persamaan-linear-dua-variabel-wordpress

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL
A. Persamaan Linear Dua Variabel
1. Pengertian Persamaan Linear Dua Variabel
Persamaan yang sudah ditentukan dengan bentuk ax  by  c  0
dengan a  0 , b  0 dan a, b, c  R dinamakan persamaan linear dua
variabel. Persamaan tersebut adalah suatu kalimat matematika terbuka
yang tepat mempunyai dua variabel yaitu x dan y dan masing-masing
variabelnya berpangkat satu, sertaa dan b sebagai koefisien, dan c adalah
konstanta.
Contoh persamaan linear dengan dua variabel:
1) 3x  2 y  6
2) p  2q  8
3) 3a  b  0
2. Penyelesaian Persamaan Linear Dua Variabel
Untuk menyelesaikan persamaan linear dua variabel kita dapat
mensubstitusikan satu nilai pada variabel x dalam persamaan dan akan
didapat nilai y yang memenuhi persamaan.
Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari x  2 y  8 , dengan 2  x  4 !
Penyelesaian:
x
2
3
4
y
3
5
2
2
x  2y
8
8
8
Jadi, Himpunan Penyelesaian dari persamaan
2  x  4 adalah
x  2 y  8 , dengan
 2,3 , 3,  ,  4, 2 .
5
2
3. Grafik Penyelesaian Persamaan Linear Dua Variabel
Grafik penyelesaian persamaan linear dua variabel berbentuk garis
lurus.
Contoh 2:
Carilah pasangan bilangan yang merupakan penyelesaian dari persamaan
x  y  4 , dengan 0  x  5 kemudian gambar grafiknya!
Penyelesaian:
x
0
1
2
3
4
5
y
4
3
2
1
0
-1
x y
4
4
4
4
4
4
Jadi, pasangan berurutan dari penyelesaian persamaan tersebut adalah
 0, 4 , 1,3 ,  2, 2 , 3,1 ,  4,0 , 5, 1 .
Grafik:
teman yang menggambar
B. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
1. Pengertian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Apabila terdapat dua persamaan linear dua variabel yang berbentuk
ax  by  c dan dx  ey  f atau dapat ditulis:
ax  by  c

dx  ey  f
maka kedua persamaan tersebut membentuk sistem persamaan linear dua
variabel. Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel tersebut
adalah pasangan bilangan
tersebut.
 x, y 
yang memenuhi kedua persamaan
Contoh 3:
2 x  y  8
Carilah penyelesaian dari 
, dengan x, y  R !
x  2 y  4
Penyelesaian:
Untuk persamaan 2 x  y  8 , penyelesaiannya adalah:
x
0 2 4
y
8 4 0
Untuk persamaan x  2 y  4 , penyelesaiannya adalah:
x
0
2
4
y
-2
-1
0
Dari tabel diatas, tampak bahwa himpunan penyelesaian yang memenuhi
sistem persamaan tersebut adalah
 4,0 .
2. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dapat
dilakukan dengan beberapa metode yaitu, metode grafik, metode
substitusi, metode eliminasi dan metode campuran.
a. Metode Grafik
Pada metode grafik, himpunan penyelesaian dari sisstem
persamaan linear dua variabel adalah koordinat titik potong dua garis
tersebut.Jika garis-garisnya tidak berpotongan disatu titik tertentu
maka himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong.
Contoh 4:
Tentukan Himpunan Penyelesaian dari x  2 y  4 dan 2 x  y  12 !
Penyelesaian:
Untuk persamaan x  2 y  4 , penyelesaiannya adalah:
x
0
-4
y
2
0
Untuk persamaan 2 x  y  12 , penyelesaiannya adalah:
x
0
6
y
12
0
Grafik:
Pada grafik, kedua garis berpotongan di
penyelesaiannya adalah
 4, 4  ,
maka himpunan
 4, 4 .
b. Metode Substitusi
Substitusi berarti mengganti. Menentukan penyelesaian sistem
persamaan linear dua variabel dengan metode substitusi dilakukan
dengan cara mengganti salah satu variabel dengan variabel lainnya,
yaitu mengganti x dengan y, atau mengganti y dengan x jika persamaan
memuat variabel x dan y.
Contoh 5:
Tentukan Himpunan Penyelesaian dari x  2 y  4 dan 2 x  y  13 !
Penyelesaian:
Mengganti nilai x dengan y:
x  2y  4

x  2y  4
Substitusi x ke persamaan 2 x  y  13
2 x  y  13
2  2 y  4   y  13
 4 y  8  y  13

