PENJABARAN PERSAMAAN KEADAAN GAS IDEAL DAN GAS

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PENJABARAN PERSAMAAN KEADAAN GAS IDEAL DAN GAS REAL
DENGAN MENGGUNAKAN KONSEP MEKANIKA KUANTUM
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Fisika
Oleh:
Ratna Listiyani
NIM : 023214017
PROGRAM STUDI FISIKA JURUSAN FISIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2008
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DERIVATION OF THE STATE EQUATIONS OF IDEAL AND REAL
GASES USING QUANTUM MECHANICAL CONCEPTS
SKRIPSI
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements to obtain
the Sarjana Sains Degree In Physics
By:
Ratna Listiyani
NIM : 023214017
PHYSICS STUDY PROGRAM
PHYSICS DEPARTEMENT
SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2008
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
MOTTO DAN PERSEMBAHAN
“ Live is a great big canvas and you
should throw all the paint on it you
can “ (Dany Kave)
PERSEMBAHAN :
“Skripsi ini aku persembahkan untuk ayah dan ibuku, adikadikku yudha, icha, dan surya yang selalu menyayangiku”
iv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PENJABARAN PERSAMAAN KEADAAN GAS IDEAL DAN GAS REAL
DENGAN MENGGUNAKAN KONSEP MEKANIKA KUANTUM
ABSTRAK
Telah dilakukan penjabaran persamaan keadaan gas ideal dan gas real
dengan menggunakan konsep mekanika kuantum. Persamaan keadaan gas ideal
dapat diperoleh dengan menganggap potensial gas berbentuk potensial osilator
harmonik, sedangkan persamaan keadaan gas real dapat diperoleh dengan
menggunakan potensial osilator harmonik terganggu.
v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DERIVATION OF THE STATE EQUATIONS OF IDEAL AND REAL
GASES USING QUANTUM MECHANICAL CONCEPTS
ABSTRACT
The equations of state for both ideal and real gases have been performed
using quantum mechanical concepts. The equation of state for an ideal gas can be
obtained by assuming that the gas potential has an oscillator harmonic potential,
meanwhile the equation of state for a real gas can be obtained using the perturbed
oscillator harmonic potential.
vi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala kasih dan
karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi
ini berjudul : ”PENJABARAN PERSAMAAN KEADAAN GAS IDEAL DAN
GAS
REAL
DENGAN
MENGGUNAKAN
KONSEP
MEKANIKA
KUANTUM”, yang diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada Program Studi Fisika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu
penulis baik berupa waktu, tenaga, bimbingan, dorongan, dan sumbang saran yang
penulis butuhkan dalam penyelesaian skripsi ini. Pada kesempatan ini penulis ingin
mengucapkan terima kasih kepada:
1. Drs. Drs. Vet. Asan Damanik, M.Si. selaku dosen pembimbing yang
telah banyak meluangkan waktu untuk membimbing, mendampingi,
memberikan dorongan dan semangat dalam pengerjaan tugas akhir ini.
2. Dr. Ign. Edi Santosa, M.S. selaku dosen pendamping akademik yang
sudah banyak memberikan pendampingan selama menjadi mahasiswa.
3. Ir. Sri Agustini Sulandari, M.Si. selaku kaprodi Fisika dan dosen yang
senantiasa memberikan kemudahan dalam memberikan materi kuliah.
4. Dwi Nugraheni Rositawati, S.Si., M.Si. selaku dosen penguji yang
telah meluangkan waktu untuk membaca dan mengkoreksi skripsi ini.
vii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5. A. Prasetyadi, S.Si., M.Si. sebagai dosen yang telah memberikan
pengajaran saat penulis menempuh masa perkuliahan.
6. Ayah dan Ibuku serta adik-adikku tercinta yang tanpa henti
memberikan dukungan, dorongan, dan doanya sehingga penulis dapat
menyelesaikan tugas akhir ini.
7. Ken yang selalu berusaha memberikan perhatian, semangat, dan
seluruh kasih sayangnya pada waktu penulis mengerjakan skripsi ini.
8. Manggar, Frida, mbak Ayuk, Sisca dan mbak Yuni yang telah menjadi
sahabat yang sangat baik dan selalu menyayangiku dengan tulus.
9. Mbak Yamidah dan mbak Tatik yang selalu sabar mengajariku ketika
menemui kesulitan dalam mengerjakan skripsi ini.
10. Mas Toro, mbak Lia, mas Yanto, mbak Prapti, mas Edi, mbak Sasti,
dan seluruh keluarga besar yang tidak pernah lelah memberikan
dukungannya.
11. Teman-teman fisika diantaranya Adet, Danang, Inke, Bambang, Iman,
Adit, Lius, Hari, Enzo, Minto, Ismeth, Mamat, Ridwan, Ade, Siska,
Sujad dan Dian yang telah memberikan kenangan manis saat
bersama-sama menempuh masa perkuliahan.
12. Seluruh Staff Pengajar Jurusan Fisika yang telah memberikan
pengajaran dan pendampingan.
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Penulis menyadari bahwa dalam penulisan ini masih banyak kekurangan, oleh
karena itu penulis sangat mengharapkan saran dan kritik yang sangat membangun
dari berbagai pihak.
Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi dunia
pendidikan dan khususnya pembaca.
Yogyakarta, September 2008
Penulis
ix
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ………………………………………………
i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING……………………
ii
HALAMAN PENGESAHAN .….…………………………………
iii
HALAMAN MOTO PERSEMBAHAN ………………...…………
iv
ABSTRAK …………………………………………………………
v
ABSTRACT ….……………………………………………………
vi
KATA PENGANTAR …..…………………………………………
vii
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA……………………………
x
DAFTAR ISI ……………………………………………………….
xi
BAB I. PENDAHULUAN………………………………………….
1
1.1. Latar Belakang ……………………………………………
1
1.2. Perumusan Masalah …………………………………….
3
1.3. Batasan Masalah ……...………………………………….
4
1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian …………………………
4
1.4.1. Tujuan Penelitian …..………………………………
4
1.4.2. Manfaat Penelitian .…...……………………………
4
1.5. Sistematika Penulisan …...…………………....…………
5
BAB II. DASAR TEORI …...………………………………………
6
2.1. Teori kinetik Gas ….….…………………………...………
6
2.2. Osilator Harmonik ….......…………………………………
16
2.3. Osilator Harmonik yang Terganggu …......……..…………
22
Bab III. Metodologi Penelitian …...........................…………………
28
3.1. Jenis Penelitian …........……………………………………
28
3.2. Sarana Penelitian ….........…………………………………
28
xi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3.3. Langkah-Langkah Penelitian ….......………………………
28
Bab IV. Hasil dan Pembahasan …......………………………………
29
4.1. Hasil Perhitungan ………………………………………..
29
4.1.1. Persamaan Keadaan Gas Ideal…………...………..
29
4.1.2. Persamaan Keadaan Gas Real ……….……………
31
4.2. Pembahasan ………………………………………………
BAB V. PENUTUP ………………………………………………
33
35
5.1. Kesimpulan ….....…………………………………………
35
5.2. Saran …......…………………………………………….…
35
DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………
36
LAMPIRAN
xii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Secara fenomenologis dikenal tiga macam wujud zat, yaitu padat, cair, dan
gas. Masing-masing wujud zat tersebut memiliki sifat makroskopik yang berbeda.
