buku ajar matematika dasar - lp3ik umsida

i
BUKU AJAR
MATEMATIKA DASAR
Mohammad Faizal Amir, M.Pd.
Bayu Hari Prasojo, S.Si., M.Pd.
UMSIDA PRESS
Jl. Mojopahit 666 B Sidoarjo
ISBN: 978-979-3401-38-6
ii
BUKU AJAR
MATEMATIKA DASAR
Mohammad Faizal Amir, M.Pd.
Bayu Hari Prasojo, S.Si., M.Pd.
Sidoarjo, 2016
Diterbitkan atas Program Bantuan Penulisan dan Penerbitan Buku Ajar dan
Modul Praktikum Universitas Muhammadiyah Sidoarjo Tahun 2015/2016
iii
BUKU AJAR
MATEMATIKA DASAR
PENULIS
Mohammad Faizal Amir, M.Pd.
Bayu Hari Prasojo, S.Si., M.Pd.
Diterbitkan Oleh:
UMSIDA PRESS
Jl. Mojopahit 666 B Sidoarjo
ISBN: 978-979-3401-38-6
Copyright©2016.
Mohammad Faizal Amir & Bayu Hari Prasojo.
All rights reserved.
iv
KATA PENGANTAR
Puji syukur kehadirat Allah SWT atas segala anugerah dan rahmat-Nya, sehingga
Buku Ajar Matematika Dasar untuk Tingkat Perguruan Tinggi ini dapat terselesaikan
dengan baik.
Buku ajar Matematika Dasar ini terdiri dari 8 Bab Materi Perkuliahan, yang
terdiri dari (1) Sistem Bilangan Real; (2) Himpunan; (3) Persamaan dan Pertidaksamaan
Linear; (4) Fungsi; (5) Matriks; (6) Limit dan Kekontinuan; (7) Turunan; (8) Integral.
Materi ini merupakan satu kesatuan materi yang dipelajari oleh mahasiswa secara
menyeluruh dan tak terpisahkan selama satu semester karena merupakan satu
kesatuan yang utuh dalam Capaian Kompetensi di Rencana Pembelajaran Semester .
Tujuan diterbitkan buku ini untuk membantu mahasiswa agar dapat menguasai
konsep matematika dasar secara mudah, dan utuh. Di samping itu pula, buku ini dapat
digunakan sebagai acuan bagi dosen yang mengampu mata kuliah Matematika Dasar
ataupun mata kuliah matematika yang lain. Isi buku ini memuat 5 komponen utama
yaitu; pendahuluan, penyajian materi, rangkuman, latihan dan daftar pustaka. Buku Ajar
Matematika Dasar untuk Tingkat Perguruan Tinggi ini diterbitkan oleh UMSIDA Press.
Buku Ajar ini merupakan buku terbitan edisi pertama yang tentunya masih butuh
disempurnakan. Oleh karena itu, saran dan masukan oleh para pengguna sangat kami
harapkan untuk kesempurnaan isi buku ajar ini di masa yang akan datang.
Semoga Buku Ajar ini dapat bermanfaat bagi mahasiswa, dosen dan siapa saja
yang menggunakannya untuk kemajuan pendidikan di Universitas Muhammadiyah
Sidoarjo (UMSIDA) khususnya dan kemajuan pendidikan di Indonesia pada umumnya.
Sidoarjo, Juni 2016
Tim Penyusun
1
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR
DAFTAR ISI ..................................................................................................................... 2
BAB I SISTEM BILANGAN REAL
Pendahuluan .................................................................................................................. 4
A. Himpunan Bilangan ........................................................................................... 4
B. Bentuk Pangkat Akar dan Logaritma ................................................................. 6
C. Rangkuman ....................................................................................................... 14
D. Latihan ............................................................................................................... 16
BAB II HIMPUNAN
A. Pendahuluan ..................................................................................................... 17
B. Pengertian Himpunan ....................................................................................... 17
C. Keanggotaan Himpunan dan Bilangan .............................................................. 19
D. Penulisan Himpunan ......................................................................................... 19
E. Macam-macam Himpunan................................................................................ 21
F. Relasi Antar Himpunan ..................................................................................... 23
G. Operasi Himpunan ............................................................................................ 26
H. Sifat-sfat Operasi pada Himpunan .................................................................... 29
I. Rangkuman ....................................................................................................... 29
J. Latihan ............................................................................................................... 33
BAB III PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINIER
A. Pendahuluan ..................................................................................................... 35
B. Persamaan Linier Satu Variabel ........................................................................ 35
C. Persamaan Ekuivalen ........................................................................................ 37
D. Persamaan Linier Bentuk Pecahan Satu Variabel ............................................. 37
E. Pertidaksamaan Linier Satu Variabel ................................................................ 38
F. Pertidaksamaan Linier Bentuk Pecahan Satu Variabel ..................................... 40
G. Rangkuman ....................................................................................................... 41
H. Latihan ............................................................................................................... 42
BAB IV FUNGSI
A. Pendahuluan ..................................................................................................... 43
B. Pengertian Fungsi .............................................................................................. 43
C. Sifat Fungsi ........................................................................................................ 44
D. Jenis Fungsi........................................................................................................ 46
E. Rangkuman ....................................................................................................... 53
F. Latihan ............................................................................................................... 55
BAB V MATRIKS
A. Pendahuluan ..................................................................................................... 57
