logika informatika - UIGM | Login Student

DAFTAR ISI
BAB 1 : PENDAHULUAN
1.1.
1.2.
Pengertian Logika
Logika dan Komputer
BAB I1 : DASAR-DASAR LOGIKA
2.1 Pengertian Umum Logika
2.2 Logika dan Pernyataan
2.2.1 Logika
2.2.2 Pernyataan (Proposisi)
2.2.3 Penghubung Kalimat Dan Tabel Kebenaran
2.2.4 Ingkaran (Negasi) Suatu Pernyataan
2.3 Tautologi dan Kontradiksi
2.4 Konvers, Invers, dan Kontraposisi.
2.5 Inferensi Logika
2.6 Soal Latihan
BAB 3 : KALIMAT BERKUANTOR
3.1 Predikat dan Kalimat Berkuantor
3.2 Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial
3.3 Ingkaran Kalimat Berkuantor
3.4 Kalimat Berkuantor Ganda
3.5 Soal Latihan
BAB 4 : ALJABAR BOOLEAN
4.1 Aljabar Boole Sebagai Suatu Struktur Aljabar
4.2 Fungsi Boolean
4.3 Ekspresi Boole
4.4 Bentuk Normal Disjunctive
4.5 Rangkaian Logika
4.6 Soal Latihan
BAB 5 : METODE PEMBUKTIAN
5.1 Petunjuk Umum Pembuktian
5.2 Metode Pembuktian Langsung
5.3 Metode Pembuktian Tak Langsung
5.3.1 Pembuktian Dengan Kontradiksi
5.3.2 Pembuktian Dengan Kontraposisi
5.4 Soal Latihan
BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Pengertian Umum Logika
Logika berasal dari bahasa yunani “LOGOS” yang berarti kata, ucapan, atau
alasan. Logika adalah metode atau teknik yang diciptakan untuk meneliti ketepatan
penalaran serta mengkaji prinsip-prinsip penalaran yang benar dan penarikan kesimpulan
yang absah. Ilmu ini pertama kali dikembangkan sekitar 300 SM oleh ARISTOTELES
dan dikenal sebagai logika tradisioanal atau logika klasik. Dua ribu tahun kemudian
dikembangkan logika modern oleh GEORGE BOOLE dan DE MORGAN yang disebut
dengan Logika Simbolik karena menggunakan simbol-simbol logika secara intensif.
Ilmu logika berhubungan dengan kalimat-kalimat (argumen) dan hubungan yang
ada diantara kalimat-kalimat tersebut.
Tujuannya adalah memberikan aturan-aturan
sehingga orang dapat menentukan apakah suatu kalimat bernilai benar.
Kalimat yang dipelajari dalam logika bersifat umum, baik bahasa sehari-hari
maupun bukti matematika yang didasarkan atas hipotesa-hipotesa. Oleh karena itu aturanaturan yang berlaku di dalamnya haruslah bersifat umum dan tidak tergantung pada
kalimat atau disiplin ilmu tertentu. Ilmu logika lebih mengarah dalam bentuk sintakssintaks daripada arti dari kalimat itu sendiri.
Logika
matematika
(mathematical
logic)
adalah
cabang ilmu di bidang
matematika yang memperdalam masalah logika, atau lebih tepatnya memperjelas logika
dengan kaidah-kaidah matematika.
Logika matematika sendiri juga terus berkembang, mulai dari logika proposional,
logika predikat, pemrograman logika, dan sebaganya. Perkembangan terakhir ilmu logika
adalah logika fuzzy, atau di Indonesia disebut logika kabur atau logika samar.
Implementasi logika fuzzy dapat ditemui pada pengatur suhu udara (AC), mesin pencuci,
kulkas, lainnya.
Secara umum logika dibedakan menjadi dua yaitu Logika Pasti dan Logika Tidak
Pasti. Logika pasti meliputi Logika Pernyataan (Propotitional Logic), Logika Predikat
(Predicate Logic), Logika Hubungan (Relation Logic) dan Logika Himpunan. Sedangkan
logika tidak pasti meliputi Logika Samar atau kabur (Fuzzy Logic).
Logika Pernyataan membicarakan tentang pernyataan tunggal dan kata hubungnya
sehingga didapat kalimat majemuk yang berupa kalimat deklaratif.
Logika Predikat
menelaah variabel dalam suatu kalimat, kuantifikasi dan validitas
sebuah argumen.
Logika
Hubungan
mempelajari hubungan
antara pernyataan,
relasi simetri,
refleksif, antisimtris, dll.
Logika himpunan membicarakan tentang unsur-unsur himpunan dan hukumhukum yang berlaku di dalamnya.
Logika Samar merupakan pertengahan dari dua nilai biner yaitu ya-tidak, nol-satu,
benar-salah. Kondisi yang ditunjukkan oleh logika samar ini antara lain : banyak, sedikit,
sekitar x, sering, umumnya.
Logika samar banyak diterapkan dalam kecerdasan buatan,
mesin pintar atau sistem cerdas dan alat-alat elektronika. Program komputer dengan
menggunakan logika samar mempunyai kapasitas penyimpanan lebih kecil dan lebih
cepat bila dibanding dengan logika biner. Pada aplikasinya dalam bidang komputer,
logika
fuzzy
diimplementasikan
untuk
memenuhi kebutuhan manusia akan sistem
komputer yang dapat merepresentasikan cara berpikir manusia.
1.2. Logika Dan Komputer
Logika disebut juga “the calculus of computer science” karena logika memegang
peranan yang sangat penting di bidang ilmu komputer. Peran kalkulus (matematika) sama
pentingnya untuk ilmu-ilmu bidang sains, misalnya ilmu fisika, ilmu elektronika, ilmu
kimia, dan sebagainya. Oleh karena itu, biasanya pelajar, mahasiswa, guru, dan dosen
setuju bahwa logika memainkan peranan penting dalam berbagai bidang keilmuan,
bahkan dalam kehidupan manusia sehari-hari.
