Peubah Acak - Simponi MDP

Peubah Acak
14-Sep-07
TPADF (Kelas Ganjil/ Rahmat)
Lecture 2 page 1
Definisi Peubah Acak
Peubah acak adalah peubah yang mengkarakterisasikan setiap elemen
dalam ruang sampel dengan suatu bilangan real.
⇒
merepresentasikan setiap hasil eksperimen/pengukuran
dengan suatu nilai real
X : peubah acak
x : nilai diskrit yang mungkin dari masing-masing elemen
P(X = x) : probabilitas X sama dengan x.
Misal:
9 Pelemparan sebuah dadu
X = nilai dari muka dadu ⇒ x = 1,2,…,6
S = {1,2,…,6}
P(X = 1) = P(X = 2) = … = P(X = 6) = 1/6
9 Suhu kota Bandung dalam bulan Agustus
X = nilai suhu ⇒ x = 22.0, …, 30.0 (sembarang, kontinyu )
S = [22.0, 30.0]
P(X < 28) = ?
P(25 < X < 28) = ?
Peubah acak dapat bersifat diskrit atau kontiyu
14-Sep-07
TPADF (Kelas Ganjil/ Rahmat)
Lecture 2 page 2
Distribusi diskrit dan fungsi probabilitas
Jika ruang sampel terdiri dari sejumlah kemungkinan yang terbatas,
fungsi probabilitas atau distribusi probabilitas dari peubah acak diskrit
X adalah suatu set pasangan (x, f(x)), dimana f(x) = P(X = x)
f(x) = P(X = x)
rapat fungsi
0 ≤ f(x) ≤ 1
∑ f ( x) = 1
x
Misal:
Pelemparan sebuah dadu
X = nilai dari muka dadu
⇒ x = 1,2,…,6
f(1) = P(X = 1) = 1/6
f(2) = P(X = 2) = 1/6
…
f(6) = P(X = 6) = 1/6
14-Sep-07
rapat fungsi diskrit uniform
TPADF (Kelas Ganjil/ Rahmat)
Lecture 2 page 3
Fungsi distribusi komulatif (jumlah) dari distribusi diskrit
Fungsi distribusi komulatif F(x) dari suatu peubah acak X
dengan rapat fungsi f(x) adalah
x
F ( x) = P ( X ≤ x) = ∑ f ( x)
x =0
x
Jelas bahwa
P ( X ≤ x) = 1− ∑ f ( x)
x =0
Contoh:
Sebuah dadu dilempar dua kali. Tentukan peubah acak, distribusi
probabilitas dan fungsi distribusi komulatif dari eksperimen tersebut !!!
14-Sep-07
TPADF (Kelas Ganjil/ Rahmat)
Lecture 2 page 4
Distribusi binomial
N kejadian independen dengan hanya ada 2 kemungkinan untuk setiap
keluaran:
‘berhasil’ atau ‘gagal’
(Bernoulli Trial)
dimana p : probabilitas ‘berhasil’ (q=1-p : probabilitas ‘gagal’)
X = jumlah keberhasilan dalam N percobaan (peubah acak binomial)
x = 1,2,…,N
Peluang muncul keluaran (dalam urutan tertentu), mis. ‘ssfsf’ adalah
pp (1 − p ) p (1 − p ) = p x (1 − p )
N −x
Tetapi, jika urutan pemunculan tidak penting, maka ada
N!
x !( N − x ) !
cara (permutasi) untuk mendapatkan x kali ‘berhasil’ dalam N percobaan.
Fungsi probabilitas untuk x kali ‘berhasil’ adalah
n!
n− x
f ( x; n, p ) = P ( X = x ) =
p x (1 − p )
x !( n − x ) !
