File - MATH ISLAND

TUJUAN
PEMBELAJARAN
MATERI
PANGKAT RASIONAL DAN BENTUK AKAR
SOAL LATIHAN
PROFIL KELOMPOK
DAFTAR PUSTAKA
TUJUAN PEMBELAJARAN
TUJUAN
PEMBELAJARAN
MATERI
1.
2.
3.
4.
5.
Menghitung bilangan pangkat bulat positif dan negatif.
Menghitung bilangan pangkat rasional.
Menentukan bentuk akar.
Merasionalkan penyebut.
Menentukan persamaan pangkat
SOAL LATIHAN
PROFIL KELOMPOK
DAFTAR PUSTAKA
PANGKAT RASIONAL DAN BENTUK
AKAR
TUJUAN
PEMBELAJARAN
A. PANGKAT BULAT
POSITIF
E. MERASIONALKAN
PENYEBUT
MATERI
B. PANGKAT BULAT
NEGATIF DAN NOL
F. PANGKAT PECAHAN
SOAL LATIHAN
C. PANGKAT PECAHAN
DAN AKAR
G. TAMBAHAN
PROFIL KELOMPOK
D. OPERASI ALJABAR PADA
BENTUK AKAR
RANGKUMAN
DAFTAR PUSTAKA
A. Pangkat Bulat Positif
𝑎 × 𝑎 = 𝑎2
𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × 𝑎= 𝑎5
𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × … × 𝑎= 𝑎𝑛
TUJUAN
PEMBELAJARAN
MATERI
SOAL LATIHAN
Pada penulisan 𝑎𝑛 a ∋ B = {bilangan
bulat}
Dan n ∋ A = {bilangan asli}
a disebut basis
n disebut eksponen (pangkat)
PROFIL KELOMPOK
DAFTAR PUSTAKA
TUJUAN
PEMBELAJARAN
105
Penyelesaian:
105 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10
= 100 x 10 x 10 x 10
= 1.000 x 10 x 10
= 10.000 x 10
= 100.000
1.
MATERI
SOAL LATIHAN
PROFIL KELOMPOK
DAFTAR PUSTAKA
TUJUAN
PEMBELAJARAN
a) 𝑝2 + 𝑞 2 + 𝑟 2
Penyelesaian:
= 𝑝2 + 𝑞 2 + 𝑟 2
= 32 + 22 + 12
=9+4+1
= 14
b) 3𝑞 3
Penyelesaian:
= 3𝑞 3
= 3 . 23
=3x8
= 24
MATERI
SOAL LATIHAN
PROFIL KELOMPOK
DAFTAR PUSTAKA
1. 𝑎𝑚 x 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛
2. 𝑎𝑚 : 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛
3. (𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚.𝑛
Contoh:
1. a) 𝑎2 x 𝑎3 = 𝑎5
b) 𝑏 2 x 5𝑏 8 = 5𝑏10
c) 36 x 36 = 312
2. a) 𝑧 3 : 𝑧 2 = z
b) 8𝑏 5 : 2b = 4𝑏 4
c) 2𝑑 2 : 2𝑑2 = d
3
2
(𝑦 )
3. a)
= 𝑦6
5
3
b) (𝑧 ) = 𝑧15
4
4
c) (𝑥 ) = 𝑥 16
TUJUAN
PEMBELAJARAN
MATERI
SOAL LATIHAN
PROFIL KELOMPOK
DAFTAR PUSTAKA
B. Pangkat Bulat Negatif dan Nol
 Pengertian dari 𝒂𝟎
Telah kita ketahui bahwa:
𝑎0 x 𝑎0 = 𝑎0+𝑛
= 𝑎𝑛
= 𝑎0 : 𝑎𝑛
=1
Untuk setiap a bilangan bulat yang tidak nol, kata
artikan bahwa: 𝒂𝟎 = 1
 Pengertian dari 𝒂−𝒏
Demikian pula menurut sifat perkalian bilangan
berpangkat yaitu:
𝑎𝑛 x 𝑎−𝑛 = 𝑎𝑛−𝑛
= 𝑎0
=1
𝟏
Maka, 𝒂−𝒏 = 𝒏
𝒂
TUJUAN
PEMBELAJARAN
MATERI
SOAL LATIHAN
PROFIL KELOMPOK
DAFTAR PUSTAKA
TUJUAN
PEMBELAJARAN
Contoh:
1. 𝑎0 = 1
2. 100 = 1
3. 20 = 1
1
−2
4. 3 = 2
5. 2−1 =
6. 10
−2
3
1
2
=
MATERI
SOAL LATIHAN
PROFIL KELOMPOK
1
102
DAFTAR PUSTAKA
Sekarang perhatikan 2x2+1=5 maka
dihasilkan x= ± 2 dengan 2 bukan
bilangan rasional karena tidak dapat
𝑝
dinyatakan dengan dengan p dan q
𝑞
bilangan bulat dan q≠0 ini disebut
bilangan irasional.