Logika, komputasi numerik, dan matematika diskrit memiliki peran penting dalam
ilmu komputer karena semuanya berperan dalam pemrograman. Logika merupakan dasardasar matemtis suatu perangkat lunak, digunakan untuk memformalkan semantik bahasa
pemrograman dan spesifikasi program, serta menguji ketepatan suatu program. Hal ini
menunjukkan betapa pentingnya logika matematika karena banyak ilmu, khususnya
dalam bidang ilmu komputer, yang memerlukan logika untuk berkembang.
Logika dalam ilmu komputer dalam ilmu komputer digunakan sebagai dasar
dalam belajar bahasa pemrograman, struktur data, kecerdasan buatan, teknik/sistem
digital, basis data, teori komputasi, rekayasa perangkat lunak, sistem pakar, jaringan
syaraf tiruan, dan lain-lainnya yang mempergunakan logika secara intensif. Salah satu
contoh yang populer adlah sistem digital, yaitu bidang ilmu yang didasari oleh logika
untuk membuat gerbang logika (logic gates) dan arsitektur komputer sebagai inti
mikroprosesor, otak komputer atau central processing unit.
Arsitektur sistem komputer tersusun atas rangkaian logika 1 (true) dan 0 (false)
yang dikombinasikan dengan sejumlah gerbang logika AND. OR, NOT, XOR, dan
NAND. Dan program komputer berjalan di atas struktur penalaran yang baik dari suatu
solusi
terhadap
suatu
permasalahan
dengan
bantuan
komponen
program
IF…THEN…ELSE, FOR…TO…DO, WHILE, CASE…OF.
Dari penjelasan diatas bisa disimpulkan mengenai peran penting logika dalam
ilmu komputer. Jika seseorang ingin mempelajari ilmu komputer, maka ia tidak bisa
terlepas dari masalah logika. Oleh karena itu, logika matematika dipelajari secara
formal di perguruan tinggi, khususnya dalam ilmu komputer sebagai matakuliah wajib
selama 1 semester. Di indonesia sendiri ilmu komputer lebih populer dengan nama
Teknik Informatika atau Teknologi Informasi
Dikutip dari buku “ Logika Matematika Untuk Ilmu Komputer”, oleh F. Soesianto dan
Djoni Dwijono, Andi Offset, Jogjakarta.
BAB II
DASAR-DASAR LOGIKA
2.1.
Logika Dan Pernyataan (Proposisi)
Kata merupakan rangkaian huruf yang mengandung arti, sedangkan kalimat
adalah kumpulan kata yang disusun menurut aturan tata bahasa dan mengandung arti. Di
dalam matematika tidak semua pernyataan yang bernilai benar atau salah saja yang
digunakan dalam penalaran. Pernyataan disebut juga kalimat deklaratif yaitu kalimat yang
bersifat menerangkan. Disebut juga proposisi.
Pernyataan/ Kalimat Deklaratif/ Proposisi adalah kalimat yang bernilai benar atau
salah tetapi tidak keduanya.
Contoh :
1. Yogyakarta adalah kota pelajar
(Benar).
2. 2+2=4
(Benar).
3. Semua manusia adalah fana
(Benar).e
4. 4 adalah bilangan prima
(Salah).
5. 5x12=90
(Salah).
Tidak semua kalimat berupa proposisi
Contoh :
1. Dimanakah letak pulau bali?.
2. Pandaikah dia?.
3. Andi lebih tinggi daripada Tina.
4. 3x-2y=5x+4.
5. x+y=2.
2.2.
Penghubung Kalimat Dan Tabel Kebenaran
Satu atau lebih proposisi dapat dikombinasikan untuk menghasilkan proposisi
baru lewat penggunaan operator logika. Proposisi baru yang dihasilkan dari kombinasi
tersebut
disebut
dengan
proposisi majemuk
(compound
composition),
proposisi yang bukan merupakan hasil dari kombinasi proposisi lain
atomik. Proposisi majemuk tersusun dari sejumlah proposisi atomik.
Dalam logika dikenal 5 buah penghubung, yaitu:
sedangkan
disebut proposisi
Simbol
Arti
Bentuk
¬
Tidak/Not/Negasi
Tidak………….

Dan/And/Konjungsi
……..dan……..

Atau/Or/Disjungsi
………atau…….

Implikasi
Jika…….maka…….

Bi-Implikasi
……..bila dan hanya bila……..
Contoh 1:
Misalkan : p menyatakan kalimat “ Mawar adalah nama bunga”
Q menyatakan kalimat “ Apel adalah nama buah”
Maka kalimat “ Mawar adalah nama bunga dan Apel adalah nama buah “
Dinyatakan dengan simbol p  q
Contoh 2 :
Misalkan p: hari ini hari minggu
q: hari ini libur
nyatakan kalimat dibawah ini dengan simbol logika :
a. Hari ini tidak hari minggu tetapi libur
b. Hari ini tidak hari minggu dan tidak libur
c. Tidak benar bahwa hari ini hari minggu dan libur
Penyelesaian
a. Kata “tetapi” mempunyai arti yang sama dengan dan sehingga kalimat (a) bisa
ditulis sebagai : ¬p  q
b. ¬p  ¬q
c. ¬(p  q)
2.2.1. Negasi ( not ,  )
Jika p sebarang proposisi, pernyataan ‘ not p’ atau ‘ negasi daripada p ’ akan
bernilai F jika p bernilai T dan sebaliknya. Ditulis dengan
p
dan diberikan dalam table kebenaran :
P
T
F
p
F
T
Jika p representasi dari “ Anita ada dirumah” maka  p merepresentasikan “ Anita
tidak ada dirumah “ atau “ Anita keluar” atau “ tidaklah benar Anita ada dirumah”

adalah suatu operator unary atau monadic/monadika, yaitu operator yang hanya
melibatkan satu operand.