⎛n⎞
atau
f ( x; n, p ) = ⎜ ⎟ p x q n − x
⎝ x⎠
14-Sep-07
TPADF (Kelas Ganjil/ Rahmat)
Lecture 2 page 5
Contoh:
Pelemparan koin dengan keluaran H dan T (p = q = 0.5) sebanyak 10 kali
⎛10 ⎞
f ( x;10, 0.5 ) = ⎜ ⎟ p x q10− x
⎝x⎠
14-Sep-07
0
1
0
0.01
2
0.04
3
0.12
4
0.21
5
0.25
6
0.21
7
0.12
8
0.04
9
0.01
10
0
0.2
0.1
0
2
4
TPADF (Kelas Ganjil/ Rahmat)
6
8
10
Lecture 2 page 6
x
F ( x) = P ( X ≤ x) = ∑ f ( x)
x =0
14-Sep-07
0
1
0
0.01
2
0.05
3
0.17
4
0.38
5
0.62
6
0.83
7
0.95
8
0.99
9
1
10
1
1
0.5
0
2
TPADF (Kelas Ganjil/ Rahmat)
4
6
8
10
Lecture 2 page 7
Pelemparan koin dengan keluaran H dan T (p = 0.2) sebanyak 10 kali
1
0.2
0.5
0.1
1
14-Sep-07
0 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11
1
0
TPADF (Kelas Ganjil/ Rahmat)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Lecture 2 page 8
Distribusi Binomial untuk berbagai variasi parameter
14-Sep-07
TPADF (Kelas Ganjil/ Rahmat)
Lecture 2 page 9
Contoh:
Pelemparan koin sebanyak 3 kali
Kemungkinan keluaran untuk setiap pelemparan:
heads = berhasil
tails = gagal
Ruang sampel S = {HHH, HHT, HTT, TTT, TTH, THH, THT, dan HTH}
Keluaran
x
freq
HHH
HHT
THH
HTH
HTT
THT
TTH
TTT
3
2
2
2
1
1
1
0
1
3
4
H
2
3
1
1
0
1
2
3
4
x
14-Sep-07
TPADF (Kelas Ganjil/ Rahmat)
Lecture 2 page 10
Nilai ekspektasi (rata-rata) dan ukuran sebaran
⎛ n ⎞ x n− x
f ( x; n, p ) = ⎜ ⎟ p q
⎝ x⎠
peubah acak
parameter
Nilai ekspektasi (rata-rata) dan standard deviasi (akar dari variansi):
n
Rata-rata
μ = E ( X ) = ∑ xi f ( xi ; n, p ) = np
i =0
n
Deviasi standard
14-Sep-07
σ = E ( X 2 ) − ( E ( X )) =
2
TPADF (Kelas Ganjil/ Rahmat)
∑(x − μ)
i =1
i
n
2
= np (1 − p )
Lecture 2 page 11
z Score. Quartile dan Percentile
z=
x−μ
σ
Quartile (Q)
Unusual
Values
-3
Ordinary
Values
-2
25%
(minimum)
-1
0
Z
25%
Q1
1
25%
Q2
Unusual
Values
2
3
25%
Q3
(maximum)
(median)
Percentile (Q)
14-Sep-07
P25 = Q1
P50 = Q2
P75 = Q3
TPADF (Kelas Ganjil/ Rahmat)
Lecture 2 page 12
Peubah Acak
Kontinyu
14-Sep-07
TPADF (Kelas Ganjil/ Rahmat)
Lecture 2 page 13
Peubah acak kontinyu dan fungsi rapat probabilitas
Nilai dari peubah acak (X) atau keluaran dari eksperimen/pengukuran
(x) bersifat kontinyu
⇒ f(x) = fungsi rapat probabilitas (probability density function (pdf))
Peluang menemukan keluaran lebih kecil atau sama dengan x adalah
fungsi jumlah/ distribusi komulatif
(cumulative distribution function (cdf))
14-Sep-07
TPADF (Kelas Ganjil/ Rahmat)
Lecture 2 page 14
Kurva pdf dan cdf
Hubungan pdf dan cdf:
f ( x) =
14-Sep-07
∂F ( x )
∂x
F ( x) = P ( X ≤ x) =
TPADF (Kelas Ganjil/ Rahmat)
x
∫ f ( x ) dx
−∞
F (b ) − F ( a ) = P ( a < X < b )
Lecture 2 page 15
Nilai ekspektasi (rata-rata)
E ( X ) = μ = ∫ x f ( x ) dx
~ “centre of gravity” of pdf
Untuk fungsi y(x) dengan pdf g(y),
Variansi:
Deviasi standard:
14-Sep-07
(σ ~ lebar dari pdf)
TPADF (Kelas Ganjil/ Rahmat)
Lecture 2 page 16
Distribusi Normal (Gaussian)
binomial
(diskrit)
normal (Gaussian)
(kontinyu)
Kasus khusus: μ = 0, σ 2 = 1
(‘standard Gaussian’, tersedia dalam
bentuk tabel ):
Dipakai untuk menentukan fungsi probabilitas dari
sembarang fungsi Gaussian dengan melakukan transformasi
14-Sep-07
TPADF (Kelas Ganjil/ Rahmat)
z=
x−μ
σ
Lecture 2 page 17
Tabel Distribusi Normal Standard (P(Z ≤ z)) dan Pemakaiannya
P(Z ≤ -3.00) = 0.0013
Luas = 0.4429
P(Z ≤ 1.31) = 0.9049
P(Z ≤ -2.59) = 0.0048
P(Z ≤ 1.31) = 0. 9049
0
1.58
z
Luas = 0.5 - 0.9049
P(Z ≥ 1.31) = 0.0951
0
14-Sep-07
TPADF (Kelas Ganjil/ Rahmat)
1.58
z
Lecture 2 page 18
Probabilitas dan luas di bawah kurva
0.5 - P(Z ≤ z)
0.5 + P(Z ≤ z)
P(z > a)
0.5
x
0.5 + P(Z ≤ z)
P(Z ≤ z)
P (z ≤ a)
0.5
x
Add
?
