Teo_pythagoras - matematicexpress

A. Menemukan
Dalil Pythagoras
1. Menemukan Dalil Pythagoras.
“ Pada setiap segitiga siku-siku , luas
daerah persegi pada sisi miring
(hipotenusa) sama dengan jumlah luas
daerah persegi pada sisi-sisi
siku-sikunya “
Teorema Pythagoras
Dalam segitiga siku-siku kuadrat panjang
sisi miring sama dengan jumlah kuadrat
panjang kedua sisi siku-sikunya.
B
c
a
C
b
c2 = a2 + b2
A
2. Menyatakan Dalil Pythagoras dalam
bentuk Rumus
c2 = a2 + b2
b2 = c2 - a2
a2 = c2 - b2
B
c
a
C
b
A
B. Menggunakan Dalil
Pythagoras
1. Menghitung Panjang sisi segitiga siku-siku
jika sisi lain diketahui
Contoh :
Diketahui segitiga ABC siku-siku di A ,
dengan panjang AC = 6 cm dan panjang
AB = 8 cm . Tentukan panjang BC !
Jawab :
BC2 = AC2 + AB2
C
BC2 = 62 + 82
6
BC2 = 36 + 64
BC2 = 100
BC =  100
A
BC = 10
Jadi panjang BC = 10 cm
8
B
2. Menentukan jenis segitiga jika
diketahui panjang sisinya
Untuk menentukan jenis segitiga ABC jika
diketahui panjang sisi-sisinya a , b , dan c
(a merupakan sisi terpanjang) dapat
menggunakan Dalil Pythagoras dengan
ketentuan sebagai berikut :
#. Jika dalam segitiga ABC berlaku
a2 = b2 + c2 , maka segitiga ABC
tersebut merupakan segitiga siku-siku.
Dalam hal ini dikenal dengan istilah
Tripel Pythagoras.
Tripel Pythagoras adalah kumpulan 3
buah bilangan bulat positif yang
memenuhi syarat “ kuadrat salah satu
bilangan sama dengan jumlah kuadrat dua
bilangan yang lain “ .
Jika sisi-sisi segitiga adalah tripel
pythagoras , maka segitiga tersebut adalah
segitiga siku-siku.
#. Jika dalam segitiga ABC berlaku
a2 < b2 + c2 , maka segitiga ABC
merupakan segitiga lancip.
#. Jika dalam segitiga ABC berlaku
a2 > b2 + c2 , maka segitiga ABC
merupakan segitiga tumpul.
Contoh :
a.Segitiga dengan sisi 3,4,dan 5 satuan
adalah siku-siku , sebab 52 = 32 + 42
b.Segitiga dengan sisi 9,7,dan 8 satuan
adalah lancip , sebab 92 < 72 + 82
c.Segitiga dengan sisi 8,5,dan 6 satuan
adalah timpul , sebab 82 > 52 + 62
Soal latihan
R
1. Pada gambar di samping,
hitunglah panjang sisi PR !
13
P
5
Q
Jawab :
R
PR2 = QR2 – PQ2
PR2 = 132 – 52
PR2 = 169 – 25
PR2 = 144
PR =  144
PR = 12
13
P
5
Q
2. Tentukan nilai x pada
segitiga siku-siku, gambar
disamping !
Bukti Teorema 2.1:
A
Teorema 2.2 (Teorema Apollonius)
Jika sisi-sisi dalam segitiga ABC
adalah a, b dan c, panjang garis
berat yang melalui titik-titik sudut A,
B dan C berturut-turut adalah ma,
mb dan mc maka
ma2 = (b2 + c2)/2 – a2/4.
Bukti Teorema 2.2
A
b
c
ma
a/2
B
a/2
D
C
Berdasarkan Teorema 1.6,
dalam ABC berlaku
ma2.a=b2.a/2 +c2.a/2
+a/2.a/2.a
atau
ma2 = (b2 + c2)/2 – a2/4
Teorema 2.3
Jika panjang masing-masing sisi dari
ABC adalah a, b dan c, dan garis bagi
dalam sudut C memotong sisi c atas
bagian-bagian yang panjangnya c1 dan
c2, serta panjang garis bagi dalam
tersebut dinyatakan dengan dc, maka
dc2= ab – c1c2.
Bukti Teorema 2.3
C
a
b
dc
c1
A
c2
D
B
Dengan sifat perbandingan dlm segitiga ABC, maka
c1 : c2 = b : a.
Akibatnya
(c1 + c2) : (b + a) = c1 : b
atau
c1 = bc/(a+b)
Dengan cara serupa diperoleh
c2 = ac/(a+b)
Untuk menentukan dc, dipakai Teorema 1.6
CD2.AB = BC2.AD + AC2.BD – AD.BD.AB
atau
dc2 .c = a2.c1 + b2.c2 – c1.c2.c
Substitusi c1 dan c2 ke kesamaan terakhir diperoleh
dc2 = ab – c1c2.

