Himpunan - Lisna Zahrotun

PENGANTAR
MATEMATIKA DISKRIT
DAN HIMPUNAN
PERTEMUAN I
oleh :
Lisna Zahrotun, S.T, M.Cs
[email protected]
lisnazahrotun.tif.uad.ac.id
1

Penilaian :
1. UTS 25%
2. UAS 30%
3. Keaktifan
4. Praktikum 20% (Jika gagal praktikum maka nilai E)
5. Quis 5%
6. Tugas 20%

Pemalsuan persensi dan copy paste tugas diberikan
sangsi mereview jurnal yang berhubngan dengan
statistik informatika
2
TUJUAN :
•
•
•
memahami pengertian matematika diskrit
mengenal ruang lingkup kajian matematika
diskrit dan penerapannya
mengenal berbagai refensi pustaka yang dapat
diacu
3
POKOK BAHASAN
Pengantar matematika diskrit
 konsep dasar himpunan

4
APAKAH MATEMATIKA DISKRIT ITU?


Cabang matematika yang mempelajari objek-objek diskrit.
Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)?
Benda disebut diskrit jika:
 - terdiri dari sejumlah berhingga elemen yang

berbeda, atau
 - elemen-elemennya tidak berkelanjutan
(uncontinue).
 Contoh: himpunan bilangan bulat (integer) , graf, pohon
5

Lawan kata diskrit: kontinyu atau menerus (continuous).
Contoh: himpunan bilangan riil (real)
Kenapa penting belajar matematika diskrit ?

Komputer digital bekerja secara diskrit. Informasi yang
disimpan dan dimanipulasi oleh komputer adalah dalam
bentuk diskrit.

Matematika diskrit merupakan ilmu fondasinya dalam
pendidikan informatika.
6
7

Matematika diskrit memberikan fondasi
matematis untuk kuliah-kuliah lanjut di
informatika.
 algoritma, struktur data, basis data, otomata dan
teori bahasa formal, jaringan komputer, keamanan
komputer, sistem operasi, teknik kompilasi, dsb.

Matematika diskrit adalah matematika yang
khas informatika
 Matematika-nya orang Informatika...
8
Materi-materi dalam Struktur Diskrit:
















Logika (logic)
Teori Himpunan (set)

Matriks (matrice)

Relasi dan Fungsi (relation and function)

Induksi Matematik (mathematical induction)

Algoritma (algorithms)
Teori Bilangan Bulat (integers)

Barisan dan Deret (sequences and series)
Teori Grup dan Ring (group and ring)
Aljabar Boolean (Boolean algebra)
Kombinatorial (combinatorics)

Teori Peluang Diskrit (discrete probability)
Fungsi Pembangkit dan Analisis Rekurens
Teori Graf (graph – included tree)

Kompleksitas Algoritma (algorithm complexity)
Otomata & Teori Bahasa Formal (automata and formal language theory)
9
Beberapa contoh persoalan di dalam
Matematika Diskrit
 Berapa banyak account mail yahoo yang
dapat dibuat?
 Bagaimana menentukan jarak terpendek
dari dua kota?
 Buktikan bahwa perangko senilai n (n  8)
rupiah dapat menggunakan hanya
perangko 3 rupiah dan 5 rupiah saja
10

Dapatkah kita melalui semua jalan di sebuah kompleks
perumahan tepat hanya sekali dan kembali lagi ke
tempat semula?

“Makanan murah tidak enak”, “makanan enak tidak
murah”.
Apakah
kedua
pernyataan
tersebut
menyatakan hal yang sama?
11
MORAL CERITA INI…

Mahasiswa informatika diharapkan mempunyai
pemahaman yang kuat dalam Matematika Diskrit,
agar tidak mendapat kesulitan dalam memahami
kuliah-kuliah lanjutannya di informatika.
12
LETS BEGIN..

Teori Himpunan
13
TUJUAN
dapat memahami konsep himpunan
 dapat memahami berbagai variasi operasi
pada himpunan
 dapat memahami sifat operasi-operasinya.

14
PENGANTAR..
Set atau Himpunan adalah bentuk dasar
matematika yang paling banyak digunakan di
teknik informatika
 Salah satu topik yang diturunkan dari
Himpunan adalah Class atau collection

15
DEFINISI
Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek
yang berbeda.
 Objek di dalam himpunan disebut elemen,
unsur, atau anggota.
 HMTIF adalah contoh sebuah himpunan, di
dalamnya berisi anggota berupa mahasiswa.
Tiap mahasiswa berbeda satu sama lain.

16
NOTASI HIMPUNAN
Himpunan dinyatakan dg huruf capital
 misal : A, B, G
 Sedangkan elemennya dg huruf kecil a, b,
c..,1,2,..

