TRANFORMASI LINEAR

TRANFORMASI
LINEAR
ALJABAR LINEAR
NAMA KELOMPOK :
1. INA NURUL KHOLISOH (21070119120016)
2. FITRI YULIANTI
(21070119120021)
3. WINTER SIAHAAN
(21070119120005)
ALJABAR LINEAR
TRANFORMASI LINEAR
TRANSFORMASI LINEAR
Misalkan V dan W adalah ruang vektor, T : V  W
dinamakan transformasi linear, jika untuk setiap dan
berlaku :
1. T a  b   T a   T b 
2. T k a   kT a 
Apabila V = W , T disebut sebagai operator linear.
CONTOH:
 Buktikan jika T : R2  R3, pada persamaan berikut merupakan transformasi linear:
 p 
T  
 q 
 p  q


  p 
 q 


PEMBUKTIAN I :
1. Gunakan unsur sembarang yang ada di R2, Misalkan:
 u1 
v 
u   , v   1   R 2
v 
 u2 
 2
Buktikan jika T
u  v   T u   T v 
dengan pengoperasian seperti berikut:
LANJUTAN CONTOH
T u  v 
 u1   v1 
 T     
 u2   v2 
 u1  v1   u2  v2 



 u1  v1 



u2  v2


 u1  v1   u 2  v2 



 u1  v1



u 2  v2


 u1  u 2   v1  v2 

 

   u1     v1 
 u
  v

2
2

 

Terbukti bahwa :
T u  v   Τ u   Τ v 
LANJUTAN CONTOH
 PEMBUKTIAN II :
Gunakan unsur sembarang
2
u

R
dan k  R
Misalkan :
 ku1 
 , Maka:
ku    
 ku2 
ku 
 k u1  u 2 


  k  u1  
 k u  
2


 u1  u 2 


 k   u1 
 u

2


ku   k Τ u 
Terbukti bahwa :
ku   k Τ u 
TERBUKTI JIKA T MERUPAKAN TRANSFORMASI
LINEAR !!!
CONTOH
Misalkan T adalah transformasi matrik B2x2 ke R yang
didefinisikan oleh :
T(A) = det (A), untuk setiap A  B2x2,
Apakah T merupakan Transformasi linier ???
PENYELESAIAN :
Misalkan
 a1
A  
 a3
a2 
  B2 x 2
a4 
Karena det(kA) ≠ k det(A)
Jadi T BUKAN transformasi linier.
maka untuk setiap k R berlaku
 k a1
det (kA) = det  k a
3

k a2 

k a4 
 k 2 a1a2  a3 a4   k 2 det( A)
CONTOH
Contoh 3 :
Diketahui T : P2 (Polinom orde-2)  R2, dimana
r  s

T (r  sx  tx )  
r t 
2
a. Apakah T merupakan transformasi linear
b. Tentukan T (1  x  x )
2
Penyelesaian:
a. Gunakan unsur sembarang P2:
p  u1  u2 x  u3 x 2
q  v1  v2 x  v3 x 2
LANJUTAN CONTOH
Sehingga :
p  q  u1  v1   u2  v2  x  u3  v3 x 2
Cermatilah :
T  p  q  T
2
u

v

u

v
x

u

v
x






 1 1 2 2

3
3
 u1  v1   u2  v2 

 
 u1  v1   u3  v3  
 u1  u2   v1  v2 

 
 u1  u3   v1  v3  
 u1  u2   v1  v2 
  

 
 u1  u3   v1  v3 
SEHINGGA :



 T u1  u2 x  u3 x 2  T v1  v2 x  v3 x 2

LANJUTAN CONTOH
Ambil unsur sembarang P2,
p  u1  u2 x  u3 x 2
dan k  R, sehingga
T k u   T k u1  u2 x  u3 x 2


 u1  u2 

 k 
 u1  u3 

 ku1  ku2 

 
 ku1  ku3 
 k u1  u2 

 
 k u1  u3 
 kT u1  u2 x  u3 x 2

TERBUKTI JIKA T MERUPAKAN TRANSFORMASI
LINEAR !!!
LANJUTAN CONTOH
b.
T (1, 1, 1)  1  1   0 
1  1
 0 
Suatu transformasi linear T : Rn  Rm dapat direpresentasikan dalam
bentuk :
u V
T u  Au
 
 Amxn disebut sebagai matriks transformasi dari T.
Contoh :
Misalkan, suatu transformasi linear T : R2  R3 didefinisikan oleh :
 p  q

 p  
      p 
 q   q 


Cermati:
 p 
  
 q 
 p  q   1 1 

 
  p
   p     1 0   
q

 q   0

1 

 
LANJUTAN CONTOH
Sehingga matriks transformasi untuk T : R2  R3
adalah
 1 1 


A   1 0 
 0 1 


Jika T : Rn  Rm merupakan transformasi linear
maka ukuran matriks transformasi adalah m x n
TRANSFORMASI LINEAR
MISALKAN
  v1 ,v2  basis bagi ruang vektor V dan
 : R 2  R 3 merupakan transformasi linear
vi   ui  untuk setiap i = 1,2.
Cara mencari matrik tranformasinya yaitu:
T v1   v1  u1
T v 2   v 2  u 2
Sehingga :
3 x 2 v1 v2 2 x 2  u1 u2 3 x 2
v1
v2  basis bagi V
maka ia punya invers
TRANSFORMASI LINEAR
Contoh 3 :
Misalkan

1
0
 0 
 
 
 

v1   1 , v2   1 , v3   0  adalah basis bagi R3

  1
  1
 1 
 
 
 

 : R 3  R 2 Transformasi linear didefinisikan
T vi   Avi  pi untuk setiap i = 1,2,3.
APABILA :
p1  1,1; p2  1, 0; p3  0, 2
Tentukan :
Matrix transformasi
TRANFORMASI LINEAR
 JAWABAN
Karena
vi  pi ,
i  1,2,3
Maka
 1 0 0

  1 1 0

 1 1 0   
 1 1 1   1 0 2


Dan
 1 0 0

 1 1 0 
  1 1 0 
  
 1 0 2  1 1 1 


1
TRANFORMASI LINEAR
invers matriks dicari dengan OBE :
1 0 0

1 1 0
 1 1 1

1
1 0 0


~
0
0 1 0
0
0 0 1 

1

~ 0
0

Sehingga
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0

0
1 
0

0
1

 1 0 0
  0 1 0
1
1
0






  1 1 0   

 1 0 2   0 1 1   1 2 2 


Jadi matriks transformasi T adalah
 0 1 0


 1 2 2
TRANFORMASI LINEAR
LATIHAN SOAL
1.  : R 3  R 2 Dengan T (x, y, z) = (2x  y  z, y 4z)
tersebut merupakan suatu pernyataan linear.
2.  : R 2  R 3, T(x, y) = (2x + y, x - 3y,3x + 1)
Selidiki apakah T merupakan tranformasi linear .
buktikan bahwa pernyataan