5 y  8  13
 5 y  8  8  13  8

5y  5

5y 5

5 5
y 1

Suubstitusi nilai y  1 ke x  2 y  4
x  2y  4
x  2 1  4
x  24
x6
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
 6,1 .
c. Metode Eliminasi
Pada
metode
eliminasi,
untuk
menentukan
himpunan
penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel, caranya adalah
dengan menghilangkan (eliminasi) salah satu variabel dari sistem
persamaan tersebut.Jika variabelnya x dan y, untuk menentukan
variabel x kita harus mengeliminasi variabel y terlebih dahulu, atau
sebaliknya.
Perhatikan bahwa jika koefisien dari salah satu variabel sama
maka kita dapat mengeliminasi atau menghilangkan salah satu variabel
tersebut untuk selanjutnya menentukan variabel yang lain.
Contoh 6:
Tentukan Himpunan Penyelesaian dari 2 x  y  4 dan 3 x  2 y  5 !
Penyelesaian:
Menentukan variabel x dengan menghilangkan variabel y.
2 x  y  4 2 4 x  2 y  8
3 x  2 y  5 1 3 x  2 y  5 
x3
Menentukan variabel y dengan menghilangkan variabel x.
2 x  y  4 3 6 x  3 y  12
3x  2 y  5 2 6 x  4 y  10
y2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
3, 2 .
d. Metode Campuran (Substitusi dan Eliminasi)
Pada
metode
campuran,
untuk
menentukan
himpunan
penyeesaian dari sistem persamaan linear dua variabel yaitu dengan
menggabungkan dua metode yaitu metode eliminasi dengan metode
substitusi.
Contoh 7:
Tentukan Himpunan Penyelesaian dari x  y  8 dan x  y  2 !
Penyelesaian:
Menentukan variabel x dengan menghilangkan variabel y.
Karena koefisien y berlawanan tandanya, maka untuk menghilangkan y
dilakukan dengan cara menjumlahkan.
x y 8
x  y  2
2 x  10
x5
Untuk menentukan nilai y, substitusikan x  5 pada salah satu
persamaan yang diketahui.
x y 8
 5 y  8

y  85

y3
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
5,3 .
3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan Pecahan
Dalam sistem persamaan, jika pada salah satu atau kedua
persamaan terdapat pecahan, maka persamaan yang mengandung pecahan
itu harus dijadikan persamaan lain yang ekuivalen tetapi tidak lagi
mengandung pecahan.
Pengubahan itu dapat dilakukan dengan cara mengalikan setiap
persamaan itu dengan KPK dari bilangan penyebut masing-masing
pecahan. Setelah persamaan-persamaannya tidak lagi memuat pecahan,
maka untuk menyelesaikannya, dapat dikerjakan dengan menggunakan
salah satu metode yang telah dipelajari.
Contoh 8:
Tentukan penyelesaian sistem persamaan 3 x  2 y  17 dan
1
1
x  y  1 !
3
2
Penyelesaian:
Persamaan
1
1
x  y  1 diubah sehingga tidak lagi mengandung
3
2
pecahan.
1
1
x  y  1 (dikalikan 6, yaitu KPK dari 3& 2)
3
2
1 
1
  x  y   6  1 6
2 
3

2 x  3 y  6
Dengan metode campuran:

metode eliminasi, untuk menentukan nilai x dengan menghilangkan y:
3 x  2 y  17 3 9 x  6 y  51
2 x  3 y  6 2 4 x  6 y  12
13 x  39
x3

metode substitusi, dengan mensubstitusikan nilai x  3 ke salah satu
persamaan:
3 x  2 y  17
 3  3  2 y  17

