Jenis-jenis fungsi dan fungsi linier Hafidh Munawir

Jenis-jenis fungsi dan
Jenisfungsi linier
Hafidh Munawir
Diskripsi Mata Kuliah
Memperkenalkan unsur-unsur fungsi ialah variabel
bebas dan variabel terikat, koefisien, dan
konstanta, yang saling berkaitan satu sama lain dala
hubungan yang dapat dijelaskan secara ateatis
yaitu hubungan yang linier. Fungsi-fungsi yang
bersifat linier tersebut dapat saling berhimpit,
sejajar atau bahkan berpotongan. Untuk mencari
perpotongan dua fungsi yang linier digunakan
metode eliminasi, substitusi atau dengan cara
determinan.
2
Teori Fungsi
Fungsi yaitu hubungan matematis antara suatu
variabel dengan variabel lainnya.
Unsur-unsur pembentukan fungsi yaitu variabel,
Koefisien dan konstanta.
Yang dimaksud dengan variabel ialah unsur yang
sifatnya berubah-ubah dari satu keadaan ke keadaan
lainnya. Dalam suatu fungsi, Penggolongan variabel
dibedakan menjadi variabel bebas dan variabel
terikat.
Variabel, Koefisien, & Konstanta
Variabel bebas yaitu variabel yang menerangkan
variabel lain, sedangkan variabel terikat yaitu variabel
yang diterangkan oleh variabel lain.
Koefisien ialah bilangan atau angka yang diletakkan
tepat di depan suatu variabel, terkait dengan variabel
yang bersangkutan.
Konstanta atau Intersep sifatnya tetap dan tidak terkait
dengan suatu variabel apa pun.
secara umum jika dikatakan bahwa y adalah fungsi dari
x maka ditulis y = f(x), dimana x adalah variabel bebas
dan y adalah variabel terikat
Bentuk Umum
Secara umum jika dikatakan bahwa y adalah fungsi dari x
maka ditulis y = f(x), dimana x adalah variabel bebas dan
y adalah variabel terikat.
Contoh :
 3y = 4x – 8,
y adalah variabel terikat
x adalah variabel bebas
3 adalah koefisien ( terletak didepan variabel y)
4 adalah koefisien ( terletak didepan variabel x)
-8 adalah konstanta
Jenis--jenis fungsi
Jenis
Fungsi
Fungsi aljabar
Fungsi
irrasional
F. Polinom
F. Linier
F. Kuadrat
F. Kubik
F. Bikuadrat
Fungsi non-aljabar (transenden)
Fungsi
rasional
F.Pangkat
F. Eksponensial
F. Logaritmik
F. Trigonometrik
F. Hiperbolik
6
Jenis-jenis Fungsi
a. Fungsi Linier
Bentuk umum : Y = a0 + a1x1
Contoh : Y = 1 + 2x1
b. Fungsi Kuadrat
Bentuk umum : Y = a0 + a1x1 + a2x2
Contoh : Y = 1 - 2x1 - 3x2
Lanjutannya …
7
Jenis-jenis Fungsi
c. Fungsi Eksponen
Bentuk umum : Y = nx
Contoh : Y = 2x
d. Fungsi Logaritma
Bentuk umum : Y = n log x
Contoh : Y = 4 log x
8
Fungsi Linier
Fungsi linier adalah fungsih polinom yang
variabel bebasnya memiliki memilikipangkat
paling tinggi adalah satu.
Misal : Y = a0 + a1x1 , dimana Y disebut variabel
terikat dan x disebut variabel bebas.
a0
a1
konstanta, nilainya positif, negatif, atau nol
