3. segitiga segiempat

SEGITIGA DAN SEGIEMPAT
A. Pengertian Segitiga
Segitiga adalah poligon yang memiliki tiga sisi dan tiga sudut.
B. Jenis-jenis Segitiga
a. Jenis Segitiga Ditinjau dari Panjang Sisi-sisinya
i. Segitiga samakaki
Segitiga samakaki adalah segitiga yang memiliki dua sisi sama
panjang
ii. Segitiga samasisi
Segitiga samasisi adalah segitiha yang ketiga sisinya sama
panjang
iii. Segitiga sembarang
Segitiga sembarang adalah segitiga yang ketiga sisinya tidak
sama panjang
b. Jenis Segitiga Ditinjau dari Sudut-sudutnya
i. Segitiga Lancip
Segitiga lancip adalah segitiga yang ketiga sudutnya lancip
(berukuran kurang dari 90o)
ii. Segitga Tumpul
Segitiga tumpul adalah segitiga yang salah satu sudutnya tumpul
(berukuran lebih dari 90o)
iii. Segitiga Siku-siku
Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya
berukuran 90o.
C. Sifat-sifat Segitiga
a. Suatu segitiga dapat dilukis, jika jumlah panjang setiap dua sisinya
lebih dari panjang sisi lainnya.
C
z
y
x
A
a+b>c
a+c>b
b+c>a
a
b
c
B
b. Sudut terkecil
Sisi di depan sudut terkecil dari suatu segitiga merupakan sisi
terpendek pada segitiga tersebut. Pada segitiga di atas, sudut y
adalah sudut terkecil, maka sisi AC = b adalah sisi terpendek pada
segitiga ABC.
c. Sudut terbesar
Sisi di depan sudut terbesar dari suatu segitiga merupakan sisi
terpanjang pada segitiga tersebut. Pada segitiga di atas, sudut z
adalah sudut terbesar, maka sisi AB = c adalah sisi terpanjang pada
segitiga ABC.
d. Sifat-sifat segitga samakaki
C
A
D
Sisi yang sama panjang yaitu AC dan BC
disebut kaki ABC dan sisi yang lain
yaitu AB disebut alas ABC
B
i. Mempunyai dua sisi yang sama panjang AC = BC
ii. Mempunyai dua sudut yang sama besar A = B
iii. Mempunyai sebuah simetri lipat dengan sumbu simetri garis CD,
yang tegak lurus garis AB
iv. Tidak mempunyai simetri putar
v. Mempunyai dua cara untuk dipasangkan menempati bingkainya
e. Sifat-sifat segitiga samasisi
C
R
i.
Mempunyai tiga sisi yang sama panjang
AB = BC = CA
ii. Mempunyai tiga sudut sama besar
A = B = C = 60o
iii. Mempunyai 3 simetri putar dan 3 simetri
Q
A
B
P
lipat dengan sumbu simetri adalah garis AQ, BR dan CP
iv. Mempunyai 6 cara untuk dipasangkan menempati bingkainya
Sifat-sifat segitiga siku-siku
f.
C
A
i.
Mempunyai dua sisi yang saling tegak
lurus yaitu AB dan AC
ii. Mempunyai sebuah sudut siku-siku yaitu
A = 90o
iii. Tidak mempunyai simetri lipat
iv. Tidak mempunyai simetri putar
L
B
D. Hubungan Sudut Dalam dan Sudut Luar Segitiga
2
i.
1
A
1
2
i.
ii.
iii.
iv.
v.
Sudut A1, B1, dan C1 adalah sudut dalam
segitiga
ii. Sudut A2, B2, dan C2 adalah sudut luar
segitiga
C
1
2
B
Sudut luar suatu segitiga adalah sudut pelurus dari sudut dalam segitiga
tersebut
A2 adalah sudut pelurus dari A1, maka A2 + A1 = 180o
 B2 adalah sudut pelurus dari B1, maka B2 + B1 = 180o
 C2 adalah sudut pelurus dari C1, maka C2 + C1 = 180o
Besarnya sudut luar dari salah satu sudut dalam suatu segitiga, sama
dengan jumlah dua sudut dalam lainnya
A2 = B1 + C1
B2 = A1 + C1
C2 = A1 + B1
E. Keliling dan Luas Segitiga
t
t
t
L
L
A
C
C
C
L
a
B
A
a
B
Keliling adalah jumlah panjang ketiga sisinya.
Keliling ABC = AB + BC + CA
D
A
a
B
Luas segitiga adalah setengah dari hasil kali alas dengan tingginya.
Luas ABC = ½ x alas x tinggi = ½ x a x t
F. Dalil dan Luas Segitiga
C
Gambar di samping adalah segitiga siku-siku ABC.
Sisi AB dan AC adalah sisi siku-siku, sedangkan sisi
BC disebut hipotenusa atau sisi miring
a
b
Dalil Pythagoras:
Pada segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama
A
B
c
dengan jumlah kuadrat sisi siku-sikunya
Dalil Pythagoras untuk segitiga ABC di atas dirumuskan menjadi:
L
(BC)2 = (AC)2 + (AB)2 ↔ BC =
(AC) 2 + (AB) 2
Turunan rumustersebut digunakan untuk menghitung panjang sisi  sikusiku ABC jika panjang hipotenusa dan sisi yang lain diketahui.