9  2 y  17

2 y  17  9

2y  8

y4
C. Perbedaan Persamaan Linear Dua Variabel dan Sistem Persamaan
Linear Dua Variabel
Pada kegiatan menentukan penyelesaian Persamaan Linear Dua
Variabel, kita dapatkan bahwa sebuah persamaan linear dua variabel
mempunyai penyelesaian yang tak berhingga banyaknya.Sedangkan Sistem
Persamaan Linear Dua Variabel pada umumnya hanya mempunyai satu
pasangan nilai sebagai penyelesaiannya.
Persamaan Linear Dua Variabel adalah sebuah persamaan yang
mandiri, artinya penyelesaian Persamaan Linear Dua Variabel itu tidak terkait
dengan Persamaan Linear Dua Variabel yang lain, sedangkan Sistem
Persamaan Linear Dua Variabel terdiri dari dua Persamaan Linear Dua
Variabel yang saling terkait, dalam arti penyelesaian dari Sistem Persamaan
Linear Dua Variabel harus sekaligus memenuhi kedua Persamaan Linear Dua
Variabel pembentuknya.
Contoh 9:
Tunjukkan perbedaan antara persamaan-persamaan berikut:
 x  2y  8
x  y  7 dengan 
!
2 x  3 y  13
Penyelesaian:
a. Persamaan x  y  7 mempunyai banyak penyelesaian, misalnya:
x0 y7
x 1 y  6
x2 y5
x 3 y  4
dst...
Persamaan x  y  7 adalah Persamaan Linear Dua Variabel.
b. Pada persamaan x  2 y  8 dan 2 x  3 y  13 kita substitusikan x dengan 2,
dan y dengan 3, diperoleh:
x  2 y  2  2  3
 26
 8  benar 
2 x  3 y  2  2   3  3
 49
 13  benar 
Karena persamaan x  2 y  8 dan 2 x  3 y  13 memiliki satu penyelesaian
yang sama, yaitu x  2 dan y  3 , maka kedua persamaan itu disebut Sistem
Persamaan Linear Dua Variabel.
Jadi, persamaan x  y  7 merupakan Persamaan Linear Dua Variabel,
sedangkan persamaan
x  2y  8
dan
2 x  3 y  13 merupakan Sistem
Persamaan Linear Dua Variabel.
D. Penerapan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Beberapa
permasalahan
dalam
kehidupan
sehari-hari
dapat
diselesaikan dengan perhitungan yang melibatkan Sistem Persamaan Linear
Dua Variabel.Permasalahan sehari-hari tersebut biasanya disajikan dalam
bentuk soal cerita.
Langkah-langkah penyelesaian soal cerita sebagai berikut:
1. Mengubah kalimat-kalimat pada soal cerita ke bentuk kalimat
matematika, sehingga membentuk Sistem Persamaan Linear Dua
Variabel.
2. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel.
3. Menggunakan penyelesaian yang diperoleh untuk menjawab
pertanyaan pada soal cerita.
Contoh 10:
Harga 2 baju dan 3 kaos adalah Rp 85.000, sedangkan harga 3 baju dan 1 kaos
jenis yang sama adalah Rp 75.000. Tentukan harga sebuah baju dan harga
sebuah kaos!
Penyelesaian:
Menetapkan variabel dan menerjemahkan soal tersebut kedalam kalimat
matematika.
Kita misalkan:
Harga sebuah baju = x rupiah, dan
Harga sebuah kaos = y rupiah, maka:
Harga 2 baju dan 3 kaos = 2 x  3 y  85.000
Harga 3 baju dan 1 kaos = 3x  y  75.000
Sistem persamaannya adalah 2 x  3 y  85.000 dan 3x  y  75.000 .
Dengan metode eliminasi, maka langkah penyelesaiannya adalah sebagai
berikut:
2 x  3 y  85.000  1 2 x  3 y  85.000
3 x  y  75.000  3 9 x  3 y  225.000 
 7 x  140.000
7 x 140.000