Bilangan irasional lain misalnya
𝜋=3,141592654… log 2=0,301029995…
TUJUAN
PEMBELAJARAN
MATERI
SOAL LATIHAN
PROFIL KELOMPOK
DAFTAR PUSTAKA
C. Pangkat Pecahan dan Akar
1. Menyebutkan contoh bilangan
rasional dan irasional
2x-10=4 hasilnya x=7 (bilangan bulat
positif)
 4x+12=4 hasilnya x=-2 (bilangan bulat
negatif)
TUJUAN
PEMBELAJARAN
MATERI


1
2
SOAL LATIHAN
6x+5=8 hasilnya x= (bilangan pecahan)
1
2
Hasil-hasil nilai 7, -2, yang dapat
𝑝
dinyatakan dalam bentuk dengan p dan
𝑞
q bilangan bulat dan q≠0 disebut bilangan
rasional
PROFIL KELOMPOK
DAFTAR PUSTAKA
2. Memahami pengertian bentuk akar
3
Contoh : 2, 0,35 , 4 dan seterusnya.
Adanya tanda akar belum tentu
merupakan bilangan bentuk akar yang
dimaksud.
TUJUAN
PEMBELAJARAN
MATERI
Misalnya 100= 10, sebab 100= 102
3
8= 2, sebab
3
3
8 = 23
SOAL LATIHAN
3
Jadi 100, 8 termasuk bilangan
rasional.
Kesimpulan : 𝑝 ialah sbg akar pangkat
dua yg nonnegatif dari p, dengan p≥0
Contoh 36=6, bukan -6
PROFIL KELOMPOK
DAFTAR PUSTAKA
3. Mengubah bilangan dengan pangkat
pecahan menjadi bentuk akar
Pengertian dari 𝑎
1
2
1
2
1
2
MATERI
1 1
+
2 2
𝑎 x𝑎 =𝑎
= 𝑎1
=𝑎
TUJUAN
PEMBELAJARAN
SOAL LATIHAN
Dengan demikian arti dari 𝑎
1
𝑛
1
𝑛
1
𝑛
𝑎 x𝑎 x𝑎 x…=𝑎
1 1 1
+ + +⋯
𝑛 𝑛 𝑛
𝑛
𝑛
=𝑎
= 𝑎1
=𝑎
𝟏
𝒏
Jadi 𝒂 =
𝒏
𝒂
1
𝑛
PROFIL KELOMPOK
DAFTAR PUSTAKA
𝑚
𝑛
𝑎 =
𝑛
TUJUAN
PEMBELAJARAN
𝑎𝑚
3
2
Contoh : Hitunglah 2 , bila 2 = 1,414
3
2
MATERI
1
2
1+
Jawab : 2 = 2
=2x2
1
2
SOAL LATIHAN
=2 2
= 2,828
PROFIL KELOMPOK
DAFTAR PUSTAKA
TUJUAN
PEMBELAJARAN
4. Menyederhanakan bentuk akar
Gunakan kalkulator untuk menghitung
2x 8 maka akan didapat hasil yaitu 4
Hal itu dapat dijabarkan sbb :
2x 8 = 2 x 23
= 2x2 2
=2x2
=4
MATERI
SOAL LATIHAN
PROFIL KELOMPOK
DAFTAR PUSTAKA
TUJUAN
PEMBELAJARAN
Dapat disimpulkan :
𝑎 x 𝑏 = 𝑎𝑏 dan
𝑎
𝑏
=
𝑎
𝑏
Misalnya 20 = 4𝑥5 = 4 x 5 = 2 5
MATERI
SOAL LATIHAN
PROFIL KELOMPOK
DAFTAR PUSTAKA
TUJUAN
PEMBELAJARAN
1. Menjumlahkan dan mengurangi
bentuk akar. Contoh :
