PERSAMAAN GARIS (2) Pada pembahasan yang lalu kita telah

A. PERSAMAAN GARIS (2)
Pada pembahasan yang lalu kita telah mempelajari cara menentukan persamaan garis
y = mx dan y = mx + c jika grafiknya di ketahui. Pada bagian ini kita akan mempelajari
secara lebih mendalam mengenai cara menentukan persamaan garis jika grafiknya tidak
di ketahui. Pelajari uraian berikut ini :
1. Persamaan Garis yang Melalui Sebuah Titik (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) dengan gradien m
Perhatikan langkah berikut :
a. Subtitusikan titik (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) ke persamaan y = mx + c
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐
𝑦1 = 𝑚𝑥1 + 𝑐
𝑐 = 𝑦1 − 𝑚𝑥1
b. Subtitusikan nilai c ke persamaan y = mx + c
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑦1 − 𝑚𝑥1
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚𝑥 − 𝑚𝑥1
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 )
Jadi :
Persamaan garis yang melalui titik (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) dan bergradien
m adalah 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏 )
Contoh :
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3,5) dan bergradien
1
2
Penyelesaian :
Persamaan garis yang melalui titik (𝑥1 , 𝑦1 ) dan bergradien m adalah
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ). Oleh karena itu persamaan garis yang melalui titik (3,5) dan
bergradien
1
2
sebagai berikut :
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 )
1
𝑦 − 5 = (𝑥 − 3)
2
1
3
𝑦 = 𝑥− +5
2
2
1
7
𝑦= 𝑥+
2
2
Atau
2𝑦 = 𝑥 + 7
2. Persamaan Garis yang Melalui titik (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) dan Sejajar dengan Garis
𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒄
Y
g
l
.
(𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 )
Y = mx + c
0
X
Gambar tersebut menunjukkan garis l dengan persamaan y = mx + c bergradien m
dan garis g sejajar dengan l/ Karena garis g // l maka 𝑚𝑔 = 𝑚1 = 𝑚.
Garis g melalui titik (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) dan bergradien m, sehingga persamaan garisnya
adalah 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏 ).
Persamaan garis yang melalui titik (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) dan
sejajar garis 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏 )
Contoh :
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, -3) dan sejajar dengan garis
3x + 4y = 5.
Penyelesaian:
3
Gradien garis 3𝑥 + 4𝑦 = 5 adalah 𝑚1 = − . Karena garis yang melalui titik
4
(2,3) sejajar dengan garis 3𝑥 + 4𝑦 = 5 maka gradiennya = 𝑚2 = −
3
4
3
Persamaan garis yang melalui titik (2,3) dan bergradien − adalah
4
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 )
3
𝑦 − (−3) = − (𝑥 − 2)
4
3
𝑦 + 3 = − (𝑥 − 2)
4
3
3
𝑦 =− 𝑥+ −3
4
2
3
3
𝑦=− 𝑥−
4
2
Atau
4𝑦 = −3𝑥 − 6
3. Persamaan Garis yang Melalui (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) dan Tegak Lurus dengan Garis
y = mx + c
Persamaan garis yang melalui titik (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) dan tegak lurus
𝟏
dengan garis y = mx + c adalah 𝒚 − 𝒚𝟏 = − 𝒎 (𝒙 − 𝒙𝟏 )
Contoh :
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (-1,3) dan tegak lurus garis
2𝑥 + 3𝑦 = 6 kemudian gambar grafiknya pada bidang koordinatnya.
Penyelesaian :
Gradien garis 2𝑥 + 3𝑦 = 6 adalah =
−2
−3
2
= . Persamaan garis yang melalui (3
1,3) dan tegak lurus garis 2𝑥 + 3𝑦 = 6 adalah
𝑦 − 𝑦1 = −
1
(𝑥 − 𝑥1 )
𝑚
1
𝑦 − 3 = − (𝑥 − (−1))
2
𝑦−3=−
1
(𝑥 − (−1))
2
3
3
𝑦 − 3 = − (𝑥 + 1)
2
3
3
𝑦 =− 𝑥+ +3
2
2
3
3
𝑦 =− 𝑥+ +3
2
2
3
3
𝑦=− 𝑥+
2
2
Atau
2𝑦 = −3𝑥 + 3
Gambar grafiknya sebagai berikut
4. Persamaan Garis yang Melalui Dua Titik Sebarang (𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) dan (𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 )
Persamaan garis yang melalui dua titik dapat di selesaikan
dengan substitusi ke fungsi linier 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃
Persaamaan garis yang melalui titik 𝑨(𝒙𝟏 , 𝒚𝟏 ) dan 𝑩(𝒙𝟐 , 𝒚𝟐 ) adalah
𝒚 − 𝒚𝟏 =
𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
(𝒙 − 𝒙𝟏 )
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
Atau dapat di tuliskan
𝒚 − 𝒚𝟏
𝒙 − 𝒙𝟏
=
𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟏
Contoh :
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3,-5) dan (-2,-3)
Penyelesaian:
Persamaan garis yang melalui titik (3,-5) dan (-2,-3) sebagai berikut.
