bab i himpunan - Staffsite STIMATA

1
BAB I
HIMPUNAN
1.
Definisi Himpunan
Definisi 1
Himpunan (set) adalah kumpulan dari objek yang berbeda. Masing – masing objek dalam
suatu himpunan disebut elemen atau anggota dari himpunan. Tidak ada spesifikasi tentang
kondisi dan jumlah elemen dalam suatu himpunan. Suatu himpunan diberi nama dengan
menggunakan huruf kapital. Pengapit elemen dalam suatu himpunan adalah tanda kurung
kurawal { }.
Contoh:
a) Suatu himpunan S memiliki 5 objek, yaitu s, t, i, m, a, maka dapat ditulis:
S = {s,t,i,m,a}
Urutan penulisan anggota dalam himpunan tidak berpengaruh, sehingga himpunan di atas
dapat ditulis
S = {m,a,t,i,s} atau bentuk lainnya.
b) Himpunan mahasiswa pecinta kuliner (PK) terdiri dari Samuel, Jujun, Vogel, Yani, maka
dapat ditulis:
PK = {Jujun, Samuel, Vogel, Yani}
2.
Penyajian Himpunan
Ada 4 cara yang sering digunakan dalam menyajikan suatu himpunan.
a) Enumerasi
Apabila sebuah himpunan terbatas dan memiliki anggota yang tidak terlalu banyak, maka
himpunan dapat disajikan dengan cara enumerasi. Artinya, menuliskan semua elemen
himpunan di antara dua buah tanda kurung kurawal.
Contoh:
Himpunan A memiliki 5 anggota, yaitu 2,4,6,8 dan 10. Maka, himpunan A dapat dituliskan:
A = {2,4,6,8,10}
Untuk menuliskan himpunan yang memiliki banyak anggota dan memiliki pola tertentu,
dpaat digunakan tanda ‘…’ (ellipsis).
Contoh:
Himpunan B memiliki anggota seluruh alphabet. Maka himpunan B dapat dituliskan:
B = *a,b,c,…, x,y,z+
Dalam suatu himpunan, suatu object dapat dinyatakan sebagai anggota himpunan atau
bukan anggota himpunan. Untuk menyatakan keanggotaan himpunan digunakan notasi:
𝑥 ∈ 𝐴 untuk menyatakan bahwa x adalah anggota dari himpunan A
𝑥 ∉ 𝐴 untuk menyatakan bahwa x bukan anggota dari himpunan A
Matematika Diskrit
Liduina Asih Primandari
Contoh:
A = *2,4,6,8,10+ dan B = *a,b,c,…, x,y,z+, maka
2 ∈𝐴
𝑐 ∈𝐵
𝑥 ∉𝐴
2 ∉𝐵
b) Simbol – simbol baku
Beberapa himpunan khusus dapat dituliskan dengan simbol yang sudah baku. Beberapa
simbol baku yang sering digunakan adalah:
P = himpunan bilangan bulat positif = *1,2,3,…+
N = himpunan bilangan asli = *1,2,…+
Z = himpunan bilangan bulat = *…, -2,-1,0,1,2,…+
Q = himpunan bilangan rasional (bilangan dalam bentuk a/b di mana a dan b anggota
bilangan bulat dan b ≠ 0)
R = himpunan bilangan riil (gabungan bilangan rasional dan bilangan irrasional)
Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan
atau bilangan yang bukan bilangan rasional. Contoh 2, 3, 5
C = bilangan kompleks (bilangan yang berbentuk a +bi)
c) Notasi pembentuk himpunan
Pada suatu himpunan, sering ditemukan unsur – unsur himpunan yang memiliki satu atau
lebih sifat yang sama. Hal itu dapat digunakan untuk menjelaskan keanggotaan himpunan
dengan menyebutkan sifat yang secara khas mencirikan unsur himpunan tersebut.
