KUANTISASI ENERGI PADA RANGKAIAN RLC

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
KUANTISASI ENERGI PADA RANGKAIAN RLC
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Fisika
Disusun Oleh:
BAMBANG SETYAWAN
NIM : 033214003
PROGRAM STUDI FISIKA
JURUSAN FISIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2008
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
QUANTIZATION OF RLC CIRCUIT ENERGY
A THESIS
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements
To Obtain the Sarjana Science Degree
in Physic Study Program
by:
BAMBANG SETYAWAN
NIM : 033214003
PHYSIC STUDY PROGRAM
DEPARTMENT OF PHYSIC
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2008
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
HALAMAN PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan kepada Dia Juru Selamatku, sehingga kupercaya
kepada semua anugerahNya yang senantiasa membimbingku dalam menghadapi
berbagai rintangan hidup
Kepada Bapak, Ibu, adik, dan saudara- saudaraku terkasih yang terus ada
disampingku, yang terus bersabar menunggu sampai tiba waktunya aku
menyelesaikan studi
Kepada teman- teman seperjuangan, kakak angkatan, adik angkatan yang selalu
membantu tanpa pamrih dalam kuliah
Kepada sahabat- sahabat yang aku kasihi, karena merekalah ada canda dan tawa,
ada suka dan duka
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
HALAMAN MOTTO
“Siapa yang mempunyai selera untuk membaca buku- buku yang baik,
niscaya ia sanggup menanggung kesepian di suatu tempat dengan
tentram”(Mahatma Gandhi)
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PERNYATAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan sesungguhnya bahwa skripsi yang telah saya tulis ini
tidak memuat karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam daftar
pustaka sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 17 September 2008
Penulis,
Bambang Setyawan
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRAK
KUANTISASI ENERGI PADA RANGKAIAN RLC
Telah dilakukan kuantisasi energi pada rangkaian RLC dengan
menggunakan pengkuantuman secara aljabar. Jika digunakan asumsi bahwa
1
muatan Q sebagai koordinat q, I sebagai momentum p, dan A sebagai
,
2m
maka energi total rangkaian RLC mirip dengan energi osilator harmonik. Energi
pada rangkaian RLC dapat dituliskan menjadi Eδ = hω (δ + 1) dengan
δ = 1,2,3, L .
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRACT
QUANTIZATION OF RLC CIRCUIT ENERGY
Quantization of energy RLC circuit using the algebraic quantization have
been performed. If use assumption that the charge Q as coordinate q, I as the
1
momentum p, and A as the
, then the total energy of the RLC circuit similar to
2m
the energy of the harmonic oscillator. Energy of the RLC circuit can be written to
be Eδ = hω (δ + 1) where δ = 1,2,3, L .
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan karena
telah memberikan rahmatNya dan
karena peran sertaNya dalam membantu pembuatan skripsi ini. Berkat Dialah
alam semesta dan segala isinya diciptakan, sehingga kita dapat mempelajari
gejala- gejala alam yang luar biasa melalui ilmu fisika.
Banyak pihak telah membantu saya dalam menyelesaikan karya ini. Oleh
karena itu dengan rendah hati saya mengucapkan banyak terima kasih kepada
1. Bapak Drs. Drs. Vet Asan Damanik, M.Si sebagai dosen pembimbing
tugas akhir yang dengan sabar membimbing saya dalam menyelesaikan
skripsi ini.
2. Bapak, Ibu, Adik, yang telah berkorban sedemikian banyak dan yang telah
memberi dukungan kepada saya.
3. Dekan fakultas Sains danTeknologi Rm. Gregorius Heliarko SJ, beserta
staf.
4. Dosen program studi fisika Ibu Ir. Sri Agustini Sulandari, M.Si, Bapak Dr.
Edi Santosa, M.Si, Bapak Prasetyadi, S.Si, M.Si, Ibu Dwi Nugrahaeni
Rositawati, S.Si, M.Si, Bapak Prof. Dr. Liek Wilardjo, Bapak Drs. BA.
Tjipto Sujitno, M.T, APU, dan semua dosen yang telah membantu saya
dalam menyelesaikan studi S1.