Tripel Pythagoras
Tripel Pythagoras adalah 3 buah bilangan asli yang memenuhi sisi-sisi
segitiga siku-siku. Misalnya segitiga siku-siku ABC seperti gambar di atas,
maka a2 = b2 + c2 dan tripel Pythagorasnya adalah:
c
3
5
7
8
11
20
b
4
12
24
15
60
21
a
5
13
25
17
61
29
Tripel ini berlaku untuk kelipatannya.
G. Garis-garis pada Segitiga
a. Garis Tinggi
Garis tinggi sebuah segitiga adalah garis yang ditarik dari salah satu
sudut segitiga dan tegak lurus sisi di depannya.
C
Garis CD adalah garis tinggi ABC
L
D
A
B
b. Garis Bagi
Garis berat sebuah segitiga adalah garis yang ditarik dari salah satu
sudut segitiga dan membagi sudut itu menjadi dua bagian yang sama
besar.
C
••
Q
o
A
P
O
*
*
o
R
B
Garis AP, BQ, CR adalah garis bagi
ABC. Ketiga garis bagi tersebut
berpotongan pada titik O, yang
disebut dengan titik pusat lingkaran
dalam segitiga.
c. Garis Berat
Garis berat sebuah segitiga adalah garis yang ditarik dari salah satu
sudut segitiga ke tengah sisi di depannya.
C
Garis CD adalah garis berat ABC,
sehingga AD = BD
//
A
D
//
B
d. Garis Sumbu
Garis sumbu sebuah segitiga adalah garis yang ditarik dari titik tengah
sisi segitiga dan tegak lurus sisi tersebut.
C
_
V
E
F
_
A
O
//
V
L
D
B
//
Garis OD, OE, dan OF adalah garis
sumbu ABC, masing-masing tegak
lurus garis AB, BC, dan CA, sehingga
AD = BD, BE = CE, dan CF = AF
Ketiga garis sumbu tersebut berpotongan di titik O, yang disebut
dengan titik pusat lingkaran luar segitiga.
H. Persegi Panjang
Persegi panjang adalah segiempat dengan sisi-sisi yang berhadapan sama
panjang dan sejajar, serta sudut-sudutnya 90o.
D
//
_
C
_
O
A
//
B
a. Sifat-sifat Persegi Panjang
Dengan memperhatikan gambar di atas, maka sifat-sifat persegi
panjang adalah sebagai berikut:
i. Mempunyai 4 sisi yang saling berhadapan sama panjang dan
sejajar
AB = DC dan AB // DC
AD = BC dan AD // BC
ii. Mempunyai 4 sudut siku-siku yaitu A = B = C = D = 90o
iii. Mempunyai 2 diagonal yang sama panjang dan saling membagi
dua sama panjang
AC = BD dan AO = OC = OB = OD
iv. Mempunyai 2 simetri putar dan 2 simetri lipat
v. Mempunyai 4 cara untuk dipasangkan menempati bingkainya
b. Keliling dan Luas Persegi Panjang
Keliling suatu bangun adalah jumlah sisi-sisi yang membatasi bangun
tersebut.
Pada gambar di atas, keliling persegi panjang = AB + BC + CD + DA
dengan AB = CD = panjang = p
BC = DA = lebar = ℓ
Jadi, keliling persegi panjang = 2 (p + ℓ)
Luas daerah persegi panjang adalah hasil kali ukuran panjang dan
lebarnya
I.
Jadi, luas persegi panjang = p x ℓ
Persegi
Persegi adalah persegi panjang yang semua sisinya sama panjang.
D
C
I
_
_
O
I
A
B
a. Sifat-sifat Persegi
Dengan memperhatikan gambar di atas, maka sifat-sifat persegi
adalah sebagai berikut:
i. Mempunyai 4 sisi yang sama panjang dan sisi yang berhadapan
sejajar
AB = BC = CD = DA dan AB // DC, AD // BC
ii. Mempunyai 4 sudut siku-siku yaitu A = B = C = D = 90o
iii. Mempunyai 2 diagonal yang saling berpotongan tegak lurus di titik
O, yaitu AC dan BD
iv. Kedua diagonal sama panjang dan saling membagi dua sama
panjang
AC = BD dan AO = OC = OB = OD
v. Mempunyai 4 simetri putar dan 4 simetri lipat
vi. Mempunyai 8 cara untuk dipasangkan menempati bingkainya
b. Keliling dan Luas Persegi
Pada gambar di atas, keliling persegi = AB + BC + CD + DA dengan
AB = CD = BC = DA = sisi = s
Jadi, keliling persegi = 4s
Luas daerah persegi adalah hasil kuadrat dari panjang sisinya
Jadi, luas persegi = s2
J. Jajargenjang
Jajargenjang adalah segiempat dengan sisi-sisi yang berhadapan sama
panjang dan sejajar. Besar semua sudut tidak sama dengan 90o.