Wujud zat padat memiliki kerapatan tinggi dan bentuk ruang yang tetap. Wujud
zat cair memiliki kerapatan yang lebih rendah dibanding zat padat dan bentuk
ruang mengikuti wadahnya. Wujud gas memiliki kerapatan paling rendah dan
bentuk ruang mengikuti wadahnya (Rahayu, 2001).
Sifat gas yang ditinjau dari pandangan makroskopik ditekankan pada
kuantitas makroskopik yang berkaitan dengan keadaan internal sistem. Oleh sebab
itu, diperlukan penelitian untuk menentukan kuantitas makroskopik yang cukup
untuk mendeskripsikan keadaan internal tersebut. Kuantitas makroskopik yang
berkaitan dengan keadaan internal suatu sistem disebut koordinat termodinamik
(Zemansky dan Dittman, 1986). Koordinat termodinamik suatu gas ditentukan
oleh tekanan ( p ) , volume (V ) , dan suhu (T ) . Hubungan koordinat termodinamik
dengan massa (m ) disebut persamaan keadaan
f
( p, V , T , m ) = 0
(1.1)
V⎞
⎛
Jika didefinisikan v sebagai volume jenis zat ⎜ v = ⎟ , maka persamaan
m⎠
⎝
(1.1) dapat dituliskan menjadi
f
( p, v, T ) = 0
1
(1.2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
Jika koordinat termodinamik pada suatu gas diukur nilainya serta dibuat
grafik hubungan antara nilai rasio
(T1 , T2 , T3 ) ,
Pv
dan tekanan pada tiga temperatur
T
maka akan diperoleh grafik seperti terlihat pada Gambar 1.1 (Sears
dan Salinger, 1975)
Gambar 1.1 Grafik hubungan rasio
Pv
dan tekanan
T
Dari Gambar 1.1 terlihat bahwa suatu gas yang mempunyai tekanan
mendekati nol akan memenuhi persamaan
Pv
= R
T
atau
Pv = RT
yang merupakan persamaan keadaan gas ideal. Jika relasi v =
(1.3)
V
disubstitusikan
m
ke persamaan (1.3), maka persamaannya menjadi
PV = m RT
(1.4)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
Massa m sebanding dengan jumlah mol gas (n), sehingga persamaan (1.4) dapat
dituliskan
PV = n RT
(1.5)
Gas ideal adalah gas yang tenaga ikat molekul-molekulnya dapat
diabaikan (Nainggolan, 1978). Jika tenaga ikat molekul-molekul gas tidak dapat
diabaikan maka persamaan keadaannya menjadi persamaan keadaan gas real
a ⎞
⎛
⎜ p + 2 ⎟ (v − b ) = R T
v ⎠
⎝
(1.6)
Pengaruh dari tenaga ikat molekul-molekul gas yang tidak dapat diabaikan
menyebabkan timbulnya faktor koreksi tekanan
a
. Konstanta b merupakan
v2
faktor koreksi volume yang besarnya sebanding dengan volume yang ditempati
molekul-molekul gas (Nainggolan, 1978). Jika volume gas sangat besar, maka
a
v2
dan b dapat diabaikan, sehingga persamaan kembali menjadi persamaan keadaan
gas ideal.
1.2. Perumusan masalah
Pada persamaan (1.5) telah diketahui persamaan keadaan gas ideal untuk
gas yang mempunyai tekanan mendekati nol. Pada persamaan (1.6) telah
diketahui persamaan keadaan gas real. Yang menjadi permasalahan adalah apakah
persamaan (1.5) dan (1.6) dapat diperoleh dengan konsep mekanika kuantum.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
1.3. Batasan Masalah
Masalah pada penelitian ini dibatasi oleh
1. Persamaan keadaan gas ideal dan gas real dijabarkan dengan konsep
mekanika kuantum.
2. Persamaan keadaan gas ideal dijabarkan dengan menganggap potensial
molekul gas mengikuti potensial osilator harmonik.
3. Persamaan keadaan gas real dijabarkan dengan menganggap potensial
molekul gas mengikuti potensial osilator harmonik yang terganggu.
1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian
1.4.1 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah
1. Menjabarkan persamaan keadaan gas ideal dan gas real dengan konsep
mekanika kuantum.
2. Persamaan keadaan gas ideal dijabarkan dengan menganggap potensial
molekul gas mengikuti potensial osilator harmonik.
3. Persamaan keadaan gas real dijabarkan dengan menganggap potensial
molekul gas mengikuti potensial osilator harmonik yang terganggu.
1.4.2 Manfaat Penelitian
Penelitian ini bermanfaat untuk perkembangan ilmu pengetahuan
khususnya pengetahuan tentang persamaan keadaan, bahwa persamaan keadaan
gas ideal dan gas real dapat dijabarkan dengan konsep mekanika kuantum.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
1.5. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan penelitian ini adalah sebagai berikut :
BAB I. PENDAHULUAN
Pada Bab I dijelaskan mengenai latar belakang masalah, rumusan masalah,
batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, dan sistematika penulisan.
BAB II. DASAR TEORI
Pada Bab II dijabarkan teori kinetik gas, potensial osilator harmonik, dan
potensial osilator harmonik yang terganggu.
BAB III. METODOLOGI PENELITIAN
Pada Bab III akan dijelaskan tentang jenis penelitian, sarana penelitian,
dan langkah-langkah penelitian.
BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada Bab IV akan ditampilkan hasil penelitian dan pembahasannya.
BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN
Pada Bab V disajikan kesimpulan dan saran.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II
DASAR TEORI
2.1
Teori Kinetik Gas
Gas adalah kumpulan molekul-molekul yang bergerak di dalam suatu
ruang dan saling bertumbukan antara satu dengan yang lain. Tumbukan antar
molekul ini mengakibatkan terjadinya perubahan besaran fisis pada molekulmolekul yang saling bertumbukan. Jika ada sejumlah N molekul dalam suatu
ruang dengan volume V , maka rapat molekul tiap satu satuan volume (n ) adalah
n=
N
.