Contoh:
Terdapat himpunan A = {2,4,6,8,10}. Himpunan A dapat dispesifikkan berdasarkan unsur
– unsur anggotanya. Anggota himpunan A adalah bilangan genap positif yang tidak lebih
besar daripada 10. Oleh karena itu, dapat dituliskan dalam notasi:
A = {x | x adalah bilangan genap positif yang tidak lebih besar daripada 10}
atau dapat dinotasikan secara umum:
{x | x memiliki sifat tertentu}
Aturan yang digunakan dalam penulisan syarat keanggotaan:
a. Bagian di sebelah kiri tanda “|” melambangkan elemen himpunan
b. Tanda “|” dibaca di mana atau sedemikian sehingga
c. Bagian di sebelah kanan tanda “|” melambangkan syarat keanggotaan himpunan
d. Setiap tanda “,” di dalam syarat keanggotaan dibaca sebagai dan
Contoh:
A adalah himpunan bilangan bulat positif yang lebih kecil dari 5, maka dinyatakan sebagai:
A = {x | x adalah bilangan bulat positif yang tidak lebih kecil daripada 5}
atau dalam bentuk notasi dituliskan:
𝐴 = *𝑥 |𝑥 ∈ 𝑃, 𝑥 < 5}
Matematika Diskrit
Liduina Asih Primandari
2
d) Diagram Venn
Untuk menyajikan himpunan secara grafis, digunakan diagram venn. Dalam diagram venn,
himpunan semesta (S) digambarkan sebagai suatu segi empat. Sementara itu, himpunan
lainnya digambarkan sebagai lingkaran di dalam segi empat tersebut. Anggota himpunan
dituliskan di dalam lingkaran. Ada kemungkinan, anggota suatu himpunan dapat menjadi
anggota himpunan yang lainnya, dalam hal ini digambarkan sebagai lingkaran yang
beririsan.
Contoh:
Himpunan A = {1,2,3,5} dan himpunan B = {2,5,6,8}, maka jika digambarkan dalam
diagram venn menjadi:
S
A
1
B
2
6
3
5
3.
8
Kardinalitas
Definisi 2
Sebuah himpunan dikatakan berhingga (finite set) jika terdapat n elemen berbeda yang
dalam hal ini n adalah bilangan bulat tak negatif. Sebaliknya himpunan tersebut dinamakan
tak berhingga (infinite set).
Misalkan A merupakan himpunan berhingga, maka jumlah elemen berbeda di dalam A
disebut kardinal dari himpunan A.
Notasi: 𝑛(𝐴) 𝑎𝑡𝑎𝑢 |𝐴|
Contoh:
a) A = {x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20}, maka |𝐴| = 8 dengan
elemen – elemen A adalah 2,3,5,7,11,13,17,19.
b) B = {x | x adalah faktor dari 12}, maka |𝐵| = 6 dengan elemen – elemen B adalah
2,3,4,6,12.
c) C = {x | x adalah bilangan bulat positif kurang dari 1}, maka |𝐶| = 0 karena tidak ada
bilangan bulat positif yang kurang dari 1.
4.
Himpunan Kosong
Definisi 3
Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut sebagai himpunan kosong, atau
dilambangkan dengan { } atau ∅
Matematika Diskrit
Liduina Asih Primandari
3
5.
Himpunan Bagian (Subset)
Definisi 4
Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap
elemen A merupakan elemen B. Dalam hal ini B dikatakan superset dari A.
Notasi : 𝐴 ⊆ 𝐵
Diagram venn:
S
B
A
6.
Himpunan yang Sama
Definisi 5
Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika keduanya memiliki
anggota yang sama. Dengan kata lain, A sama dengan B jika A adalah himpunan bagian dari B
dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A tidak sama dengan B.
Notasi: 𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝐵 ⊆ 𝐴
Contoh:
Jika A = {0,1} dan B = {x | x(x-1) = 0} maka A = B
Jika A = *3,8,5+ dan B = *3,8+ maka A ≠ B
7.