7
7
x  20.000


Substitusi x  20.000 ke persamaan 2 x  3 y  85.000
2 x  3 y  85.000

2  20.000   3 y  85.000

40.000  3 y  85.000

40.000  40.000  3 y  85.000  40.000

3 y  45.000

3 y 45.000

3
3
y  15.000

E. Menyelesaikan Sistem Persamaan Non Linear Dua Variabel
Sistem Persamaan Non Linear Dua Variabel yang akan dipelajari
adalah sistem persamaan non linear yang bentuknya seperti sistem persamaan
linear
dua
variabel.
Dengan
demikian,
cara
menyelesaikan
persamaannya dapat menggunakan metode eliminasi atau substitusi.
Contoh 11:
sistem
Tentukan penyelesaian sistem persamaan 2 x 2  3 y 2  77 dan x 2  5 y 2  20 !
Penyelesaian:
Kita menggunakan metode eliminasi,
2
2
2 x 2  3 y 2  77 1 2 x  3 y  77
2
2
x 2  5 y 2  20 2 2 x  10 y  40
13 y 2  117
117
13
2
y 9
y2 
y  3
2
2
2 x 2  3 y 2  77 5 10 x  15 y  385
2
2
x 2  5 y 2  20 3 3x  15 y  60 
13x 2  325
325
13
2
x  25
x2 
x  5
Jadi, penyelesaiannya adalah x  5 atau x  5 dan y  3 atau y  3 .
Latihan Soal
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut, jika variabelnya
pada himpunan bilangan real! Kemudian gambar grafiknya pada diagram
Cartesius!
a. 2 x  3 y  6  0
b. 2 y  5 x  10
2. Tentukan persamaan dari grafik berikut ini!
a.
b.
3. Himpunan penyelesaian dari 4 x  y  9 untuk x, y  himpunan bilangan
cacah antara 1 sampai 9 adalah…
4. Harga 2 baju dan 3 kaos adalah Rp 85.000, sedangkan harga 3 baju dan 1
kaos jenis yang sama adalah Rp 75.000. Tentukan harga sebuah baju dan
harga sebuah kaos!
5. Sebuah agen perjalanan bus antar kota menjual tiket untuk kelas ekonomi
dan kelas eksekutif untuk jurusan kota A. Harga tiket ekonomi Rp 50.000
dan harga tiket eksekutif Rp 110.000. Suatu hari, agen perjalanan itu dapat
menjual 34 buah tiket dengan hasil penjualan sebesar Rp 2.600.000.
Tentukan banyak masing-masing tiket yang terjual pada hari itu!
6. Jumlah dua bilangan cacah adalah 30 dan selisih kedua bilangan itu adalah
6. Tentukan kedua bilangan itu!
7. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
3x  2 y  1
dan
2 x  3 y  1 adalah…
8. Titik potong garis dengan persamaannya y  2 x  1 dengan 3x  2 y  4
adalah...
9. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
2x  y
3x  y
 5 dan
1
3
5
adalah…
10. Nilai b yang memenuhi sistem persamaan 2a  b  9  0 dan a  3b  8
adalah…
Pembahasan
1. Himpunan penyelesaian dari :
a. Himpunan penyelesaian dari 2 x  3 y  6  0 :
2 x  3 y  6  0  2 x  3 y  6
x
0
-3
y
2
0
2 x  3 y  6
-6
-6
Jadi, himpunan penyelesaiannya
 0, 2 ,  3,0 .
Grafiknya:
b. Himpunan penyelesaian dari 2 y  5 x  10 :
2 y  5 x  10  5 x  2 y  10
x
0
2
y
-5
0
5 x  2 y  10
-10
-10
Jadi, himpunan penyelesaiannya
Grafiknya:
 0, 5 ,  2,0 .
2. Persamaan dari grafik-grafik tersebut adalah:
a. Mencari persamaan garis dari grafik dengan diketahui dua titik yaitu
A(0, 4) dan B(4, 0) , dengan rumus
y  y1
x  x1
.

y2  y1 x2  x1
y  y1
x  x1

y2  y1 x2  x1
y4 x0

0  4 4  0
y4 x

4
4
 y  4   4  x   4
4 y  16  4 x
4 x  4 y  16
x  y  4
c. Mencari persamaan garis dari grafik dengan diketahui dua titik yaitu
A  6,0 dan B  0, 4 , dengan rumus
y  y1
x  x1
.

y2  y1 x2  x1
y  y1
x  x1

y2  y1 x2  x1
y  0 x   6 

4  0 0   6 
y x6

4
6
y  6  4   x  6 
6 y  4 x  24
4 x  6 y  24
2 x  3 y  12
3.
x
0
1
2
3
4
5
y
9
5
1
-3
-7
-11
4x  y  9
9
9
9
9
9
9
Jadi, Himpunan Penyelesaian dari persamaan 4 x  y  9 , dengan 0  x  9
adalah
 0,9 , 1,5 ,  2,1.
4. Menetapkan variabel dan menerjemahkan soal tersebut kedalam kalimat
matematika
Misalkan:
Harga sebuah baju = x rupiah, dan
Harga sebuah kaos = y rupiah, maka:
Harga 2 baju dan 3 kaos: 2 x  3 y  85.000
Harga 3 baju dan 1 kaos: 3x  y  75.000
Sistem persamaannya adalah 2 x  3 y  85.000 dan 3x  y  75.000 .
Dengan metode eliminasi, maka langkah penyelesaiannya adalah sebagai
berikut:
2 x  3 y  85.000  1
2 x  3 y  85.000
3 x  y  75.000  3 9 x  3 y  225.000