V
(2.1)
Kerapatan molekul dianggap sama sehingga dalam setiap sebarang bagian kecil
volume ΔV terdapat ΔN molekul dengan
ΔN = n ΔV
(2.2)
Jika molekul dianggap terletak dalam ruang berbentuk bola dengan radius
r dan berada pada koordinat polar r , θ , φ , maka molekul akan bergerak dari
pusat bola menuju permukaan kulit bola kemudian menumbuk luasan ΔA seperti
terlihat pada Gambar 2.1
Gambar 2.1 Pergerakan molekul dalam koordinat polar
6
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
Jumlah vektor kecepatan sama dengan jumlah molekul yang ada (N), jadi
rapat arah kecepatan terhadap luasan kulit bola (A) dapat diberikan
q=
N
A
(2.3)
Rapat arah kecepatan molekul q adalah jumlah arah kecepatan molekul tiap satu
satuan luas yang tegak lurus terhadap arah tersebut. Luasan A adalah luas seluruh
permukaan kulit bola sehingga persamaan (2.3) menjadi
q=
N
4π r 2
(2.4)
Luas permukaan ΔA pada permukaan bola dengan radius r dapat dituliskan
ΔA = r 2 sin θ Δθ Δφ
(2.5)
Molekul yang mempunyai arah kecepatan antara θ dan θ + Δθ serta φ
dan φ + Δφ , menurut persamaan (2.3) mempunyai jumlah molekul
ΔN θφ = q ΔA
(2.6)
atau dengan menggabungkan persamaan (2.5) dan (2.6) diperoleh
ΔN θφ = q r 2 sin θ Δθ Δφ
(2.7)
substitusi (2.4) ke (2.7) didapatkan
ΔN θφ =
N
sin θ Δθ Δφ
4π
(2.8)
kedua ruas persamaan (2.8) dibagi dengan volume V sehingga didapat
Δnθφ =
ΔN θφ
V
=
n
sin θ Δθ Δφ
4π
(2.9)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
dengan ΔN θφ adalah jumlah molekul tiap satu satuan volume dengan kecepatan
yang mempunyai arah antara θ dan θ + Δθ serta φ dan φ + Δφ . Jika molekul
mempunyai kecepatan antara U dan U + ΔU , maka persamaan (2.9) dapat
dituliskan kembali menjadi
ΔnθφU =
1
ΔnU sin θ Δθ Δφ
4π
(2.10)
Banyaknya molekul yang menumbuk elemen ΔA pada saat Δt sama dengan
jumlah molekul dalam silinder yang bergerak pada arah θ dan φ dengan
kecepatan U . Seperti terlihat pada Gambar 2.2
Gambar 2.2 Banyaknya molekul yang menumbuk elemen ΔA
Sisi silinder pada arah θ dan φ , panjang silinder (UΔt ) menyatakan jarak yang
ditempuh molekul dengan kecepatan U pada saat Δt . Volume silinder pada
Gambar 2.2 diberikan
ΔV = (ΔA) (UΔt cos θ )
(2.11)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
sehingga jumlah molekul dalam silinder didapat
⎛ UΔnU
⎞
ΔnθφU ΔV = (ΔA Δt ) ⎜
sin θ cos θ Δθ Δφ ⎟
⎝ 4π
⎠
ΔN θφU =
1
UΔnU sin θ cosθ Δθ Δφ ΔA Δt
4π
(2.12)
Flux molekul Φ pada permukaan didefinisikan sebagai jumlah total
molekul yang sampai ke permukaan tiap satu satuan luas setiap satu satuan waktu
Φ=
ΔN
ΔA Δt
(2.13)
Sehingga dengan substitusi persamaan (2.13) ke (2.12) dihasilkan
ΔΦ θφU =
ΔN θφU
ΔA Δt
=
1
UΔnU sin θ cos θ Δθ Δφ
4π
(2.14)
Flux ΔΦθU didapat dengan mengganti Δφ pada persamaan (2.14) dengan dφ
kemudian mengintegralkannya terhadap φ dengan batas 0 sampai 2π , yang
akhirnya diperoleh
ΔΦ θU =
1
UΔnU sin θ cosθ Δθ
2
(2.15)
Pergerakan molekul sebelum dan sesudah tumbukan dengan permukaan
ΔA dapat dilihat pada Gambar 2.3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
Gambar 2.3 Pergerakan molekul sebelum dan sesudah tumbukan
Dengan mengasumsikan tumbukan antar molekul bersifat elastis sempurna, dapat
diketahui kecepatan molekul sebelum dan sesudah tumbukan tetap. Jika tumbukan
molekul dengan permukaan ΔA juga dianggap elastis maka molekul yang
menumbuk permukaan tersebut akan memantul dan mengakibatkan komponen
U cosθ
berubah 180o , sehingga arahnya berbalik dari U cosθ
menjadi
− U cosθ .
Massa satu molekul adalah m , sehingga perubahan momentum tiap
molekul sebelum dan sesudah tumbukan dapat dituliskan
m U cos θ − (− m U cos θ ) = 2mU cos θ
(2.16)
Besarnya perubahan momentum tiap satu satuan luas pada molekul yang
bertumbukan dengan arah sudut θ dan mempunyai kecepatan U , atau tekanan
ΔPθU diberikan oleh (Sears dan Salinger, 1975)
⎛1
⎞
ΔPθU = (2mU cos θ ) ⎜ U ΔnU sin θ cos θ Δθ ⎟
⎝2
⎠
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
= mU 2 ΔnU sin θ cos 2 θ Δθ
(2.17)
Tekanan molekul ΔPU yang bergerak dengan kecepatan U , untuk semua
nilai θ dapat ditentukan dengan mengganti Δθ pada persamaan (2.17) dengan
dθ kemudian diintegralkan terhadap θ dengan batas dari 0 sampai
π
2
π 2
ΔPθU = mU ΔnU
2
∫ sin θ cos
2
θ dθ
0
π 2
= − mU ΔnU
2
∫ cos
2
θ d (cos θ )
0
1
= − mU ΔnU cos 3 θ
3
π 2
2
0
(
= − mU 2 ΔnU
1
cos 3 90° − cos 3 0°
3
= − mU 2 ΔnU
1 3 3
0 −1
3
(
)
)
1
ΔPU = mU 2 ΔnU
3
(2.18)
Dengan menjumlahkan semua nilai U didapatkan tekanan total
ΔPU =
1
m Σ U 2 ΔnU
3
(2.19)
Molekul mempunyai kecepatan rata-rata yang didefinisikan sebagai nilai
rata-rata dari jumlah seluruh kecepatan molekul. Jika terdapat sejumlah molekul
{N1 , N 2 ,..., N N }
ratanya
yang memiliki kecepatan {U 1 ,U 2 ,...,U N } maka kecepatan rata-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
N
U=
∑U i N i
i =1
N
∑N
i =1
N
∑U
=
i =1
i
Ni
N
(2.20)
i
Kecepatan rata-rata molekul gas tidak memperhitungkan arah. Jika
ditinjau suatu arah tertentu sebagai arah positif, maka arah kecepatan yang
berlawanan dengan arah tersebut bertanda negatif. Nilai rata-rata dari kecepatan
kuadrat diberikan oleh
N
U2 =
∑U
i =1
2
i
N
(2.21)
Jika terdapat sejumlah ΔN molekul gas yang mempunyai kecepatan U , maka
nilai rata-rata kecepatan kuadrat diberikan oleh
U2 =
mengingat n =
Σ U 2 ΔN U
N
(2.22)
N
, persamaan (2.22) dapat dituliskan menjadi
V
U2 =
Σ U 2 ΔnU
n
atau
Σ U 2 ΔnU = nU 2
Jika persamaan (2.23) dikalikan
1
m , maka didapat
3
1
1
m Σ U 2 ΔnU = nmU 2
3
3
sehingga
(2.23)
(2.24)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
ΔPU =
Kuantitas
1
nmU 2
3
(2.25)
1
nmU 2 adalah dua pertiga dari seluruh tenaga kinetik molekul, yakni
3
2 1
( nmU 2 ) . Sehingga persamaannya dapat dituliskan (Halliday dan Resnick,
3 2
1987)
1
2⎛1
⎞
nmU 2 = ⎜ nmU 2 ⎟
3
3⎝2
⎠
ΔPU =
2 1
( nmU 2 )
3 2
(2.26)
Jika ΔPU = nRT , maka dari persamaan (2.26) didapat energi kinetik gas
1 2 3
mv = N A kT
2
2
(2.27)
sebab R = N A k .
