PERSAMAAN GARIS LURUS ( PERSAMAAN LINEAR )

PERSAMAAN GARIS LURUS
3
( PERSAMAAN LINEAR )
Indikator :
1. Siswa dapat contoh persamaan garis lurus dalam berbagai bentuk dan
variabel.
2. Siswa dapat menyusun tabel pasangan dan menggambar grafik pada koordinat
Cartesius.
3. Siswa dapat menyebutkan dan menentukan gradien garis lurus dalam berbagai
bentuk.
4. Siswa dapat menentukan persamaan garis lurus yang melalui dua titik.
5. Siswa dapat menentukan persamaan garis lurus yang melalui sebuah titik dan
diketahui gradiennya.
6. Siswa dapat menggunakan konsep garis lurus untuk menyelesaikan masalah.
A. PENGERTIAN PERSAMAAN GARIS LURUS
Persamaan garis lurus adalah persamaan yang menghasilkan grafik / kurva
berbentuk garis lurus. Persamaan garis lurus merupakan sebuah persamaan yang
variabelnya mempunyai pangkat tertinggi satu ( berderajat satu )
Bentuk umum persamaan garis lurus :
y  mx  c
dimana m disebut gradien dan c disebut konstanta
Contoh :
 y  2x
 y  12 x  5
( m = 2 dan c = 0 )
( m = ½ dan c = -5 )
 2x + y = 10  y  2 x  10
( m = -2 dan c = 10 )
Untuk menggambar grafik persamaan garis dapat digunakan langkah-langkah
sebagai berikut :
- Buat tabel pasangan berurutan
- Tulis himpunan pasangan berurutan
- Buat sumbu koordinat Cartesius dan letakkan titik-titik yang telah diketahui
- Hubungkan titik-titik yang dihasilkan sehingga tercipta garis lurus
Catatan :
 Untuk menggambar garis lurus dari persamaan linear, sebaiknya
cukup dipilih dua titik saja yang berbeda
 Sebaiknya yang dipilih titik-titik potong terhadap sumbusumbunya yaitu titik ( 0 , ….) dan ( …, 0 )
UJI KOMPETENSI 1
Buat grafik dari persamaan linear berikut :
1. y = 4x – 3
2. 2x – 5y = 10
3. 3x + 4y – 6 = 0
23
x 2y

 3
3 5
2x
 6(2  x)
5. 5(2 y  3) 
5
B. GRADIEN GARIS
4.
1. Pengertian Gradien
Gradien berarti nilai yang menunjukkan kemiringan atau kecondongan suatu
garis. Gradien garis merupakan perbandingan jarak vertikal dan jarak horisontal
dari dua titik yang terdapat pada garis tersebut. Garis yang memiliki kemiringan
ke arah kanan dikatakan bergradien positif ( + ), sedang garis yang memiliki
kemiringan ke arah kiri dikatakan bergradien negatif ( - )
Gradien garis dapat dirumuskan :
Gradien ( m ) = 
Contoh :
a.

Garis disamping melalui titik (2, 4) dan
(-2, 0), serta kemiringan ke arah kanan.
 Jarak vertikal = 4
 Jarak horisontal = 4
4
Jadi, gradiennya =  1
4
4
-2
Jarak vertikal
Jarak horisontal
2

b.
Garis di samping melalui titik (-4, 0) dan
(0, -3), serta mempunyai kemiringan ke
arah kiri
 Jarak vertikal = 3
 Jarak horisontal = 4
3
Jadi, gradiennya = 
4
-4
-3
2. Menentukan Gradien Garis.
Besarnya gradien suatu garis dapat ditentukan dengan memperhatikan unsurunsur yang diketahuinya.
2.1 Diketahui persamaan berbentuk : y  mx  c .
Besarnya gradien dapat dihitung dengan rumus :
y  mx  c  Gradien = m
24
Contoh :
 Persamaan y = ½ x – 5  m = ½
 Persamaan y = 2 – 3x  m = - 3
2.2 Diketahui persamaan linear berbentuk : ax + by = c
Besarnya gradien dapat dihitung dengan rumus :
ax + by = c  Gradien ( m ) = 
a
b
Contoh :
 Persamaan 2x + y = 5  m =  12  2
 Persamaan 3x – 9y – 1 = 0  m =  39 
1
3
2.3 Diketahui dua titik yang dilalui garis
Besarnya gradien dapat dihitung dengan rumus :
Diketahui titik (x1 , y1) dan (x2 , y2)  Gradien ( m ) =
y2  y1
x2  x1
Untuk mempermudah perhitungan dapat digunakan skema sebagai berikut :
y1  y2
(x1 , y1) dan (x2 , y2)  Gradien ( m ) =
y1  y2
x1  x2
x1  x2
Contoh :
Tentukan persamaan garis yang melalui titik-titik :
a. A(4, -2) dan B(1, -4)
b. P(-5, -3) dan Q (3, 1)
Jawab :
 2  ( 4 ) 2
 3 1  4 1