Himpunan yang Ekuivalen
Definisi 6
Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika cardinal dari kedua
himpunan tersebut sama.
Notasi: 𝐴 ∼ 𝐵 ↔ |𝐴| = |𝐵|
Contoh:
Jika A = {2,3,5,7} dan B = {a,b,c,d} maka 𝐴 ∼ 𝐵 karena |𝐴| = |𝐵| = 4
8.
Himpunan Saling Lepas
Definisi 7
Dua buah himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika keduanya tidak memiliki elemen
yang sama.
Notasi: 𝐴 ∕∕ 𝐵
Matematika Diskrit
Liduina Asih Primandari
4
5
Diagram venn:
S
B
A
9.
Operasi terhadap Himpunan
Apabila terdapat dua buah himpunan atau lebih, maka dapat dilakukan operasi untuk
menghasilkan himpunan lainnya.
a) Irisan (intersection)
Definisi 8
Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah sebuah himpunan yang setiap
elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan himpunan B
Notasi: 𝐴 ∩ 𝐵 = *𝑥 |𝑥 ∈ 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∈ 𝐵 }
Contoh:
Jika A = {2,4,6,8,10} dan B = {4,10,14,18} maka 𝐴 ∩ 𝐵 = {4,10}
b) Gabungan (union)
Definisi 9
Gabungan (union) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya
merupakan anggota himpunan A atau himpunan B.
Notasi: 𝐴 ∪ 𝐵 = *𝑥 |𝑥 ∈ 𝐴 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ∈ 𝐵 }
Contoh:
Jika A = {2,5,8} dan B = {7,5,22} maka 𝐴 ∪ 𝐵 = {2,5,7,8,22}
𝐴∪∅=𝐴
c) Komplemen (complement)
Definisi 10
Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta S adalah suatu
himpunan yang elemennya merupakan elemen S tetapi bukan elemen A
Notasi: 𝐴 = 𝐴𝐶 = *𝑥 |𝑥 ∈ 𝑆 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∉ 𝐴 }
Contoh:
S
A
AC
Matematika Diskrit
Liduina Asih Primandari
d) Selisih (difference)
Definisi 11
Selisih dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan
elemen dari A tetapi bukan elemen dari B. Selisih antara A dan B dapat juga dikatakan
sebagai komplemen himpunan himpunan B relative terhadap himpunan A.
Notasi: 𝐴 − 𝐵 = *𝑥 |𝑥 ∈ 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∉ 𝐵 } = 𝐴 ∩ 𝐵
Contoh:
Jika A = *1,2,3,…,10+ dan B = {2,4,6,8,10} maka:
A – B = {1,3,5,7,9} dan B – A = ∅
e) Beda setangkup (Symmetric Difference)
Defiisi 12
Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya ada
pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya.
Notasi: 𝐴 ⊕ 𝐵 = (𝐴 ∪ 𝐵) − (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴)
Contoh:
Jika A = {2,4,6} dan B = {2,3,5} maka 𝐴 ⊕ 𝐵 = {3,4,5,6}
Jika A = {1,2,3,4,5} dan B = {5,6,7,8,9} maka 𝐴 ⊕ 𝐵= {1,2,3,4,6,7,8,9}
10.
Perampatan Operasi Himpunan
Operasi himpunan dapat dilakukan pada dua atau lebih himpunan. Oleh karena itu dapat
dilakukan perampatan operasi himpunan dengan menggunakan dasar perampatan yang ada
pada operasi aritmatika biasa.
Misalkan A1, A2, A3, …, An adalah himpunan maka:
𝑛
𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ … ∩ 𝐴𝑛 =
𝐴𝑖
𝑖=1
𝑛
𝐴1 ∪ 𝐴2 ∪ … ∪ 𝐴𝑛 =
𝐴𝑖
𝑖=1
11.