5. Laboran program studi fisika Bapak Gito, dan Mas Sis
6. Pegawai Sekretariat Fakultas Sains dan Teknologi.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7. Teman- teman dari fisika baik kakak angkatan dan adik angkatan seperti
Mbak Ayu, Mbak Yuni, Mbak Ratna, Mas Ridwan, Mas Adit, Mas Basil,
Manggar, Sujad, Ade, Siska, dan teman- teman lainnya yang tidak dapat
saya sebutkan satu persatu.
8. Ibu dan Bapak Kost yang telah menjaga saya selama berada di Yogya.
9. Teman- teman kost Danang, Yansen, dan Willy.
Saya menyadari bahwa skripsi ini masih banyak kekurangan, oleh karena itu
kritik dan saran yang membangun sangat berguna bagi perkembangan skripsi ini.
Yogyakarta, 16 September 2008
Penulis,
Bambang Setyawan
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL………………………………………………………….
i
HALAMAN PERSETUJUAN………………………………………………..
ii
HALAMAN PENGESAHAN………………………………………………… iii
HALAMAN PERSEMBAHAN………………………………………………
iv
HALAMAN MOTTO…………………………………………………………
v
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA………………………...
vi
ABSTRAK…………………………………………………………………….. vii
ABSTRACT…………………………………………………………………… viii
KATA PENGANTAR…………………………………………………………
ix
DAFTAR ISI…………………………………………………………………..
xii
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang…………………………………………….
1
1.2 Perumusan Masalah……………………………………….
3
1.3 Batasan Masalah…………………………………………..
3
1.4 Tujuan Penelitian………………………………………….
3
1.5 Kegunaan Penelitian………………………………………
4
1.6 Sistematika Penulisan…………………………………….
4
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II
BAB III
DASAR TEORI
2.1 Hamiltonian Osilator harmonik…………………………
6
2.2 Persamaan Nilai Eigen………………………………….
7
2.3 Operator Kreasi dan Operator Annihilasi........................
12
2.4 Persamaan Differensial Orde Dua………………………
15
METODE PENELITIAN
3.1 Studi dan Elaborasi Persamaan Differensial Orde Dua...
18
3.2 Perumusan Energi pada Kapasitor yang Terangkai pada
BAB IV
BAB V
Rangkaian RLC ………………………………………..
18
3.3 Kuantisasi Energi pada Rangkaian RLC………………
18
KUANTISASI ENERGI RANGKAIAN RLC
4.1 Energi Rangkaian RLC………………………………..
19
4.2 Kuantisasi Energi Rangkaian RLC……………………
19
4.3 Implikasi Kuantisasi Energi Rangkain RLC..................
24
PENUTUP
5.1 Kesimpulan……………………………………………
25
5.2 Saran………………………………………………….
25
DAFTAR PUSTAKA……………………………………………………
26
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Fisika merupakan ilmu yang mengalami perkembangan yang sangat pesat
dibandingkan dengan ilmu lain. Perkembangan ilmu fisika dapat dilihat dari
beberapa bidang seperti astronomi, fisika kuantum, energi dan beberapa bidang
fisika terapan. Banyak gejala fisis yang diamati dari eksperimen, yang tidak dapat
dijelaskan oleh fisika klasik. Sebagai contoh, energi elektron, energi radiasi benda
hitam, efek fotolistrik, hamburan Compton, spektrum garis dari atom, dan lainlain yang menunjukkan bahwa energi terkuantisasi.
Kuantisasi energi dalam fisika merupakan suatu yang sangat penting
terkait dengan fenomena-fenomena fisis yang teramati dalam eksperimen. Dalam
fisika dikenal kuantisasi kanonik yang dikaitkan dengan teori medan gelombang
dalam bentuk harmonik dengan melakukan generalisasi formalisme Hamiltonian.
Generalisasi formalisme Hamiltonian adalah suatu transisi dari teori medan klasik
ke teori medan terkuantisasi yang dilakukan dengan cara mengganti Poisson
bracket klasik menjadi Poisson bracket kuantum (Silaban, 1977). Jika suatu
medan suatu sistem fisis terkuantisasi, maka secara otomatis energi sistem fisis itu
juga terkuantisasi.
Cara yang lain untuk mengkuantisasi energi adalah cara aljabar dengan
mendefinisikan operator kreasi dan operator annihilasi. Sebagai contoh, energi
( )
osilator harmonik yang dinyatakan oleh operator Hamiltonian Ĥ
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
pˆ 2 ˆ
Hˆ =
+V
2m
dengan p̂ operator momentum, m massa partikel, dan Vˆ operator energi potensial
1
Vˆ = mω 2 xˆ 2 ,
2
menghasilkan energi terkuantisasi
1

