konsep dasar teori fungsi, teori fungsi linear dan

MODUL 4
KONSEP DASAR TEORI FUNGSI, DAN TEORI FUNGSI
LINEAR
Tujuan Instruksional Khusus:
1. Menggambarkan bagaimana fungsi linear dapat dipergunakan untuk mencerminkan
perilaku konsumen maupun perilaku produsen.
2. Menggambarkan bagaimana fungsi linear dapat dipergunakan untuk menghitung
berapa produk yang sebaiknya diproduksi dan dijual oleh perusahaan.
3. Menggambarkan pendapatan nasional agar dapat dihitung melalui pendekatan
pengeluaran yang linear
TEORI FUNGSI DAN TEORI FUNGSI LINEAR
1. Pengertian Fungsi
Fungsi yaitu hubungan matematis antara suatu variable dengan variable lainnya.
Unsur-unsur
pembentuk fungsi, yaitu variable, koefisiensi, dan konstanta. Yang
dimaksud dengan variabel adalah unsure yang sifatnya berubah-ubah dari satu keadaan
ke keadaan lainnya. Koefisien adalah bilangan atau angka yang diletakkan tepat
didepan suatu variable, terkait dengan variabel yang bersangkutan. Konstanta sifatnya
tetap dan tidak terkait dengan suatu variabel apapun.
Secara umum jika dikatakan bahwa y adalah fungsi dari x maka ditulis y = f (x),
dimana x adalah suatu variable dan y adalah variabel terikat.
Contoh :
a. 3y = 4x – 8,
y adalah variabel terikat
x adalah variabel bebas
3 adalah koefisien (terletak didepan variabel x)
4 adalah koefisien (terlatak didepan variabel x)
-8 adalah konstanta
b y=X½
;
y adalah variabel terikat
x adalah variabel bebas.
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Luna Haningsih SE.ME.
MATEMATIKA EKONOMI
1
Jika x adalah fungsi dari y maka ditulis x = f (y), dimana y adalah variabel bebas dan
x adalah variabel terikat.
2. Jenis-Jenis Fungsi
Fungsi dapat digolongkan berdasarkan bebagai haldi bawah ini diberikan rincian
pengelompokan fungsi:
Fungsi
Fungsi Non Aljabar
Atau Transenden
Fungsi Aljabar
Fungsi Irrasional
Fugsi Rasional
Fungsi Polinom
Fungsi Linier
Fungsi Kuadrat
Fungsi Kubik
Fungsi Bikuadrat
Fungsi Pangkat
Fungsi Irasional
Fungsi eksponen
Fungsi Logaritma
Fungsi Trigonometri
FungsiHiperbola
: Fungsi yang memiliki bentuk umum:
Y=n
a0 + a1x1 + a2x2 +a3x3 +…+anxn
Contoh : Y = (1+2x1 – 3x2+ 4x3+….+12x11)1/11
Fungsi Polinom
: Fungsi yang memiliki banyak suku
Bentuk umum : Y=a0 + a1 X1 + a3x2+…+anxn; n bilangan
Bulat positif
Contoh :
Fungsi Linier
Y = 1 + 2 x1 – 3x2 + 4x3+ …. – 12 x 11
: Fungsi polinom yang variable bebasnya memiliki pangkat
paling tinggi adalah satu.
Bentuk umum : Y = a0 + a1x1
Contoh : Y = 1 + 2x1
Fungsi kuadrat
: Fungsi polinom yang variable bebasnya memiliki pangkat paling
tinggi adalah dua.
Bentuk umum : Y = a0 + a1x1 + a2x2
Contoh: Y = 1 + 2x1-3x2 + 4x3
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Luna Haningsih SE.ME.
MATEMATIKA EKONOMI
2
Fungsi kubik
: Fungsi polinom yang variable bebasnya memiliki pangkat tinggi
adalah tiga.
Bentuk umum: Y= a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3
Y= 1 + 2x1 +3x2+4x3 +5x4
Contoh:
Fungsi Pangkat
: Fungsi yang variable bebasnya berpangkat suatu bilangan
riil positif
Bentuk umum: Y = xn, n bilangan riil positif
Y = x2
Contoh:
Fungsi Esponen
: Fungsi yang variable bebasnya merupakan pangkat suatu
Konstanta
Bentuk umum:
Contoh:
Fungsi Logaritma
Y = xn
Y = 2x
: Fungsi yang merupakan invers fungsi eksponen
Bentuk umum: Y = n log x
Contoh:
Fungsi Hiperbolik
Y = 4 log x
: Fungsi yang variable bebasnya berpangkat bilangan riil negatif
Bentuk umum
Contoh :
Y= xn, n bilangan riil negatif
Y= x-2 ,n bilangan riilnegatif
3. Pengertian Fungsi Linier
Fungsi linier adalah fungsi polinom yang variable bebasnya memiliki pangkat
paling tinggi adalah satu.: Y = a0+a1x1, Y variable terikat, x variable bebas.
a0
: konstanta,nilai positif, negatif, atau nol
a1 : konstanta, nilai positif, negatif, atau nol.
Untuk nilai a0 dan a1 yang memungkinkan positif, negatif atau nol, maka alternatif yang
mungkin untuk fungsi linier : Y =a1 + a1x1, yaitu: a0 = + ; a1 = +
Misal : a0= 4 dan a1= 2
Y = a0 + a1x maka
Y= 4 + 2x
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Luna Haningsih SE.ME.
MATEMATIKA EKONOMI
3
4. Penggambaran Fungsi linier
Penggambaran fungsi linier dari berbagai alternatif untuk a0 dan a1 = 2
a. Y = 4 + 2 x ;dua buah titik yang dibutuhkan untuk menggambarkannya
(0,4) dan (-2,0)
(0,4)
Y= 4+2x
(-2,0)
b. Y = 4 –2x; dua buah titik yang dibutuhkan untuk menggambarkannya
(0,4) dan (2,0)
(0,4)
Y= 4 – 2 x
(2,0)
c. Y = -4 + 2 x dua buah titik yang dibutuhkan untuk menggambarkannya
(0,-4) dan (2,0)
Y =-4+ 2x
(2,0)
(0,-4)
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Luna Haningsih SE.ME.
MATEMATIKA EKONOMI
4
d. Y = -4 – 2X dua buah titik yang dibutuhkan untuk menggambarkannya
(0,-4) dan (2,0)
(-2,0)
(0,-4)
Y = -4 –2X
Kesimpulan: Untuk fungsi linier Y = a0 + a1X
a0 : intersep dan a1 :
gradien/kemiringan.
Intersep a0 merupakan titik potong antara fungsi linier dengan sumbu Y di atas
sumbu datar X