Jika molekul mempunyai x komponen kecepatan antara U x sampai
U x + ΔU x , maka perubahan momentumnya diberikan dari persamaan (2.18) yang
dituliskan kembali menjadi
ΔPx =
1
2
m U x Δn(U x )
3
(2.29)
dengan Δn (U x ) adalah jumlah molekul tiap satu satuan volume sebagai fungsi
U x . Perubahan momentum tersebut terjadi pada interval waktu
Δt =
x
Ux
Perubahan gaya yang dihasilkan akibat terjadinya tumbukan adalah
(2.30)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
1 mU x 2 Δn(U x )
Δ px
dFx =
= 3
Δt
Δt
(2.31)
sehingga
∞
2
U
1
Fx = m ∫ x Δn (U x )
3 0 Δt
(2.32)
2
Nilai U x diberikan oleh (Bradbury, 1984)
∞
+∞
∫ U x Δn (U x ) 2 ∫0 U x Δn (U x )
2
−∞
U x = +∞
=
N /V
∫ Δn (U x )
2
2
(2.33)
−∞
Persamaan (2.32) dan (2.33) digabungkan, dan diperoleh
Fx =
mNUx
6 Δt V
2
(2.34)
sehingga tekanan P adalah
2
P=
Fx m N U x
=
A 6 A Δt V
(2.35)
Selain memiliki energi kinetik, molekul-molekul gas tersebut juga
memiliki energi potensial. Dengan substitusi persamaan (2.30) ke (2.31) diperoleh
relasi
dFx =
U x Δp x
x
atau
x dFx = U x Δp x
x2
1
Δt U x dFx = U x m 2 dn (U x )
3 Δt
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
Δt dFx =
x2
1
m 2 dn (U x )
3 Δt
sehingga
x2 =
dFx Δt 3
1 m dn (U )
x
3
(2.36)
Mengingat nilai x 2 adalah
+∞
x =
2
∫x
2
dn ( x)
−∞
+∞
(2.37)
∫ dn ( x)
−∞
Dengan menggabungkan persamaan (2.36) dan (2.37) diperoleh
∞
x2 =
2 ∫ x 2 dn ( x)
0
NV
∞
6
Δt 3 dFx
∫
m
= 0
NV
(2.38)
Mengacu pada persamaan (2.35) didapatkan
dP =
dFx
A
(2.39)
Kedua ruas persamaan (2.39) dikalikan x dan dihasilkan
A x dP = dFx x
A x dP = dFx Δt U x
atau
V dP = U x ∫ Δt dFx
(2.40)
Persamaan (2.40) diintegralkan dan diperoleh
∞
P V = U x ∫ Δt dFx
0
(2.41)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Persamaan (2.41) disubstitusikan ke persamaan (2.38) menjadi
6
x2 =
=
⎛∞
⎞
⎜ ∫ Δt dFx ⎟ Δt 2
⎟
m⎜
⎝0
⎠
NV
6 PV / U x 2
Δt
m N /V
PV =
mNUx 2
x
6 Δt 2V
N A kT =
mNUx 2
x
6 Δt 2 V
kT =
m NUx
x2
2
6 Δt N A V
atau
1
1 mNUx
x2
kT =
2
2
2 6 Δt N A V
Jika
m NUx
= c , maka persamaan (2.42) menjadi
6 Δt 2 N A V
1
1
k T = c x2
2
2
sehingga besarnya energi potensial sama dengan energi termal, yaitu
2.2
(2.42)
(2.43)
1
kT .
2
Osilator Harmonik
Energi potensial molekul gas dianggap mengikuti potensial osilator
harmonik. Energi potensial osilator harmonik diberikan (Rae, 1985)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
V (x ) =
1 2
kx
2
(2.44)
dengan k adalah konstanta dan m adalah massa partikel osilasi yang memiliki
1
⎛ k ⎞2
frekuensi anguler ω c = ⎜ ⎟ , sehingga persamaan Schrödinger pada Lampiran
⎝m⎠
persamaan (13) menjadi
−
h 2 ∂ 2u 1
2
+ mω c x 2 u = Eu
2
2m ∂x
2
(2.45)
Untuk memudahkan perhitungan, semua variabel x diubah ke y dengan
1
⎛ mω c ⎞ 2
y=⎜
⎟ x
⎝ h ⎠
(2.46)
dan didefinisikan suatu konstanta
⎛ 2E ⎞
⎟⎟
α = ⎜⎜
⎝ hω c ⎠
(2.47)
sehingga persamaan (2.45) menjadi
∂ 2u
+ (α − y 2 )u = Eu
2
∂y
(2.48)
Jika nilai y sangat besar dibandingkan α maka persamaan (2.48) dapat didekati
dengan bentuk
∂ 2u
− y 2u ≈ 0
2
∂y
(2.49)
Kemudian persamaan (2.49) diselesaikan dengan fungsi
2
⎛
⎞
u = y n exp ⎜ − y
⎟
2
⎝
⎠
Turunan kedua u terhadap y dihasilkan
(2.50)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
[
]
∂ 2u
⎛ y2 ⎞
n−2
n
n+2
(
)
(
)
n
n
y
n
y
y
1
2
1
exp
=
−
−
+
+
⎜ 2⎟
∂y 2
⎝
⎠
2
⎛
⎞
≈ y n + 2 exp ⎜ − y
⎟
2
⎝
⎠
2
⎛
⎞
= y 2 y n exp ⎜ − y
⎟
2
⎝
⎠
= y 2u
(2.51)
Pada persamaan (2.51) terlihat bahwa persamaan (2.50) memenuhi (2.49),
sehingga persamaan (2.50) dapat dituliskan kembali menjadi
2
⎞
⎛
u ( y ) = H ( y ) exp ⎜ − y
⎟
2
⎠
⎝
(2.52)
dengan H ( y ) adalah fungsi yang telah ditentukan. Substitusi persamaan (2.52) ke
(2.48) menghasilkan
H ′′ − 2 yH ′ + (α − 1)H = 0
(2.53)
H dapat dituliskan dalam deret pangkat
H =
∞
∑a
n =0
H′ =
∑a
(2.54)
n
ny n −1
(2.55)
∞
∑ a n(n − 1)y
n =0
=
yn
∞
n =0
H ′′ =
n
∞
∑ a n(n − 1)y
n=2
n−2
n
n
n−2
(2.56)
Ruas kanan persamaan pertama dari persamaan (2.56) sama dengan nol, sehingga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
∞
∑ a (n + 2)(n + 1)y
H ′′ =
n =0
n+2
n
(2.57)
Dengan menggabungkan persamaan (2.54), (2.55), (2.57) dan (2.53) diperoleh
∞
∑ [(n + 1)(n + 2) a
n =0
n+2
− (2n + 1 − α ) a n ] y n = 0
(2.58)
Jika koefisien seluruh pangkat dari y sama dengan nol, maka deret (2.58) dapat
dituliskan
an+ 2
(2n + 1 − α )
=
(n + 1)(n + 2)
an
(2.59)
( )
Untuk nilai n sangat besar, deret (2.54) identik dengan deret exp y 2
menghasilkan
( ) ∑ ⎛⎜⎜ yn! ⎞⎟⎟ = ∑ (n 12)! y
⎝
⎠
2n
exp y 2 =
n
n genap
n
=
∞
∑a
n =0
n
yn .