Eδ = hω  δ + ,
2

dengan h =
δ = 1,2,3, L
h
, h adalah tetapan Planck, dan ω frekuensi sudut.
2π
Dalam fisika dikenal rangkaian seri RLC yang terdiri dari tahanan ( R ),
kumparan ( L ), dan kapasitor ( C ). Kapasitor dapat menyimpan muatan listrik
(Q). Muatan listrik yang tersimpan dalam kapasitor diberikan oleh
Q = CV
dengan V adalah beda potensial listrik. Energi yang tersimpan dalam kapasitor
tersebut dikenakan oleh
E=
1
CQ 2 .
2
Energi yang tersimpan di dalam kapasitor mirip dengan energi potensial osilator
harmonik
V=
1
mω 2 x 2
2
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah yang telah diuraikan sebelumnya
bahwa energi potensial dari kapasitor keping sejajar yang terangkai seri dengan L
dan R mirip dengan energi potensial osilator harmonik. Oleh sebab itu,
permasalahan dalam penelitian ini adalah bagaimana mengkuantisasi energi yang
tersimpan pada rangkaian RLC.
1.3 Batasan Masalah
Masalah yang diteliti dibatasi pada
1. Rangkaian RLC yang tersusun secara seri pada rangkaian pengosongan
dan rangkaian pengisian.
2. Masalah kuantisasi energi rangkaian RLC menggunakan pengkuantuman
secara aljabar.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk
1. Mengkuantisasi energi dalam rangkaian RLC secara aljabar.
2. Implikasi dari kuantisasi energi yang tersimpan di dalam kapasitor pada
rangkaian RLC seri.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1.5 Kegunaan Penelitian
Penelitian ini berguna untuk
1. Menjelaskan kuantisasi energi rangkaian RLC.
2. Mengembangkan
ilmu
pengetahuan
khususnya
mengenai
konsep
kuantisasi energi pada rangkaian RLC seri.
1.6 Sistematika Penelitian
Bab I pendahuluan
Dalam bab ini dijelaskan mengenai latar belakang masalah, batasan
masalah, metode penelitian, tujuan penelitian, kegunaan penelitian, dan
sistematika penelitian.
Bab II
Dalam bab ini akan dijelaskan teori kuantisasi secara aljabar, persamaan
nilai eigen, operator kreasi dan annihilasi, dan perumusan persamaan diferensial
rangkaian RLC beserta penyelesaiannya.
Bab III
Bab III menjelaskan tentang metode penelitian yang ditempuh dalam
penelitian ini.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Bab IV
Bab IV menjabarkan kuantisasi energi rangkaian RLC menggunakan
metode kuantisasi pada osilator harmonik secara aljabar.
Bab V
Bab V berisi kesimpulan dan saran.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II
DASAR TEORI
2.1 Hamiltonian Osilator Harmonik
Secara umum osilator harmonik diibaratkan sebagai sebuah massa m yang
ditempatkan pada sebuah pegas dengan konstanta k dan kemudian ditarik dengan
jarak tertentu dari posisi setimbangnya kemudian dilepas. Persamaan geraknya
mengikuti hukum Hooke (Griffihs,1995)
F = − kx = m
d2x
dt 2
(2.1)
dan solusi dari persamaan (2.1) menjadi
x(t ) = A sin(ωt ) + B cos(ωt )
(2.2)
dimana
ω≡
k
m
(2.3)
adalah frekuensi osilasi. Energi potensial osilator harmonik (V) dapat diperoleh
dari relasi
F =−
dV
dx
(2.4)
atau
dV = − Fdx ,
(2.5)
sehingga
x
V = − ∫ (−kx)dx =
0
1 2
kx .
2
Jika x diberikan oleh persamaan (2.2), maka
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
(2.6)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
Vˆ ( x) = mω 2 xˆ 2 .
2
.
(2.7)
Energi suatu sistem fisis diwakilkan oleh sebuah operator yang disebut
( )
Hamiltonian Ĥ . Operator Hamiltonian diberikan oleh
Hˆ = Tˆ + Vˆ
(2.8)
dengan Tˆ operator tenaga kinetik dan Vˆ operator tenaga potensial. Jika osilator
harmonik dengan tenaga potensial Vˆ diberikan oleh persamaan (2.7), maka
Hamiltonian menjadi
1
Hˆ = Tˆ + mω 2 xˆ 2 ,
2
(2.9)
pˆ 2
Tˆ =
2m
(2.10)
dengan
2.2 Persamaan Nilai Eigen