B. Pengertian Matriks ............................................................................................ 57
C. Jenis-jenis Matriks ............................................................................................. 58
D. Operasi dan Sifat-sifat Matriks.......................................................................... 60
E. Determinan ....................................................................................................... 63
F. Invers Matriks.................................................................................................... 66
G. Rangkuman ....................................................................................................... 68
H. Latihan ............................................................................................................... 71
BAB VI LIMIT DAN KEKONTINUAN
A. Pendahuluan ..................................................................................................... 72
B. Pengertian Limit ................................................................................................ 72
2
C. Sifat-sifat Limit .................................................................................................. 73
D. Limit Bentuk Tak Tentu ..................................................................................... 74
E. Limit Bentuk Trigonometri ................................................................................ 77
F. Kekontinuan ...................................................................................................... 78
G. Rangkuman ....................................................................................................... 79
H. Latihan ............................................................................................................... 80
BAB VII TURUNAN
A. Pendahuluan ..................................................................................................... 81
B. Pengertian Turunan .......................................................................................... 81
C. Aturan-aturan Turunan ..................................................................................... 82
D. Turunan Trigonometri ....................................................................................... 85
E.
spital ..................................................................................................... 86
F. Aturan Rantai .................................................................................................... 87
G. Turunan Tingkat Tinggi...................................................................................... 89
H. Rangkuman ....................................................................................................... 89
I. Latihan ............................................................................................................... 91
BAB VIII INTEGRAL
A. Pendahuluan ..................................................................................................... 93
B. Integral Sebagai Anti Turunan........................................................................... 93
C. Rumus Dasar Integral ........................................................................................ 94
D. Teknik Integral Substitusi .................................................................................. 98
E. Integral Parsial................................................................................................... 101
F. Integral Tentu .................................................................................................... 103
G. Rangkuman ....................................................................................................... 104
H. Latihan ............................................................................................................... 105
DAFTAR PUSTAKA.......................................................................................................... 107
INDEKS MATERI ............................................................................................................. 108
BIODATA PENULIS ......................................................................................................... 110
3
BAB I
SISTEM BILANGAN REAL
A. Pendahuluan
Dalam Matematika Dasar terdapat konsep dari himpunan obyek-obyek,
khususnya tentang konsep himpunan dari bilangan-bilangan yang banyak sekali
diterapkan untuk matematika lebih lanjut maupun penerapan di bidang-bidang
yang lain. Himpunan bilangan yang penting untuk diketahui adalah himpunan
bilangan Asli, himpunan bilangan Cacah, himpunan bilangan Bulat, himpunan
bilangan Rasional, himpunan bilangan Irrasional (tak terukur), dan himpunan
bilangan Real. Sifat-sifat dari bilangan ini akan digunakan dalam Bentuk Pangkat,
Penarikan Akar, dan Logaritma.
Diharapkan mahasiswa dapat memahami konsep himpunan bilangan yang
penting untuk diketahui dan mampu menggunakan sifat-sifat dari himpunan
bilangan diantaranya yaitu Bentuk Pangkat, Penarikan Akar, dan Logaritma.
B. Himpunan Bilangan
Konsep dari himpunan obyek-obyek yang paling penting dipelajari untuk
matematika lebih lanjut adalah konsep dari himpunan bilangan-bilangan. Beberapa
konsep dari himpunan bilangan-bilangan tersebut diantaranya adalah himpunan
bilangan Asli, himpunan bilangan Cacah, himpunan bilangan Bulat, himpunan
bilangan Rasional, himpunan bilangan Irrasional (tak terukur), dan himpunan
bilangan Real.
1. Himpunan bilangan Asli atau disebut juga himpunan bilangan bulat positif dapat
ditulis sebagai : N
2. Himpunan bilangan Cacah ditulis : W
3. Himpunan bilangan Bulat ditulis : I
-3, - 2, -
4. Himpunan bilangan Rasional / Terukur ditulis :
Q
x x
a
, a, b
b
I, b
0 yaitu bilangan yang dapat dinyatakan sebagai
hasil bagi antara dua bilangan bulat (pecahan) dengan syarat bahwa nilai
penyebut tidak sama dengan nol, contoh :
4
1 1 3 5
, , ,
dan sebagainya.
2 4 5 7
Dengan demikian bilangan rasional adalah bilangan yang dapat ditulis dalam
bentuk pecahan
a
dengan a dan b bilangan bulat dan b
b
0 . Adapun
himpunan bilangan rasional terdiri dari bilangan bulat, bilangan pecahan murni,
dan bilangan pecahan desimal.
