Pengertian-Jenis dan Grafik Fungsi

FUNGSI
A. Pengertian
Kita sudah pelajari tentang perkalian cartesius dua buah himpunan A dan B (ditulis A x B)
yang merupakan himpunan yang elemennya terdiri dari pasangan berurutan (a,b)
dengan a ∈A dan b ∈ B atau
A x B = {(a,b) | a ∈A dan b ∈ B }
Contoh :
Jika himpunan A = {1, 2, 3} dan B = {a, b, c, d} maka
A x B = {(1,a), (1,b), (1,c), (1,d), (2,a), (2,b), (2,c), (2,d), (3,a), (3,b), (3,c), (3,d)}
A : Himpunan asal (domain)
B : Himpunan tujuan (kodomain)
Relasi dua himpunan A dan B merupakan himpunan bagian dari AxB dan dinotasikan
dengan R. Lebih jelasnya, Relasi himpunan A dan B merupakan hubungan antara 2
himpunan tersebut dengan cara memasangkan setiap anggota himpunan asal A dengan
anggota himpunan tujuan B. Jika x∈A dan y∈B dan x berelasi dengan y ditulis xRy.
Himpunan bagian dari B yang mengakibatkan xRy disebut dengan Range/Rentang.
Contoh :
1. Diketahui A = {1, 2, 3} dan B = {2, 4, 5, 6, 10}
Suatu relasi (x,y)∈R : y adalah dua kali x.
Dengan diagram panah
1
2
3
2
4
5
6
10
Domain
= {1, 2, 3}
Kodomain
= {2, 4, 5, 6, 10}
Range
= {2, 4, 6}
Anggota Relasi
= (1,2), (2,4), (3,6)
2. Suatu relasi (x,y)∈R memenuhi 2x ≤ y, dimana x∈A dan y∈B dengan A={1, 2} dan
B={2, 3, 4} maka
(1, 2) ∈ R
(1, 3) ∈ R
(1, 4) ∈ R
1
(2, 2) ∉ R
2
(2, 3) ∉ R
(2, 4) ∈ R
2
3
4
B. Fungsi
Fungsi f dari himpunan A ke himpinan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap
unsur/elemen pada A ke tepat satu unsur/elemen pada B.
f:A→B
dibaca ”f memetakan himpunan A ke himpunan B”
Suatu kaidah atau aturan yang memasangkan unsur pada A dan B ditulis dengan
y → f(x) atau y = f(x)
Daerah definisi (Wilayah) f adalah himpunan A dengan notasi Df atau D(f).
Daerah nilai f adalah himpunan peta dari semua unsur A dengan notasi Rf atau R(f)
Suatu fungsi dapat ditunjukkan dengan cara :
1.
2.
3.
4.
Diagram panah
Himpunan pasangan berurutan {(x,y) | y = f(x), x∈A, y∈B}
Tabel
Grafik Cartesius
Contoh :
A = {1, 2, 3, 4} dan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Untuk fungsi f : 2x – 1 dapat dinyatakan dengan
a. Diagram panah
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
b. Himpunan pasangan berurutan {(1,1), (2,3), (3,5), (4,7)}
c. Tabel
x
1
2
3
4
y = f(x) = 2x – 1
1
3
5
7
d. Grafik Cartesius
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5
Fungsi dapat dituliskan dalam berbagai cara. Misal fungsi f yang kaidahnya ditentukan
oleh persamaan y = x2 – 4 dimana x,y∈Real, dapat dituliskan dengan salah satu cara
berikut :
1.
2.
3.
4.
5.
y = x2 – 4
f(x) = x2 – 4
f : x → y ialah fungsi yang harganya diberikan oleh f(x) = x2 – 4
f : (x,y) ialah fungsi pasangan urutnya (x, x2 – 4)
{(x,y) | y = x2 – 4}
Latihan
1. Manakah yang merupakan fungsi
a. {(1,2), (2,3), (2,4), (3,5)}
b. {(–1,2), (1,5)}
c. {(–2,2), (–3,3), (2,2), (3,3)}
2. Misal f suatu fungsi dengan Df = {–1, 2, 3} dan f(x) = 2x + 3. Tentukan Rf.
3. Gambarkan grafik fungsi dari f(x) = 2x – 2
4. Tentukan daerah definisi dari fungsi berikut
a. f(x) = 3x + 5
b. g(x) =
x −2
c. h(x) = 2Log x
5. Diketahui fungsi f(x) = x2 – 2x + 3. Tentukan f(–2), f(0), f(3), f(4) dan f(8)
C. Jenis-jenis Fungsi
1. Berdasar bentuk operator dalam persamaan
a. Fungsi Aljabar
• Fungsi Rasional Bulat (Fungsi Polinom)
Bentuk umum : f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... anxn
Contoh :
Fungsi Linier
f(x) = ax + b
Fungsi kuadrat
f(x) = ax2 + bx + c
Fungsi pangkat tiga f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
• Fungsi Rasional Pecahan
f ( x) =
•
(polinom berderajat 1)
(polinom berderajat 2)
(polinom berderajat 3)
ax 2 + bx + c
px 2 + qx + r
Fungsi Irrasional
Contoh :
f(x) =
2x + 3 atau ditulis f(x) = (2x +3)
1/2
b. Fungsi Transenden
• Fungsi Trigonometri
• Fungsi Logaritma
• Fungsi Eksponen
contoh :
contoh :
contoh :
f(x) = 3 Sin 2x
f(x) = 2log 5x
f(x) = 5x
2. Berdasar Letak variabelnya
a. Fungsi Eksplisit : Fungsi yang variabelnya dipisahkan dengan tanda ”=”
Contoh : y = 3x2 – 10
b. Fungsi Implisit : Fungsi yang variabel-variabelnya berada dalam ruas yang sama.
Contoh : y – 3x2 = 10
3. Fungsi Komposisi (Fungsi Majemuk) : Fungsi yang didapatkan dengan substitusi suatu
fungsi lain dalam fungsi tersebut. Jika y = f(x) sedangkan x merupakan suatu fungsi
g(z), maka fungsi komposisi y = f(g(z))
Contoh :
Jika f(x) = 2x2 + x – 3 dan g(x) = x + 1 maka fungsi komposisi
f(g(x)) = 2(g(x))2 + (g(x)) – 3
= 2(x+1)2 + (x+1) – 3
= 2(x2 + 2x + 1) + (x+1) – 3
= 2x2 + 4x + 2 + x + 1 – 3
= 2x2 + 5x
4. Fungsi Invers
Jika fungsi asal adalah y = f(x) maka fungsi inversnya adalah x = f –1(y)
Contoh :
Jika fungsi asal diketahui sebagai f(x) = y = 3x + 2 maka
y = 3x + 2
3x = 2 – y
(2 − y )
x =
3
(2 − y )
f –1(y) =
3
D. Grafik Fungsi
1. Fungsi Linier
Grafik fungsi linier berbentuk garis lurus
Misal : y = f(x) = 2x
y = f(x) = 2x + 3
y = f(x) = ½ x
2. Fungsi Kuadrat
Contoh : y = f(x) = x2
y = f(x) = x2 + 2
y = f(x) = –x2 + 4
y = f(x) = x2 – 2x – 3
3. Fungsi Logaritma
Contoh : y = f(x) = 2 log x
y = f(x) = –2 log x
4. Fungsi Trigonometri
Contoh : y = f(x) = 2 sin x
y = g(x) = 2 cos x
5. Fungsi Eksponen
Contoh : y = f(x) = 2x
y = f(x) = –2x
y = f(x) = (½)x
y = f(x) = –(½)x