D
_
A
//
O
//
C
_
B
a. Sifat-sifat Jajargenjang
Dengan memperhatikan gambar di atas, maka sifat-sifat jajargenjang
adalah sebagai berikut:
i. Mempunyai 4 sisi yang saling berhadapan sama panjang dan
sejajar
AB = DC dan AB // DC
AD = BC dan AD // BC
ii. Mempunyai 4 sudut, dengan sudut-sudut yang berhadapan sama
besar, A = C dan B = D
iii. Jumlah dua sudut yang saling berdekatan 180o
A + B = 180, A + D = 180, C + B = 180, C + D = 180
iv. Mempunyai 2 diagonal yang tidak sama panjang, berpotongan di
titik O dan saling membagi dua sama panjang
AC > BD, dengan AO = OC dan OB = OD
v. Mempunyai 2 simetri putar dan tidak mempunyai simetri lipat
vi. Mempunyai 2 cara untuk dipasangkan menempati bingkainya
b. Keliling dan Luas Jajargenjang
Pada gambar di atas, keliling jajargenjang = AB + BC + CD + DA
dengan AB = CD = panjang = p
BC = DA = lebar = ℓ
Jadi, keliling jajargenjang = 2 (p + ℓ)
Jajargenjang terdiri atas 2 buah segitiga yang kongruen, yaitu ABD
dan CDB. Luas daerah jajargenjang ABCD = 2 x luas ABD
Luas ABD = ½ x alas x tinggi = ½ x AB x DD’
Karena AB = panjang jajargenjang, maka
Luas ABD = ½ x panjang x tinggi
Jadi, luas jajargenjang ABCD = 2 x luas ABD
= 2 x (½ x panjang x tinggi)
= panjang x tinggi
K. Belahketupat
Belahketupat adalah jajargenjang yang semua sisinya sama panjang.
C
/
\
L
D
B
O
\
/
A
a. Sifat-sifat Belahketupat
Dengan memperhatikan gambar di atas, maka sifat-sifat belahketupat
adalah sebagai berikut:
i. Mempunyai 4 sisi yang sama panjang dan sisi yang berhadapan
sejajar
AB = BC = CD = DA dan AB // DC, AD // BC
ii. Mempunyai 4 sudut, dengan sudut-sudut yang berhadapan sama
besar, A = C dan B = D
iii. Jumlah dua sudut yang saling berdekatan 180
A + B = 180, A + D = 180, C + B = 180, C + D = 180
iv. Mempunyai 2 diagonal yang tidak sama panjang, berpotongan
tegak lurus di titik O dan saling membagi dua sama panjang
AC > BD, dengan AO = OC dan OB = OD
v. Mempunyai 2 simetri putar dan 2 simetri lipat
vi. Mempunyai 4 cara untuk dipasangkan menempati bingkainya
b. Keliling dan Luas Belahketupat
Pada gambar di atas, keliling belahketupat = AB + BC + CD + DA
dengan AB = BC = CD = DA = sisi = s
Jadi, keliling belahketupat = 4s
Belah ketupat juga merupakan jajargenjang, maka rumus luas
belahketupat sama dengan jajargenjang yaitu panjang x tinggi.
Karena pada belahketupat diagonal-diagonalnya saling tegak lurus
dan saling membagi dua sama panjang, maka luas belahketupat
adalah setengah dari hasil kali panjang kedua diagonalnya.
Jadi, luas belahketupat = ½ x diagonal 1 x diagonal 2
= ½ x AC x BD
L. Trapesium
Trapesium adalah segiempat dengan sepasang sisi yang berhadapan sejajar.
D _
|
>
H
C
>
=
L
A
>
B
E
G
L
=
>
>
K
t
F
I
L
>
J
a. Macam-macam Trapesium
i. Trapesium siku-siku adalah trapesium yang salah satu sudut
alasnya siku-siku
ii. Trapesium samakaki adalah trapesium yang sisi tidak sejajarnya
sama panjang
iii. Trapesium sembarang adalah trapesium yang sisi tidak sejajarnya
tidak sama panjang dan tidak ada sudut 90o
b. Sifat-sifat Trapesium
i. Pada setiap trapesium, jumlah tiap pasang sudut dalam sepihak
pada sisi yang sejajar adalah 180o
A + D = 180, B + C = 180o,
E + H = 180, F + G = 180o
L + I = 180, K + J = 180
ii. Pada trapesium samakaki, terdapat 2 garis yang sama panjang
dan 2 pasang sudut yang sama besarnya
EG = HF dan E = F, H + G
iii. Pada trapesium siku-siku, terdapat 2 sudut siku-siku
A = D = 90
c. Keliling dan Luas Trapesium
Keliling trapesium adalah jumlah panjang keempat sisinya.
Keliling trapesium = AB + BC + CD + DA
Luas trapesium adalah setengah dari hasil kali jumlah sisi-sisi yang
sejajar dengan tingginya. Tinggi adalah jarak antara dua garis sejajar.
Jadi, luas trapesium = ½ x (AB + CD) x t