17
PENULISAN HIMPUNAN
1.
Enumerasi
menyebutkan semua anggota dari himpunan tersebut.
contoh : Himpunan tiga bilangan ganjil pertama: A = {1,3,5}.
Keanggotaan Himpuan
x  A : x merupakan anggota himpunan A;
x  A : x bukan merupakan anggota himpunan A.
Contoh 2.
Misalkan: A = {1,3,5,8}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }, K = {{}}
maka
1  A,
{a, b, c}  R, sedangkan c  R ,
{}  K, sedangkan {}  A
18
Beberapa simbol baku pada himpunan
N = himpunan bilangan alami (asli) = { 0,1, 2, 3,... }
Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
sedangkan U menyatakan himpunan semesta.
Contoh: Misalkan U = {a, b, c, d, e} dan A adalah himpunan
bagian dari U, dengan A = {a, d, e}.
19
3. Notasi Persyaratan
A = {x | persyaratan x}
contoh :
A = {x | x bilangan bulat dengan x2 -1 =0}
B = {x | x merupakan huruf vokal}
20
DIAGRAM VENN
untuk menyatakan relasi antar himpunan
Misal U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B =
{2, 5, 6, 8}.
maka notasi dalam diagram Venn:
U
A
1
3
B
2
5
7
8
6
4
21
HIMPUNAN BERHINGGA (FINITE SET)
Himpunan yang mempunyai anggota berhingga
disebut himpunan berhingga (finite set)
 Sembarang himpunann yang anggotanya tak
berhingga disebut himpunan tak
berhingga(infinite set)
 contoh A={a,b,c,d,e,f} adalah finite set,
sedangkan Z adalah infinite set.

22
KARDINALITAS
menyatakan banyaknya anggota dari himpunan
Notasi: n(A) atau A 
contoh :
(i) B = { x | x merupakan bilangan prima lebih kecil dari
10}, atau B = {2, 3, 5, 7} maka B = 4
(iii) A = {t, {t}, {{t}},{{{t}}} }, maka A = 4
23
HIMPUNAN KOSONG (NULL SET)
Himpunan yang tidak mempunyai anggota atau
kardinalitasnya = 0
 contoh A ={x|x bilangan bulat x2 + 1 = 0} maka
n(A)= 0
 notasi himpunan kosong {} atau Ø

24
HIMPUNAN BAGIAN (SUBSET)
 Himpunan A disebut himpunan bagian (subset) dari
himpunan B jika dan hanya jika setiap anggota A
merupakan anggota dari B.
 Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.
 Notasi: A  B
 Diagram Venn:
U
A
B
25
Catatan :
   A dan A  A, maka  dan A disebut himpunan
bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan
A.
Contoh: A = {a,b,c}, maka {a,b,c} dan  adalah
improper subset dari A.
26
Contoh.
(i) { a, b, c}  {a, b, c, d, e}
(ii) { a, b, c}  {a, b, c }
(iii) N  Z  R  C
(iv) Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x 0, y  0 } dan
B = { (x, y) | x + y < 2, x  0 dan y  0 }, maka B  A.
TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal
sebagai berikut:
(a) A adalah himpunan bagian dirinya sendiri (yaitu, A  A).
(b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap
himpunan (dalam hal ini A (   A)).
(c) Jika A  B dan B  C, maka A  C
27
Catatan :
A  B tidak sama dengan A  B
Pada :
A  B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A  B.
A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B.
Contoh: {a} dan {b,c} adalah proper subset dari {a,b,c}
sedangkan :
A  B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan
bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B.
28
HIMPUNAN YANG EKIVALEN
 Himpunan A disebut ekivalen dengan himpunan B jika
dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut
sama.
 Notasi : A ~ B  A = B
A = { 1,2,3,4} dan B = { ali, budi, joko,tuti }, maka
A ~ B sebab A = B = 4
29
HIMPUNAN YANG SAMA

A = B jika dan hanya jika setiap anggota A merupakan
anggota B dan sebaliknya setiap anggota B merupakan
anggota A.. Jika tidak demikian, maka A  B.