Operator yang berkorespondensi untuk menunjukkan suatu momentum
linear diberikan oleh (Liboff, 1980)
p̂ = −ih∇ .
(2.11)
Jika ditinjau hanya ke arah x saja, maka operator momentum p̂ menjadi
pˆ x = −ih
Persamaan nilai eigen dari operator
∂
.
∂x
(2.12)
pada persamaan (2.12) diberikan oleh
(Liboff, 1980)
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
− ih
∂
ψ n = p xψ n .
∂x
(2.13)
dengan ψ n fungsi eigen dan p̂ x nilai eigen yang tidak lain adalah momrntum ke
arah x.
Operator yang berkorespondensi terhadap energi adalah Hamiltonian Ĥ .
Untuk partikel tunggal bermassa m berada dalam medan potensial V (x) ,
persamaan Hamiltonian diberikan oleh
pˆ 2
h2 2
Hˆ =
+ V ( x) = −
∇ + V ( x)
2m
2m
(2.14)
Persamaan nilai eigen untuk Ĥ menjadi
Hˆ ψ n ( x ) = Eψ n ( x)
(2.15)
Hˆ ψ n = E ψ n .
(2.16)
atau
Hamiltonian untuk partikel bebas (V = 0 ) menjadi
pˆ 2
h2 2
Hˆ =
=−
∇
2m
2m
(2.17)
Jika gerak partikel ditinjau ke satu arah saja ( misalnya ke arah sumbu x ),
maka persamaan Schrodinger yang tak bergantung waktu menjadi
−
h2 ∂2
ψ n = Eψ n .
2m ∂x 2
(2.18)
Jika dituliskan
ξ2 =
2mE
,
h2
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
(2.19)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
maka persamaan (2.18) menjadi
d 2ψ n
+ ξ 2ψ n = 0
dx 2
(2.20)
Penyelesaian persamaan (2.20) adalah
ψ n = Aeiξx + Be− iξx
(2.21)
Dengan A dan B adalah tetapan integrasi yang dapat ditentukan dari syarat batas.
Persamaan (2.21) adalah fungsi eigen dari Ĥ yang berkorespondensi untuk energi
nilai eigen (Liboff, 1980)
E=
h 2k 2
.
2m
(2.22)
Persamaan Schrodinger tak bergantung waktu diberikan oleh
−
h 2 d 2ψ n 1
+ mω 2 x 2ψ n = Eψ n
2
2m dx
2
(2.23)
Persamaan energi osilator harmonik dalam bentuk Hamiltonian dapat memperoleh
persamaan Schrodinger tak bergantung waktu seperti persamaan (2.23)
(Purwanto, 2006). Dengan memenuhi variabel x =
h
z , membuat persamaan
mω
(2.23) menjadi
d 2ψ n 1
1
− hω
+ mω 2 xˆ 2ψ n = Eψ n
2
2
2
dz
(2.24)
d 2ψ n
+ (λ − z 2 )ψ n = 0
dz 2
(2.25)
atau
dengan
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2E
.
hω
λ=
Untuk
memperoleh
solusi
persamaan
(2.26)
(2.25)
diberikan
nilai
2
ψ n = u ( z ) = e −ηz , sehingga diperoleh
2
2
d 2 e −ηz
= (− 2η + 4η 2 z 2 )e −ηz .
2
dz
(2.27)
Sehingga persamaan ( 2.25) menjadi
(− 2η + 4η z )e
2
2
+ (λ − z 2 )e −ηz = 0
−ηz 2
2
(2.28)
Sebagai contoh, persamaan (2.28) terpenuhi jika diberikan η =
u( z ) = e − z
2
/2
merupakan
solusi
pada
persamaan
(2.25)
1
, λ = 1. Fungsi
2
dengan
λ =1
(Purwanto,2006)
d 2ψ n
+ 1− z2 ψ n = 0.
2
dz
(
)
(2.29)
Dengan mengambil bentuk umum sembarang yang merupakan perkalian dengan
f (z) = e− z
2
/2
,
ψ n = e− z
2
/2
f (z)
(2.30)
dan mensubstitusikan ke persamaan (2.30) dengan persamaan (2.29) diperoleh
persamaan baru dalam f(z)
d2 f
df
− 2z
+ (λ − 1) f = 0 .
2
dz
dz
(2.31)
Pemecahan dari persamaan (2.31) dapat diperoleh dengan menggunakan
metode
Frobrnius,
yaitu
dengan
mengekspansi
(Purwanto,2006).
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
ke
deret
takhingga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
∞
f (z )∑ a r z r = a 0 + a1 z + a 2 z 2 + L
(2.32)
r =0
Dengan mensubstitusikan persamaan (2.32) ke persamaan (2.31) diperoleh
persamaan baru
∞
0 = ∑ [a k + 2 (k + 2 )(k + 1) − a k {2 k − (λ − 1)}]z k .
(2.33)
k =0
Persamaan (2.33) terpenuhi oleh semua z jika koefisien z k = 0
a k + 2 (k + 2 )(k + 1)a k {2k − (λ − 1)} = 0 .
(2.34)
Persamaan (2.34) menunjukkan bahwa pemecahannya akan berbentuk deret
takhingga, yakni berhenti pada k = δ
λ − 1 = 2δ ,
δ = 0,1,2,3,4,L .
(2.35)
Dari persamaan (2.35) dan persamaan (2.26) diperoleh energi dari osilator
harmonik
1