Koefisien, nilainya positif, negatif atau nol
9
Gradien Garis Lurus (m)
Fungsi linier Y = a0 + a1x1, jika digambarkan
maka grafiknya berupa garis lurus. Koefisien
x, yaitu a1 menunjukkan nilai kemiringan garis
atau gradien.
Jika sebuah garis lurus melalui dua titik A(x1, y1)
dan B(x2, y2), maka nilai gradiennya (m),
adalah sebagai berikut :
10
Grafik Fungsi
a. Y = 4 + 2x
Y
X
Y
0
0
(0, 4)
(-2, 0)
0
X
11
b. Y = 4 - 2x
X
Y
Y
0
0
(0, 4)
0 (2, 0)
X
Lanjutannya …
12
b. Y = - 4 + 2x
X
Y
Y
(2, 0)
0
0
0
X
(0, -4)
Lanjutannya …
13
6. Hubungan Dua Fungsi Linier
Ada dua fungsi linier dimana fungsi linier
pertama yaitu : Y = a0 + a1 x dan fungsi linier
yang kedua yaitu : Y’ = a0’ + a1’ x.
Kedua Fungsi Linier tersebut berada dalam
berbagai keadaan:
Lanjutannya …
14
1. Berimpit
Y
Y = a0 + a1x
Y’ = a’0 +a’1x
0
X
Karena berhimpit, maka a0 = a0’ dan a1 = a1’
Contoh :
Fungsi linier Pertama : Y = 4 + 2x , intersep 4, gradien 2
Fungsi linier kedua : 2Y = 8 + 4x , intersep 8/2 = 4 ,
gradien 4/2 = 2
Lanjutannya …
15
2. Sejajar
Y
Y = a0 + a1x
Y’ = a’0 +a’1x
0
X
Karena sejajar, maka a0 ≠ a0’ dan a1 = a1’
Contoh :
Fungsi linier pertama : Y = 4 + 4x , intersep 4, gradien 4
Fungsi linier kedua : Y = 2 + 4x ,
intersep 2, gradi
4
Lanjutannya …
16
3. Berpotongan
Y
Y = a0 + a1x
Y’ = a’0 +a’1x
0
X
Karena Berpotongan, maka dan a1 ≠ a1’
untuk kondisi seperti pada gambar a0 = a0’
Contoh :
Fungsi linier pertama Y = 4 + 4x , intersep 4, gradien 4
Fungsi linier kedua : Y = 2 – 4x , intersep 2, gradien –
4
Lanjutannya …
17
4. Berpotongan Tegak Lurus
Y
0
Y = a0 + a1x
X
Y’ = a’0 +a’1x
Karena Berpotongan, maka dan a1 . a1’= -1
untuk kondisi seperti pada gambar a0 = a0’
Contoh :
Fungsi linier pertama : Y = 4 + 4x, intersep 4, gradien 4
Fungsi linier kedua : Y = 2 – 1/ 4x, intersep 2,
gradien –1/4
18
7. Titik Potong Dua Fungsi Linier
Ada dua fungsi linier dimana fungsi linier
pertama yaitu : Y = a0 + a1 x dan fungsi linier
yang kedua yaitu : Y’ = a0’ + a1’ x.
Untuk fungsi linier yang saling berpotongan,
maka untuk mencari titik potongnya dapat
dilakukan dengan cara :
 Eliminasi
 Substitusi
 Elisusi (Campuran)
 Determinan
Lanjutannya … Contoh …
19
Metode Eliminasi
Prinsip yang digunakan untuk menghilangkan
suatu
variabel
adalah
mengurangkan
atau
menjumlahkannya.
 Untuk menghilangkan suatu variabel, koefisien
dari variabel tersebut pada kedua persamaan
harus sama. Jika belum sama, masing-masing
persamaan dikalikan dengan bilangan tertentu
sehingga variabel tersebut memiliki koefisien
sama.
 Jika variabel yang akan dihilangkan bertanda
sama, dua persamaan dikurangi, dan jika
memiliki tanda yang berbeda, dua persamaan
ditambah.
Contoh 1
1
.
.
.
1
1