MATERI
a) 2 3 + 4 3 = (2+4) 3 = 6 3
b) 5 2 - 2 2 = (5-2) 2 = 3 2
2. Menentukan hasil kali bentuk akar.
Contoh :
a) 2 (3+ 2 ) = 3 2 + 4 = 3 2 + 2
SOAL LATIHAN
PROFIL KELOMPOK
b) 3( 2+ 3) = 6 + 9 = 6 + 3
DAFTAR PUSTAKA
3. Sifat operasi aljabar dalam bentuk akar.
Pada bagian ini akan disajikan beberapa
sifat:
a. Sifat komutatif pada perkalian dan
penjumlahan
TUJUAN
PEMBELAJARAN
MATERI
Contoh: 2 + 3 = 3 + 2
5x 7= 7x 5
b. Sifat asosiatif terhadap penjumlahan
dan perkalian
Contoh: 2 + ( 3 + 5) = ( 2 + 3) 5
SOAL LATIHAN
PROFIL KELOMPOK
2 ( 3 x 5) = ( 2 x 3)x 5
DAFTAR PUSTAKA
c. Sifat distributif perkalian
terhadap penjumlahan.
Contoh :
2 ( 3 + 5 + 11) = ( 2 x 3)+
( 2 x 5)+
( 2 x 11)
TUJUAN
PEMBELAJARAN
MATERI
SOAL LATIHAN
PROFIL KELOMPOK
DAFTAR PUSTAKA
E. MERASIONALKAN PENYEBUT
TUJUAN
PEMBELAJARAN
MATERI
1. Perkalian dua bilangan bertanda akar :
(a)
𝑎 dikalikan dengan ± 𝑎
SOAL LATIHAN
(b) 𝑎 + 𝑏 dikalikan dengan 𝑎 - 𝑏 atau -𝑎 + 𝑏
(c)
𝑎 + 𝑏 dikalikan dengan 𝑎 - 𝑏 atau -𝑎 + 𝑏
(d) 𝑎 𝑏 + 𝑐 𝑑 dikalikan dengan 𝑎 𝑏 - 𝑐 𝑑 atau -𝑎 𝑏 + 𝑐 𝑑
PROFIL KELOMPOK
DAFTAR PUSTAKA
2. Merasionalkan Penyebut Suatu Pecahan
Bilangan Bertanda Akar.
1.
2.
1
2
=
1
2
=
2
2
2
4+ 11
=
x
=
1
2
2
4+ 11
=2
=
2
2
2
5
TUJUAN
PEMBELAJARAN
MATERI
2
x
4− 11
4− 11
SOAL LATIHAN
(4− 11)
16 −11
PROFIL KELOMPOK
(4 - 11)
DAFTAR PUSTAKA
F. PANGKAT PECAHAN
1. Definisi :
Bila a,b є R dan n ≥ 2, n bilangan asli,sehingga dipenuhi an
𝑛
= b, dikatakan akar pangkat n dari b dan ditulis: 𝑎 = 𝑏
 an = b
Penjelasan lebih lanjut: 2 adalah b є akar pangkat dua
dari 4,sebab: 2² = 4
Demikian pula dengan (-2)³ = -8 ini berarti bahwa -2
adalah akar pangkat tiga dari -8 ditulis = 3 (−8) - 2
Secara umum untuk notasi an= b, bila n bilangan ganjil dan
a bilangan negatif maka akan menghasilkan bilangan b
yang negatif; bila n bilangan genap dan a bilangan positif,
maka akan menghasilkan bilangan b yang positif,akan
tetapi bila n bilangan genap untuk bilangan a yang
negatif,ini tidak mungkin atau tak terdefinisi.