a. m =
b. m 
4 1
3
53 8 2
3. Hubungan khusus dua garis
Ada dua hubungan khusus dua garis jika dipandang dari gradiennya, yaitu :
3.1 Dua garis saling sejajar
Dua garis yang saling sejajar, berarti keduanya mampunyai kemiringan atau
gradien yang sama.
25
Jadi berlaku :
Misalkan dipunyai gradien garis g = m1 dan gradien garis l = m2
Garis g sejajar l  m1  m2 ( gradien sama )
3.2 Dua garis saling tegak lurus
Dua garis yang saling tegak lurus, berarti keduanya garis membentuk sudut
900.
Terhadap dua garis yang tegak lurus berlaku :
Misalkan dipunyai gradien garis g = m1 dan gradien garis l = m2
Garis g tegak lurus l 
m1  
1
( berlawanan & berkebalikan )
m2
Contoh :
 Persamaan garis g : 2x + y = 6  m  2
 Persamaan garis l : y = 3 – 2x  m  2
 Persamaan garis k : x – 2y + 5 = 0  m 
1
2
 Garis g // l
 Garis g  k
C. MENYUSUN PERSAMAAN GARIS LURUS
Seperti halnya menentukan besarnya gradien, menyusun persamaan garis lurus juga
dilakukan dengan memperhatikan unsur yang diketahuinya.
1. Menyusun persamaan garis lurus yang melalui dua titik
Misalkan diketahui titik A(x1 , y1) dan B(x2 , y2)
Persamaan garis lurus yang melalui titik A dan B dirumuskan :
y  y1
x  x1

y2  y1 x2  x1
Contoh : Tentukan persamaan garis yang melalui titik ( 4, -2) dan (1, 4) !
26
Jawab :