( )
mendekati tak berhingga dengan y seperti deret exp y 2
Jika
H (y)
maka u ( y ) akan
konvergen. Gejala tersebut dapat dihindari dengan memotong penderetan. Dengan
kata lain H ( y ) merupakan polinom.
Berdasarkan persamaan (2.59), jika limit
an+2
mendekati tak berhingga,
an
maka didapatkan syarat untuk menyelesaikan persamaan Schrödinger pada
partikel yang bergerak dengan potensial osilator harmonik
α = 2n + 1
dengan
n = 0,1, 2,...
a0 = 1 jika n ganjil dan a0 = 0 jika n genap
(2.60)
Dengan substitusi persamaan pertama (2.60) ke persamaan (2.47) diperoleh energi
total dari sistem yang terkuantisasi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
1⎞
⎛
E 0 n = ⎜ n + ⎟ hω
2⎠
⎝
dengan ω frekuensi osilator harmonik, h =
Polinom
(2.61)
h
.
2π
H ( y ) dikenal sebagai polinom Hermit. Mengacu kepada
persamaan (2.59) didapatkan 4 tingkat energi terendah
H0 = 1
H1 = 2 y
H2 = 4y2 − 2
H 3 = 8 y 3 − 12 y
(2.62)
(
Fungsi gelombang u n ( x ) didapat dari perkalian H n ( y ) dengan faktor exp − 1 y 2
2
∞
dan disubstitusikan ke persamaan (2.46) kemudian dinormalisasi
∫u
)
2
dx = 1 ,
−∞
sehingga diperoleh
1
u0n
⎛ mω c ⎞ 4
⎛ mω c 2 ⎞
= ⎜
x ⎟
⎟ exp⎜ −
⎝ πh ⎠
⎝ 2h
⎠
3
1
⎛ mω c 2 ⎞
⎛ 4 ⎞ 4 ⎛ mω c ⎞ 4
u1 = ⎜ ⎟ ⎜
x ⎟
⎟ exp⎜ −
⎝π ⎠ ⎝ h ⎠
⎝ 2h
⎠
1
⎛ mω c 2 ⎞
⎛ mω c ⎞ 4 ⎡ ⎛ mω c ⎞ 2 ⎤
u2 = ⎜
x ⎟
⎟ x − 1⎥ exp⎜ −
⎟ ⎢2⎜
⎠
⎝ 2h
⎝ 4πh ⎠ ⎣ ⎝ h ⎠
⎦
1
4
3
⎛ 1 ⎞ ⎛ mω c ⎞ 4 ⎡ ⎛ mω c
u3 = ⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⎢2⎜
⎝ 9π ⎠ ⎝ h ⎠ ⎣ ⎝ h
⎤
⎛ mω c 2 ⎞
⎞ 2
x ⎟
⎟ x − 3⎥ exp⎜ −
⎠
⎝ 2h
⎠
⎦
Tenaga rata-rata osilator harmonik diberikan oleh (Omar, 1975)
(2.63)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
∞
∑E
n=0
E=
n
∞
∑e
e − En / kT
(2.64)
− E n / kT
n=0
Jika diberikan β =
1
, maka persamaan (2.64) dapat dituliskan
kT
∞
∑E
n=0
E=
∞
n
∑e
e − En β
(2.65)
− En β
n=0
Untuk memudahkan perhitungan persamaan (2.65) digunakan substitusi
∞
Z = ∑ e − β En
(2.66)
n=0
yang dikenal sebagai fungsi partisi (Mandl, 1988). Dengan demikian, tenaga ratarata pada persamaan (2.65) menjadi
E =−
1 ∂Z
∂
(ln Z )
=−
∂β
Z ∂β
(2.67)
Persamaan (2.61) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.66) dan dihasilkan
∞
Z = ∑e
1⎞
⎛
− ⎜ n + ⎟ hωβ
2⎠
⎝
n=0
= e −hωβ / 2
∞
∑e
− nhωβ
n=0
= e − hωβ / 2 (1 + e − hωβ + e −2hωβ + e −3hωβ + ...... ) (2.68)
Jika hωβ > 0 , maka e − hωβ <<1 , sehingga bentuk deret pada persamaan (2.67)
dapat dituliskan menjadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
1 + e −hωβ + e − 2hωβ + e −3hωβ + ... =
1
1 − e − hωβ
dan fungsi partisi dapat dituliskan
Z=
e − hωβ / 2
1 − e − hωβ
(2.69)
Dengan substitusi persamaan (2.69) ke dalam persamaan (2.67)
diperoleh tenaga rata-rata osilator harmonik satu dimensi sebesar
E =−
=−
∂
( ln Z
∂β
)
∂ ⎛ 1
hωβ ⎞
⎜ − hωβ − ln 1 − e
⎟
∂β ⎝ 2
⎠
(
⎛ 1
⎞
1
⎟⎟
= hω ⎜⎜ + hωβ
⎝ 2 e −1 ⎠
2.3
)
(2.70)
Osilator Harmonik yang Terganggu
Potensial osilator harmonik dengan massa m yang mengalami gangguan
δx 4 dapat dituliskan
V =
1
mω 2 x 2 + δx 4
2
(2.71)
sehingga persamaan Schrödingernya menjadi
−
h 2 ∂ 2u 1
2
+ mω c x 2 u + δx 4 = Eu
2
2m ∂x
2
(2.72)
dengan δ adalah tetapan yang bernilai sangat kecil sehingga dapat digunakan
teori gangguan untuk menentukan tingkat energi dasar dari potensial harmonik
yang mengalami gangguan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Teori gangguan dapat digunakan ketika operator Hamiltonian Ĥ
menunjukan energi total potensial osilator harmonik yang terganggu dan
dituliskan sebagai
Hˆ = Hˆ 0 + Hˆ ′
(2.73)
p2
1
+ mω 2 x 2 adalah hamiltonian tak terganggu dan Hˆ ′ = δx 4
dengan Hˆ 0 =
2m 2
sebagai gangguan. Dalam kasus ini nilai eigen E0 n dan fungsi eigen u 0 n dari Ĥ 0
diketahui mengacu pada persamaan (2.61) dan (2.63).