ao positif maka perpotongan fungsi linier dengan sumbu Y di
atas sumbu datar X

a0 negatif maka perpotongan fungsi linier dengan sumbu Y di
bawah sumbu datar X

Jika a0 nol maka perpotongan antara fungsi linier dengan sumbu
Y pada titik (0,0)
Gradien a1 merupakan kemiringan fungsi linier terhadap sumbu X
5. Hubungan Dua Fungsi Linier
Ada dua fungsi linier dimana fungsi linier pertama yaitu, Y = a0 + a1 X dan
fungsi linier yang kedua yaitu Y’ = a0’+ a1’ X. Kedua fungsi linier berada dalam
berbagai keadaan.
1. Berhimpit
I : Y = a0 + a1 X
II : Y = a0’ + a1’X
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Luna Haningsih SE.ME.
MATEMATIKA EKONOMI
5
Karena berimpit, maka a0 = a0’ dan a1 = a1’
Contoh: fungsi linier I : Y = 4 + 2X
Fungsi linier II : 2Y = 8 + 4 X, intersep 8/2 = 4 ; gradien 4/2 = 2
2. Sejajar
Y
Y = a0 +a1 x
Y’ = a0’ + a1’ x
0
X
karena sejajar, maka a0= a1’ dan a1 = a1’
Contoh: fungsi linear I : Y = 4 + 4 X, intersep 4 dan gradien 4
Fungsi linier II : Y = 2 + 4 X, intersep 2 dan gradien 4
3. Berpotongan
Y = a0 + a1 X
Y’ = a0’ + a1’ X
Karena berpotongan, maka a1 ≠ a1’
Contoh : fungsi linear I Y = 4 + 4X, intersep 4, gradien 4
Fungsi linear II Y = 2 – 4 X, intersep 2 , gradien –4
4. Titik Potong Fungsi Linier
Untuk fungsi linear yang saling berpotongan dapat dilakukan dengan
cara:

Subsitusi

Eliminasi

Determinan
Contoh:
Carilah titik potong dari dua garis yang berpotongan yaitu 2X + 3 Y = 4
dan X + 2 Y = 1
Jawab:
1. Cara subsitusi
2X + 3Y = 4 ………….(1)
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Luna Haningsih SE.ME.
MATEMATIKA EKONOMI
6
x + 2 Y= 1 → x = 1 – 2 Y …………..(2)
Masukkan (2) pada (1)
Sehingga X = 1 – 2 Y
2X+3Y=4
2 ( 1-2 Y) + 3Y = 4
X=5
2-4Y+3Y = 4
2-Y=4
Y = -2
2. Eliminasi
2 X + 3 Y = 4 (x1)
2X + 3Y = 4
X + 2 Y = 1 (x2)
2X + 4Y = 2
-Y = 2
Y = -2
Sehingga
X+2Y=1
X–4
= 1
X =5
3. Determinan
2X + 3Y = 4
X + 2Y = 1
Baik dengan cara eliminasi, substitusi maupun determinan, hasilnya X dan Y
sama.
4. Penamaan Fungsi Linier
1. Jika diketahui dua buah titik yaitu A (x1,y1) dan B (x2,y2)
Gambar:
B (x2,y2)
A (x1,y1)
Untuk mengetahui garis yang tepat melalui kedua titik tersebut dengan
rumus :
Y – Y1
X –X1
=
Y2 – Y1
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
X2 – X1
Luna Haningsih SE.ME.
MATEMATIKA EKONOMI
7
2. Jika diketahui sebuah titik A (X1,Y1) dan gradien/kemiringannya m
Rumus:
Y – Y1 = m( X – X1) ; m = ∆ Y/ ∆X
Gambar:
A (X1,Y1)
Daftar Pustaka:
1. Dowling, T.E. Matematics for Economics. 1980. McGraw-Hill,Inc.
2. Dumairy. Matematika Terapan Ekonomi dan Bisnis. 1999. BPFE. Yogyakarta.
PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB
Luna Haningsih SE.ME.
MATEMATIKA EKONOMI
8