2.2.2. Konjungsi ( and,  )
Konjungsi adalah suatu operator binary atau dyadic/diadika, yaitu operator yang
melibatkan dua operand. Jika p dan q sebarang dua proposisi (kalimat deklarativ =
kalimat yang dapat ber”nilai” benar atau salah), maka pernyataan ‘ p and q ‘ akan
mempunyai T (True/Benar) jika dan hanya jika kedua proposisi p dan q bernilai T
(True/Benar). Ia ditulis dengan :
pq
dengan operator/functor muncul diantara dua operand tersebut, dan mempunyai table
kebenaran sebagai berikut :
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
pq
T
F
F
F
Sifat-sifat operator konjungsi adalah :
a. Komutatif : p  q
=qp
b. Asosiatif : p  (q  r) = (p  q)  r
2.2.3. Disjungsi ( or ,  )
Disjungsi juga ada ( jarang digunakan) yang menggunakan bentuk , “ either …… or
……” Pernyataan ‘ p or q mempunyai nilai T (True/ Benar) jika dan hanya jika p atau q (
atau keduanya) bernilai T (True/Benar) ‘ . Ditulis dengan :
pq
dan mempunyai table kebenaran :
p
T
T
F
F
Q
T
F
T
F
pq
T
T
T
F
Sifat-sifat operator konjungsi adalah
a. Komutatif : p  q
=qp
b. Asosiatif : p  (q  r) = (p  q)  r
Perhatikan kalimat sebagai berikut :
“ Pensil itu murah  Anita memerlukannya ( atau keduanya) “
“ Saya bangun terlambat  Anjing besar itu mengejarnya ( atau keduanya)”
“ Lampunya mati  Kabelnya putus (atau keduanya)”
pada kalimat pertama Anita membeli pensil itu karena harganya murah atau karena ia
membutuhkan atau keduanya, sedang kalimat kedua Saya terlambat datang karena
bangun terlambat atau karena dikejar anjing besar atau keduanya, dan yang ketiga lampu
mobil mati karena lampunya/plenthongnya mati atau kanbelnya putus atau keduanya. Hal
itu semua berarti bahwa operator  disebut dengan “ inclusive or “
Selanjutnya perhatikan kalimat/pernyataan majemuk dibawah ini :
“ Saya sedang duduk atau saya sedang berdiri (tidak keduanya) “
“ Saya kekantor nail angkot atau aaya kekantor naik becak (tidak keduanya) “
kalimat-kalimat tersebut akan tidak mungkin bahwa keduanya benar; misalnya tidak
mungkin terjadi bahwa saya duduk sekaligus berdiri, jika tidak mungkin saya naik becak
sekaligus naik angkot. Untuk kalimat-kalimat sejenis tersebut , maka operator  disebut
dengan “ exclusive or “. (“xor”)
Untuk membedakan “ exclusive or “ (atau “xor”) dengan “ inclusive or “ , maka
digunakan operator sebagai berikut :


untuk “ inclusive or “, yang selanjutnya dalam pembicaraan selalu
dimaksud “inclusive or”

 untuk “ excluve or “ atau “xor”.
2.2.4. Implikasi/Kondisional ( Implies ,  )
Jika p dan q adalah proposisi maka diperoleh pernyataan “ Jika p maka q” ,yg juga
berarti “ p hanya jika q “ , karena jika q bernilai salah (not q) maka benar-nya pernyataan
tersebut
haruslah
juga p salah (not p), dan juga berarti “ q jika p” ; ada juga yang
mengatakan “ q merupakan sarat perlu untuk p” , karena terjadinya q memang mutlak
diperlukan untuk terjadinya p sebab jika q salah (not q) maka juga p salah (not p) agar
pernyataan tersebut bernilai benar; juga ada yang mengatakan “ p merupakan sarat
cukup untuk q” karena jika p terjadi (p benar) maka q pun terjadi (q benar).
Dari penjelasan diatas maka dipilih bahwa pernyataan tersebut T (True/Benar) jika
p benar (T) dan q benar (T) , atau p salah (F). Jika tidak demikian (yaitu p adalah T dan
q adalah F) maka ia bernilai salah (F). Hal ini dapt dijelaskan sebagai berikut bahwa
pernyataan tersebut benar (T) jika p benar (T) dan q benar (T) atau p salah (F) dan q
boleh salah (F) boleh benar (T) (lht table kebenarannya)
Pernyataan tersebut ditulis :
pq
dan table kebenarannya adalah :
P
T
T
F
F
q
T
F
T
F
pq
T
F
T
T
Untuk penjelasan ini maka perhatikan kalimat :
“ Jika Anita pergi keluar negeri maka ia mempunyai passport”
maka dijelaskan sebagai berikut :

Jika Anita keluar negeri ( T) dan Ia mempunyai passport (T), maka legal (T)

Jika Anita keluar negeri (T) dan Ia tidak mempunyai passport (F), maka
illegal (F)

Jika Anita tidak keluar negeri (F) dan ia mempunyai passport (T), maka legal
(T)

Jika Anita tidak keluar negeri (F) dan ia tidak mempunyai passport (F), maka
legal (T)
Perhatikan bahwa implikasi tidak bersifat komutativ dan juga tidak bersifat
asosiatif. Operator implikasi sering disebut juga dengan operator kondisional
I.4.5. Bi-implikasi ( Ekuivalensi ,  )
Suatu pernyataan “ p adalah ekuivalen dengan q “ mempunyai nilai T (True) jika
dan hanya jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama.
ditulis :
pq
dan mempunyai table kebenaran sebagai berikut :
p
T
T
F
F
q
T
F
T
F
pq
T
F
F
T
Ia bersifat asosiatif dan komutatif. ( Perhatikan bahwa (p  q) mempunyai table
kebenaran sama dengan operator “eksklusif or” (xor,  ) .Tunjukan !!!
Pernyataan
p  q
dikatakan
bi-kondisional karena ia mempunyai table
kebenaran sama dengan
(p  q )  (q  p) atau (p  q )  (p  q). (Buatkan table kebenarannya
!!)
Jika p menyajikan/merepresentasikan “ Tombol lampu dihidupkan “, dan q
merepresentasikan “ lampu menyala “, maka pernyataan :
p q
merepresentasikan situasi normal yaitu “tombol dihidupkan jika dan hanya jika lampu
menyala”
Pernyataan tersebut dapat dibuat lebih kompleks dengan menambahkan kondisi
baru
misalnya
: listriknya (power supply)
dan plentongnya/lampunya/bohlomnya
keduanya berfungsi.