Nilai eigen E0 n dan fungsi eigen u 0 n diasumsikan berbentuk deret orde
0,1,2,… dalam gangguan Hˆ ′ . Sehingga persamaan (2.73) dapat dituliskan
kembali menjadi
Hˆ = Hˆ 0 + β Hˆ ′
(2.74)
dengan β adalah konstanta, sehingga nilai eigen E0 n dan fungsi eigen u 0 n dapat
dituliskan sebagai
E n = E 0 n + β E1n + β 2 E 2 n + ...
(2.75)
u n = u 0 n + βu1n + β 2 u 2 n + ...
(2.76)
Pada persamaan (2.75) dan (2.76) dapat dilihat bahwa pada saat orde nol nilai
eigen E0 n dan fungsi eigen u 0 n tidak tergantung pada β . Persamaan energi nilai
eigen diberikan (Rae, 1985)
Hˆ u n = E n u n
Substitusi persamaan (2.75) dan (2.76) ke persamaan (2.77) menghasilkan
(2.77)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
(Hˆ
0
)(
)
+ β Hˆ ′ u 0 n + β u1n + β 2 u 2 n + ... =
(E
(
0n
+ βE1n + β 2 E 2 n + ...)(u 0 n + βu1n + β 2 u 2 n + ...)
(
)
)
Hˆ 0 u 0 n + β u1n + β 2 u 2 n + ... + βH ′ u 0 n + βu1n + β 2 u 2 n + ... =
E 0 n (u 0 n + βu1n + β 2 u 2 n + ...) + βE1n (u 0 n + βu1n + β 2 u 2 n + ...)
+ β 2 E 2 n (u 0 n + βu1n + β 2 u 2 n + ...) + ...
(Hˆ u
0
0n
)(
)
+ Hˆ 0 β u1n + Hˆ 0 β 2 u 2 n + ... β H ′u 0 n + β H ′β u1n + β H ′β 2 u 2 n =
(E
0n
u 0 n + E 0 n βu1n + E 0 n β 2 u 2 n + ...)
(
)
+ βE1n u 0 n + βE1n βu1n + βE1n β 2 u 2 n + ...
+ (β 2 E 2 n u 0 n + β 2 E 2 n βu1n + β 2 E 2 n β 2 u 2 n + ...) + ...
(2.78)
Persamaan (2.78) dapat dituliskan menjadi
Hˆ 0 u 0 n = E 0 n u 0 n
(2.79)
Hˆ ′u 0 n + Hˆ 0 u1n = E 0 n u1n + E1n u 0 n
(2.80)
Hˆ ′u1n + Hˆ 0 u 2 n = E 0 n u 2 n + E1n u1n + E 2 n u 0 n
(2.81)
Orde pertama dan orde kedua pada persamaan (2.79), (2.80), dan (2.81) adalah
faktor koreksi tingkat-tingkat energi dan fungsi eigen. Jika persamaan (2.79)
Faktor koreksi orde pertama persamaan (2.80) didapat dengan menunjukkan
bahwa u1n adalah kombinasi linier dari fungsi eigen u 0 n yang tidak terganggu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
u1n = Σ a nk u 0 k
(2.82)
k
substitusi persamaan (2.82) ke (2.80) menghasilkan
Hˆ ′u 0 n + Hˆ 0 Σ a nk u 0 k = E 0 n Σ a nk u 0 k + E1n u 0 k
k
k
(2.83)
dengan menggunakan relasi (2.79) persamaan (2.83) menjadi
(Hˆ ′ − E )u
1n
= Σ a nk (E 0 n − E 0 k )u 0 n
0n
k
(2.84)
Persamaan (2.84) dikalikan dengan u ∗ 0 n dan diintegralkan dengan diketahui
bahwa u 0 k adalah orthonormal, sehingga dihasilkan
′
E1n = Hˆ nn
(2.85)
dengan
′ = ∫ u ∗ Hˆ u 0 n dτ
Hˆ nn
0n
(2.86)
Substitusi persamaan (2.61) dan (2.63) ke (2.86) dihasilkan tingkat energi
dasar dari potensial harmonik yang terganggu
1
1
⎛ mω ⎞ 4
⎛ mω 2 ⎞ ˆ ⎛ mω ⎞ 4
⎛ mω 2 ⎞
E10 = ∫ ⎜
x ⎟H ⎜
x ⎟ dx
⎟ exp ⎜ −
⎟ exp ⎜ −
⎝ 2h
⎠ ⎝ πh ⎠
⎝ 2h
⎠
⎝ πh ⎠
1
⎛ mω ⎞ 2
⎛ mω 2 ⎞ ˆ
⎛ mω 2 ⎞
=⎜
x ⎟ H exp ⎜ −
x ⎟ dx
⎟ ∫ exp ⎜ −
⎝ πh ⎠
⎝ 2h ⎠
⎝ 2h ⎠
(2.87)
dengan operator hamiltonian Ĥ pada osilator harmonik yang terganggu adalah
1
h2 ∂2
Hˆ = −
+ mω 2 x 2 + δx 4 .
2
2m ∂x
2
(2.88)
Substitusi persamaan (2.88) ke (2.87) menghasilkan
1
E10
⎛ mω ⎞ 2
= ⎜
⎟
⎝ πh ⎠
∞
∫ δx
−∞
4
⎛ mω 2 ⎞
exp⎜ −
x ⎟ dx
⎝ h
⎠
(2.89)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Persamaan (2.89) dapat dituliskan menjadi
1
E10
Jika dituliskan
∞
⎛ mω ⎞ 2
⎛ mω 2 ⎞
4
= 2⎜
x ⎟ dx .