y  y1
x  x1

y2  y1 x2  x1


y  (2) x  4

4  (2) 1  4
y2 x4

6
3
 3 ( y  2)  6 ( x  4)
 3 y  6  6 x  24
6 x  3 y  18  0 (: 3)
2x  y  6  0
Jadi, persamaan garisnya : 2x + y – 6 = 0
2. Menyusun persamaan garis lurus yang diketahui gradien dan melalui sebuah
titik.
Misalkan diketahui besar gradien = m dan sebuah titik A(x1 , y1) .
Persamaan garis lurus yang melalui titik A dan dan bergradien = m
dirumuskan :
y  y1  m ( x  x1 )
Contoh :
Tentukan persamaan garis yang memenuhi :
a. Bergradien –3 dan melalui titik (-5, 4) !
b. Melalui titik (-3, 0) dan tegak lurus garis 3x – y = 4 !
Jawab :
a. y  y1  m ( x  x1 )
 ( y  4)  3x  (5)
 y  4  3 ( x  5)
 y  4  3x  15
 3x  y  11  0
b. 3x – y = 4  m1  3  m2   13
y  y1  m ( x  x1 )
 y  0   13 .( x  3)
 3 y  1( x  3)
 3y  x  3
 x  3y  3  0
3. Menyusun persamaan garis lurus yang diketahui melalui titik potong sumbu X
dan sumbu Y
Misalkan diketahui titik potong terhadap sumbu x di ( a, 0 ) dan
titik potong terhdap sumbu y di titik ( 0, b ).
Persamaan garis lurus yang melalui titik A dan B dirumuskan :
bx  ay  ab
27
Contoh :
Tentukan persamaan garis yang ditunjukkan oleh grafik di bawah ini !
4
g
-6
Jawab :
Jelas a = (-6) dan b = 4, sehingga :
bx  ay  ab
 4 x  ( 6) y  24
 2 x  3 y  12
UJI KOMPETENSI 2
1. Tentukan gradien dari persamaan-persamaan garis berikut :
a. y = 5 – 2x
d. 2x + 5 = 0
b. 2y = -3x + 1
e. 6x – 2y + 3 = 0
c. y – 6 = 0
f. 3 (x + 3) = 4y – 1
2. Tentukan gradien garis yang melalui titik-titik berikut ini :
a. (0, 0) dan (2, -1)
d. (0, 4) dan (0, -4)
b. (-3, 4) dan (1, -8)
e. (5, -3) dan (-5, -2)
c. (10, 0) dan (-2, 0)
f. (-3, -6) dan (2, -4)
3. Tentukan persamaan garis dengan ketentuan sebagai berikut :
a. Melalui titik ( 3, -5) dan titik (-3, -17)
b. Melalui titik (-6, 4) dan bergradien  34
c. Melalui titik (0, -5) dan sejajar garis 3y = 4 – 2x
d. Melalui titik (3, -6) dan tegak lurus garis 6x + 2y = 3
28
ULANGAN HARIAN
A. Jawablah dengan memberi tanda “ x “ pada opsi jawaban yang paling tepat !
1. Garis k tegak lurus terhadap garis l yang memiliki persamaan 3x + 6y + 5 = 0.
Gradien garis k adalah …. ( UAN '02/03 )
a. –2
c. ½
b. – ½
d. 2
2. Persamaan garis yang sejajar dengan garis yang melalui titik–titik (-3, 4) dan (2, -1)
adalah ..... ( UAN '02/03 )
a. 2x + y = 4
c. x + y = 4
b. x – y = 4
d. –x + y = 4
3. Gradien garis yang mempunyai persamaan 7x – 4y + 9 = 0 adalah ...( EBTANAS
'1/02 )
a.  79
c. 74
4.
5.
6.
7.
8.
b. 74
d. 94
Garis g mempunyai persamaan 8x + 4y – 16 = 0. Garis h sejajar dengan g dan
melalui titik (5, -3). Persamaan gari h adalah … ( EBTANAS '00/01 )
a. 2x – y – 13 = 0
c. x – 2y – 7 = 0
b. 2x + y – 7 = 0
d. -x + 2y + 11 = 0
Persamaan garis yang melalui titik (2, 5) dan tegak lurus garis x – 2y + 4 = 0 adalah
..... ( EBTANAS '99/00 )
a. 2x + y – 9 = 0
c. ½ x – y – 6 = 0
b. –2x + y – 9 = 0
d. ½ x – y – 6 = 0
Persamaan garis yang melalui titik (1, 5) dan sejajar garis y = 3x – 4 adalah .....
( EBTANAS '98/99 )
a. y = 3x – 2
c. y = 3x + 5
b. y = x + 2
d. y = 3x + 2
Tempat kedudukan titik-titik pada garis k dari
gambar di samping bila dinyatakan dalam
10
notasi pembentuk himpunan adalah .....
-5
(EBTANAS '98/99 )
a. (x, y) / y = ½ x + 5, x,y  R 
c. (x, y) / y = ½ x – 5 , x,y  R 
b. (x, y) / y = x – 5 , x,y  R 
d. (x, y) / y = -x + 5, x,y  R 
Gradien garis yang melalui titik A(-3, 2) dan B(4, -2) adalah ..... (EBTANAS '96/97 )
a. - 74
c. 74
b. - 74
d. 74
9. Gradien garis yang melalui titik (2, ) dan (4, 7) adalah ..... ( UAN '04/05 )
a. 0,2
c. 2
b. 0,5
d. 3
10. Dari garis-garis dengan persamaan :
I. y – 5x + 12 = 0
III. 5y – x – 12 = 0
II. y + 5x – 9 = 0
IV. 5y + x + 9 = 0
Yang sejajar dengan garis yang melalui titik (2, 1) dan (3, 6) adalah ....(UAN '02/03)
a. I
c. III
29
b. II
d. IV
11. Persamaan garis yang melalui titik (-2, -3) dan tegak lurus terhadap garis dengan
persamaan y = 23 x + 9 adalah .....( UAN '05/06 )