Contoh lain adalah :
“Akita akan menjadi kaya jika ia menang dalam “who want to be millionaire” atau
ia mendapat hibah ratusan juta ”
Jika p merepresentasikan “Akita akan menjadi kaya “, q merepresentasikan “ Akita
menang dalam ‘who want to be millionaire’ “, dan r merepresentasikan “ Akita mendapat
hibah ratusan juta” maka pernyataan diatas dapat disajikan dengan p  (q  r).
2.3.
Ingkaran (Negasi) Suatu Proposisi
2.3.1. Negasi Suatu Konjungsi
Contoh : Fahmi makan nasi dan minum kopi
Suatu konjumgsi akan bernilai benar jika kedua kalimat penyusunnya yaitu p dan
q bernilai benar, sedangkan negasi adalah pernyataan yang bernilai salah jika pernyataan
awalnya bernilai benar dan bernilai benar jika pernyataan awalnya bernilai salah.
Oleh karena itu negasi dari : “Fahmi makan nasi dan minum kopi” adalah suatu
pernyataan majemuk
lain yang salah satu komponennya merupakan negasi dari
komponen pernyataan awalnya. Jadi negasinya adalah: “Fahmi tidak makan nasi atau
tidak minum kopi”.
2.3.2. Negasi Suatu Disjungsi
Contoh : “Fahmi makan nasi atau minum kopi”
Suatu disjungsi akan bernilai salah hanya jika kedua komponen penyusunnya
bernilai salah., selain itu benar. Oleh karena itu negasi dari kalimat
diatas adalah : “
Tidak benar bahwa Fahmi makan nasi atau minum kopi” atau dapat juga dikatakan
“Fahmi tidak makan nasi dan tidak minum kopi.
2.3.3. Negasi Suatu Implikasi
Contoh : “Jika hari hujan maka Adi membawa payung”.
Untuk memperoleh negasi dari pernyataan diatas, kita dapat mengubah bentuknya
ke dalam bentuk disjungsi kemudian dinegasikan, yaitu :
p q  p q
Maka negasinya
( p q)  (p q)  p q
2.3.4. Negasi Suatu Biimplikasi
Biimplikasi atau bikondisional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataaan p
dan q yang dinotasikan dengan p  q  (p  q)  (q  p) sehingga : (p  q)   [(p
 q)  (q  p)]
  [(pq )  (qp)]
  (pq )  (qp)
(p  q)  (p q )  (q p)
Diberikan suatu formula proposisional P, negasi daripada P ditulis dengan P.
Jika suatu proposisional dinegasikan menjadi lebih mudah untuk disederhanakan maka
untuk
menyederhanakan
ditempuh
dengan
menegasikan
terlebih
dahulu
kemudian
dikerjakan dengan formula- fomrlua yang telah ada.
Contoh :
Konversikan kalimat dibawah ini kedalam bentuk notasi logika proposisional, negasikan
dan hasil negasinya dikembalikan dalam bentuk kalimat :
“ Jika makluk hidup mempunyai telinga panjang dan gigi besar, ia adalah kelinci”
Penyelesaian :
Andaikan p = “Makluk hidup mempunyai telinga panjang”
q = “ Makluk hidup dengan gigi besar”
r = “ Makluk hidup adalah kelinci”
maka bentuk logikanya adalah :
( p  q )  r ditransformasikan menjadi  ( p  q )  r )
sehingga
(p  q)  r kemudian di negasi kan menjadi  ((p  q)  r )
didapat
p  q  r
sehingga :
“Makluk hidup bertelinga panjang,bergigi besar dan bukan kelinci”
yang merupakan negasi daripada kalimat aslinya.
2.4. Tautologi, Kontradiksi, Dan Contingent
2.4.1. Tautologi
Sebarang formula (P) yang selalu mempunyai nilai kebenaran T ( tak peduli nilai
kebenaran daripada varibel proposionalnya) disebut tautology, dan dikatakan tautologies
atau valid. Jadi tautology adalah
suatu formula proposisional (mis. P) yang bernilai
kebenaran T untuk setiap interpretasi yang mungkin, jadi setiap interpretasi daripada P
merupakan model daripada P (beberapa buku menulis dengan |= P). Dengan definisi
tersebut
maka
semua
entri
dalam
kolom
daripada
table
kebenaran
yang
merepresentasikan nilai formula tersebut adalah T.
Suatu formula proposisi P dikatakan satisfiable (dapat puas) jika ia mempunyai
suatu
model, yaitu terdapat suatu interpretasi I daripada P sedemikian sehingga
P
bernilai kebenaran T untuk interpretasi I tersebut.
Jika P tidak valid maka ia disebut invalid dan ditulis | P. Jika P tidak satisfiable
(tak-dapat-puas) maka ia disebut unsatisfiable (kontradiksi). (lihat definisi kontradiksi
berikutnya)
Contoh :
p  p adalah tautology dan dituliskan dengan : = (p  p)
Catatan :

Bahwa = bukan suatu operator logis (logical operator) melainkan metasymbol.

Terdapat relasi antara = dengan =T . Untuk ini diberikan contoh sebagai berikut
Menggunakan =
= p  (p)
= (p q)  (q  p)
= (p  q)  (p)  (q)
= (p  q)  (p)  (q)
Menggunakan =T
p =T (p)
(p q) =T (q  p)
(p  q) =T (p)  (q)
(p  q) =T (p)  (q)
Pada kolom pertama baris pertama dibaca “p  (p) adalah tautology “
sedang pada kolom kedua baris pertama dibaca “ Formula p mempunyai table kebenaran
yang sama dengan formula (p) .Itu semua adalah penegasan tentang formula logis
(logical formulae), dan bukan formula logis.
Dikatakan bahwa dua formula P dan Q adalah ekuivalen logis (logically
equivalent) jika ekuivalen logis mereka yaitu ‘ P  Q’ adalah suatu tautology ( dapat
dikatakan bahwa mereka mempunyai table kebenaran yang sama)
Dikatakan bahwa dua formula P dan Q adalah implai logis (logically implies) jika
implikasi logis mereka yaitu ‘ P  Q’ adalah suatu tautology.