⎟ δ ∫ x exp⎜ −
⎝ πh ⎠
⎝ h
⎠
0
mω
= α 2 dengan y 2 = α 2 x 2 , maka persamaan (2.90) menjadi
h
1
Untuk
memudahkan
dx =
1
(
)
12
h
∞
⎛ mω ⎞ 2
4
2
= 2⎜
⎟ δ ∫ x exp(− y )dx
h
π
⎝
⎠
0
E10
mω
(2.90)
perhitungan,
didefinisikan
(2.91)
x =
4
y4
(mω h )
2
dan
dy kemudian disubstitusikan ke persamaan (2.91) sehingga
menghasilkan
1
E10
∞
y
⎛ mω ⎞ 2
2
= 2⎜
⎟ δ ∫ exp − y
mω
⎝ πh ⎠
0
1
(
)
4
(
1
) (mω h )
h
2
12
∞
2
⎛ 1 ⎞2 h
= 2⎜ ⎟
δ ∫ exp(− y 2 ) y 4 dy
2 2
⎝π ⎠ m ω
0
Jika y 4 = P 2 dan dy =
dP
2 P
maka persamaan (2.92) menjadi
1
E10
dy
∞
2
dP
⎛ 1 ⎞2 h
= 2⎜ ⎟
δ ∫ exp(− P ) P 2
2 2
2 p
⎝π ⎠ m ω
0
1
∞
2
⎛ 1 ⎞2 h
=⎜ ⎟
δ ∫ exp(− P ) P 2 P 1 2 dP
2 2
π
m
ω
⎝ ⎠
0
(2.92)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
1
∞
2
⎛ 1 ⎞2 h
=⎜ ⎟
δ ∫ exp(− P ) P 3 2 dP
2 2
⎝π ⎠ m ω
0
(2.93)
Bagian integral persamaan (2.93) didefinisikan sebagai fungsi Gamma, dengan
⎛3⎞ 3
Γ⎜ ⎟ =
π sehingga didapat persamaan tingkat energi dasar untuk osilator
⎝2⎠ 4
harmonik yang terganggu
E10 =
3h 2
δ
4m 2 ω 2
(2.94)
Persamaan (2.61) dan (2.94) dijumlahkan, sehingga didapatkan energi total
1⎞
3h 2
⎛
E n = ⎜ n + ⎟ hω +
δ
2⎠
4m 2 ω 2
⎝
(2.95)
Substitusi persamaan (2.95) ke persamaan (2.64) menghasilkan
⎛ 1 3 hδ
e − hωβ ⎞
⎟
E = hω ⎜⎜ +
+
2 2
e −hωβ − 1 ⎟⎠
⎝2 4 m ω
(2.96)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB III
METODOLOGI PENELITIAN
3.1. Jenis Penelitian
Jenis penelitian yang dilakukan dalam penulisan skripsi ini adalah
penelitian studi pustaka.
3.2. Sarana Penelitian
Sarana yang dibutuhkan dalam peyelesaian skripsi ini adalah buku-buku
yang berhubungan dengan termodinamika, mekanika kuantum, dan teori kinetik
gas yang terdapat di UPT Perpustakaan Sanata Dharma Yogyakarta.
3.3. Langkah-langkah penelitian
Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai
berikut:
1. Menelusuri bahan-bahan mengenai persamaan keadaan gas ideal,
persamaan keadaan gas real dan mekanika kuantum.
2. Menentukan energi rata-rata molekul gas yang dianggap
mengikuti potensial osilator harmonik dan potensial osilator
harmonik yang terganggu.
3. Menjabarkan persamaan keadaan gas ideal dan gas real.
4. Menarik kesimpulan dan saran dari penelitian yang telah
dilakukan.
28
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Hasil Perhitungan
4.1.1 Persamaan Keadaan Gas Ideal
Sebagaimana dituliskan pada persamaan (2.70) bahwa energi rata-rata
osilator harmonik telah diketahui. Jika dituliskan β =
1
maka persamaan (2.70)
kT
menjadi
⎛1
⎞
1
⎟
E = hω ⎜ + hω
⎜2
⎟
e kT − 1 ⎠
⎝
Deret e
hω
kT
(4.1)
pada persamaan (4.1) diekspansikan menjadi
e
hω
kT
= 1+
Pada suhu tinggi (kT >> hω ) deret e
hω
hω 1 h 2 ω 2
+
+ ...
kT 2 k 2T 2
kT
pada persamaan (4.1) dapat didekati
dengan
e
hω
kT
≈ 1+
hω
kT
sehingga persamaan (4.1) dapat dituliskan menjadi
⎛
⎞
⎜
⎟
1
1
⎜
⎟
E = hω
+
⎜ 2 ⎛ hω ⎞ ⎟
⎜1 +
⎟ −1 ⎟
⎜
⎝ kT ⎠ ⎠
⎝
29
(4.2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
⎛
⎞
⎜1
⎟
1
⎜
⎟
= hω
+
⎜ 2 kT + hω
⎟
−1 ⎟
⎜
kT
⎝
⎠
⎛1
1
= hω ⎜⎜ +
⎜ 2 hω
kT
⎝
⎞
⎟
⎟⎟
⎠
⎛ 1 kT ⎞
= hω ⎜ +
⎟
⎝ 2 hω ⎠
=
hω
+ kT
2
(4.3)
Persamaan (4.3) dikalikan N A dan didapat
NA E = NA
hω
+ N A kT
2
atau
RT = N A E − N A
hω
2
hω ⎞
⎛
= ⎜E −
⎟ NA
2 ⎠
⎝
(4.4)
sebab N A k = R .
Bilangan
NA ≈
m
ρ
Avogadro
=K
(N A )
sebanding
dengan
volume
(V ) ,
atau
ρV
= K V , sehingga persamaan (4.4) dapat dituliskan
ρ
hω ⎞
⎛
RT = ⎜ E −
⎟KV
2 ⎠
⎝
hω ⎞
⎛
Jika didefinisikan ⎜ E −
⎟ K = P , maka persamaan (4.5) menjadi
2 ⎠
⎝
(4.5)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
PV = R T
(4.6)
yang merupakan persamaan gas ideal.
4.1.2 Persamaan Keadaan Gas Real
Energi rata-rata dari potensial osilator harmonik yang terganggu telah
diperoleh dan dituliskan pada persamaan (2.96). Pada suhu tinggi (kT >> hω ) ,
deret
e − hωβ
pada persamaan tersebut menjadi
e −hωβ − 1
1 − hωβ + 1 h 2ω 2 β 2 + ...
e −hωβ
2
=
1
e −hωβ − 1
− hωβ + h 2ω 2 β 2 + ...
2
≈−
1
hωβ
≈1−
+1
kT
hω
(4.7)
Substitusi persamaan (4.7) ke (2.96) menghasilkan
kT ⎞
⎛ 1 3 hδ
E = hω ⎜ +
+ 1−
⎟
2 2
hω ⎠
⎝2 4 m ω
kT ⎞
⎛ 3 3 hδ
= hω ⎜ +
−
⎟
2 2
hω ⎠
⎝2 4 m ω
=
3
3 h 2δ
hω +
− kT
2
4 m 2ω
persamaan (4.8) dikalikan N A dan diperoleh
3
3 h 2δ
N A E = hω N A +
N A − N A kT
2
4 m 2ω
atau
(4.8)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
NA E =
3
3 h 2δ
hω N A +
N A − RT
2
4 m 2ω
3 h 2δ
⎛3
⎞
RT = ⎜ hω − E ⎟ N A +
NA
4 m 2ω
⎠
⎝2
Diketahui ρ =
(4.9)
m
1
1
dan 2 = 2 2 sehingga persamaan (4.9) dapat dituliskan
v
ρ v
m
RT =
3
3 h 2δ
hω N A − E N A +
NA
2
4 ρ 2 v 2ω
⎛3
3 h 2δ ⎞
⎟KV
= ⎜⎜ hω − E +
4 ρ 2v 2ω 2 ⎟⎠
⎝2
Untuk memudahkan perhitungan, dituliskan
(4.10)
3 h 2δ
3
dan
= y,
hω − E = x
4 ρ 2ω 2
2
sehingga persamaan (4.10) menjadi
y⎞
⎛
RT = ⎜ x + 2 ⎟ K V
v ⎠
⎝
Ky ⎞
⎛
= ⎜ Kx + 2 ⎟ V
v ⎠
⎝
(4.11)
Jika Kx = p dan Ky = a , maka diperoleh
a⎞
⎛
RT = ⎜ p + 2 ⎟ V
v ⎠
⎝
atau
a⎞
⎛
n RT = ⎜ p + 2 ⎟ v
v ⎠
⎝
sebab v =
V
.
n
(4.12)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Untuk n = 1 persamaan (4.12) menjadi persamaan gas real pada saat b = 0
a⎞
⎛
RT = ⎜ p + 2 ⎟ v
v ⎠
⎝
(4.13)
4.2 Pembahasan
Sebagaimana yang telah dituliskan dalam buku-buku teks (Halliday dan
Resnick,1987 ; Sears dan Salinger, 1975 ; Nainggolan, 1978) persamaan keadaan
gas ideal adalah PV = nRT . Dengan menggunakan pendekatan teori kinetik gas
dan menganggap potensial atom mengikuti potensial osilator harmonik dapat
dihasilkan persamaan gas ideal.