5. Himpunan bilangan Irrasional (tak terukur) ditulis : Q'
x x Q
yaitu
bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi antara dua bilangan
bulat (pecahan), tapi dapat dinyatakan dengan bilangan desimal tak tentu atau
2
sebagainya.
6. Himpunan bilangan Real (nyata) ditulis : R
x x bilangan Real . Bilangan
rasional dan Irrasional merupakan himpunan bilangan real.
Dengan demikian,
himpunan bilangan Asli adalah subset dari himpunan
bilangan Cacah. Himpunan bilangan Cacah adalah subset dari himpunan bilangan
Rasional. Sedangkan himpunan bilangan baik Rasional maupun Irrasional disebut
himpunan bilangan Real. Himpunan bilangan yang tidak Real adalah himpunan
bilangan Imaginer ataupun himpunan bilangan Kompleks. Himpunan-himpunan
bilangan di atas dapat ditulis dalam bentuk subset sebagai berikut :
N
W
I
Q
R
Sifat Ketidaksamaan Bilangan Real
a. Sembarang bilangan Real a dan b, dapat terjadi salah satu dari tiga hal yaitu : a <
b, b < a, atau a = b.
b. Jika a < b dan b < c maka a < c .
c. Jika a < b, maka a + c < b + c untuk sembarang nilai c.
d. Jika a < b dan c > 0 maka ac < bc.
e. Jika a < b dan c < 0 maka ac > bc.
Sistem bilangan Real dibentuk atas dasar sistem bilangan Asli, di mana semua
sifat-sifatnya dapat diturunkan. Jika x, y, dan z adalah bilangan Real maka sifat-sifat
bilangan Real adalah :
a. Sifat komutatif untuk penjumlahan
x+y=y+x
5
b. Sifat komutatif untuk perkalian
x.y = y.x
c. Sifat assosiatif untuk penjumlahan
x + (y + z) = (x + y) + z
d. Sifat assosiatif untuk perkalian
x (yz) = (xy) z
e. Sifat distributif
x (y + z) = xy + xz
f. Jika x dan y dua bilangan Real, maka terdapat suatu bilangan Real z sehingga x +
z = y. Bilangan z ini kita nyatakan dengan y
x dan disebut selisih dari y dan x.
Selisih x x kita nyatakan dengan simbol 0. Simbol 0 ini selanjutnya disebut nol.
g. Terdapat paling sedikit satu bilangan real x
dengan x
x dan y dua bilangan Real
z demikian sehingga x.z = y.
y
dan disebut hasil bagi dari y dan x. Hasil
x
Bilangan z ini kita nyatakan dengan
bagi x dan x dinyatakan dengan simbol 1, yang selanjutnya disebut satu dan
tidak bergantung pada x.
C. Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma
1. Bentuk Pangkat Bulat
Definisi
Fungsi notasi pangkat salah satunya adalah untuk menyederhanakan penulisan
atau meringkas penulisan. Contoh, 10.000.000,- dapat ditulis dengan notasi
pangkat 107. Notasi pangkat dapat menghemat tempat, sehingga notasi pangkat
banyak digunakan dalam perumusan dan penyederhanakan perhitungan.
Pangkat Bulat Positif
Perkalian berulang dari suatu bilangan dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan
berpangkat bilangan bulat positif.
Contoh:
2 = 21
2 . 2 = 22
2 . 2 . 2 = 23
2 . 2 . 2 . 2 = 24
6
2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 25
2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 26
Bentuk 26
6
disebut bilangan berpangkat bulat
positif. Bilangan 2 disebut bilangan pokok atau bilangan dasar dan bilangan 6
yang ditulis agak di atas disebut pangkat atau eksponen. Secara umum bilangan
berpangkat dapat ditulis :
Jika a bilangan real atau
dan n bilangan bulat positif, maka
n
a
a disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat.
Contoh 1.1
1. 32 = 3 . 3 = 9
2. 64 = 4 . 4 . 4 = 43
3. 648 = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 3 . 3 = 23 . 34
4.
2 2 2 2
. . .
3 3 3 3
2
3
4
Contoh 1.2
Tentukan nilai dari persamaan berikut untuk nilai variabel yang ditentukan.
1. x 3
2
2x 2
3
2. 3x 3
3x 4 untuk x = 2
22
2
2x2 y
3 1
3
2
32
4
3xy 2
4 y 3 untuk x = - 1 dan y = 2
1
2
2
8 8 6
3
1 2
2
4
26
42
3
3 4 12
32
21
Sifat-sifat Pangkat Bulat Positif
Pada bilangan berpangkat bulat positif dapat dilakukan beberapa operasi aljabar
seperti : perkalian, pemangkatan, dan pembagian untuk bilangan berpangkat
bulat
positif.
