Himpunan - E-learning Amikom

Himpunan
1
Tujuan :
2
• memahami pengertian matematika diskrit
• mengenal ruang lingkup kajian matematika
diskrit dan penerapannya
Pokok Bahasan
3
 Pengantar matematika diskrit
 konsep dasar himpunan
Apakah Matematika Diskrit itu?
4
 Cabang matematika yang mempelajari objek-objek diskrit.
 Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)?
Benda disebut diskrit jika:
 - terdiri dari sejumlah berhingga elemen yang
 berbeda, atau
 - elemen-elemennya tidak berkelanjutan
(uncontinue).
 Contoh: himpunan bilangan bulat (integer) , graf, pohon
 Lawan
kata diskrit: kontinyu atau menerus
5
(continuous).
Contoh: himpunan bilangan riil (real)
Kenapa penting belajar matematika diskrit ?
 Komputer digital bekerja secara diskrit. Informasi
yang disimpan dan dimanipulasi oleh komputer
adalah dalam bentuk diskrit.
 Matematika
diskrit merupakan ilmu fondasinya
dalam pendidikan informatika.
 Matematika
diskrit 6 memberikan fondasi
matematis untuk kuliah-kuliah lanjut di
informatika.
 algoritma, struktur data, basis data, otomata dan
teori bahasa formal, jaringan komputer, keamanan
komputer, sistem operasi, teknik kompilasi, dsb.
 Matematika diskrit adalah matematika yang
khas informatika
 Matematika-nya orang Informatika...
7
 Set atau Himpunan adalah bentuk dasar matematika
yang paling banyak digunakan di teknik informatika
 Salah satu topik yang diturunkan dari Himpunan
adalah Class atau collection
Definisi
8
 Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang
berbeda.
 Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur,
atau anggota.
 HMJTI adalah contoh sebuah himpunan, di
dalamnya berisi anggota berupa mahasiswa. Tiap
mahasiswa berbeda satu sama lain.
Notasi himpunan
9
 Himpunan dinyatakan dg huruf capital
 misal : A, B, G
 Sedangkan elemennya dg huruf kecil a, b, c..,1,2,..
Penulisan Himpunan
10
1.
Enumerasi
menyebutkan semua anggota dari himpunan tersebut.
contoh : Himpunan tiga bilangan ganjil pertama: A = {1,3,5}.
Keanggotaan Himpuan
x  A : x merupakan anggota himpunan A;
x  A : x bukan merupakan anggota himpunan A.
Contoh 2.
Misalkan: A = {1,3,5,8}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }, K = {{}}
maka
1  A,
{a, b, c}  R, sedangkan c  R
,
{}  K, sedangkan {}  A
11
Beberapa simbol baku pada himpunan
N = himpunan bilangan alami (asli) = { 0,1, 2, 3,... }
Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
sedangkan U menyatakan himpunan semesta.
Contoh: Misalkan U = {a, b, c, d, e} dan A adalah
himpunan bagian dari U, dengan A = {a, d, e}.
12
3. Notasi Persyaratan
A = {x | persyaratan x}
contoh :
A adalah himpunan bilangan asli yang kecil
dari 10
A = { x | x ≤ 10 dan x ∈ N } atau A = { x ∈ N | x
≤ 10 }
yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10}
Diagram Venn
13
untuk
menyatakan
relasi
antar
himpunan
Misal U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B =
{2, 5, 6, 8}.
maka notasi dalam diagram Venn:
U
A
1
3
B
2
5
7
8
6
4
dinyatakan sebagai anggota himpunan lain.
14
 Contoh :
a. Misalkan, M = { mahasiswa AMIKOM }
 M1 = { mahasiswa anggota HMJTI}
 M2 = { mahasiswa anggota AFC}
 M3 = { mahasiswa anggota AMO}
 Dengan demikian, M = { M1, M2, M3 }
b. Bila P1 = {x, y}, P2 = { {x, y} } atau P2={P1},
 Sementara itu, P3 = {{{x, y}}}, maka x ∈ P1 dan y ∉ P2,
 sehingga P1 ∈ P2 , sedangkan P1 ∉ P3, tetapi P2 ∈ P3
Himpunan Berhingga (Finite Set)
15
 Himpunan yang mempunyai anggota berhingga
disebut himpunan berhingga (finite set)
 Sembarang himpunann yang anggotanya tak
berhingga disebut himpunan tak berhingga(infinite
set)
 contoh A={a,b,c,d,e,f} adalah finite set, sedangkan Z
adalah infinite set.
Kardinalitas
16
menyatakan banyaknya anggota dari himpunan
Notasi: n(A) atau A 
contoh :
(i) B = { x | x merupakan bilangan prima lebih kecil
dari 10}, atau B = {2, 3, 5, 7} maka B = 8
(iii) A = {t, {t}, {{t}},{{{t}}} }, maka A = 4
Himpunan kosong (null set)
17
 Himpunan yang tidak mempunyai anggota atau
kardinalitasnya = 0
 contoh A ={x|x bilangan bulat x2 + 1 = 0} maka
n(A)= 0
 notasi himpunan kosong {} atau Ø
Himpunan Bagian (Subset)
18
 Himpunan A disebut himpunan bagian (subset) dari
himpunan B jika dan hanya jika setiap anggota A
merupakan anggota dari B.
 Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.
 Notasi: A  B
 Diagram Venn:
U
A
B
19
Catatan :
   A dan A  A, maka  dan A disebut himpunan
bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan
A.
Contoh: A = {a,b,c}, maka {a,b,c} dan  adalah
improper subset dari A.
Contoh.
(i) { a, b, c}  {a, b, c, d, e} 20
(ii) { a, b, c}  {a, b, c }
(iii) N  Z  R  C
(iv) Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x 0, y  0 } dan
B = { (x, y) | x + y < 2, x  0 dan y  0 }, maka B  A.
TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal
sebagai berikut:
(a) A adalah himpunan bagian dirinya sendiri (yaitu, A  A).
(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap
himpunan (dalam hal ini A (   A)).
(c) Jika A  B dan B  C, maka A  C
21
Catatan :
A  B tidak sama dengan A  B
Pada :
A  B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A  B.
A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B.
Contoh: {a} dan {b,c} adalah proper subset dari {a,b,c}
sedangkan :
A  B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan
bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B.
Himpunan yang Ekivalen
22
 Himpunan A disebut ekivalen dengan himpunan B jika
dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut
sama.
 Notasi : A ~ B  A = B
A = { 1,2,3,4} dan B = { ali, budi, joko,tuti }, maka
A ~ B sebab A = B = 4
Himpunan yang Sama
23