 
2
.
.
.
2


y y
2 3



x x
3 4
-
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem
persamaan :
Penyelesaian
Untuk mencari variabel y berarti variabel x
dieliminasi :
 3x  2y  11 ... 1  x4 12x  8y  44

 - 4x  3y   2 ... 2  x3  12x  9y   6 +
y = 38
Untuk mencari variabel x berarti variabel y
dieliminasi :
 3x  2y  11 ... 1  x3 9x  6y  33

 - 4x  3y   2 ... 2  x2  8x  6y   4
x = 29
+
Jadi himpunan penyelesaian dari sistem
persamaan linear tersebut adalah {(29,
38)}
Contoh 2
 3x  5y  14

 2x  4y   20
Penyelesaian
Untuk mencari variabel y maka variabel x dieliminasi
 3x  5y  14 x2 6x  10y  28

6x  12y   60
2x
4y
20
x3




-22y = 88
y = -4
-
Untuk mencari variabel x maka variabel y dieliminasi
 3x  5y  14 x4 12 x  20 y  56

 2x  4y   20 x5 10 x  20 y   100
22x = -44
x = -2
+
Jadi himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
linear tersebut adalah {(-2, -4)}
Metode Substitusi
Substitusi
artinya
mengganti
atau
menyatakan salah satu variabel dengan
variabel lainnya.
Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem
persamaan :
 3x  2 y  11 ... 1 

 - 4x  3 y   2 ... 2 
Penyelesaian
 3x  2 y  11 ... 1 

 - 4x  3 y   2 ... 2 
Misalkan yang akan disubstitusi adalah variabel x
pada
persamaan
(2),
maka
persamaan
(1)
dinyatakan dalam bentuk :
3x – 2y = 11
3x = 2y + 11
2y  11
x
3
…(3)
Substitusikan nilai x pada
persamaan (2), sehingga :
persamaan
(3)
ke
-4x + 3y = -2
 2y 11
 + 3y = -2
-4 
 3 
(x3)
-4(2y + 11) + 9y = -6
-8y – 44 + 9y = -6
-8y + 9y = -6 + 44
y = 38
Untuk mendapatkan nilai x, substitusikan y = 38 ke
persamaan (3)
2y  11  2.3811
 87 
 =   = 29
x
=
 3 
3
3
Jadi
himpunan
penyelesaian
dari
sistem
persamaan linear tersebut adalah {(29, 38)}
Contoh 2
 3x  5y  14

 2x  4y   20
Coba Anda selesaikan contoh 2 di atas dengan cara
substitusi, apakah hasilnya sama seperti dengan cara
eliminasi, karena contoh 1 kita peroleh penyelesaian
yang sama (untuk cara eliminasi dan substitusi)
Metode Gabungan (EliSusi)
Metode Gabungan yaitu penggunaan
metode yaitu eliminasi dan substitusi.
Contoh 1
Tentukan himpunan
persamaan :
penyelesaian
 3x  2 y  11 ... 1 

 - 4x  3 y   2 ... 2 
dari
dua
sistem
Penyelesaian
 Untuk mencari variabel y berarti variabel x
dieliminasi :
 3x  2y  11 ... 1  x4 12x  8y  44

 - 4x  3y   2 ... 2  x3  12x  9y   6
+
y = 38
 Nilai y = 38 disubstitusikan ke persamaan (1) :
3x – 2y = 11
3x – 2(38) = 11
3x – 76 = 11
3x = 11 + 76
3x = 87
x = 29
 Jadi himpunan penyelesaian dari sistem
persamaan linear tersebut adalah {(29, 38)}
Contoh 2
 3x  5y  14

 2x  4y   20
 Coba Anda selesaikan contoh 2 di atas dengan cara
gabungan, apakah hasilnya juga sama dengan cara
eliminasi dan substitusi !
Metode Determinan
Metode
Determinan
yaitu
determinan pada matriks.
Contoh 1
Tentukan himpunan
persamaan :
penyelesaian
 3x  2 y  11 ... 1 

 - 4x  3 y   2 ... 2 
penggunaan
dari
sistem
Penyelesaian
 Untuk mencari variabel x :
11
 2
x 
3
 4
 2
3
11 . 3  (  2 ).(  2 )
33  4


 29
 2
3 . 3  (  4 )(  2 )
9  8
3
 Untuk mencari variabel y :
3
y 
 4
3
 4
11
 2
3 .(  2 )  (  4 ). 11
 6  44


 2
3 . 3  (  4 )(  2 )
9  8
3
 38
Jadi himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
linear tersebut adalah {(29, 38)}
Contoh 2
 3x  5y  14

 2x  4y   20
 Coba Anda selesaikan contoh 2 di
atas
dengan
cara
gabungan,
apakah hasilnya juga sama dengan
cara determinan !
8. Penamaan Fungsi Linier
B(x2, y2)
A(x1, y1)
Contoh
Carilah garis yang melalui A(2, 5)
dan (6, 17) !
Penyelesaian
8. Penamaan Fungsi Linier
A(x1, y2)
Contoh
Carilah garis yang melalui A(2, 5)
dengan kecondongan sebesar 3 !
Penyelesaian
SELAMAT MENGERJAKAN
DAN BERDISKUSI