Perhatikan
teorema-teorema
untuk
bentuk
perkalian,
pemangkatan, dan pembagian dari bilangan berpangkat bulat positif berikut:
a. Jika a bilangan real, p dan q adalah bilangan bulat postitif maka
a p . aq
b. Jika
dan
ap
q
0, p dan q bilangan bulat positif maka
7
a p q ; jika p q
1
; jika q p
q p
a
1 ; jika p q
p
a
aq
ap : aq
c. Jika a bilangan real, p dan q bilangan bulat positif maka
ap
q
a p.q
a pq
d. Jika a dan b bilangan real, p bilangan bulat maka
p
ab
apbp
Contoh 1.3
Sederhanakan :
1. 23 . 24 = 23+4 = 27
2. x2 . x6 = x2+6 = x8
3. 2 x 3 y
3x 2 y 3
2 ( 3) x 3 2 y 1
3
6x5 y 4
Contoh 1.4
Kalikanlah 2 x 2 y
3 xy 2 dengan
4x 3 y 2 .
Penyelesaian
2x 2 y
3 xy 2
4x3 y 2
2( 4) x 2 3 y 1
8x5 y 3
2
3( 4 ) x 1 3 y 2
2
12 x 4 y 4
Pangkat Bulat Negatif dan Nol
Jika pada bentuk perpangkatan pangkat dari bilangan dasar kurang dari satu dan
nol maka akan diperoleh pangkat bilangan bulat negatif dan nol.
Contoh 1.5
3-1 ; 3-2 ; 3 -3 ; 3-4 ; 3-5 ; dan 30
a-1 ; a-2 ; a-3 ; a-4 ; a-5
a-n ; dan a0
Untuk mendefinisikan an dengan a bilangan real dan n bilangan bulat negarif dan
nol, maka dapat digunakan teorema-teorema perpangkatan pada bilangan bulat
positif, seperti :
an
an
1 . Jika teorema
ap
aq
an
an
an
untuk
ap
aq
ap
ap n
n
a0
ap
1
( p n)
dan
a
n
ap
.
8
q
q
digunakan maka akan diperoleh
=
p
+
n
maka
diperoleh
Dengan demikian maka terdapat teorema berikut,
Jika
0, a bilangan real dan n bilangan bulat positif maka
a
n
1
dan a0 = 1.
n
a
2. Bentuk Akar
menyatakan akar
pangkat dua yaitu merupakan kebalikan dari kuadrat. Pernyataan yang ditulis
dengan tanda akar disebut bentuk akar.
Contoh 1.6
1. Karena 52 = 25 maka
25
5
2. Karena 82 = 64 maka
64
8
Contoh 1.7
Bentuk-bentuk berikut merupakan contoh bentuk akar :
2,
3,
5,
21 dan sebagainya.
Operasi aljabar seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian
dapat juga dilakukan terhadap bentuk akar. Operasi tersebut digunakan untuk
merasionalkan penyebut yang dinyatakan dalam bentuk akar. Operasi-operasi
aljabar tersebut adalah sebagai berikut :
a. a x
b x
a
b
x
b. a x
b x
a
b
x
c.
a. b
ab
d.
a. a
aa
e.
a: b
a
b
a b
ab
c d
cd
f.
a
2
a
2
2
a
Contoh 1.8
Sederhanakanlah.
1. 3 2
4 2
(3
4) 2
2.
32
2 2
4 2
8
7 2
(2
4) 2
9
6 2
3.
32 . 8
32 . 8
4.
32 : 8
32
8
5 . 10
5 .10
50
2
2
2
5.
256 16
4
2
50
2
25
5
Merasionalkan Pecahan Bentuk Akar
Suatu
pecahan
yang
penyebutnya
mengandung
bentuk
akar
dapat
disederhanakan bentuknya dengan cara merasionalkan bentuk akar yang ada
pada penyebutnya. Untuk merasionalkan bentuk pecahan dari penyebut
tersebut maka pembilang dan penyebut harus dikalikan dengan bentuk rasional
dari bentuk akar yang ada pada penyebutnya. Di bawah ini bentuk-bentuk
rumusan untuk penyederhanaan pecahan yang mengandung bentuk akar :
a.
a
a
b
b
b
.
b
a
b.
b
a
c
b
a
c.
b
c
c
c b
c
b
c
b
c b
.
a
b
c
b
a
e.
b
.
a
a
d.
a b
b
c
a
b
c
b
c
.
.
ab
b2
c
c
c
ab
b2
c
c
b
c
b
c
b
c
b
c
a b
c
b c
a b
c
b c
Contoh 1.9
Rasionalkan penyebut pecahan berikut :
1.
2.
2
2
3
3
.
2
3
2
2
3
2
3
3
2 3
3
3 2
.
