sistem persamaan linier

1
SISTEM PERSAMAAN LINIER
A.
Pendahuluan
Suatu persamaan linier yang mengandung n peubah
dalam bentuk
dengan
dinyatakan
adalah konstanta
riil.
B.
Sistem Persamaan Dua Variabel
1.
Bentuk Umum
ax + by = c
px + qy =r
di mana:
a, b, c, p, q, r  R
a, p = koefisien dari x
b, q = koefisien dari y
c, r = konstanta
x, y = variabel
2.
Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Ada beberapa cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel, antara
lain :
a. Eliminasi
Langkah – langkah menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel dengan
menggunakan metode eliminasi adalah:
 Menyamakan koefisien salah satu variabel
 Menjumlahkan atau mengurangkan ruas – ruas yang bersesuaian dari
kedua persamaan linier baru
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :
dengan cara eliminasi !
Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.
Penyelesaian:
2x – 3y = 16
4x – 6y = 32
2x – 4y = 18
3x – 6y = 27
y = -2
x=5
HP = {5,-2}
b. Substitusi
Langkah – langkah menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel dengan
menggunakan metode substitusi adalah:
 Nyatakan salah satu variabel yang memuat variabel lain dari salah satu
persamaan
 Substitusikan hasil dari langkah (1) pada persamaan lainnya
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :
dengan cara substitusi !
Penyelesaian:
x – 2y = 9
x = 9 + 2y
2x – 3y = 16
x = 9 + 2y
2 (9 + 2y) – 3y = 16
x = 9 + 2 (-2)
18 + 4y – 3y = 16
x=9–4
y = 16 – 18
x=5
y = -2
HP = {5,-2}
c. Eliminasi dan Substitusi
Merupakan gabungan antara metode eliminasi dan substitusi.
Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.
2
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :
dengan cara substitusi dan eliminasi !
Penyelesaian:
2x – 3y = 16
x – 2y = 9
2x – 4y = 18
x – 2(-2) = 9
x+4=9
y = -2
x=5
HP = {5,-2}
d. Determinan
Langkah – langkah menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel dengan
menggunakan metode determinan adalah:
 Menghitung nilai
|
|
 Menghitung nilai
|
|
 Menghitung nilai
|
|
 Menghitung nilai x dan y, dengan rumus:
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :
dengan cara determinan !
Penyelesaian:
|
|
|
|
|
|
Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.
3
4
HP = {5,-2}
C.
Sistem Persamaan Tiga Variabel
1.
Bentuk Umum
ax + by + cz = p
dx + ey + fz = q
gx + hy + iz = r
di mana:
a, b, c, d, e, f, g, h, i, p, q, r  R
a, d, g = koefisien dari x
b, e, f = koefisien dari y
c, f, i = koefisien dari z
p, q, r = konstanta
x, y, z = variabel
2.
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel
a. Substitusi dan Eliminasi
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :
dengan cara substitusi dan eliminasi !
Penyelesaian:
 Persamaan (1) dan (3)
 Persamaan (1) dan (2)
x + 2y – z = -5
3x + 6y – 3z = -15
-x + y + 4z = -1
3x + y +2z = 5
3y + 3z = -6
5y – 5z = -20
y + z = -2
(4)
y – z = -4
(5)
Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.
 Persamaan (4) dan (5)
y + 1 = -2
y = -3
y + z = -2
 Persamaan (1)
y – z = -4
2z = 2
x + 2y – z = -5
z=1
x + 2(-3) – 1 = -5
 Persamaan (4)
x – 6 – 1 = -5
x=2
y + z = -2
HP = {2, -3, 1}
b. Determinan
Langkah – langkah menyelesaikan sistem persamaan linier tiga variabel
dengan menggunakan metode determinan adalah:
 Menghitung nilai
|
|
 Menghitung nilai
|
|
 Menghitung nilai
|
|
 Menghitung nilai
|
|
 Menghitung nilai x, y dan z, dengan rumus:
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :
dengan cara determinan !
Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.
5
6
Penyelesaian:
|
(
)
|
(
)
|
(
)
|
(
)
|
(
|
)
(
|
(
)
)
|
(
)
HP = {2,-3,1}
Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.