?
P(a < z < b)
a
14-Sep-07
b
TPADF (Kelas Ganjil/ Rahmat)
a b
Lecture 2 page 19
Arti dari σ
14-Sep-07
TPADF (Kelas Ganjil/ Rahmat)
Lecture 2 page 20
The Central Limit Theorem
Fungsi Gaussian memiliki sifat yang unik, yakni hasil penjumlahan
dua atau lebih fungsi Gaussian akan merupakan fungsi Gaussian
juga. Sehingga suatu fungsi Gaussian dapat dipandang sebagai
hasil penjumlahan dari beberapa sumber yang juga merupakan
fungsi Gaussian.
Untuk sejumlah n peubah acak xi yang terpisah dengan variansi σi2,
Dalam batas limit n → ∞, y adalah fungsi Gaussian dengan
Kesalahan pengukuran sering merupakan hasil dari beberapa sumber.
14-Sep-07
TPADF (Kelas Ganjil/ Rahmat)
Lecture 2 page 21
Beberapa macam distribusi probabilitas lainnya
Distribusi/pdf
Binomial
Multinomial
Poisson
Uniform
Exponential
Gaussian
Chi-square
Cauchy
Landau
14-Sep-07
Contoh penggunaan
TPADF (Kelas Ganjil/ Rahmat)
Lecture 2 page 22
Distribusi Multinomial
Seperti binomial tetapi dengan m (>2) keluaran
Jika dalam N percobaan:
n1 keluaran dengan p1,
n2 keluaran dengan p2,
…
nm keluaran dengan pm.
Distribusi probabilitas multinomial untuk
14-Sep-07
TPADF (Kelas Ganjil/ Rahmat)
Lecture 2 page 23
Distribusi Uniform
Tinjau peubah acak kontinyu x dengan -∞ < x < ∞. Pdf uniform:
14-Sep-07
TPADF (Kelas Ganjil/ Rahmat)
Lecture 2 page 24
Distribusi Exponensial
Contoh: waktu paruh dari suatu partikel meta-stabil
(τ = waktu paruh rata-rata)
14-Sep-07
TPADF (Kelas Ganjil/ Rahmat)
Lecture 2 page 25
Distribusi Poisson
Tinjau kasus binomial dengan batasan limit
→ fungsi distribusi akan memiliki
bentuk distribusi Poisson:
14-Sep-07
TPADF (Kelas Ganjil/ Rahmat)
Lecture 2 page 26
Distribusi Chi-square (χ 2)
Untuk peubah acak kontinyu z (z ≥ 0):
n = 1, 2, ... = derajad kebebasan
Distribusi ini sering dipakai untuk menilai
hasil fitting dengan metoda kuadrat terkecil
(least squares)
Untuk fungsi Gaussian yang terpisah (independent) dari xi,
dengan i = 1, ..., n, nilai rata-rata μi, dan variansi σi2,
merupakan χ2 pdf dengan n derajad kebebasan
14-Sep-07
TPADF (Kelas Ganjil/ Rahmat)
Lecture 2 page 27
Fungsi probabilitas lainnya
Jika keluaran eksperimen ternyata bergantung dari beberapa peubah
acak diskrit, mis. X dan Y, pdf-nya didefinisikan sebagai
f ( x, y ) = P ( X = x, Y = y )
→ joint pdf
dengan sifat-sifat:
f ( x, y ) ≥ 0
∑∑ f ( x, y ) = 1
x
untuk semua (x,y)
y
Untuk peubah acak kontinyu, mis. X dan Y, pdf-nya didefinisikan sebagai
∫ ∫ f ( x, y ) dx dy = P( x ≤ X ≤ x + dx, y ≤ Y ≤ y + dy)
→ joint pdf
dengan sifat-sifat:
f ( x, y ) ≥ 0
∞
∫ ∫
∞
−∞ −∞
14-Sep-07
f ( x, y ) = 1
untuk semua (x,y)
TPADF (Kelas Ganjil/ Rahmat)
Lecture 2 page 28
Pdf marginal, independen, dan bersyarat
Jika diinginkan pdf hanya salah satu peubah acak, X atau Y,
→ pdf marginal
g ( x) = ∫
∞
−∞
h( y) = ∫
f ( x, y ) dy
Jika X dan Y independen
∞
−∞
f ( x, y ) dx
f ( x, y ) = g ( x ) h ( y )
→ pdf independen
Jika X dan Y tidak independen
→ pdf bersyarat
f ( x y) =
14-Sep-07
f ( x, y )
h( y)
TPADF (Kelas Ganjil/ Rahmat)
f ( y x) =
f ( x, y )
g ( x)
Lecture 2 page 29