3 2
3
3
4 4 3 3
4 3
10
7 4 3
1
7 4 3
3. Pangkat Pecahan
Definisi
Bilangan real a yang memenuhi persamaan an = b, disebut akar pangkat n dari b
n
dan ditulis dengan a
b . Akar pangkat n dari b atau
n
b dapat juga ditulis
1
sebagai bilangan berpangkat pecahan yaitu b n . Demikian juga sebaliknya,
1
n
bilangan berpangkat pecahan yaitu b dapat ditulis sebagai akar pangkat n dari
1
b atau
n
n
b . Jadi b n
b.
Jika b bukanlah pangkat n dari suatu bilangan rasional maka penentuan dari
n
b
hasilnya akan merupakan bilangan Irrasional. Jika nilai realnya diperlukan maka
sebaiknya menggunakan alat hitung seperti kalkulator atau komputer.
Jika m dan n adalah bilangan asli dengan n
a adalah bilangan real
yang tidak negatif maka :
a
m
n
a
1
m n
n
a
m
dan a
m
n
a
1
n
m
n
a
m
Contoh 1.10
3
2
6
2
6
3
22
4
Sifat-sifat Pangkat Pecahan
a. Jika a adalah bilangan real, p dan q adalah bilangan rasional maka
a p . aq
ap
q
b. Jika a adalah bilangan real, p dan q adalah bilangan rasional maka
a p : aq
ap
q
c. Jika a adalah bilangan real, p dan q adalah bilangan rasional maka
q
ap
a pq
d. Jika a adalah bilangan real, a
p adalah bilangan rasional maka
a
1
ap
p
e. Jika a dan b adalah bilangan real, p, q, dan r adalah bilangan rasional maka
a p . bq
r
ap
r
11
bq
r
a pr . b qr
f. Jika a dan b adalah bilangan real, b
p, q, dan r adalah bilangan
rasional maka :
ap
bq
r
a pr
b qr
4. Logaritma
Definisi
Logaritma merupakan invers atau kebalikan dari eksponen atau perpangkatan.
Misalnya 32 = 9 dapat ditulis dengan 3log 9 = 2; 3-1 =
3
log
1
3
1
dapat ditulis dengan
3
1.
Dengan demikian bentuk logaritma secara umum ditulis :
Jika an = b dengan a > 0 dan
1 maka alog b = p
Pengertian dari penulisan alog b, a disebut bilangan pokok logaritma. Nilai a
harus positif dan 1. Jika bilangan pokok bernilai 10, maka bilangan pokok 10 ini
biasanya tidak ditulis. Misalkan 10log b = log b.
Jika bilangan pokoknya e atau bilangan euler dimana e = 2,718281828 maka nilai
logaritma dinyatakan dengan ln yaitu singkatan dari logaritma natural.
Misal : elog b = ln b
Contoh 1.11
1. Jika 23 = 8 maka 2log 8 = 3
2. Jika 3-2 =
1
1
3
maka log
9
9
2
3. Jika 104 = 10.000 maka log 10.000 = 4
4. Jika 10-2 = 0,01 maka log 0,01 = -2
Sifat-sifat Logaritma
Sifat-sifat logaritma digunakan untuk menyederhanakan bentuk pernyataan
dalam logaritma dan juga dapat membantu dalam penentuan nilai logaritmanya.
Berikut ini adalah sifat-sifat logaritma :
a. Logaritma dari perkalian
a
log MN = alog M + alog N, dimana a > 0
Contoh 1.12
1. log 20 + log 5 = log (20.5) = log 100 = 2
12
1, M > 0 dan N > 0
2. Jika log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771 maka tentukan log 6!
log 6 = log (2.3) = log 2 + log 3 = 0,3010 + 0,4771 = 0,7781
b. Logaritma dari pembagian
a
log
M a
= log M - alog N, dimana a > 0
N
1, M > 0 dan N > 0
Contoh 1.13
1. 2log 48
2
log 3 = 2log (48/3) = 2log16 = 4
2. Jika log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771 maka tentukan log 1,5!
log 1,5 = log (3/2) = log 3 log 2 = 0,4771 0,3010 = 0,1761
c. Logaritma dari perpangkatan
a
log M p = p alog M, dimana a > 0
1, M > 0
Contoh 1.14
1. 2log 27 = 2log33 = 3 2log3
2. Jika log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771 maka tentukan log 36!
log 36 = log (22.32) = log22 + log3 2 = 2 log 2 + 2 log 3
= 2 (0,3010) + 2 (0,4771) = 0,6020 + 0,9542 = 1,5562
d. Mengubah basis logaritma
a
M
log N
a
log N
, dimana a > 0, a 1, M > 0 dan N > 0
log M
Contoh 1.15
2
1.
3
log 5
2
log 5
log 3
2. Jika log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771 maka tentukan 2log 3!
2
log 3
log 2
log 3
0,4771
0,3010
1,5850
e. Perpangkatan dengan logaritma
a
a
log M
M
Contoh 1.16
1. 2
2. 8
2
log 3
3
2
log 3
(2 3 )
2
log 3
2
2
log 33
33
13
27
D. Rangkuman
1. Himpunan bilangan Real (nyata) ditulis : R
x x bilangan Real
Bilangan
rasional dan Irrasional merupakan himpunan bilangan real.
