ∧ 𝑞) ∧ (∼ 𝑝 ∧∼ 𝑞)!
3.
Tentukan nilai x agar kalimat 𝑥 2 − 4 = 0 ∨ 1 − (1) = 0 bernilai salah!
4.
Buatlah tabel kebenaran (𝑝 ∧∼ 𝑞) ⇒ 𝑝!
5.
Tentukan x agar ”2𝑥 + 3 = 13 ⇔ 5 adalah bilangan prima” bernilai benar!
DAFTAR PUSTAKA
1.
Noormandiri, B.K. dan Sucipto Endar. 2004. Matematika SMA untuk Kelas X.
Erlangga. Jakarta.
2.
Budiono, Drs. 1997. Matematika untuk SMU Kelas 1. Dian Ilmu. Jakarta.
3.
Mahfud. 2002. Logika Dasar. Universitas Muhammadiyah Malang. Malang.
MAKALAH
LOGIKA
Di susun oleh :
Kelompok 9
1. Sustrika Perdanawati
(09320018)
2. Arnum Saputri
(09320021)
3. Zahrotun Thoyyibah
(09320024)
Jurusan Matematika dan Komputasi
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Universitas Muhammadiyah Malang
2010