Eδ =  δ + hω ,
2

(2.36)
dan sketsa dari energi osilator harmonik diperlihatkan seperti pada Gambar 2.1.
V ( x) =
V
1
mω x 2
2
E2
E1
x
Gambar 2.1 Sketsa aras- aras tenaga pada osilator harmonik
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2.3 Operator Kreasi dan Operator Annihilasi
Melalui pedoman persamaan Schrodinger, dan melihat kembali osilator
harmonik secara aljabar diperoleh operator-operator
aˆ − = γxˆ + iρpˆ
aˆ + = γxˆ − iρpˆ
(2.37)
atau
1
 1 2
aˆ − = 
 (mωxˆ + ipˆ )
 2hωm 
1
2
(2.38)
 1 
aˆ + = 
 (mωxˆ − ipˆ )
 2hωm 
dengan
γ =
mω
,ρ =
2h
1
2hmω
(2.39)
Persamaan ( 2.38) mempunyai hubungan komutator dasar
[xˆ, pˆ ] = ih
(2.40)
Hubungan komutator dasar menunjukkan bahwa
[aˆ − , aˆ + ] = 1
aˆ − aˆ + = 1 + aˆ + aˆ −
(2.41)
Dengan menambahkan â + dengan â − dan dengan mengurangkan â + dengan â −
diperoleh
xˆ =
aˆ + + aˆ −
,
2γ
pˆ =
aˆ + − aˆ −
.
2iρ
(2.42)
Sehingga persamaan Hamiltonian untuk osilator harmonik menjadi
pˆ 2 1 2
1