2. Sifat Ketidaksamaan Bilangan Real
a. Sembarang bilangan Real a dan b, dapat terjadi salah satu dari tiga hal yaitu :
a < b, b < a, atau a = b.
b. Jika a < b dan b < c maka a < c .
c. Jika a < b, maka a + c < b + c untuk sembarang nilai c.
d. Jika a < b dan c > 0 maka ac < bc.
e. Jika a < b dan c < 0 maka ac > bc
3. Pangkat Bulat Positif
Jika a bilangan real atau
dan n bilangan bulat positif, maka
an
a disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat
4. Sifat Pangkat Bulat Positif
a. Jika a bilangan real, p dan q adalah bilangan bulat postitif maka
a p . aq
b. Jika
dan
ap
q
0, p dan q bilangan bulat positif maka
a p q ; jika p q
1
; jika q p
q p
a
1 ; jika p q
p
a
aq
a p : aq
c. Jika a bilangan real, p dan q bilangan bulat positif maka
ap
q
a p.q
a pq
d. Jika a dan b bilangan real, p bilangan bulat maka
ab
p
ap bp
5. Pangkat Bulat Negatif dan Nol
Jika
0, a bilangan real dan n bilangan bulat positif maka
a
n
1
dan a0 = 1
n
a
6. Operasi aljabar pada bentuk akar
a. a x
b x
a
b
x
14
b. a x
b x
a
c.
a. b
ab
d.
a. a
aa
e.
a: b
a
b
a b
ab
c d
cd
b
x
2
f.
a2
a2
a
7. Merasionalkan pecahan bentuk akar
a.
b.
c.
d.
e.
a
a
b
b
.
b
a b
b
b
a
a
b
c
b
a
b
c
c b
c
b
c
c b
.
a
b
c
b
.
a
b
a
c
b
a
b
c
a
c
b
c
.
.
ab
b2
c
c
c
ab
b2
c
c
b
c
b
c
b
c
b
c
a b
c
b c
a b
c
b c
8. Logaritma merupakan invers atau kebalikan dari eksponen atau perpangkatan.
Jika an = b dengan a > 0 dan
1 maka alog b = p
9. Sifat-sifat Logaritma
a. Logaritma dari perkalian
a
log MN = alog M + alog N, dimana a > 0
1, M > 0 dan N > 0
b. Logaritma dari pembagian
a
log
M a
= log M - alog N, dimana a > 0
N
1, M > 0 dan N > 0
c. Logaritma dari perpangkatan
a
log M p = p alog M, dimana a > 0
1, M > 0
d. Mengubah basis logaritma
a
M
log N
a
log N
, dimana a > 0, a 1, M > 0 dan N > 0
log M
15
e. Perpangkatan dengan logaritma
a
a
log M
M , dimana a > 0, a 1, M > 0
E. Latihan
1. Gambarkan dalam suatu skema tentang pembagian sistem bilangan real!
2. Selesaikan soal berikut :
a. 2-3 . 27
b. (-3)6 . (-3)5
3x 2 y 5 . 10 xy 3
c.
6x2 y 4
3. Kerjakan soal bentuk akar berikut :
a. Sederhanakan
128
2
1
b. 125 3
81 4
...
1
1
3
c. Jika L
a 2 .b
4
d. Hitunglah
maka nilai L untuk a 100 dan b
27 x y
xy 3
9
64 adalah ...
2
3
e. Untuk harga x = 212 maka tentukan nilai dari
3
x
4. Kerjakan soal logaritma berikut :
a. Uraikan bentuk a log
ab
!
c
b. Jika 2log 3 = a dan 2log 5 = b maka tentukan nilai 2 log
c. Jika 2log 5 = p maka tentukan nilai 2log 40
d. Jika 2log a = p dan 2log b = q maka tentukan a.b !
16
45 !
BAB II
HIMPUNAN
A. Pendahuluan
Konsep himpunan merupakan suatu konsep yang telah banyak mendasari
perkembangan ilmu pengetahuan, baik pada bidang matematika itu sendiri maupun
pada disiplin ilmu lainnya. Perkembangan pada disiplin ilmu lainnya terutama dalam
hal pembentukan model diharuskan menggunakan himpunan / kelompok data
observasi dari lapangan. Dengan demikian terlihat jelas begitu penting peran dari
konsep himpunan, dan sebagai awal dari bahasan buku ajar ini akan dibahas
pengertian himpunan, cara penyajian himpunan, macam-macam himpunan, relasi
pada himpunan dan operasi-operasi himpunan.