2.4.2. Kontradiksi (Contradiction, Absurdities)
Terdapat suatu konsep yang sesuai untuk formula diatas yaitu yang selalu bernilai
kebenaran F. Sebarang formula yang selalu mempunyai nilai kebenaran F (tak peduli nilai
kebenaran
daripada
varibel proposionalnya)
disebut
suatu
absurditi
atau suatu
kontradiksi (unsatisfiable/tak-dapat-puas). Jadi suatu absurdity atau kontradiksi adalah
suatu formula proposisional ( mis. P) yang mempunyai nilai F untuk setiap interpretasi
yang mungkin.
Dengan definisi tersebut maka semua entri dalam kolom daripada table kebenaran
yang merepresentasikan nilai formula tersebut ( P ) adalah F.
Contoh :
(p  p) dan p  p keduanya adalah kontradiksi atau absurdity.
Untuk itu perhatikan table kebenaran kedua formula tersebut :
p
T
F
p
F
T
p p
T
T
Tautologi
( p p )
F
F
Kontradiksi
p  p
F
F
Kontradiksi
terlihat bahwa kolom 4 dan 5 entrinya (isinya) semua F berarti (p  p)
dan
p  p
keduanya suatu absurdity/kontradiksi. Untuk kolom 3 entrinya semua T, ini berarti (p 
p) suatu tautology .
2.4.3. Formula Tercampur (Mixed Formulae, Contingent)
Sebarang formula yang tergantung pada nilai kebenaran daripada variablevariabelnya dapat mempunyai nilai T ataupun F disebut dengan suatu formula tercampur
atau contingent
Contoh:
1. Tunjukkan bahwa p (p) adalah tautologi!
P p p(p)
T T
T
T F
T
F T
T
F F
T
2. Tunjukkan bahwa (p q)  [(p)  (q)] adalah tautologi!
p q p q pq p  q (pq)  [(p)  (q)]
T T F
F
T
F
T
T F F
T
T
F
T
F T T
F
T
F
T
F F T
T
F
T
T
3. Tunjukkan bahwa (p q)  [(p)  (q)] adalah kontradiksi!
p q p q pq p  q (pq)  [(p)  (q)]
T T F
F
T
F
F
T F F
T
T
F
F
F T T
F
T
F
F
F F T
T
F
T
F
4. Tunjukkan bahwa [(p q)  r]  p
adalah contingent!
P q r pq (pq)  r [(pq)  r]  p
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
T
F
F
F
F
F
F
T
T
F
F
T
T
T
T
T
T
T
T
F
F
F
F
2.5.
Konvers, Invers, Dan Kontraposisi
Perhatikan pernytaan di bawah ini!     
“Jika suatu bender adalah bendera RI maka ada warna merah pada bendera tersebut”
Bentuk umum implikasi di atas adalah “p  q” dengan
p : Bendera RI
q : Bendera yang ada warna merahnya.
Dari implikasi diatas dapat dibentuk tiga implikasi lainnya yaitu :
1. KONVERS, yaitu q  p
Sehingga implikasi diatas menjadi :
“ Jika suatu bendera ada warna merahnya, maka bendera tersebut adalah bendera RI”.
2. INVERS, yaitu p  q
Sehingga implikasi diatas menjadi :
“ Jika suatu bendera bukan bendera RI, maka pada bendera tersebut tidak ada warna
merahnya”.
3. KONTRAPOSISI, yaitu q  p
Sehingga implikasi di atas menjadi :
“ Jika suatu bendera tidak ada warna merahnya, maka bendera tersebut bukan bendera
RI”.
Suatu hal yang penting dalam logika adalah kenyataan bahwa suatu implikasi
selalu ekuivalen dengan kontraposisinya, akan tetapi tidak demikian halnya dengan
invers dan konversnya.
Hal ini dapat dilihat dari tabel kebenaran berikut
P
T
T
F
F
Q p q pq q  p p  q q  p
T F
F
T
T
T
T
F F
T
F
T
T
F
T T
F
T
F
F
T
F T
T
T
T
T
T
Terlihat
bahwa
Kondisonal
mempujnyai
nilai
kebenaran
sama
dengan
kontraposisi. Kenyataan ini sering digunakan untuk membuktikan suatu persoalan yang
sulit kalau diselesaikan secara langsung.
Contoh :
Pandang Pernyataan dibawah ini ;
• Jika A suatu segitiga samasisi, maka A suatu segitiga sama kaki ( p  q) , pasti T
• Jika A suatu segitiga samakaki, maka A suatu segitiga samasisi (q  p) , dapat T atau F
• Untuk x bilangan bulat buktikan bahwa : jika x gasal (ganjil) maka x2 gasal .
Andaikan p : x gasal dan q : x2 gasal , maka buktikan p  q benar (T)
Dibuktikan langsung yaitu x gasal maka dapat ditulis dengan x = 2n+1 ( n sebarang
bilangan bulat ) maka x2 = (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 = 2(2n2 +2) + 1 yang merupakan
bilangan genap.
terbukti.
• Untuk x bilangan bulat buktikan bahwa : jika x2 gasal maka x gasal.
Andaikan p : x2 gasal , dan q : x gasal , maka buktikan p  q benar (T)
Karena membuktikan langsung, seperti diatas
sulit maka dibuktikan kebenaran
kontrapositifnya yaitu membuktikan bahwa q  p adalah benar (T). Pernyataan
tersebut dapat dituliskan menjadi “ Jika x tak gasal (genap) maka x^2 tak gasal (genap) “;
x tak gasal (genap) maka
x = 2n , untuk sebarang bilangan bulat n, maka x^2 = (2n)^2 = 4n^2 = 2(2n^2) yang
jelas merupakan bilangan genap. Didapat bahwa
q  p
benar karena
kointrapositivenya benar maka p  q benar.
Perhatikan kalimat-kalimat dibawah ini :
“ Jika microwave di”on” kan, maka pintunya tertutup “ ekuivalen dengan
“ Jika microwave pintunya terbuka (not tertutup) maka microwave di”off”kan (not
di”on”kan)”
“ Jika Anita keluar negeri, maka ia mempunyai passport” ekuivalen dengan
“ Jika Anita tidak mempunyai passport maka ia tidak keluar negeri”
“Jika mobil berjalan dijalan umum maka ia ber-STNK” ekuivalen dengan …(kerjakan
sendiri)
2.6.