Hukum Aljabar Himpunan
Apabila dua himpunan atau lebih dioperasikan, maka berlaku hukum yang mengatur operasi
tersebut. Beberapa hukum aljabar himpunan yang penting antara lain:
Matematika Diskrit
Liduina Asih Primandari
6
Hukum Identitas
𝐴∪∅=𝐴
𝐴∩𝑆 =𝐴
Hukum Idempoten
𝐴∪𝐴 = 𝐴
𝐴∩𝐴 = 𝐴
Hukum Komutatif
𝐴∪𝐵 =𝐵∪𝐴
𝐴∩𝐵 =𝐵∩𝐴
Hukum De Morgan
𝐴∩𝐵 =𝐴∪𝐵
𝐴∪𝐵 =𝐴∩𝐵
Hukum null / dominasi
𝐴∩∅ = ∅
𝐴∪𝑆=𝑆
Hukum Involusi
(𝐴) = 𝐴
Hukum Asosiatif
𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶
𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶
Hukum 0/1
∅=𝑆
𝑆=∅
Contoh:
a) Buktikan bahwa (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴
(𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐵)
=𝐴∩𝑆
=𝑆
b) Buktikan bahwa 𝐴 ∪ (𝐵 − 𝐴) = 𝐴 ∪ 𝐵
𝐴 ∪ (𝐵 − 𝐴) = 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐴)
= (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐴)
= (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝑆
= (𝐴 ∪ 𝐵)
12.
Hukum Komplemen
𝐴∪𝐴 = 𝑆
𝐴∩𝐴=∅
Hukum Absorpsi
𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴
𝐴 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐴
Hukum Distributif
𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)
𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)
hukum distributif
hukum komplemen
hukum identitas
definisi operasi selisih
hukum distributif
hukum komplemen
hukum identitas
Prinsip Inklusi – Eksklusi
Penggabungan dua buah himpunan (A dan B) menghasilkan himpunan baru yang elemen –
elemennya berasal dari himpunan A dan B. Ada kemungkinan elemen dalam himpunan A juga
merupakan elemen himpunan B. Jumlah elemen himpunan A yang juga menjadi elemen
himpunan B adalah |𝐴 ∩ 𝐵|. Setiap unsur yang sama tersebut telah dihitung satu kali dalam
|𝐴| dan satu kali pada |𝐵|., meskipun seharusnya dianggap satu buah elemen dalam |𝐴 ∪ 𝐵|.
Oleh karena itu, jumlah elemen hasil penggabungan seharusnya adalah jumlah elemen di
masing – masing himpunan dikurangi dengan jumlah elemen dalam irisannya.
|𝐴 ∪ 𝐵| = |𝐴| + |𝐵| − |𝐴 ∩ 𝐵|
Prinsip ini disebut prinsip inklusi – enklusi. Untuk menghitung jumlah elemen hasil operasi
beda setangkup dapat digunakan persamaan:
|𝐴 ⊕ 𝐵| = |𝐴| + |𝐵| − 2|𝐴 ∩ 𝐵|
Contoh:
Berapa banyak bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau5?
Misalkan:
A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3
B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5
Matematika Diskrit
Liduina Asih Primandari
7
8
|𝐴 ∩ 𝐵|= himpuna bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5
Maka:
100
|𝐴| =
= 33
3
100
|𝐵| =
= 20
5
100
|𝐴 ∩ 𝐵| =
=6
15
Sehingga |𝐴 ∪ 𝐵| = |𝐴| + |𝐵| − |𝐴 ∩ 𝐵| = 33 + 20 − 6 = 47
Jadi, ada 47 bilangan yang habis dibagi 3 dan 5.
Prinsip inklusi – eksklusi dapat digunakan untuk operasi lebih dari dua buah himpunan.
Teorema 1
Misalkan A, B dan C adalah himpunan berhingga, maka |𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶| berhingga dan
|𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶| = |𝐴| + |𝐵| + |𝐶| − |𝐴 ∩ 𝐵| − |𝐴 ∩ 𝐶| − |𝐵 ∩ 𝐶| + |𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶|
Matematika Diskrit
Liduina Asih Primandari