9. Polinom Legendre, Basis Haar, dan Basis Walsh

9. Polinom Legendre, Basis Haar, dan Basis Walsh
Beberapa basis ortogonal untuk L2 (a, b) merupakan himpunan polinom. Selain itu,
terdapat pula basis ortogonal lainnya yang menarik.
9.1 Himpunan Polinom Ortogonal
Misalkan (a, b) suatu selang terbuka di R dan w(x) fungsi bernilai positif pada (a, b)
∫b
sehingga a xn w(x) dx konvergen mutlak untuk n = 0, 1, 2, . . .. Maka, terdapat tepat satu
barisan polinom {pn }∞
0 yang berbentuk
p0 (x) = 1
p1 (x) = x + a0
p2 (x) = x2 + b1 x + b0
p3 (x) = x3 + c2 x2 + c1 x + c0
..
.
yang saling ortogonal terhadap bobot w pada (a, b), yakni
∫ b
⟨pi , pj ⟩w =
pi (x)pj (x)w(x) dx = 0,
i ̸= j.
a
Dalam hal ini, konstanta dapat diperoleh dari ⟨p1 , p0 ⟩w = 0, yaitu
∫b
xw(x) dx
a0 = − ∫a b
.
w(x) dx
a
Selanjutnya, konstanta b0 dan b1 dapat diperoleh dari ⟨p2 , p0 ⟩w = 0 dan ⟨p2 , p1 ⟩w = 0.
Bila diteruskan, maka pada langkah ke-n, terdapat n persamaan dan n konstanta yang
hendak dicari nilainya.
Lemma. Misalkan {pn }∞
0 barisan polinom dengan pn berderajat n untuk tiap n =
0, 1, 2, . . .. Maka, setiap polinom berderejat k (k = 0, 1, 2, . . .) merupakan kombinasi linear
dari p0 , p1 , . . . , pk .
39
Sebagai akibat lemma ini, himpunan polinom di atas merentang ruang polinom pada
(a, b).
9.2 Polinom Legendre
Himpunan polinom yang akan dipelajari berikut ini merupakan himpunan fungsi eigen
dari suatu Masalah Sturm-Liouville Singular, namun kita tidak akan membahasnya melalui
masalah nilai batas seperti pada bab sebelumnya, melainkan melalui rumus Rodrigues
pn (x) =
Cn dn
[w(x)Q(x)n ]
w(x) dxn
ddengan Cn konstanta normalisasi, w(x) fungsi bobot (sehingga pi ⊥ pj terhadap w), dan
Q(x) adalah suatu polinom tertentu. Dari rumus ini, kita dapat membuktikan keortogonal
di antara pi dan pj untuk i ̸= j, menurunkan persamaan diferensial yang dipenuhi oleh
pn , dan menentukan konstanta normalisasinya.
Untuk n = 0, 1, 2, . . . , polinom Legendre didefinisikan sebagai
Pn (x) =
1 dn 2
(x − 1)n .
2n n! dxn
Catat bahwa (x2 − 1)n adalah polinom berderajat 2n, sehingga Pn merupakan polinom
berderajat n. Di sini, w(x) ≡ 1. Untuk beberapa nilai n pertama, kita dapatkan rumus
untuk Pn :
P0 (x) = 1
P1 (x) = x
1
P2 (x) − (3x2 − 1)
2
1
P3 (x) = (5x3 − 3x)
2
..
.
Secara umum,
Pn (x) =
(2n)! n
x + ···.
2n (n!)2
2
2
Teorema. Himpunan polinom Legendre {Pn }∞
0 ortogonal di L (0, 1) dengan ∥Pn ∥ =
2
2n+1
untuk tiap n ∈ N.
40
Bukti. Jika f adalah fungsi C (n) pada [−1, 1], maka (dengan pengintegralan parsial sebanyak n kali)
∫
1
dn
2 n!⟨f, Pn ⟩ =
f (x) n (x2 − 1)n dx = (−1)n
dx
−1
∫
1
n
−1
f (n) (x)(x2 − 1)n dx.
Akibatnya, untuk m < n, kita peroleh ⟨Pm , Pn ⟩ = 0. Dengan menukar peran m dan n,
jika juga peroleh ⟨Pm , Pn ⟩ = 0 untuk m > n.
Selanjutnya, dengan mengambil f = Pn , kita dapatkan
2n)!
∥Pn ∥ = 2n
2 (n!)2
∫
1
2
−1
(1 − x2 )n =
2
.
n+1
(QED)
Teorema. Polinom Pn memenuhi persamaan diferensial
[(1 − x2 )Pn′ (x)]′ + n(n + 1)Pn (x) = 0.
2
Teorema. Himpunan {Pn }∞
0 merupakan basis ortogonal untuk L (−1, 1).
9.3 Basis Haar dan Basis Walsh
Selain himpunan polinom, terdapat basis ortonormal lainnya untuk L2 (0, 1) yang
menarik, khususnya basis Haar dan basis Walsh.
Basis Haar adalah himpunan fungsi H := {h0 } ∪ {hjn : j ≥ 0, 0 ≤ n < 2j }, dengan
{
h0 (x) =
dan
1, jika 0 < x < 1,
0, jika x lainnya;

 2j/2 ,
jika 2−j < x < 2−j (n + 1/2),
hjn (x) = −2j/2 , jika 2−j (n + 1/2) < x < 2−j (n + 1),

0,
jika x lainnya.
[Gambar 9.1: Beberapa Fungsi Haar]
41
Catat bahwa fungsi h00 berbeda dari fungsi h0 .
Teorema. Himpunan fungsi H ortonormal dan lengkap di L2 (0, 1).
Selanjutnya, definisikan fungsi Rademacher ri sebagai ‘fungsi tangga sinusoidal’ berperiode 2−i+1 , i = 0, 1, 2, . . .; yakni ri (x) = (−1)dn (x) dengan dn (x) adalah dijit ke-n dari
representasi biner x = [0.d1 d2 . . .]2 .
[Gambar 9.2: Beberapa Fungsi Rademacher]
Untuk n = 0, 1, 2, . . ., fungsi Walsh wn didefinisikan sebagai berikut:
w0 (x) := r0 (x)
dan untuk n = 1, 2, 3, . . .
wn (x) := r1 (x)b1 · · · rk (x)bk
dengan n = [bk · · · b1 ]2 menyatakan representasi biner dari n. Jadi, sebagai contoh, w1 (x) =
r1 (x), w2 (x) = r2 (x), w3 (x) = r1 (x)r2 (x), dan seterusnya.
[Gambar 9.3: Beberapa Fungsi Walsh]
2
Teorema. Himpunan fungsi Walsh {wn }∞
0 merupakan basis ortonormal untuk L (0, 1).
9.4 Soal Latihan
∞
1. Buktikan bahwa himpunan polinom Legendre {P2n }∞
0 dan {P2n+1 }0 merupakan basis
ortogonal untuk L2 (0, 1).
2. Buktikan bahwa himpunan fungsi Haar ortonormal.
3. Buktikan bahwa himpunan fungsi Walsh ortonormal.
42