Contoh:
(a) 4 = 2
3
(b) −27 = -3
TUJUAN
PEMBELAJARAN
MATERI
SOAL LATIHAN
PROFIL KELOMPOK
DAFTAR PUSTAKA
2. Sifat-sifat umum yang berlaku pada operasi bilangan
dengan pangkat pecahan hampir sama dengan sifat-sifat
pada operasi aljabar lainnya.
TUJUAN
PEMBELAJARAN
(a) sifat komutatif pada perkalian dan penjumlahan.
𝑝
𝑞
𝑟
𝑠
𝑟
𝑠
Misalnya: 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 + 𝑥
𝑝
𝑞
𝑟
𝑠
𝑟
𝑠
𝑥 x𝑥 =𝑥 x𝑥
𝑝
𝑞
MATERI
𝑝
𝑞
SOAL LATIHAN
(b) sifat asosiatif terhadap tambah dan kali
𝑎
𝑏
𝑝
𝑞
𝑐
𝑑
𝑎
𝑏
𝑝
𝑞
𝑐
𝑑
Misalnya: (𝑥 + 𝑥 ) + 𝑥 = 𝑥 (𝑥 + 𝑥 )
𝑎
𝑏
𝑝
𝑞
𝑐
𝑑
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
= 𝑥 (𝑥 x 𝑥 ) = (𝑥 x 𝑥 ) x 𝑥
𝑝
𝑞
PROFIL KELOMPOK
(c) sifat distributif perkalian pada panjumlahan
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
𝑝
𝑞
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
𝑎
𝑏
𝑝
𝑞
Misalnya: 𝑥 (𝑥 + 𝑥 ) = (𝑥 x 𝑥 ) + (𝑥 x 𝑥 )
DAFTAR PUSTAKA
3. Mengubah bilangan dengan pangkat negatif menjadi
bilangan dengan pangkat positif.
Telah kita ketahui pada bilangan berpangkat bulat
1
𝑎−𝑛 = 𝑎𝑛 dengan a ≠ 0 dan n bilangan bulat.
Sejalan dengan itu, maka berlaku pula: 𝑎
𝑎
𝑏
−
=
1
𝑎
𝑎𝑏
atau
1
𝑎
−𝑏
𝑎
=𝑎
TUJUAN
PEMBELAJARAN
𝑎
𝑏
MATERI
Contoh:
3
81
−4
=
1
3 =
814
1
4
( 81)
=
3
1
4
1
( 34 )
1
3 = 3 =
3
27
SOAL LATIHAN
4. Persamaan berpangkat ( persamaan eksponen )
PROFIL KELOMPOK
Hitunglah nilai x yang memenuhi persamaan 52x =
1
maka 52x =
5
5
 52x =
52x=
52
5
1
2
5
1
1
2x = − 2  x = -4
5
5
DAFTAR PUSTAKA
G. TAMBAHAN
Pada bagian yang terdahulu, telah kita bahas tentang
bilangan rasional dan irasional. Ada ungkapan baru
tentang bilangan rasional yang akan dijelaskan oleh suatu
teorema (dalil).
TUJUAN
PEMBELAJARAN
MATERI
SOAL LATIHAN
Teorema:
Pecahan desimal yang berakhir,atau kalau bentuk desimal
itu periodikmaka bilangan itu adalah suatu bilangan
rasional. Sebaliknya pecahan desimal yang tidak berakhir
atau tidak periodik adalah bilangan irasional
PROFIL KELOMPOK
DAFTAR PUSTAKA
SIFAT
(a) Jumlah atau selisih antara bilangan rasional dan
bilangan irasional hasilnya bilangan irasional
Q bilangan rasional
I bilangan irasional
Bila : S = Q + I, maka S bilangan irasional
TUJUAN
PEMBELAJARAN
MATERI
SOAL LATIHAN
(b) Hasil kali antara bilangan rasional dan bilangan
irasional, hasilnya bilangan irasional
Q bilangan rasional
I bilangan irasional
Bila P =IQ, maka P bilangan irasional
PROFIL KELOMPOK
DAFTAR PUSTAKA
RANGKUMAN
(a)Untuk dapat menggunakan aturan dan
rumus-rumus bentuk pangkat bilangan bulat
positif,nol dan rasional, pahami rumusrumus berikut ini:
1. 𝑎𝑚 x 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛
2. 𝑎𝑚 : 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛
𝑛
𝑚)
3. (𝑎
= 𝑎𝑚 . 𝑛
4. (𝑎𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 𝑏 𝑛
5. 𝑎𝑜 = 1, a ≠ 0
𝑎 𝑛
𝑎𝑛
6.