Notasi : A = B  A  B dan B  A
30
HIMPUNAN KUASA
 Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan
yang anggotanya merupakan semua himpunan bagian dari A,
termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.
 Notasi : P(A) atau 2A
 Jika A = m, maka P(A) = 2m.
Contoh 12.
Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}
Contoh 13.
Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P() = {}, dan
himpunan kuasa dari himpunan {} adalah P({}) = {, {}}.
31
HIMPUNAN SALING LEPAS
 Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya
tidak memiliki anggota yang sama.
 Notasi : A // B
 Diagram Venn:
U
A
B
Contoh 11.
Jika A = { x | x  P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.
32
OPERASI TERHADAP HIMPUNAN
1. Irisan (intersection)
 Notasi : A  B = { x  x  A dan x  B }
Contoh
(i) Jika A = {a,b,c,d,e} dan B = {c,e,f,g}, maka A  B = {c,e}
(ii) Jika A = { 1,2,3} dan B = { 4,5}, maka A  B = . Artinya: A // B
33
2. Gabungan (union)
 Notasi : A  B = { x  x  A atau x  B }
Contoh:
(i) Jika A = { a, b, c} dan B = { b,c,d,e }, maka A  B = {
a,b,c,d,e }
(ii) A   = A
34
5. Beda Setangkup (Symmetric Difference)
 Notasi: A  B = (A  B) – (A  B) = (A – B)  (B – A)
Contoh 19.
Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A  B = { 3, 4, 5, 6 }
35
3. Komplemen (complement)
 Notasi : A = { x  x  U, x  A }
Contoh
Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 7 },
(i) jika A = {1, 3, 4, 6}, maka A = {2, 5, 7}
(ii) jika A = { x | x/2  P, x < 7 }, maka A = { 1, 3, 5, 7, }
36
4. Selisih (difference)
 Notasi : A – B = { x  x  A dan x  B } = A  B
Contoh.
(i) Jika A = { a, b, c,d,e,f} dan B = { c,d,f}, maka A – B = { a,b,e}
dan B – A = 
(ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}
37
TEOREMA 2. Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:
(a) A  B = B  A
(hukum komutatif)
(b) (A  B )  C = A  (B  C )
(hukum asosiatif)
38
Contoh 20. Misalkan
U = himpunan mahasiswa
P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80
Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80
Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai
UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian
di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80.
(i) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai A” : P  Q
(ii) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P  Q
(iii) “Ssemua mahasiswa yang mendapat nilai C” : U – (P  Q)
39
6. Perkalian Kartesian (cartesian product)
 Notasi: A  B = {(a, b)  a  A dan b  B }
Contoh.
(i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka
C  D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
(ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka
A  B = himpunan semua titik di bidang datar
40
Catatan:
1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka:
A  B = A . B.
2. (a, b)  (b, a).
3. A  B  B  A dengan syarat A atau B tidak kosong.
Pada Contoh 20(i) di atas, C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b },
D  C = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) }
C  D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
D  C  C  D.
4. Jika A =  atau B = , maka A  B = B  A = 
41
Contoh. Misalkan
A = himpunan makanan = { s = soto, b = bakso, n = nasi
goreng, m = mie ayam}
B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t = teh, d = es
jeruk}
Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat
disusun dari kedua himpunan di atas?
Jawab:
A  B = AB = 4  3 = 12 kombinasi dan minuman,
yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (b, c), (b, t), (b, d), (n, c), (n, t), (n, d),
(m, c), (m, t), (m, d)}.
42
Contoh. Daftarkan semua anggota himpunan berikut:
(a) P() (b)   P() (c) {} P() (d) P(P({3}))
Penyelesaian:
(a) P() = {}
(b)   P() =  (ket: jika A =  atau B =  maka A  B = )
(c) {} P() = {} {} = {(,))
(d) P(P({3})) = P({ , {3} }) = {, {}, {{3}}, {, {3}} }
43
Latihan
Misalkan A adalah himpunan. Periksalah apakah setiap
pernyataan di bawah ini benar atau salah dan jika salah,
bagaimana seharusnya:
(a) A  P ( A)  P ( A)
(b) { A}  P ( A)  P ( A)
(c) A  P ( A)  A
(d) { A}  P ( A)
(e) A  P ( A)
44
(a) salah, seharusnya A  P( A)  
(b) benar
(c) benar
(d) salah, seharusnya { A}  P( A)
(e) salah, seharusnya A P( A)
45
DAFTAR PUSTAKA




Doer Allan, Kenneth Levasseur, Applied Discrete
Structures for Computer Science, Science Research
Associates, Inc. Toronti,1985
Kolman, Bernard, Robert C.Busby,Sharon Ross,
Discrete Mathematical Structures,Prentice Hall,1987
Munir, Rinaldi, Matematika Diskrit, Edisi
kedua,Penerbit Informatika Bandung,2001
Rosen,Kenneth H.,Discreete Mathematics and Its
Application, The Random House Birkhauser
Mathematics Series NewYork,1987
46
WEB SITE
http://syssci.atu.edu/math/faculty/finan/main
2.pdf
 http://www1.cs.columbia.edu/~zeph/3203s04
/lectures.html
 http://www.informatika.org/~rinaldi/Matdis/m
atdis.htm
 http://www.matematikamenyenangkan.com/bil
angan-real/

47