Sudut-dalam-Bangun-Ruang

Nama: Sartini Nuha Afifah
NIM: 06121008033
Dimensi Tiga
(Sudut Pada Bangun Ruang)
Sudut terbentuk karena dua sinar garis bertemu pada suatu titik. Dalam bangun ruang,
ada banyak titik yang dapat menjadi pertemuan dua sinar garis. Sudut pada bangun ruang
terbagi menjadi tiga bagian yaitu (1) sudut antara dua garis, (2) sudut antara garis dan bidang,
dan (3) sudut antara dua bidang.
Pada pembelajaran ini, dibutuhkan media belajar berupa beberapa batang lidi, beberapa
lembar kertas dan beberapa buku tulis sebagai lat peraga, serta media power-point untuk
menggambarkan contoh-contoh kasus. Masing-masing siswa membentuk kelompok dengan
teman sebangkunya.
A. Sudut Antara Dua Garis
Apersepsi|
Kedudukan antara dua garis ada empat yaitu :
- Dua garis saling berimpit
- Dua garis saling berpotongan
- Dua garis saling bersilangan
- Dua garis saling sejajar
Untuk menentukan besar sudut antara dua garis dapat dilakukan dengan aktivitas 1,
Aktivitas 1
-
Siapkan dua batang lidi.
Bentuklah dua batang lidi tersebut saling berhimpit atau saling sejajar.
Contoh garis sejajar:
g
k
-
Amati apakah ada sudut yang terbentuk dan berapa besarnya?
Selanjutnya, bentuklah dua batang lidi tersebut saling berpotongan.
Contoh garis berpotongan:
l
g
k
m
atau
Adakah sudut yang terbentuk? Jika ada, ukurlah besar sudut tersebut?
Nama: Sartini Nuha Afifah
NIM: 06121008033
Contoh kasus
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Tentukan besar sudut antara:
a. Rusuk AH dan Rusuk BF
b. Rusuk DE dan rusuk BG
c. Rusuk FC dan rusuk BD
Gambar:
Penyelesaian
a. Besar sudut antara AH dan BF:
-
Rusuk AH dan BF merupakan dua rusuk yang saling bersilangan.
-
Tentukan rusuk-rusuk yang sejajar dengan BF tetapi berpotongan dengan AH.
-
Karena ada dua garis yang sejajar dengan BF dan berpotongan dengan AH, yaitu
AE dan DH, maka:
∠(𝐴𝐻, 𝐴𝐸) = ∠(𝐴𝐻, 𝐷𝐻)
(sifat sudut)
𝛼1 = 45𝑜
b. Besar sudut antara DE dan BG:
-
Rusuk DE dan BG merupakan dua rusuk yang saling bersilangan.
-
Tentukan rusuk-rusuk yang sejajar dengan DE tetapi berpotongan dengan BG.
-
Karena ada satu garis yang sejajar dengan DE dan berpotongan dengan BG, yaitu
CF, maka:
∠(𝐶𝐹, 𝐵𝐺) = 𝛼2 = 90𝑜
Atau
-
Tentukan rusuk-rusuk yang sejajar dengan BG tetapi berpotongan dengan DE.
Nama: Sartini Nuha Afifah
NIM: 06121008033
-
Karena ada satu garis yang sejajar dengan BG dan berpotongan dengan DE, yaitu
AH, maka:
∠(𝐴𝐻, 𝐷𝐸) = 90𝑜
c. Besar sudut antara BD dan FC:
-
Rusuk FC dan BD merupakan dua rusuk yang saling bersilangan.
-
Tentukan rusuk-rusuk yang sejajar dengan FC tetapi berpotongan dengan BD.
-
Karena ada satu garis yang sejajar dengan FC dan berpotongan dengan BD, yaitu
AH, maka:
EB = BD = DE
∠(𝐴𝐻, 𝐵𝐷) = 𝛼3 = 60𝑜
(sifat sudut)
Kesimpulan
• Sudut antara dua garis sejajar atau berhimpit adalah 0 derajat.
• Sudut antara dua garis berpotongan adalah sudut lancip atau siku-siku
(sudut terkecil yang terbentuk) antara kedua garis dalam satu bidang.
• Sudut antara dua garis bersilangan adalah sudut lancip atau siku-siku
(sudut terkecil yang terbentuk) antara kedua garis bersilangan (tidak
sebidang)
B. Sudut Antara Garis dan Bidang
Apersepsi|
Kedudukan antara garis dan bidang ada tiga yaitu :
- Garis terletak pada bidang
- Garis sejajar bidang
- Garis menembus bidang
Untuk menentukan besar sudut antara garis dan bidang dapat dilakukan dengan
aktivitas 2,
Aktivitas 2
-
Siapkan dua batang lidi, satu lembar kertas dan satu buku tulis.
Letakkan satu batang lidi di atas buku tulis.
Contoh:
g
g
atau
Amati apakah ada sudut yang terbentuk. Jika ada, berapa besarnya?