= 𝑛;𝑏 ≠ 0
𝑏
𝑏
−𝑛
𝑎
𝑏 𝑛
7.
=
, a, b
𝑏
𝑎
1
−𝑛
8. 𝑎 = 𝑛 , 𝑎 ≠ 0
𝑎
TUJUAN
PEMBELAJARAN
MATERI
SOAL LATIHAN
PROFIL KELOMPOK
≠0
DAFTAR PUSTAKA
(b) Selanjutnya pengoperasian bentuk akar dalam
matematika seperti: penjumlahan, pengurangan dan
merasionalkan penyebut sebuah pecahan yang
mengandung bentuk akar paling tidak harus memahami
rumus-rumus sebagai berikut:
1
𝑛
9. 𝑎 =
𝑛
𝑚
𝑛
𝑚
−𝑛
10. 𝑎 =
11. 𝑎
13.
14.
𝑛
=
atau
12.
𝑎
𝑎𝑚
1
𝑚
−𝑛
𝑎
SOAL LATIHAN
=𝑎
𝑛
𝑏=
𝑛
𝑎
𝑛
𝑎
𝑏
𝑏
𝑚 𝑛
𝑚
=( 𝑎)
𝑚
𝑎𝑛
𝑎x
=
MATERI
1
𝑛
𝑛
𝑛
TUJUAN
PEMBELAJARAN
𝑎=
𝑛
𝑚.𝑛
𝑚
𝑛
𝑎𝑏
𝑎
PROFIL KELOMPOK
DAFTAR PUSTAKA
SOAL LATIHAN
3𝑥 2
1. Diketahui x = 2, dan y = -2. carilah nilai dari
- 4y
2. Hitunglah dengan menghilangkan tanda kurung!
a) 𝑡 2 (𝑡 4 + 𝑡 7 )
b) 𝑥 3 (𝑥 2 + 𝑥 4 )
3. Tuliskan hasilnya dalam bentuk yang paling sederhana!
4.
5.
6.
7.
23 𝑥 28
26
34 𝑥 36
35
a)
b)
Manakah pernyataan dibawah ini yang termasuk
bilangan irasional?
a. 12
c. 50
b. 18
d. 28
Sederhanakan soal berikut :
a. 12
b. 18
c. 50
Sederhanakanlah:
a) 5 + 2 5 - 3 5
b) 2 8 - 2 2
c) 2 20 - 80
Selesaikan soal – soal di bawah ini dengan
merasionalkan penyebutnya :
a)
9
3
=…
b)
12
32
=…
c)
3
5
=…
TUJUAN
PEMBELAJARAN
MATERI
SOAL LATIHAN
PROFIL KELOMPOK
DAFTAR PUSTAKA
Nama : Ayu Lestari
NPM : 112070147
Tempat, tanggal lahir : Brebes, 17 Agustus 1993
Pengisi suara : Merasionalakan penyebut, pangkat
pecahan, tambahan, rangkuman.
Nama : Imas Kurniasih Wahyudi
NPM : 112070232
Tempat, tanggal lahit : Cirebon, 22 Juni 1994
Pengisi suara : Pangkat bulat positif, pangkat bulat
negatif dan nol.
Nama : Muhammad Jovi Marties Seviadi
NPM : 112070029
Tempat, tanggaln lahir : Indramayu, 12 Maret 1994
Pengisi suara : Pangkat pecahan dan bentuk akar,
Operasi aljabar pada bentuk akar.
TUJUAN
PEMBELAJARAN
MATERI
SOAL LATIHAN
PROFIL KELOMPOK
DAFTAR PUSTAKA
DAFTAR PUSTAKA
TUJUAN
PEMBELAJARAN
MATERI
Wagiman, Drs. Dkk. 1994. Matematika
kelas 1 SMU. Jakarta: Yudhistira.
SOAL LATIHAN
PROFIL KELOMPOK
DAFTAR PUSTAKA