Pembelajaran Kooperatif Tipe STAD




Dibentuk Kelompok, masing-masing kelompok terdiri
dari 5 peserta diklat dengan anggota yang heterogen
Masing-masing kelompok memilih pemimpin secara
demokratis untuk memimpin diskusi bagi para
anggota kelompok.
Tiap anggota tim menggunakan Lembar kerja
akademik dan saling membantu untuk menguasi
bahan ajar dengan tanya jawab atau diskusi antar
sesama anggota tim.
Masing-masing kelompok menunjuk wakilnya untuk
mempresentasikan hasil kerja kelompok.
Permasalahan 1
Tunjukkan bahwa:
a. Dua segitiga yang tingginya sama,
perbandingan luas daerahnya sama dengan
perbandingan panjang sisi alasnya.
b. Segitiga-segitiga yang alasnya sama dan
titik-titik puncaknya terletak pada sebuah
garis yang sejajar sisi alas, luas daerahnya
sama.
Permasalahan 2
Tunjukkan bahwa:
a.
Dua segitiga yang salah satu sudutnya kongruen
perbandingan luas daerahnya sama dengan
perbandingan hasil kali panjang kedua sisi yang
mengapit sudut yang kongruen.
b.
Dua segitiga yang sebangun perbandingan luas
daerahnya sama dengan perbandingan kuadrat
panjang sisinya yang seletak.
Permasalahan 3
Tunjukkan bahwa:
a. Luas daerah segiempat sama dengan hasil
kali panjang kedua diagonalnya dan sinus
sudut yang terbentuk oleh kedua diagonal.
b. Dalam suatu segiempat garis singgung,
jumlah panjang pasangan sisi yang
berhadapan sama.
Permasalahan 4
Buktikan bahwa jika dalam ABC yang
panjang ketiga sisinya masing-masing a, b
dan c; garis bagi luar sudut C memotong
perpanjangan sisi AB di titik D, dengan DA
= c1 dan DB = c2, serta panjang garis bagi
luar itu dinyatakan dengan dc, maka
d  c1c2  ab
2
c
Permasalahan 5
Definisi
Sebarang garis lurus yang memotong sisi-sisi atau
perpanjangan sisi segitiga disebut transversal sisi.
Teorema Menelaos
Jika dalam ABC sebuah transversal sisi g memotong
sisi AB, BC dan AC atau perpanjangannya
berturut-turut di titik P, Q dan R, maka
PA QB RC
x
x
1
PB QC RA
Buktikan Teorema Menelaos !
Permasalahan 6
Definisi
Sebarang garis lurus yang melalui sudut suatu
segitiga disebut transversal sudut
Teorema De Ceva
Jika tiga buah transversal sudut pada suatu ABC melalui
sebuah titik sudut, dan transversal sudut dari titik-titik
sudut C, A dan B berturut-turut memotong sisi-sisi AB, BC,
dan CA atau perpanjangannya di titik P, Q dan R maka
PA QB RC
 1
x
x
PB QC RA
Buktikan Teorema De Ceva !
Petunjuk Permasalahan 4
Perhatikan gambar disamping
C1   C2
DA = c1 dan DB = c2
 Kemudian gunakan Teorema
Perbandingan pada ABC,
AC : BC = c1 : c2
C
2
1
dc
D
a
b
A
B
c

Untuk mendapatkan nilai c1
dan c2.
Selanjutnya gunakan
Teorema Stewart pada
DBC
Petunjuk Permasalahan 5
R
C
C1
Q

B1
A
P
A1
g
Perhatikan gambar disamping
 Ruas garis – ruas garis AA1,
BB1 dan CC1 masing-masing
tegak lurus pada garis
tranversal g.
B
Gunakan kenyataan bahwa
APA1  BPB1,
BQB1  CQC1
CRC1  ARA1
Petunjuk Permasalahan 6
Perhatikan gambar disamping
 Dalam
pembuktian
ini
digunakan notasi: AB = -BA.
C
R
Q

A
P
B
Gunakan Teo. Menelaos
pada
PBC
dengan
transversal sisi AQ, dan pada
APC dengan transversal sisi
BR.
Penyelesaian Permasalahan 1a
Perhatikan gambar
disamping
C
R
t
A
c
t
B
P
r
Q
Luas ABC : Luas PQR
= ½ c.t : ½ r.t
=c:r
Penyelesaian Permasalahan 1b
Perhatikan gambar disamping
D
C
E
t
A
B
F
Luas
Luas
Luas
Luas
ABC = ½ AB . t
ABD = ½ AB . t
ABE = ½ AB . t
ABF = ½ AB . t
Penyelesaian Permasalahan 2a
C
A
R
x
x
B
P
Q
Perhatikan gambar disamping
Pada ABC dan PQR diketahui:
 CAB = RPQ = x.
Akibatnya
Luas ABC : Luas PQR
= ½ AB.AC sin x : ½ PQ.PR sin x
= AB . AC : PQ : PR
Penyelesaian Permasalahan 2b
R
C
A
B
P
Q
Perhatikan gambar disamping
ABC  PQR
Luas ABC : Luas PQR
= bc : qr
= ac : pr
= ab : pq
Akibatnya
acpq = abpr atau cq = br atau
c:r=b:q
Selanjutnya
bc : qr = c2 : r2 = b2 : q2 = a2 : p2
Penyelesaian Permasalahan 3a
Perhatikan gambar disamping
L ABCD = L ABD + L BDC
= ½ BD.CP.sinx + ½ BD.AP.sinx
= ½ BD (CP + AP) sin x
= ½ BD.AC.sin x
C
D
x
P
A
B
Penyelesaian Permasalahan 3b
D
R
C
S
A
Perhatikan gambar disamping
ABCD segiempat garis singgung
AB + CD = AP + PB + CR + RD
= AS + BQ + QC + SD
= AS + SD + BQ + QC
= AD + BC
Q
P
B
Sekian
Terima Kasih Atas Perhatiannya