 7 x  140.000

1
1
 7 x 
 140.000
7
7
x  20.000

Substitusi kan nilai xke salah satu persamaan:
2 x  3 y  85.000

2  20.000   3 y  85.000

40.000  3 y  85.000
 40.000  40.000  3 y  85.000  40.000

3 y  45.000

1
1
 3 y   45.000
3
3
y  15.000

Jadi harga sebuah baju = x rupiah = Rp 20.000 dan
Harga sebuah kaos = y rupiah = Rp 15.000
5. Misalkan:
Banyak tiket ekonomi yang terjual = x buah.
Banyak tiket eksekutif yang terjual = y buah.
Banyak tiket yang terjual seluruhnya: x  y  34
Jumlah Hasil penjualan tiket: 50.000 x  110.000 y  2.600.000
Sistem
persamaannya
adalah x  y  34 dan
50.000 x  110.000 y  2.600.000 .
Dengan metode eliminasi, maka langkah penyelesaiannya adalah sebagai
berikut:
 50.000 50.000 x  50.000 y  1.700.000
50.000 x  110.000 y  2.600.000
50.000 x  110.000 y  2.600.000
1
x  y  34

 60.000 y  900.000

y
900.000
60.000
y  15

Substitusi nilai y ke salah satu persamaan:
x  y  34

x  15  34
 x  15  15  34  15

x  19
Jadibanyak tiket kelas ekonomi  x  19 buah dan banyak tiket kelas
eksekutif  y  15 buah.
6. Misalkan kedua bilangan itu masing-masingadalah x dan y.
Jumlah dua bilangan: x  y  30
Selisih dua bilangan: x  y  6
Sistem persamaannya adalah x  y  30 dan x  y  6 .
Kemudian dengan metode eliminasi, maka langkah penyelesaiannya
adalah sebagai berikut:
x  y  30
x  y  6
2 x  36
1
1
 2 x   36
2
2

x  18

Substitusi nilai x ke salah satu persamaan:
x  y  30

18  y  30
 18  18  y  30  18

y  12
Jadi kedua bilangan itu adalah 18 dan 12.
7. Kita lakukan eliminasi x untuk mendapatkan nilai y:
3 x  2 y  1  2 6 x  4 y  2
2x  3y  1 3 6x  9 y  3 
 5 y  5
1
1
 5 y   5
5
5
y 1
Substitusikan nilai y kedalam salah satu persamaan untuk memperoleh
nilai x:
3 x  2 y  1
 3 x  2 1  1

3 x  2  1
 3 x  2  2  1  2

3 x  3

1
1
 3 x   3
3
3
x  1

Jadi himpunan penyelesaiannya  1,1 .
8. Kita lakukan eliminasi y untuk mendapatkan nilai x:
y  2 x  1  2 x  y  1
2 x  y  1  2
4 x  2 y  2
3x  2 y  4 1 3x  2 y  4 
 x  2
x2
Substitusikan nilai x kedalam salah satu persamaan untuk memperoleh
nilai y:
 2x  y  1
 2  2   y  1

 4 y 1
 4  4  y  1  4

y5
Jadi titik potongnya adalah
 2,5 .
9. Kita ubah persamaan linear pecahan ke dalam bentuk persamaan linear
biasa:
2x  y
 2x  y 
 5  3
  3  5
3
 3 
2 x  y  15
3x  y
 3x  y 
 1  5
  5 1
5
 5 
3x  y  5
Kemudian kita lakukan eliminasi y untuk mendapatkan nilai x:
2 x  y  15
3 x  y  5
5 x  20
1
1
  5 x   20
5
5
x4
Substitusikan nilai x kedalam salah satu persamaan untuk memperoleh
nilai y:
2 x  y  15
 2  4   y  15

8  y  15
 8  8  y  15  8

y7
Himpunan penyelesaiannya adalah
 4,7  .
10. Kita ubah persamaan ke dalam bentuk:
2a  b  9  0  2a  b  9
a  3b  8  a  3b  8
Kemudian kita lakukan eliminasi pada variabel a:
2a  b  9 1
2a  b  9
a  3b  8  2 2a  6b  16 
7b  7
7
7
b  1
b
Maka, di peroleh nilai b  1 .