4. Sudut Dalam Ruang a. Sudut antara Garis Berpotongan Sudut

 4. Sudut Dalam Ruang a. Sudut antara Garis Berpotongan Sudut antara garis 𝒌 dan garis 𝒍 yang berpotongan adalah sudut terkecil antara garis 𝒌 dan garis 𝒍 Untuk memudahkan , buat bidang 𝛼 sehingga garis 𝑘 dan garis 𝑙 terletak pada bidang 𝛼 yang berbentuk segitiga Sudut antara garis 𝑘 dan garis 𝑙 adalah sudut pada titik potong antara garis 𝑘 dan garis 𝑙 Contoh Sudut antara garis 𝐵𝐸 dan 𝐵𝐺 Buat bidang 𝐵𝐺𝐸 sehingga garis 𝐵𝐸 dan garis 𝐵𝐺 terletak pada bidang 𝐵𝐺𝐸 yang berbentuk segitiga Gambar 47 Gambar 48 Sudut antara garis 𝐵𝐸 dan garis 𝐵𝐺 adalah sudut pada titik potong antara garis 𝐵𝐸 dan garis 𝐵𝐺 yaitu ∠𝐺𝐵𝐸 Gambar 49 Karena 𝐵𝐸 = 𝐵𝐺 = 𝐸𝐺 adalah diagonal sisi kubus maka ∆𝐺𝐵𝐸 sama sisi sehingga ∠𝐺𝐵𝐸 = 60! b. Sudut antara Garis Bersilangan Sudut antara garis 𝒌 dan garis 𝒍 yang saling bersilangan adalah sudut terkecil antara garis 𝒌′ yang berpotongan dengan garis 𝒍 dimana 𝒌′ ∥ 𝒌 Untuk memudahkan , buat garis 𝑘′ yang berpotongan dengan garis 𝑙 dimana 𝑘′ ∥ 𝑘 Buat bidang 𝛼 sehingga garis 𝑘′ dan garis 𝑙 terletak pada bidang 𝛼 yang berbentuk segitiga Sudut antara garis 𝑘′ dan garis 𝑙 adalah sudut pada titik potong antara garis 𝑘′ dan garis 𝑙 yang merupakan sudut antara garis 𝑘 dan garis 𝑙 Contoh Sudut antara garis 𝐵𝐸 dan garis 𝐶𝐹 Buat garis 𝐶𝐻 yang berpotongan dengan garis 𝐶𝐹 dimana 𝐶𝐻 ∥ 𝐵𝐸 Gambar 50 Gambar 51 Buat bidang 𝐶𝐹𝐻 sehingga garis 𝐶𝐻 dan garis 𝐶𝐹 terletak pada bidang 𝛼 yang berbentuk segitiga Gambar 52 Sudut antara garis 𝐶𝐻 dan garis 𝐶𝐹 adalah ∠𝐹𝐶𝐻 yang merupakan sudut antara garis 𝐵𝐸 dan garis 𝐶𝐹 c. Sudut antara Garis dan Bidang Sudut antara garis 𝒌 dan bidang 𝜶 adalah sudut antara garis 𝒌 dan garis proyeksinya pada bidang 𝜶 Untuk memudahkan buat bidang 𝛽 yang melalui garis 𝑘 dan bidang 𝛽 memotong tegak lurus bidang 𝛼 pada garis 𝑙 Sudut antara garis 𝑘 dan bidang 𝛼 sama dengan sudut antara garis 𝑘 dan garis 𝑙 Contoh Sudut antara garis 𝐴𝐸 dan bidang 𝐵𝐺𝐷 Buat bidang 𝐴𝐸𝐺𝐶 yang melalui garis 𝐴𝐸 dan bidang 𝐴𝐸𝐺𝐶 memotong tegak lurus bidang 𝐵𝐺𝐷 pada garis 𝑃𝐺 Gambar 53 Gambar 54 Buat garis 𝑃𝑄 ∥ 𝐴𝐸 dan garis 𝑃𝑄 memotong garis 𝑃𝐺 Sudut antara garis 𝑃𝑄 dan garis 𝑃𝐺 yaitu ∠𝑄𝑃𝐺 sama dengan sudut antara garis 𝐴𝐸 dengan garis 𝑃𝐺 sehingga ∠𝑄𝑃𝐺 adalah sudut antara garis 𝐴𝐸 dengan bidang 𝐵𝐺𝐷 Gambar 55 Gambar 56
d. Sudut antara Bidang dan Bidang Sudut antara bidang 𝜶 dan bidang 𝜷 yang saling berpotongan pada garis 𝒌 adalah sudut antara garis 𝒍 yang terletak pada bidang 𝜶 dan garis 𝒎 yang terletak pada bidang 𝜷 dimana 𝒍 ⊥ 𝒌 dan 𝒎 ⊥ 𝒌 Untuk memudahkan , buat garis garis 𝑙 yang terletak pada bidang 𝛼 dan 𝑙 ⊥ 𝑘 Buat garis 𝑚 yang terletak pada bidang 𝛽 dan 𝑚 ⊥ 𝑘 Buat bidang 𝛾 yang memuat garis 𝑙 dan garis 𝑚 berbentuk segitiga Besar sudut terkecil antara garis 𝑙 dan garis 𝑚 pada titik potongnya adalah sudut antara bidang 𝛼 dan bidang 𝛽 Contoh Sudut antara bidang 𝐴𝐵𝐶𝐷 dan bidang 𝐵𝐸𝐷 yang berpotongan pada garis 𝐵𝐷 Buat garis garis 𝐴𝐶 yang terletak pada bidang 𝐴𝐵𝐶𝐷 dan 𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷 𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷 karena bidang 𝐴𝐵𝐶𝐷 berbentuk bujursangkar dimana diagonalnya berpotongan ditengah tengah dan saling tegak lurus Gambar 57 Gambar 58 Buat garis 𝐸𝑃 yang terletak pada bidang 𝐷𝐸𝐵 dan 𝐸𝑃 ⊥ 𝐵𝐷 ∆𝐵𝐸𝐷 sama sisi karena 𝐵𝐷 = 𝐵𝐸 = 𝐷𝐸 diagonal sisi kubus sehingga garis tinggi 𝐸𝑃 ⊥ 𝐵𝐷 dan membagi dua garis 𝐷𝐵 Gambar 59 Gambar 60 Buat bidang 𝐸𝐴𝑃 yang memuat garis 𝐴𝑃 dan garis 𝐸𝑃 berbentuk segitiga ∆𝐸𝐴𝑃 Garis 𝐴𝑃 dan garis 𝐸𝑃 berpotongan di titik 𝑃 maka ∠𝐴𝑃𝐸 adalah sudut antara bidang 𝐴𝐵𝐶𝐷 dan bidang 𝐵𝐸𝐷