Hˆ =
+ kxˆ = hω  aˆ + aˆ − +  .
2m 2
2

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
(2.43)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Persoalan untuk menemukan nilai eigen dari Ĥ telah diubah bentuk untuk
menemukan nilai eigen dari operator
Nˆ ≡ aˆ + aˆ −
(2.44)
Perhitungan komutator dari N̂ dengan â − dan â + yaitu (Cohen-Tannoudji,1977)
[Nˆ , aˆ ] = [aˆ aˆ , aˆ ] = aˆ [aˆ , aˆ ] + [aˆ , aˆ ]aˆ
[Nˆ , aˆ ] = [aˆ aˆ , aˆ ] = aˆ [aˆ aˆ ] + [aˆ , aˆ ]aˆ
+
+
−
+
−
−
+
+
−
+
−
−
+
−
−
= −aˆ −
+
+
+
−
= aˆ +
(2.45)
dan
[Nˆ , aˆ ] = −aˆ
[Nˆ , aˆ ] = aˆ
−
+
−
(2.46)
+
Fungsi ψ n menjadi fungsi eigen dari N̂ yang berkorespondensi dengan nilai eigen
n sehingga diperoleh (Liboff, 1980)
Nˆ ψ n = nψ n .
(2.47)
Hubungan antara aˆ −ψ n dengan N̂ diberikan oleh
Nˆ aˆ −ψ n = aˆ + aˆ − aˆ −ψ n = (aˆ − aˆ + − 1)aˆ −ψ n = aˆ − (aˆ + aˆ − − 1)ψ n
Nˆ aˆ −ψ n = aˆ − Nˆ − 1 ψ n = aˆ − (n − 1)ψ n = (n − 1)aˆ −ψ n
(
)
(2.48)
Fungsi aˆ −ψ n adalah fungsi eigen dari N̂ , yang berkorespondensi dengan nilai
eigen n − 1
aˆ −ψ n = ψ n −1
(2.49)
aˆ −ψ n −1 = ψ n − 2 .
(2.50)
dan
Karena dari sifatnya â − disebut sebagai operator annihilasi (Liboff, 1980).
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Dengan cara yang sama seperti persamaan (2.47) , maka operasi dalam bentuk
Nˆ aˆ +ψ n menghasilkan
Nˆ aˆ +ψ n = (n + 1)aˆ +ψ n
(2.51)
Persamaan (2.51) mengindikasikan bahwa aˆ +ψ n adalah fungsi eigen dari N̂ , yang
berkorespondensi dengan nilai eigen n + 1
aˆ +ψ n = ψ n +1
(2.52)
aˆ +ψ n +1 = ψ n+ 2
(2.53)
dan
Operator â + disebut sebagai operator kreasi.
Jika operator annihilasi â− dan operator kreasi â+ dikenakan pada suatu keadaan
δ maka menghasilkan (Cohen-Tannoudji,1977)
aˆ + δ = δ + 1 δ + 1
(2.54)
aˆ − δ = δ δ − 1 .
(2.55)
dan
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2.4 Persamaan Differensial Orde Dua
Persamaan differensial orde dua mempunyai bentuk
d2y
dy
+ a1
+ a0 y = 0
2
dx
dx
(2.56)
d 2 y a1 dy a 0
+
+
y = F ( x)
dx 2 a 2 dx a 2
(2.57)
a2
dan
dimana a 2 , a1 , a 0 merupakan konstanta. Persamaan (2.56) merupakan persamaan
differensial orde dua homogen, sedangkan persamaan (2.57) merupakan
persamaan differensial orde dua takhomogen.
Suatu rangkaian RLC terdiri dari kapasitor, resistor, dan induktor yang
disusun seri kemudian dihubungkan dengan sumber tegangan baterai sebesar V0 ,
seperti Gambar 2.2
R
V0
C
L
Gambar 2.2 Rangkaian RLC dengan sumber
Persamaan differensial orde dua dari rangkaian RLC yang disusun seri seperti
pada Gambar 2.2 diberikan oleh
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
d 2Q
dQ 1
+R
+ Q = V0
2
dt C
dt
(2.58)
V
1
d 2 Q R dQ
+
+
Q= 0 .
2
L dt LC
L
dt
(2.59)
L
atau
Dengan menggunakan operator D =
d
, persamaan (2.59) menjadi
dt
D 2Q +
V
R
1
DQ +
Q= 0
L
LC
L
(2.60)
Akar-akar penyelesaian dari persamaan (2.60) diberikan oleh
 R 1
D1 = −
−
 2L 2