Ingkaran Konvers, Invers, Dan Kontraposisi
Contoh:
Tentukan ingkaran atau negasi konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi berikut.
“Jika suatu bendera adalah bendera RI maka bendera tersebut berwarna merah dan putih”
Penyelesaian
Misal p : Suatu bendera adalah bendera RI
q : Bendera tersebut berwarna merah dan putih
maka kalimatnya menjadi p  q atau jika menggunakan operator dan maka p  q
ekuivalen(sebanding/) dengan p  q. Sehingga
1. Negasi dari implikasi
Implikasi
: (pq)  p  q
Negasinya : (pq)  pq
Kalimatnya
:“Suatu bendera adalah bendera RI dan bendera
tersebut tidak
berwarna merah dan putih”.
2. Negasi dari konvers
Konvers
: qp  qp
Negasinya : (qp)  qp
Kalimatnya
: “Ada/Terdapat bendera berwarna merah dan putih tetapi bendera
tersebut bukan bendera RI”.
3. Negasi dari invers
Invers
: p  q  (p)q)  pq
Negasinya : (pq)  pq
Kalimatnya
: “Suatu bendera bukan bendera RI atau bendera tersebut berwarna
merah dan putih”.
4. Negasi dari kontraposisi
Kontraposisi
: q  p  (q)p  qp
Negasinya : (qp)  qp
Kalimatnya
: “ Suatu bendera tidak berwarna merah dan putih dan bendera
tersebut adalah bendera RI”.
2.7.
Ekuivalensi Logika
Pada tautologi, dan juga kontradiksi, dapat dipastikan bahwa jika dua buah
ekspresi logika adalah tautologi, maka kedua buah ekspresi logika tersebut ekuivalen
secara logis, demikian pula jika keduanya kontradiksi. Persoalannya ada pada contingent,
karena memiliki semua nilai T dan F. Tetapi jika urutan T dan F atau sebaliknya pada
tabel kebenaran tetap pada urutan yang sama maka tetap disebut ekuivalen secara logis.
Perhatikan pernyataan berikut :
Contoh:
1. Dewi sangat cantik dan peramah.
2. Dewi peramah dan sanagt cantik.
Kedua pernyataan di atas, tanpa dipikir panjang, akan dikatakan ekuivalen atau sama saja.
Dalam bentuk ekspresi logika dapat ditulis sebagai berikut :
A = Dewi sangat cantik.
B = Dewi peramah.
Maka ekspresi logikanya :
1. A  B
2. B  A
Jika dikatakan kedua buah ekspresi logika tersebut ekuivalen secara logis maka dapat
ditulis A  B  B  A. Ekuivalensi logis dari kedua ekspresi logika tersebut dapat
dibuktikan dengan tabel kebenaran sebagai berikut ini :
A
T
T
F
F
B AB BA
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
F
F
Pembuktian dengan tabel kebenaran diatas, walaupun setiap ekspresi logika memiliki
nilai T dan F, tetapi karena memiliki urutan yang sama, maka secara logis tetap dikatakan
ekuivalen. Tetapi jika urutan T dan F tidak sama, maka tidak biasa dikatakan ekuivalen
secara logis. Tabel kebenaran merupakan alat untuk membuktikan kebenaran ekuivalensi
secara logis. Kesimpulan diambil berdasarkan hasil dari tabel kebenaran tersebut. Lihat
pernyataan berikut ini :
Contoh:
1. Badu tidak pandai, atau dia tidak jujur.
2. Adalah tidak benar jika Badu pandai dan jujur.
Secara intuitif dapat ditebak bahwa kedua pernyataan di atas sebenarnya sama, tetapi
bagaimana jika idbuktikan dengan menggunkan tabel kebenaran berdasarkan ekspresi
logika. Adapaun langkah-langkahnya :
1. Ubah dahulu argumen di atas ke dalam bentuk ekspresi/notasi logika.
Misal : A=Badu pandai
B=Badu jujur
Maka kalimatnya menjadi
1. AB
2. (AB)
2. Buat tabel kebenarannya
A
T
T
F
F
B A B AB AB (A B)
T F
F
T
F
F
F F
T
F
T
T
T T
F
F
T
T
F T
T
F
T
T
Perhatikan ekspresi di atas! Meskipun kedua ekspresi logika di atas memiliki nilai
kebenaran yang sama, ada nilai T dan F, keduanya baru dikatakan ekuivalen secara logis
jika dihubungkan dengan perangkai ekuivalensi dan akhirnya menghasilkan tautologi.
3. Tambahkan perangkai biimplikasi untuk menghasilkan tautologi
AB (A B) A B  (AB)
F
F
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
Jika hasilnya adalah tautologi (bernilai T semua), maka dikatakan bahwa kedua argumen
tersebut ekuivalen secara logis.
2.7.1 Hukum-Hukum Ekuivalensi Logika
Identitas
Ikatan
p1  p
p1  T
p0  p
p0  0
Idempoten
Negasi
pp  p
pp  1
pp  p
pp  0
Negasi Ganda
Komutatif
Asosiatif
p  p
pq  qp
(pq)r  p(qr)
pq  qp
(pq)r  p(qr)
Distributif
p(qr)  (pq)(pr)
p(qr)  (pq)(pr)
De Morgan’s
(pq)  p  q
(pq)  p  q
Aborbsi
p(pq)  p
p(pq)  p
Selain dengan menggunkan tabel kebenaran, menentukan dua buah argumen adalah
ekuivalen secara logis dapat juga menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logika. Cara
ini lebih singkat
Contoh:
1. Buktikan ekuivalensi kalimat di bawah ini dengan hukum-hukum ekuivalensi.
(pq)  (pq)  p
Penyelesaian
(pq)  (pq)  (p(q))  (pq)
 (pq)  (pq)
 p  (qq)
 p  T
 p
Terbukti
Dalam membuktikan ekuivalensi pq ada 3 macam cara yang bisa dilakukan :
1. P diturunkan terus menerus (dengan menggunakan hukum-hukum ekuivalensi
logika yang ada).
2. Q diturunkan terus-menerus (dengan menggunakan hukum-hukum ekuivalensi
logika yang ada), sehingga didapat P.
