persamaan kuadrat

Matematika: Persamaan Kuadrat
11/22/2011
MATA KULIAH
: MATEMATIKA
KODE MATA KULIAH : UNM10.103
SKS
: 2 (1(1-1)
PERSAMAAN KUADRAT
Oleh
Syawaludin A. Harahap, MSc
UNIVERSITAS PADJADJARAN
FAKULTAS PERIKANAN DAN ILMU KELAUTAN
JATINANGOR
2011
Menentukan
Akar-akar Persamaan
Kuadrat
Menyusun Persamaan Kuadrat
Syawaludin A. Harahap
1
Matematika: Persamaan Kuadrat
11/22/2011
Suatu persamaan disebut persamaam
kuadrat dalam variabel jika pangkat
tertinggi dari variabel tersebut
adalah 2.
Bentuk umum persamaan kuadrat:
ax2 + bx + c = 0, dengan a, b dan ∈ R
dan a≠ 0.
Nilai x yang memenuhi persamaan
ax2 + bx + c = 0 disebut akar-akar
persamaan ax2 + bx + c = 0 dan
dinotasikan dengan x1 dan x2.
Menentukan akarakar-akar persamaan
kuadrat:
a. Memfaktorkan;
b. Melengkapkan bentuk kuadrat
sempurna;
c. Rumus abc.
Syawaludin A. Harahap
2
Matematika: Persamaan Kuadrat
11/22/2011
a.Memfaktorkan
x2 + 5x + 6 = 0
(x + 2)(x + 3) = 0
x + 2 = 0 atau x + 3 = 0
x1 = -2 atau x2 = -3
Jadi akar-akar persamaan x2 + 5x + 6 = 0
adalah x1 = -2 atau x2 = -3
b. Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna
Pindahkan konstanta
8 ke ruas kanan
x2 – 2x – 8 = 0
x2 – 2x
=8
x2 – 2x + 1 = 8 + 1
Tambah kedua ruas dengan ½ koefisien x
dikuadratkan atau ( ½ .(-2))2 = 1
( x – 1)2 = 9
Ubah menjadi bentuk
x–1=±3
kuadrat dan selesaikan
x – 1 = 3 atau x – 1 = -3
x=4
atau x = -2
Jadi akar-akar persamaan x2 – 2 x – 8 = 0 adalah: x = 4
atau x = -2
Syawaludin A. Harahap
3
Matematika: Persamaan Kuadrat
c.
11/22/2011
Menggunakan Rumus abc.
Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, c
bilangan real dan a ≠ 0 mempunyai akar-akar :
x2 – 2x – 8 = 0 ⇒ a=1, b=-2, c=-8
⇒
⇒
Jadi akar-akar persamaan x2 – 2x – 8 = 0 adalah x1 = 4 atau x2 = -2
Menyusun Persamaan Kuadrat
Menyelesaikan Persamaan Kuadrat
(x – x1)(x – x2) = 0
Persamaan Kuadrat
ax2 + bx + c = 0
x1 + x2 =
−b
a
x1.x2 =
c
a
Akar-akar
x1, x2
(x – x1)(x – x2) = 0
x2 – (x1+ x2)x + (x1••x2)= 0
Menyusun Persamaan Kuadrat
Syawaludin A. Harahap
4
Matematika: Persamaan Kuadrat
11/22/2011
1. Menyusun persamaan kuadrat
yang diketahui akar-akarnya.
Jika akar-akarnya x1 dan x2 , maka persamaan
kuadratnya dapat disusun dengan cara :
a. Memakai Perkalian Faktor
( x – x1).( x – x2) = 0
b. Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar.
x2 – (x1 + x2)x + (x1.x2) = 0
Contoh :
Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya :
2
a. 2 dan 5
b. ½ dan
3
Jawaban :
a. Akar-akarnya x1 = 2 dan x2 = 5.
Dengan Perkalian Faktor.
(x – 2)(x – 5) = 0 ⇒ x2 - 5x - 2x + 10 = 0
⇒ x2 - 7x + 10 = 0
Jadi persamaan kuadrat yang akar-akarnya
2 dan 5 adalah x2 – 7x + 10 = 0
Syawaludin A. Harahap
5
Matematika: Persamaan Kuadrat
11/22/2011
Jawaban lanjutan
a. Akar-akarnya x1 = 2 dan x2 = 5.
Dengan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar
x2 - (x1+ x2)x + (x1.x2) = 0
x2 - (2 + 5)x + (2.5) = 0
x2 - 7+ 10 = 0
Jadi persamaan kuadrat yang akar-akarnya
2 dan 5 adalah x2 – 7x + 10 = 0
b. Akar-akarnya x1 = ½ dan x2 =
Dengan perkalian faktor.
(x – ½)(x –
2
3
)=0
⇒
2 1 4 3
+ = +
3 2 6 6
7
=
6
2
1
x -½x +
=0
3
3
1 
1
 2
x2 −  3 + 2  x +
=0
3