Diharapkan mahasiswa dapat
mendeskripsikan pengertian himpunan,
menuliskan himpunan dalam berbagai cara penulisan himpunan, menyebutkan
macam-macam himpunan, menentukan relasi pada himpunan dan menggunakan
operasi-operasi himpunan.
B. Pengertian Himpunan
Istilah himpunan dalam matematika berasal dari kata
dalam bahasa
Inggris. Kata lain yang sering digunakan untuk menyatakan himpunan antara lain
kumpulan, kelas, gugus, dan kelompok. Secara sederhana, arti dari himpunan
adalah kumpulan objek-objek (real atau abstrak). Sebagai contoh kumpulan bukubuku, kumpulan materai, kumpulan mahasiswa di kelasmu, dan sebagainya. Objekobjek yang dimasukan dalam satu kelompok haruslah mempunyai sifat-sifat
tertentu yang sama. Sifat tertentu yang sama dari suatu himpunan harus
didefinisikan secara tepat, agar kita tidak salah mengumpulkan objek-objek yang
termasuk dalam himpunan itu. Dengan kata lain, himpunan dalam pengertian
matematika objeknya / anggotanya harus tertentu (well defined), jika tidak ia bukan
himpunan.
Dengan demikian, kata himpunan atau kumpulan dalam pengertian sehari-hari
ada perbedaannya dengan pengertian dalam matematika. Jika kumpulan itu
anggotanya tidak bisa ditentukan, maka ia bukan himpunan dalam pengertian
17
matematika. Demikian juga dengan konsep himpunan kosong dalam matematika,
tidak ada istilah tersebut dalam pengertian sehari-hari.
Contoh kumpulan yang bukan himpunan dalam pengertian matematika adalah
kumpulan bilangan, kumpulan lukisan indah, dan kumpulan makanan lezat
Pada contoh di atas tampak bahwa dalam suatu kumpulan ada objek. Objek
tersebut bisa abstrak atau bisa juga kongkrit. Pengertian abstrak sendiri berarti
hanya dapat dipikirkan, sedangkan pengertian kongkrit selain dapat dipikirkan
mungkin ia bisa dilihat, dirasa, diraba, atau dipegang. Pada contoh (1) objeknya
adalah bilangan (abstrak). Objek tersebut belum tertentu, sebab kita tidak bisa
menentukan bilangan apa saja yang termasuk dalam himpunan tersebut. Pada
contoh (2) dan (3), masing-masing objeknya adalah lukisan dan makanan, jadi ia
kongkrit. Namun demikian kedua objek tersebut belum tertentu, sebab sifat indah
dan lezat adalah relatif, untuk setiap orang bisa berlainan.
Sekarang marilah kita pelajari contoh kumpulan yang merupakan himpunan
dalam pengertian matematika. Misal (1) kumpulan bilangan asli, (2) kumpulan
bilangan cacah kurang dari 10, (3) kumpulan warna pada bendera RI, (4) kumpulan
hewan berkaki dua, dan (5) kumpulan manusia berkaki lima
Pada kelima contoh di atas kumpulan tersebut memiliki objek (abstrak atau
kongkrit), dan semua objek pada himpunan tersebut adalah tertentu atau dapat
ditentukan. Pada contoh (1), (2), dan (3) objeknya abstrak, sedangkan pada contoh
(4) dan (5) objeknya kongkrit. Khusus untuk contoh (5) banyaknya anggota 0 (nol),
jadi ia tertentu juga. Untuk hal yang terakhir ini biasa disebut himpunan kosong
(empty set), suatu konsep himpunan yang didefinisikan dalam matematika.
Pembicaraan lebih rinci mengenai himpunan kosong akan dibahas pada bagian lain.
Terkait dengan pengertian himpunan, berikut adalah hal-hal yang harus anda
cermati dan ingat, yaitu objek-objek dalam suatu himpunan mestilah berbeda,
artinya tidak terjadi pengulangan penulisan objek yang sama.
Sebagai contoh, misalkan A = {a, c, a, b, d, c}. Himpunan A tersebut tidak
dipandang mempunyai jumlah anggota sebanyak 6, tetapi himpunan tersebut
dipandang sebagai A ={a, c, b, d} dengan jumlah anggota sebanyak 4. Urutan objek
dalam suatu himpunan tidaklah dipentingkan. Maksudnya himpunan {1, 2, 3, 4} dan
{2, 1, 4, 3} menyatakan himpunan yang sama.
18
C. Keanggotaan Himpunan dan Bilangan Kardinal
Suatu himpunan dinyatakan dengan huruf kapital, seperti A, B, C, D
untuk menyatakan himpunan itu sendiri dinotasikan dengan tanda kurung kurawal
(aqulade). Objek yang dibicarakan dalam himpunan tersebut dinamakan anggota
(elemen, unsur). Anggota-anggota dari suatu himpunan dinyatakan dengan huruf
kecil atau angka-angka dan berada di dalam tanda kurawal. Tanda keanggotaan
dinotasikan dengan
, sedangkan tanda bukan anggota dinotasikan dengan
.