 R 1
D2 = − 
+
 2L 2


 = −α


2
4 
R
= −β
  +
LC 
 L

2
4
R
  −
LC
 L
(2.61)
Penyelesaian persamaan (2.59) secara lengkap menjadi
Q(t ) =
V0
K 1V0
KV
+
e − βt + 2 0 e −αt
αβ L (α − β )L
L
(2.62)
dengan K 1 dan K 2 adalah tetapan integrasi yang nilainya akan ditentukan
kemudian.
R
C
L
Gambar 2.3 Rangkaian RLC tanpa sumber
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Jika tanpa sumber tegangan, maka persamaan differensial orde dua rangkaian
RLC pada Gambar 2.3 menjadi
L
d 2Q
dQ 1
+R
+ Q=0
2
dt C
dt
Dengan menggunakan operator D =
(2.63)
d
, persamaan (2.63) menjadi
dt
D 2Q +
R
1
DQ +
Q = 0.
L
LC
(2.64)
Karena mempunyai akar-akar penyelesaian yang sama seperti pada persamaan
(2.61), maka penyelesaian secara lengkap persamaan (2.64) menjadi
Q(t ) = K 3 e −αt + K 4 e − βt
.
(2.65)
dengan K 3 dan K 4 adalah tetapan integrasi yang nilainya akan ditentukan
kemudian.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB III
METODE PENELITIAN
Penelitian dilakukan dengan studi pustaka terhadap teori osilator harmonik
dan penyelesaian persamaan differensial orde dua untuk rangkaian RLC yang
disusun secara seri. Langkah- langkah yang ditempuh sebagai berikut.
3.1 Studi dan Elaborasi Persamaan Differensial Orde Dua Rangkaian RLC
Persamaan differensial orde dua pada rangkaian RLC tersebut diselesaikan
persamaan umum untuk nilai Q(t ). Dari persamaan umum yang diperoleh,
kemudian dicari persamaan khusus dengan memasukkan syarat batas.
3.2 Perumusan Energi pada Kapasitor yang Terangkai pada Rangkaian RLC
Dengan mengunakan hubungan yang ada dalam persamaan osilator
harmonik, dijabarkan kembali energi pada kapasitor yang terangkai pada
rangkaian RLC.
3.3 Kuantisasi Energi pada Rangkaian RLC
Kuantisasi energi pada rangkaian RLC dilakukan dengan mengubah
r
energi E menjadi operator, dengan memperhatikan persyaratan matematis dan fisis
r
yang harus dipenuhi. Energi E dinyatakan sebagai kombinasi linear dari operator
kreasi â + dan operator annihilasi â − .
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB IV
KUANTISASI ENERGI RANGKAIAN RLC
4.1 Energi Rangkaian RLC
Dari persamaan (2.69), dan dengan menggunakan syarat
batas
Q(t = 0) = q 0 dan Q(t = ∞) = 0 dimana K 1 = 0 dan K 2 = q0 diperoleh persamaan
baru
Q(t ) = Q0 e − βt .
(4.1)
Persamaan (4.1) menunjukkan bahwa muatan yang tersimpan di kapasitor adalah
muatan yang berasal dari proses pengosongan. Hal tersebut terjadi karena
rangkaian tidak diberi sumber tegangan.
Sedangkan dari persamaan (2.68), dengan menggunakan syarat batas Q(t = 0) = 0
dan Q' (t = 0) = 0 diperoleh persamaan baru
Q(t ) =
V0
V0 −αt
α −β
1
+
e − βt + 2
e
αβ L (α + β )(α − β )
α + αβ L
(4.2)
Persamaan (4.2) menunjukkan bahwa muatan yang tersimpan di kapasitor adalah
muatan yang berasal dari proses pengisian. Peristiwa tersebut terjadi karena
rangkaian diberi sumber tegangan
Melalui persamaan (4.1) dapat diperoleh besarnya arus yang dimiliki pada
rangkaian RLC, yaitu sebesar
I=
dQ(t )
= −β Q0 e − βt
dt
(4.3)
Melalui persamaan (4.2) dapat diperoleh besarnya arus yang dimiliki pada
rangkaian RLC, yaitu sebesar
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
I=
V0 −αt
dQ(t )
α −β
1
= −β
e − βt − α 2
e
t
(α + β )(α − β )
α + αβ L
(4.4)
Energi potensial yang dimiliki oleh muatan yang disimpan di kapasitor yang
terhubung pada rangkaian RLC sebesar
V=
1
CQ 2
2
(4.5)
Sedangkan energi kinetik yang dimiliki pada rangkaian RLC yaitu sebesar

1 

T = IR = I  R + i ωL −
 .
ωC 


(4.6)
Dari persamaan (4.5) dan persamaan (4.6) diperoleh energi total dari rangkaian
RLC

1  1

2
Etot = H = T + V = I  R + i ωL −
 + CQ .
ωC  2


(4.7)
4.2 Kuantisasi Energi Rangkaian RLC
Persamaan (4.7) mirip dengan persamaan energi osilator harmonik dengan
operator Hamiltonian
H=
dengan
pˆ 2 1
+ mω 2 qˆ 2
2m 2
p̂ menyatakan momentum dan q̂ sebagai koordinat, dan dengan
menganggap

1 

A =  R + i ωL −
 diperoleh hubungan
ωC 


1
H = IA + CQ 2 .
2
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
(4.8)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Jika mengunakan hubungan antara persamaan (4.8) dengan persamaan energi
osilator harmonik dengan operator Hamiltonian, maka diperoleh
pˆ 2 = I
dan
1
=A
2m
yang menghasilkan
pˆ = I
(4.9)
dan
1
1
mω 2 qˆ 2 = CQ 2
2
2
yang menghasilkan
qˆ = Q
(4.10)
Metode pengkuantuman osilator harmonik secara aljabar dengan
menggunakan operator annihilasi â − dan operator kreasi â + didefinisikan sebagai
1
 1 2
aˆ − = 
 (mωqˆ + ipˆ )
 2hωm 
1
 1 2
aˆ + = 
 (mωqˆ − ipˆ )
 2hωm 
Jika pasangan momentum (persamaan (4.9)) dan koordinat (persamaan (4.10))
disubstitusikan ke dalam operator annihilasi dan operator kreasi, maka untuk
rangkaian pengosongan muatan, operator annihilasi menjadi
 1 
aˆ − = 

 2hωm 
1
2
(mωQ e
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
0
− βt
+i I
)
(4.11)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
sedangkan operator kreasi menjadi
 1 
aˆ + = 

 2hωm 
1
2
(mωQ e
− βt
0
−i I
)
(4.12)
Untuk rangkaian pengisian muatan, operator annihilasi menjadi
 1 
aˆ − = 