3. P dan Q diturunkan secara terpisah sehingga akhirnya didapat R
Sebagai aturan kasar, biasanya bentuk yang lebih kompleks yang diturunkan ke dalam
bentuk yang sederhana. Jadi jika p kompleks amaka aturan (1) yang dilakukan.
Sebaliknya jika q yang lebih kompleks maka aturan (2) yang dilakukan. Aturan (3)
digunakan jika p dan q sama-sama kompleks.
2.7.2. Penyederhanaan Logika
Operasi
penyederhanaan
menggunakan
hukum-hukum
ekuivalensi
logis.
Selanjutnya perhatikan operasi penyederhanaan berikut dengan hukum yang digunakan
tertulis di sisi kanannya. Penyederhanaan ekspresi logika atau bentuk-bentuk logika ini
dibuat sesederhana mungkin dan sudah tidak dimungkinkan dimanipulasi lagi.
Contoh:
1. p  (p  q)
 p  (p  q)
ingat pq  pq
 (p)  (p  q)
ingat pq  pq
 p  (p  q)
Hk. Negasi ganda dan De Morgan
 (pp)  (pq)
Hk. Distributif
 p(pq)
Hk. Idempoten pp  p
p
Hk. Absorbsi
2. p(pq)
 (p 1) (pq)
Hk.Identitas
 p(1q)
Hk.Distributif
 p1
Hk.Identitas 
p
Hk.Identitas 
3. (pq)  (qp)
 (pq)  (qp)
ingat pq  pq
 (pq)  (pq)
Hk. Komutatif
 [(pq) p]  [(pq)q]
Hk. Distributif
 [(pp)(pq)]  [(pq)(qq)]Hk. Distributif
 [0(pq)]  [(pq)0]
 (pq)(pq)
Operasi
penyederhanaan
Hk. Kontradiksi
Hk. Identitas
dengan
menggunakan
hukum-hukum logika
dapat
digunakan untuk membuktikan suatu ekspresi logika Tautologi, Kontradiksi, maupun
Contingent. Jika hasil akhir penyederhanaan ekspresi logika adalah 1, maka ekspresi
logika tersebut adalah tautologi. Jika hasil yang diperoleh adalah 0, berarti ekspresi
logika tersebut kontradiksi. Jika hasilnya tidak 0 ataupun 1, maka ekspresi logikanya
adalah contingent.
Contoh:
1. [(pq)p]q
 [(pq)p]  q
ingat pq  pq
 [(pq)p]  q
ingat pq  pq
 [(pq)p]  q
Hk. Negasi ganda dan De Morgan
 [(pp)(qp)]  q
Hk. Distributif
 [1(pq)]  q
Hk. Idempoten dan komutatif
 (pq)q
Hk. Identitas
 p(qq)
Hk. Assosiatif
 p1
Hk. Idempoten
1
Hk. Identitas
Karena hasil akhirnya 1, maka ekspresi logika diatas adalah tautologi.
2. (pq)  [(p)  (q)]
 (pq)(pq)
 [(pq)p][(pq)q]
Hk. Distributif
 [(pp)(qp)][(pq)(qq)] Hk. Distributif
 [0(qp)][(pq)0]
Hk. Negasi
 (pq)(pq)
Hk. Idempoten
 (pp)(qq)
Hk. Assosiatif
 00
Hk. Negasi
0
Hk. Idempoten
Hasil akhir 0, maka ekspresi logika diatas adalah kontradiksi.
3. [(pq)p]  q
 [(pp)(qp)]  q
Hk. Distributif
 [0  (qp)]  q
Hk. Negasi
 (qp)  q
Hk. Identitas
 (qp)  q
ingat pq  pq
 (qp)  q
Hk. De Morgan
 (qq)p
Hk. Assosiatif
 qp
Hk. Idempoten
Hasilnya bukan 0 atau 1, ekspresi logika di atas adalah contingent.
2.8.
Inferensi Logika
2.8.1. Argumen Valid Dan Invalid
Argumen adalah suatu pernyataan tegas yang diberikan oleh sekumpulan
proposisi P1 ,
P2 , .........,Pn yang disebut premis (hipotesa/asumsi) dan menghasilkan
proposisi Q yang lain yang disebut konklusi (kesimpulan).
Secara umum di notasikan dengan
P1,P2, ..........,Pn ├Q
Premis
P1
P2
atau dapat juga ditulis
Konklusi
Premis
Pn
Q
Nilai kebenaran suatu argumen ditentukan sebagai berikut :
Konklusi
“ Suatu argumen P1,P2,…………,,Pn ├ Q dikatakan benar (valid) jika Q bernilai benar untuk
semua premis yang benar dan argumen dalam keadaan selain itu dikatakan salah
(invalid/fallacy)”.
Dengan kata lain, suatu argumen dikatakan valid apabila untuk sembarang pernyataan
yang disubtitusikan ke dalam premis, jika semua premis benar maka konklusinya juga
benar. Sebaliknya jika semua premis benar tetapi konklusinya ada yang salah maka
argumen tersebut dikatakan invalid (fallacy).
Jadi suatu argumen dikatakan valid jika dan hanya jika proposisi P1 P2 ........Pn )  Q
adalah sebuah Tautologi.
Contoh:
1. Premis
P1 : Jika Office dan Delphi diperlukan maka semua orang akan
belajar
komputer
P2 : Office dan Delphi diperlukan
Konklusi
Q : Semua orang akan belajar komputer
Jika ditulis dalam bentuk notasi logika
Misal p : Office dan Delphi diperlukan
q : Semua orang belajar komputer
Maka argumen diatas dapat ditulis :
pq, p ├ q (valid)
2. Misal p : Saya suka kalkulus
q : Saya lulus ujian kalkulus
Maka argumen p  q, p ├ q dapat ditulis
P1 : Jika saya suka kalkulus, maka saya akan lulus ujian kalkulus
P2 : Saya lulus ujian kalkulus
 Saya lulus ujian kalkulus (valid)
Untuk mengetahui suatu argumen apakah valid atau tidak maka dapat dilakukan langkahlangkah sebagai berikut :
1. Tentukan premis dan konklusi argumen
2. Buat tabel yang menunjukkan nilai kebenaran untuk semua premis dan konklusi.
3. Carilah baris kritis yatitu baris diman semua premis bernilai benar.
4. Dalam baris kritis tersebut, jika nilai kesimpulan semuanya benar maka argumen
tersebut valid. Jika diantara baris kritis tersebut ada baris dengan nilai konklusi salah
maka argumen tersebut tidak valid.