1
7 
x2 −  6  x +
= 0 (dikali
3
 
⇒ x2 −
⇒
2
3
⇒ 6x2 - 7x + 2 = 0
6)
2
Jadi persamaan kuadrat yang akar-akarnya ½ dan
3
adalah 6x2 – 7x + 2 = 0.
Syawaludin A. Harahap
6
Matematika: Persamaan Kuadrat
11/22/2011
Jawaban lanjutan
b. Akar-akarnya x1 = ½ dan x2 =
2
3
Dengan rumus jumlah dan hasil kali akarakar.
x2 - (x1+ x2)x + (x1•x2) = 0


⇒ x2 −  3 + 2  x +


7
1


⇒ x2 −   x +
2
 6 
1
3
1 
 1
•

=
3 
 2
0
= 0 (dikali 6)
⇒ 6x2 - 7x + 2 = 0
2
Jadi persamaan kuadrat yang akar-akarnya ½ dan
3
adalah 6x2 – 7x + 2 = 0.
2. Menyusun persamaan kuadrat yang akarakarnya diketahui mempunyai hubungan
dengan akar-akar persamaan kuadrat
lainnya.
Jika akar-akarnya diketahui mempunyai
hubungan dengan akar-akar persamaan
kuadrat lainnya, maka persamaan kuadratnya
dapat disusun dengan cara
a.Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar
b. Penghapusan indeks, jika akar-akarnya simetri
Syawaludin A. Harahap
7
Matematika: Persamaan Kuadrat
11/22/2011
a.Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar
Contoh :
Diketahui A dan B adalah akar-akar persa-maan kuadrat
2x2 – 6x – 5 = 0. Tentukan persamaan kuadrat yang akarakarnya
1 dan
A
1
B
Jawab :
Persamaan kuadrat yang diketahui 2x2 – 6x – 5 = 0
mempunyai akar-akar A dan B, sehingga :
−b
− (−6)
=
= 3
a
2
c
−5
A•B =
=
a
2
A+B =
a= 2
b=−6
c=−5
Jawaban lanjutan
Persamaan kuadrat barumempunyai akar-akar :
1
1
1
1 dan
dan
atau x1 =
x2 =
B
A
B
A
A+ B = 3
−5
A• B =
2
sehingga :
x1 + x2 =
x1•x2 =
Syawaludin A. Harahap
1
1
A+ B
+
=
A
B
A•B
=
3
−5
2
= 3×
2
6
=−
−5
5
1
1
1
2
2
1
•
=
= 1×
=−
=
−5
A B
A•B
−5
5
2
8
Matematika: Persamaan Kuadrat
11/22/2011
−6
5
−2
x1 • x2 =
5
Persamaan kuadrat yang baru adalah x1 + x2 =
x2 - (x1+ x2)x + (x1•x2) = 0
−6
−2




⇒ x2 −  5  x +  5  = 0 (dikali 5)




⇒ 5x2 - (-6)x + (-2) = 0
⇒ 5x2 + 6x - 2 = 0
Jadi persamaan kuadrat yang baru adalah
5x2 + 6x - 2 = 0.
b. Penghapusan indeks, jika akar-akarnya simetris
Bentuk simetris adalah suatu bentuk aljabar
yang harganya tidak berubah meskipun susunan varibelnya dipertukarkan tempatnya.
Misalnya : a + b = b + a, a.b = b.a,
a2 – 2ab + b2 = b2 – 2ab + a2, dll.
Contoh :
Diketahui A dan B adalah akar-akar persamaan
kuadrat 2x2 – 6x – 5 = 0. Tentukan persamaan
kuadrat yang akar-akarnya :
1 dan 1
A
B
Syawaludin A. Harahap
9
Matematika: Persamaan Kuadrat
11/22/2011
Persamaan kuadrat yang diminta mempunyai akar-akar
1 dan 1
A
B
1
1
dan x2 =
A
B
1
1
atau A =
dan B =
x1
x2
atau x1 =
A dan B adalah bentuk akar yang simetris, karena jika indeks
1 dan 2 pada x dihapus akan diperoleh bentuk yang sama
yaitu A = B =
1
x
Karena A dan B adalah akar-akar persamaan kuadrat
2x2 – 6x – 5 = 0, maka 2A2 – 6A – 5 = 0 dan 2B2 – 6B – 5 = 0
2
1
 1 
1
1
atau 2   - 6   - 5 = 0 ⇒ 2  2  - 6   - 5 = 0 (dikali x2)
 x
x 
 x
x
⇒ 2 – 6x – 5x2 = 0 (dikali - 1) ⇒
5x2 + 6x – 2 = 0
(persamaan kuadrat baru yang diminta)
Syawaludin A. Harahap
10