 2hωm 
1
2
  V0
(α − β )e − βt + V0 e −αt  + i I  (4.13)

m
ω
+
 

2
  αβ L (α + β )(α − β ) (α + αβ )L 

sedangkan operator kreasi menjadi
 1 
aˆ + = 

 2hωm 
1
2
  V0
(α − β )e − βt + V0 e −αt  − i I  (4.14)
+
mω 

2
  αβ L (α + β )(α − β ) (α + αβ )L 

Penjumlahan persamaan(4.11) dengan persamaan (4.12) menghasilkan
aˆ + + aˆ − = 2
mω
Q0 e − β t
2h
(4.15)
Pengurangan persamaan (4.11) dengan persamaan (4.12) menghasilkan
aˆ + − aˆ − = i 2
I
2hmω
(4.16)
Penjumlahan persamaan (4.13) dan persamaan (4.14) menghasilkan
aˆ + + aˆ − = 2
(α − β )e − βt + V0 e −αt 
mω  V0

+
2h  αβ L (α + β )(α − β ) (α 2 + αβ )L 
(4.17)
Pengurangan persamaan (4.13) dan persamaan (4.14) menghasilkan
aˆ + − aˆ − = i 2
I
2hmω
(4.18)
Dari persamaan (2.47) dan persamaan (4.8) terdapat hubungan korespondensi
bahwa energi dari rangkaian RLC mengikuti
1
1 
1
Eˆ = IA + CQ 2 = hω  aˆ + aˆ − + 
2
2 
2
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
(4.19)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Mengingat sifat- sifat operator kreasi â + dan operator annihilasi â − seperti pada
persamaan (2.58) dan persamaan (2.59) maka energi rangkaian RLC untuk suatu
keadaan δ
dapat diperoleh dengan menggunakan operator energi rangkaian
RLC Ê pada keadaan δ
yang diberikan oleh
1

Eˆ δ = hω  aˆ + aˆ − +  δ
2

1

= hω  + δ δ + 1 − 1  δ + 1 − 1
2

(4.20)
1

= hω  δ +  δ
2

Sehingga energi rangkaian RLC pada keadaan δ diberikan oleh
1

Eδ = hω  δ + 
2

; δ = 0,1,2,3,L
(4.21)
Jadi energi rangkaian RLC terkuantisasi sebagaimana terlihat pada
persamaan (4.20). Kuantisasi energi rangkaian RLC dapat dilakukan karena
terdapat hubungan korespondensi koordinat q dan momentum p sebagaimana
terdapat pada osilator harmonik.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4.3 Implikasi Kuantisasi Energi Rangkaian RLC
Anggapan bahwa ada kesetaraan atau kemiripan antara energi rangkaian
RLC dengan energi dari osilator harmonik dapat dilihat pada persamaan (4.8).
Energi kinetik dari rangkaian RLC yaitu IA merupakan energi kinetik yang mirip
dengan energi kinetik dari osilator harmonik, sedangkan energi potensial dari
rangkaian RLC yaitu 1/2CQ2 mirip dengan energi potensial dari osilator harmonik
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB V
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Pengkuantuman rangkaian RLC dapat dilakukan karena arus rangkaian
yaitu I dan muatan yang dimiliki kapasitor Q memenuhi hubungan antara
koordinat q dan momentum p sebagaimana yang terdapat pada osilator harmonik
yaitu
q=−
dp
dq
dan p =
.
dt
dt
Arus pada rangkaian I dan muatan pada kapasitor Q merupakan kombinasi
linear dari operator kreasi â + dan operator annihilasi â − sebagaimana yang
dipakai dalam osilator harmonik.
5.2 Saran
Karena yang diteliti adalah pengkuantuman rangkaian RLC dan kapasitor
yang dipakai adalah kapasitor keping sejajar maka disarankan agar dilakukan
penelitian ini dengan menggunakan jenis kapasitor yang lain, seperti kapasitor
silinder maupun jenis kapasitor yang lain.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR PUSTAKA
Liboff, R.L, 1980, Introductory Quantum Mechanics, Cornell University, USA
Cohen-Tannoudji, C., Diu, B.,dan Laloe, F.,1977, Quantum Mechanics, Vol.I,
John Wiley& Sons, New York, USA
Silaban, P., 1977, Teori Grup dalam Fisika, Angkasa, Bandung
Purwanto, A., 2006, Fisika Kuantum, Gava Media, Yogyakarta
Griffiths, D.J, 1995, Introduction to Quantum Mechanics, Prentice Hall, Inc,
USA
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com