Cara 1
Dengan substitusi ke fungsi linier 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
−5 = 𝑎(3) + 𝑏
−3 = 𝑎(−2) + 𝑏
−5 = 3𝑎 + 𝑏
−3 = −2𝑎 + 𝑏
−5— 3 = 3𝑎 − (−2𝑎)
−5 + 3 = 3𝑎 + 2𝑎
−2 = 5𝑎
−
2
=𝑎
5
Substitusi nilai 𝑎 ke persamaan
−5 = 3𝑎 + 𝑏
2
−5 = 3 (− 5) + 𝑏
6
−5 = − + 𝑏
5
𝑏=−
19
5
Persamaan garis yang memenuhi
2
19
5
5
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 adalah 𝑦 = − 𝑥 −
Cara 2
atau −5𝑦 = 2𝑥 + 19
Dengan menggunakan rumus
Substitusikan titik (3,-5) dan (-2,-3) ke persamaan
𝒚−𝒚𝟏
𝒙−𝒙𝟏
𝒚𝟐 −𝒚𝟏
=𝒙
𝟐 −𝒙𝟏
𝒚−(−𝟓)
−𝟑−(−𝟓)
𝒚+𝟓
𝟐
=
=
𝒙−𝟑
−𝟐−𝟑
𝒙−𝟑
−𝟓
−𝟓(𝒚 + 𝟓) = 𝟐(𝒙 − 𝟑)
−𝟓𝒚 − 𝟐𝟓 = 𝟐𝒙 − 𝟔
−𝟓𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟔 + 𝟐𝟓
−𝟓𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟏𝟗
𝟐
𝟏𝟗
𝒚= − 𝒙−
𝟓
𝟓
Atau
−𝟓𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟏𝟗
Jadi persamaan garis yang melalui titik (3,-5) dan (-2,-3) adalah
2
19
5
5
𝑦=− 𝑥−
atau −5𝑦 = 2𝑥 + 19
B. MENENTUKAN TITIK POTONG DUA GARIS
Dua garis yang sejajar tidak akan pernah berpotongan di satu titik. Sebaliknya, dua yang
saling tegak lurus pasti berpotongan di satu titik. Dengan tanpa menggambarnya terlebih
dahulu, kalian dapat menentukan titik potong dua garis yang tidak sejajar. Pelajari uraian
berikut :
1. Kedudukan Dua Garis pada Bidang
Ada dua macam kedudukan dua garis pada bidang, yaitu sejajar dan berpotongan.
Dua garis sejajar
Dua garis berpotongan
Dua garis sejajar tidak akan berpotongan di satu titik tertentu meski di perpanjang
sampai tak berhingga. Dengan demikian, dapat di katakana bahwa tidak ada titik
potong antara dua garis yang sejajar.
2. Menentukan Koordinat Titik Potong Dua Garis
Jika 𝒚𝟏 = 𝒎𝟏 𝒙 + 𝒄𝟏 dan 𝒚𝟐 = 𝒎𝟐 𝒙 + 𝒄𝟐 adalah persamaan dua garis
yang tidak saling sejajar maka titik potong nya dapat di cari dengan
menyelesaikan persamaan 𝒎𝟏 𝒙 + 𝒄𝟏 = 𝒎𝟐 𝒙 + 𝒄𝟐 kemudian
mensubstitusikan nilai x ke salah satu persamaan garis tersebut.
Contoh :
Tentukan koordinat titik potong garis x + y = 3 dan y = 2x – 1
Penyelesaian:
𝑥 + 𝑦 = 3 dan 𝑦 = 2𝑥 − 1
Ubah terlebih dahulu persamaan garis 𝑥 + 𝑦 = 3 ke bentuk
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐
𝑥+𝑦 =3→ 𝑦 = 3−𝑥
𝑦 = 3−𝑥
(i)
𝑦 = 2𝑥 − 1
(ii)
Dari persamaan (i) dan (ii) di peroleh
3 − 𝑥 = 2𝑥 − 1
−𝑥 − 2𝑥 = −1 − 3
−3𝑥 = −4
𝑥=
−4 4
=
−3 3
Selanjutnya untuk menentukan nilai y substitusikan nilai x ke persamaan (i).
𝑦 = 3−𝑥
𝑦=3−
𝑦=
4
3
5
3
4 5
Jadi titik potong garis x + y = 3 dan y = 2x – 1 adalah ( , )
3 3