Persamaan keadaan gas real dapat diperoleh dengan menganggap potensial
atom gas mengikuti potensial osilator harmonik yang terganggu. Dari persamaan
(4.13) terlihat bahwa persamaan tersebut merupakan persamaan gas van der waals
untuk keadaan b = 0 . Nilai tetapan a dan b untuk beberapa gas real disajikan
pada Tabel 4.1.
Tabel 4.1 Nilai tetapan a dan b untuk beberapa gas
real (Sears dan Salinger, 1975)
a
b
Gas
(J m3 kilomol-2)
(m3 kilomol-1)
He
3.44 ×10 3
0.0234
H2
24.8 ×10 3
0.0266
O2
138×10 3
0.0318
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
CO2
366×10 3
0.0429
H2O
580×10 3
0.0319
Hg
292×10 3
0.0055
Persamaan (4.13) berlaku untuk gas real pada saat p dan v sangat besar dengan b
sangat kecil, seperti yang terlihat dari data Tabel 4.1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB V
PENUTUP
5.1. Kesimpulan
Berdasarkan keseluruhan proses yang telah dilakukan dalam penelitian
ini dapat diperoleh kesimpulan bahwa
1. Persamaan keadaan gas ideal dan gas real dapat diperoleh dengan
menggunakan konsep mekanika kuantum.
2. Persamaan gas ideal diperoleh dengan menganggap potensial molekul gas
mengikuti potensial osilator harmonik.
3. Persamaan keadaan gas real dapat diperoleh dengan menganggap potensial
molekul gas mengikuti potensial osilator harmonik yang terganggu.
5.2 Saran
Persamaan gas real yang dihasilkan pada penelitian ini menggunakan
anggapan bahwa potensial molekul gas berbentuk potensial osilator harmonik
terganggu dengan menambah faktor δx 4 pada potensial molekul gas. Perlu
dilakukan penelitian lebih lanjut pada faktor gangguan potensial yang ordenya
lebih tinggi untuk mengetahui pengaruhnya terhadap persamaaan gas real.
35
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR PUSTAKA
Bradbury, T. C., 1984, Mathematical Methods with Applications to Problem in
the Physical Sciences, Canada: Addison–Wesley Publishing
Company.
Halliday, D., dan Resnick, R., 1987, Fisika Edisi ketiga Jilid I, Jakarta : Erlangga.
Mandl, F., 1988, Statistical Physics, Manchester : John Wiley & Sons.
Nainggolan, W.S., 1978, Thermodinamika, Bandung: Penerbit Armico.
Omar, M. A., 1975, Elementary Solid State Physics, Massachussets : Addison–
Wesley Publishing Company.
Rae, I. M. A., 1985, Quantum Mechanics, British : ELBS.
Rahayu, S. I., 2001, Teori Kinetik Gas, Jakarta : Departemen Pendidikan
Nasional.
Sears, F. W., dan Salinger, G. L., 1975, Thermodynamics, Kinetic Theory, and
Statistical Thermodynamics, Massachusetts : Addison-Wesley
Publishing Company.
Zemansky, M. W., dan Dittman, R. H., 1981, Heat and Thermodynamics, New
York : McGraw-Hill Book Company.
36
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
LAMPIRAN
Persamaan Schrödinger
L.1 Persamaan Schrödinger Bergantung Waktu
De Broglie mengatakan, partikel bermassa m yang bergerak dengan laju
v akan mempunyai panjang gelombang
λ=
h
p
(1)
dengan h adalah konstanta Planck dan p adalah momentum linier partikel.
Pada kasus partikel bebas non relativistik, hubungan antara energi dan
momentumnya diberikan oleh
E=
p2
2m
(2)
Untuk partikel yang bergerak dan memiliki potensial V ( x, t ) , energi totalnya sama
dengan jumlah dari energi kinetik dan energi potensial. Secara umum persamaan
(2) menjadi
E=
p2
+V
2m
(3)
Energi sistem fisis menurut mekenika kuantum diberikan oleh
E Ψ = Hˆ Ψ
(4)
dengan E adalah nilai eigen, Ĥ adalah operator hamiltonian, dan Ψ adalah
fungsi eigen. Jika operator energi, momentum, dan posisi diberikan oleh
E ≡ ih
∂
∂t
p ≡ − ih ∇
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
p x ≡ − ih
∂
∂x
(5)
sehingga persamaan (3) dapat dituliskan
ih
∂Ψ
h2 ∂ 2Ψ
=−
+ VΨ
∂t
2m ∂x 2
(6)
yang disebut persamaan Schrödinger bergantung waktu
L.2 Persamaan Schrödinger Tak Bergantung Waktu
Operator hamiltonian Ĥ merupakan jumlah dari energi kinetik dan energi
potensial
Hˆ = Kˆ + Vˆ
(7)
dengan K̂ adalah operator energi kinetik dan Vˆ adalah operator energi potensial.
Jadi persamaan (3) dapat dituliskan menjadi
pˆ 2
Hˆ =
+ Vˆ
2m
(8)
Substitusi persamaan (8) ke (5) yang telah dikenakan pada fungsi gelombang
menghasilkan
ih
⎞
∂Ψ ⎛ p 2
= ⎜⎜
+ V ⎟⎟ Ψ
∂t
⎝ 2m
⎠
(9)
Kedua ruas persamaan (9) merupakan energi sehingga untuk menentukan
persamaan Schrödinger dilakukan teknik pemisahan variabel
Ψ ( x, t ) = u ( x )T (t )
(10)
Dengan substitusi persamaan (6) ke (10) dan dibagi dengan Ψ dihasilkan
ih
1 ∂T
1 h 2 ∂ 2u
=−
+V
T ∂t
u 2m ∂x 2
(11)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Ruas kanan persamaan (11) hanya bergantung pada posisi, sedangkan ruas kirinya
hanya bergantung waktu. Dengan demikian kedua ruas dapat dikatakan sebagai
tetapan. Jika tetapan ini disebut E , maka akan didapatkan persamaan yang saling
bebas
ih
∂T
= ET
∂t
(12)
dan
−
h 2 ∂ 2u
+ V ( x )u = Eu
2m ∂x 2
(13)