A = B jika dan hanya jika setiap anggota A merupakan
anggota B dan sebaliknya setiap anggota B merupakan
anggota A.. Jika tidak demikian, maka A  B.

Notasi : A = B  A  B dan B  A
Himpunan Kuasa
24
 Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan
yang anggotanya merupakan semua himpunan bagian dari A,
termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.
 Notasi : P(A) atau 2A
 Jika A = m, maka P(A) = 2m.
Contoh 12.
Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}
Contoh 13.
Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P() = {}, dan
himpunan kuasa dari himpunan {} adalah P({}) = {, {}}.
Himpunan Saling Lepas
25
 Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya
tidak memiliki anggota yang sama.
 Notasi : A // B
 Diagram Venn:
U
A
B
Contoh 11.
Jika A = { x | x  P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.
Operasi Terhadap Himpunan
26
1. Irisan (intersection)
 Notasi : A  B = { x  x  A dan x  B }
Contoh
(i) Jika A = {a,b,c,d,e} dan B = {c,e,f,g}, maka A  B = {c,e}
(ii) Jika A = { 1,2,3} dan B = { 4,5}, maka A  B = . Artinya: A // B
2. Gabungan (union)
27
 Notasi : A  B = { x  x  A atau x  B }
Contoh:
(i) Jika A = { a, b, c} dan B = { b,c,d,e }, maka A  B = {
a,b,c,d,e }
(ii) A   = A
28
5. Beda Setangkup (Symmetric Difference)
 Notasi: A  B = (A  B) – (A  B) = (A – B)  (B – A)
Contoh 19.
Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A  B = { 3, 4, 5, 6 }
3. Komplemen (complement)
29
 Notasi : A = { x  x  U, x  A }
Contoh
Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 7 },
(i) jika A = {1, 3, 4, 6}, maka A = {2, 5, 7}
(ii) jika A = { x | x/2  P, x < 7 }, maka A = { 1, 3, 5, 7, }
4. Selisih (difference)
30
 Notasi : A – B = { x  x  A dan x  B } = A  B
Contoh.
(i) Jika A = { a, b, c,d,e,f} dan B = { c,d,f}, maka A – B = { a,b,e}
dan B – A = 
(ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}
31
TEOREMA 2. Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:
(a) A  B = B  A
(hukum komutatif)
(b) (A  B )  C = A  (B  C )
(hukum asosiatif)
Contoh 20. Misalkan
32
U = himpunan mahasiswa
P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80
Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80
Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai
UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian
di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80.
(i) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai A” : P  Q
(ii) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P  Q
(iii) “Ssemua mahasiswa yang mendapat nilai C” : U – (P  Q)
33
6. Perkalian Kartesian (cartesian
product)
 Notasi: A  B = {(a, b)  a  A dan b  B }
Contoh.
(i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka
C  D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
(ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka
A  B = himpunan semua titik di bidang datar
34
Catatan:
1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka:
A  B = A . B.
2. (a, b)  (b, a).
3. A  B  B  A dengan syarat A atau B tidak kosong.
Pada Contoh 20(i) di atas, C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b },
D  C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) }
C  D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
D  C  C  D.
4. Jika A =  atau B = , maka A  B = B  A = 
Contoh. Misalkan
35
A = himpunan makanan = { s = soto, b = bakso, n = nasi
goreng, m = mie ayam}
B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es
jeruk}
Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat
disusun dari kedua himpunan di atas?
Jawab:
A  B = AB = 4  3 = 12 kombinasi dan minuman,
yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (b, c), (b, t), (b, d), (n, c), (n, t), (n, d),
(m, c), (m, t), (m, d)}.
36
Contoh. Daftarkan semua anggota himpunan berikut:
(a) P() (b)   P() (c) {} P() (d) P(P({3}))
Penyelesaian:
(a) P() = {}
(b)   P() =  (ket: jika A =  atau B =  maka A  B = )
(c) {} P() = {} {} = {(,))
(d) P(P({3})) = P({ , {3} }) = {, {}, {{3}}, {, {3}} }
Perampatan Operasi Himpunan
37
n
A1  A2  ...  An   Ai
i 1
n
A1  A2  ...  An   Ai
i 1
n
A1  A2  ...  An  i1 Ai
n
A1  A2  ...  An  
Ai
i 1
Contoh 22.
38
(i) A (B1B2  ... Bn) = (A B1)  (A  B2)  ...  (A  Bn)
A  ( B )   ( A  B )
n
i 1
n
i
i 1
i
(ii) Misalkan A = {1, 2}, B = {a, b}, dan C = {, }, maka
A  B  C = {(1, a, ), (1, a, ), (1, b, ), (1, b, ), (2, a, ),
(2, a, ), (2, b, ), (2, b, ) }
daftar pustaka
39
 Munir, Rinaldi, Matematika Diskrit, Edisi
kedua,Penerbit Informatika Bandung,2001