Contoh:
Tentukan apakah argumen berikut ini valid atau invalid
a) p(qr), r ├ pq
b) p(qr), q(pr) ├pr
Penyelesaian
a)
Baris
p q r qr p(qr)
r
pq
ke
(Premis) (Premis) (konklusi)
1
T T T T
T
F
T
2
T T F T
T
T
T
3
T F T T
T
F
T
4
T F F F
T
T
T
5
F T T T
T
F
T
6
F T F T
T
T
T
7
F F T T
T
F
F
8
F F F F
F
T
F
Dapat dilihat pada tabel diatas bahwa baris 2, 4, dan 6 premisnya bernilai benar semua.
Kemudian lihat pada baris konklusi. Ternyata pada baris konklusi semuanya bernilai
benar. Maka argumen diatas adalah valid.
b) Silahkan Anda kerjakan!.
2.8.2. Aturan Penarikan Kesimpulan
A. MODUS PONEN
Modus ponen atau penalaran langsung adalh salah satu metode inferensi dimana jika
diketahui implikasi ” Bila p maka q ” yang diasumsikan bernilai benar dan antasenden
(p) benar. Supaya implikasi pq bernilai benar, maka q juga harus bernilai benar.
Modus Ponen : pq , p ├ q
atau dapat juga ditulis
pq
p
――――
q
Contoh:
Jika digit terakhir suatu bilangan adalah 0, maka bilangan tersebut habis dibagi 10
Digit terakhir suatu bilangan adalah 0
――――――――――――――――――――――――――――――――――
――
 Bilangan tersebut habis dibagi 10
B. MODUS TOLLENS
Bentuk modus tollens mirip dengan modus ponen, hanya saja premis kedua dan
kesimpulan
merupakan
kontraposisi
premis
pertama
modus
ponen.
Hal ini
mengingatkan bahwa suatu implikasi selalu ekuivalen dengan kontraposisinya.
Modus Tollens : pq, q ├ p
Atau dapat juga ditulis
pq
q
――――
 p
Contoh 1.17:
Jika digit terakhir suatu bilangan adalah 0, maka bilangan tersebut habis dibagi 10
Suatu bilangan tidak habis dibagi 10
――――――――――――――――――――――――――――――――――
――
 Digit terakhir bilangan tersebut bukan 0
C. PENAMBAHAN DISJUNGTIF (ADDITION)
Inferensi penambahan disjungtif didasarkan atas fakta bahwa suatu kalimat dapat
digeneralisasikan dengan penghubung ””. Alasannya adalah karena penghubung ””
bernilai benar jika salah satu komponennya bernilai benar.
Misalnya saya mengatakan ”Langit berwarna biru” (bernilai benar). Kalimat tersebut
tetap akan bernilai benar jika ditambahkan kalimat lain dengan penghubung ””.
Misalnya ”Langit berwarna biru atau bebek adalah binatang menyusui”. Kalimat
tersebut tetap bernilai benar meskipun kalimat ”Bebek adalah binatang menyusui”,
merupakan kalimat yang bernilai salah.
Addition : p ├(pq) atau q ├ (pq)
Atau dapat ditulis
p
atau
――――
 pq
q
――――
 pq
Contoh:
Simon adalah siswa SMU
――――――――――――――――――――
 Simon adalah siswa SMU atau SMP
D. PENYEDERHAAN KONJUNGTIF (SIMPLIFICATION)
Inferensi ini merupakan kebalikan dari inferensi penambahan disjungtif. Jika beberapa
kalimat dihubungkan dengan operator ””, maka kalimat tersebut dapat diambil salah
satunya secara khusus (penyempitan kalimat).
Simplification : (pq) ├p atau (pq) ├ q
Atau dapat ditulis
pq
―――
p
atau
pq
―――
q
Contoh:
Langit berwarna biru dan bulan berbentuk bulat
―――――――――――――――――――――――――
 Langit berwarna biru atau  Bulan berbentuk bulat
E. SILOGISME DISJUNGTIF
Prinsip dasar Silogisme Disjungtif (Disjunctive syllogism) adalah kenyataan bahwa
apabila kita dihadapkan pada satu diantara dua pilihan yang ditawarkan (A atau B).
Sedangkan kita tidak memilih/tidak menyukai A, maka satu-satunua pilihan adalah
memilih B. Begitu juga sebaliknya.
Silogisme Disjungtif : pq, p ├q dan pq, q ├ p
Atau dapat ditulis
pq
atau
p
――――
q
pq
q
――――
p
Contoh:
Saya pergi ke mars atau ke bulan
Saya tidak pergi ke mars
――――――――――――――――――
 Saya pergi ke bulan
F. SILOGISME HIPOTESIS (TRANSITIVITY)
Prinsip silogisme hipotesis adalah sifat transitif pada implikasi. Jika implikasi pq
dan qr keduanya bernilai benar, maka implikasi pr bernilai benar pula.
Transitivity : pq , qr ├ pr
Atau dapat ditulis
pq
qr
―――――
 pr
Contoh:
Jika hari hujan maka tanahnya menjadi berlumpur
Jika tanahnya berlumpur maka sepatu saya akan kotor
―――――――――――――――――――――――――――――
 Jika hari hujan maka sepatu saya akan kotor.
G. KONJUNGSI
Jika ada dua kalimat yang masing-masing benar, maka gabungan kedua kalimat
tersebut dengan menggunakan penghubung ”” juga bernilai benar.
Konjungsi
p
q
――
 pq
H. DILEMA
Kadang-kadang, dalam kalimat yang dihubungkan dengan penghubung ””, masingmasing kalimat dapat mengimplikasikan
maka suatu kesimpulan dapat diambil.
Dilema :
pq
pr
qr
―――
r
sesuatu yang sama. Berdasarkan hal itu