a. 2x + 3y + 13 = 0
c. 2x + 3y – 5 = 0
b. 3x + 2y + 12 = 0
d. 3x – 2y = 0
12. Gradien garis yang melalui titik A (5a, 8) dan B (3a, -4) adalah –2. Nilai a = …
a. –5
c. 3
b. –3
d. 5
13. Jika garis yang menghubungakan titik P(4k, 3k) dan Q(2k, 6) sejajar dengan sumbu
X, maka nilai k adalah .....
a. 2
c. – ½
b. ½
d. –2
14. Persamaan garis yang melalui titik pangkal dan bergradien – ½ adalah .....
a. y = -2x + 1
c. 2y = -x + 1
b. y = -2x
d. 2y = -x
2
15. Persamaan garis yang bergradien 3 dan melalui titik (-4, 3) adalah .....
a. –2x + 3y = –17
c. 2x – 3y = 1
b. –2x + 3y = 17
d. 2x – 3y = –1
16. Persamaan garis yang sejajar garis x + 3y – 4 = 0 dan melalui titik (2, -3) adalah .....
a. x + 3y + 3 = 0
c. x + 3y + 7 = 0
b. x + 3y + 5 = 0
d. x + 3y + 11 = 0
17. Persamaan garis yang tegak lurus garis 2y = 4x + 1 dan melalui titik (0, 5) adalah .....
a. x – 2y = 10
c. x + 2y = 10
b. x + 2y = -10
d. x – 2y = -10
18. Persamaan garis yang melalui titik (-2, 7) dan (4, -5) adalah .....
a. 12x – 6y – 17 = 0
c. 2x – y – 3 = 0
b. 12x + 6y – 17 = 0
d. 2x + y – 3 = 0
19. Jika titik P(-8, k) terletak pada garis 2x – 3y = -22, maka nilai k adalah .....
a. –2
c. ½
b. – ½
d. 2
20. Garis x + by = c adalah garis yang tegak lurus garis dengan persamaan 2y = 3x – 1.
Nilai b yang memenuhi adalah .....
a. – 32
c. 23
b. -
d. 32
Persamaan garis g dari gambar di samping adalah .....
a. 3x – 4y + 3 = 0
b. 3x – 4y + 9 = 0
c. 4x – 3y + 3 = 0
d. 4x – 3y + 9 = 0
2
3
21.
6
3
4
22.
b
a
(3, 2)
Perhatikan gambar di samping !
Garis a tegak lurus garis b. Persamaan garis b
tersebut adalah .....
a. 2x – 3y = 13
b. 2x – 3y = 12
c. 3x + 2y = 13
30
d. 3x + 2y = 12
23. Garis g yang melalui titik (2, -1) dan (3, 2). Persamaan garis k yang sejajar g dan
melalui titik (-5, 4) adalah .....
a. x – 3y + 8 = 0
c. x – 3y – 8 = 0
b. x – 3y + 17 = 0
d. x – 3y – 17 = 0
24. Garis m melalui titik (4, 0) dan (-2, 3). Persamaan garis n yang tegak lurus m dan
melalui titik (7, -2) adalah .....
a. x – 2y = 11
c. 2x – y = 11
b. x – 2y = -3
d. 2x – y = -3
25. Jika suatu garis memiliki persamaan 4x + y – 5 = 0, maka :
I. Gradiennya = -4
II. Memotong sumbu Y di titik (0, 5)
III. Memotong sumbu X di titik (4, 0)
Dari pernyataan di atas, yang benar adalah .....
a. I dan II
c. II dan III
b. I dan III
d. I, II , dan III
26. Persamaan garis yang melalui titik A(7, -2) dan sejajar sumbu y adalah .....
a. x = 7
c. y = -2
b. x = -2
d. y = 7
27. Persamaan garis yang melalui titik potong garis y = 2x – 1 dan y = x + 5 dan sejajar
garis x + 3y – 4 = 0 adalah .....
a. x – 3y = 39
c. 3x – y = 7
b. x + 3y = 39
d. 3x + y = 37
28. Persamaan garis yang melalui titik potong garis 2x – 3y = 13 dan –3x + 5y = -21 dan
tegak lurus garis 2y = 5x – 4 adalah .....
a. 2y = 5x + 11
c. 5y = 2x + 11
b. 2y = 5x – 11
d. 5y = -2x + 11
29. Garis yang melalui titik A(-6, 2) dan B(2, -2) memotong sumbu x dititik P.
Koordinat titik P adalah .....
a. (0, -5)
c. (-5, 0)
b. (0, -7)
d. (-7, 0)
30. Diketahui persamaan garis sebagai berikut :
I. y = 13 x – 5
III. x – 3y + 1 = 0
II. 3x – y + 1 = 0
IV. x + 3y + 1 = 0
Yang merupakan pasangan garis yang saling tegak lurus adalah .....
a. I dan II
c. I dan IV
b. II dan III
d. II dan IV
B. Jawablah dengan lengkap dan benar !
1. Gambar garis-garis dengan persamaan :
a. 2x – 3y = 6
b. x + 4y – 5 = 0
2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, -5) dan memenuhi syarat tambahan
berikut :
a. Sejajar garis 4x – y = 3
31
b. Tegak lurus garis 6x = 4y – 1
3. Tentukan persamaan garis yang tegak lurus garis 2y = 5 – x dan melalui :
a. Titik (4, -7)
b. Titik potong garis x – 2y = 7 dan 3x + y = 7
4. Perhatikan gambar di samping !
Diketahui garis k tegak lurus garis g
dengan persamaan 3x – 2y = -1.
Tentukan persamaan garis k !
g
(1, 2)
k
5. Perhatikan gambar di samping !
a. Tentukan persamaan garis a dan b !
b..Tentukan koordinat titik P
a
8
b
6
P
4
32
6