Nama: Sartini Nuha Afifah
NIM: 06121008033
-
Selanjutnya ambil selembar kertas, lalu tusuklah sebuah hingga
menembus kertas tersebut.
Contoh:
Adakah sudut yang terbentuk? Jika ada, ukurlah besar sudut tersebut?
Contoh kasus:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10cm. Tentukan besar sudut
antara garis AG dan bidang ABCD.
Gambar:
Penyelesaian:
Proyeksikan garis AG terhadap bidang ABCD. Sehingga didapat hasil proyeksinya
yaitu garis AC.
Sudut antara AG dan bidang ABCD adalah ∠𝐺𝐴𝐶 =∝
Menghitung besar sudutnya:
CG = 10cm dan AC = 10√2 𝑐𝑚
Perhatikan bahwa ∆𝐺𝐴𝐶 adalah siku-siku di C, maka:
10
1
𝐶𝐺
=
= √2
𝐴𝐶 10√2 2
1
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 √2 = 35,3𝑜
2
𝑡𝑎𝑛 ∝ =
Jadi besar sudut antara garis AG dan ABCD adalah ∝ = 35,3𝑜
Nama: Sartini Nuha Afifah
NIM: 06121008033
Kesimpulan
• Sudut yang dibentuk oleh garis dan bidang jika garis itu sejajar atau
terletak pada bidang maka sudut yang dibentuk adalah 𝟎𝒐
• Sudut antara garis g dan bidang ∝ adalah sudut lancip yang dibentuk
oleh garis g dengan proyeksi garis g tersebut pada bidang ∝.
• Sudut antara garis 𝒍 dan bidang ∝ dapat ditentukan dengan langkah,
sebagai berikut:
1. Buatlah garis 𝒍 yang menembus bidang ∝ di titik P.
2. Proyeksikan garis 𝒍 dengan bidang ∝ sehingga didapatkan garis 𝒍′
3. Sudut 𝒍𝑷𝒍′ adalah sudut antara bidang ∝ dengan garis 𝒍
Gambar
C. Sudut antara Dua Bidang
Apersepsi|
Kedudukan antara garis dan bidang ada tiga yaitu :
- Dua bidang saling berhimpit
- Dua bidang sejajar
- Dua bidang saling berpotongan
Untuk menentukan besar sudut antara dua bidang dapat dilakukan dengan aktivitas 3,
Aktivitas 3
-
-
Siapkan dua buku tulis.
Letakkan dua buku tulis saling berhimpit.
Contoh:
Amati apakah ada sudut yang terbentuk. Jika ada, berapa besarnya?
Selanjutnya letakkan satu buku diatas meja dan satu buku lainnya
dipegang. Namun ujung-ujung buku tersebut saling bersentuhan,
Contoh:
Nama: Sartini Nuha Afifah
NIM: 06121008033
-
Adakah sudut yang terbentuk? Jika ada, ukurlah besar sudut tersebut?
Selanjutnya, letakkan dua buku seperti gambar berikut.
Adakah sudut yang terbentuk? Jika ada, ukurlah besar sudut tersebut?
Contoh kasus:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10cm. Tentuka besar sudut antara
bidang ADGF dan bidang ABCD.
Gambar:
Penyelesaian:
Karea sudut ∠𝐵𝐴𝐹 = 45𝑜 dan AF merupakan diagonal sisi ABFE
Sudut antara ADGF dengan bidang alas ABCD adalah ∠𝐵𝐴𝐹 atau ∠𝐶𝐷𝐺.
Jadi sudut antara bidang ADGF dengan bidang ABCD sama dengan 45𝑜
Kesimpulan
• Sudut yang dibentuk oleh dua bidang jika bidang-bidang tersebut saling sejajar
atau berhimpit, maka besar sudut yang terbentuk adalah 𝟎𝒐
• Sudut antara dua bidang yang berpotongan di garis g merupakan sudut yang
dibentuk oleh dua garis yang berpotongan (sebuah garis pada bidang pertama,
Nama: Sartini Nuha Afifah
NIM: 06121008033
misalnya garis m, dan sebuah garis pada bidang kedua, misalnya garis n) garisgaris m dan n saling tegak lurus terhadap garis g.
• Sudut antara dua bidang 𝜶 𝒅𝒂𝒏 𝜷 dapat ditentukan dengan langkah berikut:
1. Ambil sebuah titik P pada garis potong antara bidang 𝜶 𝒅𝒂𝒏 𝜷.
2. Buatlah garis PQ pada bidang 𝜶 dan PR pada bidang 𝜷 yang masing-masing
saling tegak lurus terhadap garis potong bidang 𝜶 𝒅𝒂𝒏 𝜷.
3. Sudut QPR ditetapkan sebagai ukuran sudut antara bidang 𝜶 𝒅𝒂𝒏 𝜷 yang
berpotongan.
Gambar