Transformasi Linear

Transformasi Linear
Misalkan V dan W adalah ruang vektor, T : V  W
dinamakan transformasi linear, jika
untuk setiap a, b  V dan   R berlaku :


1. T a  b  T a  T b 
2. T  a   T a 
Jika V = W maka T dinamakan operator linear
3
Contoh :
Tunjukan bahwa T : R2  R3, dimana
xy

 x  
T      x 
 y   y 


Rumus Transformasi
merupakan tranformasi linear.
Jawab :
Ambil unsur sembarang di R2,
Misalkan
 v1 
 u1 
2

v



R
u   ,
v2 
 u2 
(i) Akan ditunjukan bahwa
T u v  T u T v 
4
 u1   v1 
T
T u  v       
 u2   v2 
u1  v1  u2  v2 




 u1  v1 


u

v
2
2


u1
 v1  u2  v2 



 u1  v1



u 2  v2


u1  u2   v1  v2 


 
   u1     v1 
 u 2   v2 

 

Terbukti bahwa T u  v   Τ u  Τ v 
5
2
(ii) Ambil unsur sembarang u  R dan   R
  u

  u 1 

 
  u 2 
  u1   u2 


    u1 
 u 2



  u1  u 2 


    u 1  
  u  
2


u 1  u2 
    u1 
 u2 


 αΤ u 
Jadi, T merupakan transformasi linear.
6
Contoh 2 :
Misalkan T merupakan suatu transformasi
dari M2x2 ke R yang didefinisikan oleh
T(A) = det (A), untuk setiap A  M2x2,
Apakah T merupakan Transformasi linier.
Jawab :
 a
Misalkan A   1
 a3
a2 
  M2 x2
a4 
maka untuk setiap  R berlaku
  a1  a2 

det (A) = det 
  a3  a4 
  2a1a 2  a3a 4   2det(A)
7
Perhatikan bahwa det(A) ≠  det(A)
Jadi T bukan transformasi linier.
Contoh 3 :
Diketahui T : P2 (Polinom orde-2)  R2, dimana
 a  b
2
T (a  bx  cx )  

a c
a. Apakah T merupakan transformasi linear
2
T
(1

x

x
)
b. Tentukan
Jawab :
a.(i) Ambil unsur sembarang P2,
p  u1  u2 x  u3 x 2
q  v1  v2 x  v3 x2
8
Sehingga
p  q  u1  v1  u2  v2x  u3  v3 x 2
Perhatikan bahwa

T  p  q  T u1  v1  u2  v2 x  u3  v3  x2

 u1  v1  u2  v2 



u

v



u

v

3
 1 1
3 
 u  u   v1  v2 
 1 2


u

u



v

v

1
 1 3
3 
u1  u 2  v1  v 2 



u
v
u
v


 1 3  1 3
 T u1  u2x  u 3x2  T v1  v2x  v 3x2 
9
Ambil unsur sembarang P2,
p  u1  u2 x  u3 x 2
dan   R, sehingga
T  u  T  u1  u2 x  u3x2 
u1  u2 




u


u

 1
3 
 u1  u2 



  u1  u3 
u1  u 2 

 
 u1  u3 
  T u1  u2 x  u3 x 2 
Jadi, T merupakan transformasi linear
10
11  0 
b. T (1  x  x2 )      
 11   0 
Suatu transformasi linear T : V  W dapat
direpresentasikan dalam bentuk :
T  u   Au
untuk setiap u  V.
 A dinamakan matriks transformasi dari T.
Contoh :
Misalkan, suatu transformasi linear T : R2  R3
didefinisikan oleh :
xy


 x 
     x 
 y  

 y 
11
Jawab :
Perhatikan bahwa
 x 
   
 y 
 x  y   1 1 

  x
 
   x    1 0   
  y
 y   0
1
 


Jadi matriks transformasi untuk T : R2  R3 adalah
 1 1 


A   1 0 
 0 1 


Jika T : Rn  Rm merupakan transformasi linear
maka ukuran matriks transformasi adalah m x n
12
Misalkan
  v1 , v2 
 : R 2  R3
basis bagi ruang vektor V dan
merupakan transformasi linear
dimana
vi   ui  untuk setiap i = 1,2.
Matriks transformasinya dapat ditentukan dengan cara :
Tulis :
T v1   v1  u1
T v2   v2  u2
Sehingga
Jadi
 3 x 2 v1
v2 2 x 2  u1
  u1 u 2 v1
u 2 3x2
v1
v2 basis bagi V
maka ia punya invers
v 2 1
13
Contoh 3 :
Misalkan

1 
0
0
 
 
 

v1   1 ,v2   1 ,v3   0 

  1
  1
 1 
 
 
 

adalah basis bagi R3
 : R 3  P1 Transformasi linear didefinisikan
T vi   Avi  p i
untuk setiap i = 1,2,3.
Jika
p1  1 x; p2  1; p3  2x
 1 
Tentukan :
  
Matrix transformasi dan  1
 2 


14
Jawab :
Definisikan :
p1  1 xB
Karena
vi  pi ,
1
0
1
  ; p2  1B   ; p3  2xB   
 1
 2
0
i  1,2,3
Maka
0 0
1
  1 1 0


1 0  
 1
  1  1 1    1 0 2 

atau
0 01
 1

 1 1 0 
1
1 0


  1 0 2 

  1  1 1
15
invers matriks dicari dengan OBE :
1 0 0

1 1 0
 1 1 1

1 0 0
1 0 0


0 1 0 ~  0 1 0
 0 1 1
0 0 1 

1 0 0

~0 1 0
0 0 1

Sehingga
1 0 0

1 1 0
1 0 1 
1 0 0

1 1 0
0 1 1 
 1 0 0
 1 1 0 
 0 1 0
 
 1 1 0  
 1 0 2  
 1 2 2 

1

0 1
Jadi matriks transformasi T adalah
 0 1 0


 1 2 2 
16
Sementara itu,
 1 
 1
 
  
  1    1
 2
 2  
 
 
1
 0 1 0  
   1

  1 2 2  
 2
  1
 
 1
ingat bahwa
jadi
  1
2
   1  x
 1   B
 1 
  
  1   1  x
 2  
 
17
Contoh 4 :
Diketahui basis dari polinom orde dua adalah
1  x,
 x  x 2 , 1  x  x2

Jika T : P2  R3 adalah transformasi linear
dimana
 0
 1
 
T  1  x  1 T  x  x 2   2
 2
 0
 
 

Tentukan

T 1 x  x2



T 1  x  x2
 2
 
  1
 0
 

Gunakan
Definisi
Membangun
.
18
Jawab :
Perhatikan bahwa
himpunan 3 polinom tersebut adalah basis
bagi polinom orde 2
maka polinom tersebut ditulis nejadi :

 
1  x  x 2  k 1 1  x  k2  x  x2  k 3 1  x  x2

Samakan suku-suku sejenis
sehingga diperoleh SPL
k1  k3  1
k1  k2  k3  1
k2  k3  1
dengan solusi k1 =0 , k2 = 2, dan k3 = 1.
19
Jadi kombinasi linear diatas berbentuk :
1  x  x 2  0 1  x  2  x  x2  1 1  x  x2 
atau




 
T 1  x  x2  T 0 1  x  2  x  x2  1 1 x x2

Karena transformasi T bersifat linear maka :
T 1x  x2 0T 1x2T x x2 T 1x  x2 
 1  2  4
 
 2  2   1   5 
 0  0  
    0
20