Jika x adalah anggota dari A maka dapat ditulis x A, dan jika y bukan anggota
himpunan A maka ditulis dengan y A. Banyaknya anggota dari suatu himpunan
disebut dengan kardinal (bilangan kardinal) himpunan tersebut. Jika A adalah suatu
himpunan, maka banyaknya anggota dari A (bilangan kardinal A) ditulis dengan
notasi n(A
A
Contoh 2.1
A = {a, b, c, d, e, f}, maka n(A) = 6
D. Penulisan Himpunan
Ada empat cara atau metode untuk menyatakan (menuliskan) suatu
himpunan, yaitu :
1. Cara Tabulasi
Cara ini sering disebut juga dengan cara pendaftaran (roster method) atau
enumerasi, yaitu cara menyatakan suatu himpunan dengan menuliskan
anggotanya satu per satu. Untuk membedakan anggota yang satu dengan yang
lainnya digunakan tanda koma (,). Jika banyaknya anggota himpunan itu cukup
banyak atau tak hingga, untuk menyingkat tulisan biasanya digunakan tanda titik
dari himpunan itu bisa ditunjukan satu persatu (diskrit), misal :
(1) A = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
(2) B = {0, 1, 4, 9, 16, ..., 100}
(3) C = {merah, jingga, kuning, hijau, biru}
Pada contoh (1) banyak anggota dari himpunan A adalah tak hingga
sehingga tidak mungkin dituliskan semua anggotanya satu persatu, oleh karena
itu digunakan titik tiga setelah aturan (pola) bilangan yang disajikan dapat
dilihat. Perhatikan bahwa kita tidak boleh menuliskan seperti A = {0, ...} atau A =
19
{0, 1, ...} untuk contoh (1) sebab belum tampak polanya. Penulisan seperti itu
bisa mengandung interpretasi lain, sehingga tidak sesuai dengan yang
dimaksudkan. Pada contoh (2), juga digunakan tanda titik tiga karena banyak
anggotanya cukup banyak dan aturan bilangannya sudah tampak, yaitu kuadrat
dari bilangan cacah. Kardinal dari setiap himpunan di atas adalah n(A) = ~, n(B) =
11, dan n(C) = 5.
2. Cara Pencirian / Deskriptif
rule method
disebut juga metode pembentuk himpunan. Dalam menggunakan metode
deskripsi ini, anggota dari suatu himpunan tidak disebutkan satu per satu, tetapi
penyajian anggota himpunannya dilakukan dengan mendefinisikan suatu aturan
/ rumusan yang merupakan batasan bagi anggota-anggota himpunan. Himpunan
yang anggotanya diskrit dapat disajikan dengan cara deskripsi ini, akan tetapi
suatu himpunan yang anggotanya kontinu hanya bisa disajikan dengan cara
deskripsi, dan tidak bisa disajikan dengan cara tabulasi.
Contoh 2.2
1. A = adalah himpuan bilangan cacah yang lebih dari 1 dan kurang dari 8.
Himpunan A, jika disajikan dengan cara tabulasi didapat :
A = {2, 3, 4, 5, 6. 7}
sedangkan jika disajikan dengan menggunakan metode deskripsi didapat :
A = {x | 1 < x < 8, x bilangan cacah}
2. B = {x | 1 < x < 8, x bilangan real}.
Himpunan tersebut tidak bisa disajikan dengan cara tabulasi, karena
anggotanya kontinu.
Kedua himpunan tersebut memiliki kardinalitas yang berbeda, yaitu n(A) = 6
sedangkan n(B) = ~.
3. Simbol-simbol Baku
Beberapa himpunan yang khusus dituliskan dengan simbol-simbol yang
sudah baku. Terdapat sejumlah simbol baku yang menyatakan suatu himpunan,
yang biasanya disajikan dengan menggunakan huruf kapital dan dicetak tebal.
Berikut adalah contoh-contoh himpunan yang dinyatakan dengan simbol baku,
yang sering kita dijumpai, yaitu :
N = himpunan bilangan asli = {1, 2, 3, ...}
20
P = himpunan bilangan bulat positif = {1, 2, 3, ...}
Z = himpunan bilangan bulat {...,-2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
4. Diagram Venn
Dalam diagram venn, himpunan semesta S digambarkan dengan persegi
panjang, sedangkan untuk himpunan lainnya digambarkan dengan lengkungan
tertutup sederhana, dan anggotanya digambarkan dengan noktah. Anggota dari
suatu himpunan digambarkan dengan noktah yang terletak di dalam di dalam
daerah lengkungan tertutup sederhana itu, atau di dalam persegi panjang untuk
anggota yang tidak termasuk di dalam himpunan itu.
Contoh 2.3
S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 2, 5} ; B = {3, 4, 7, 8}
Gambar 2.1
E. Macam-macam Himpunan
Beberapa konsep berkenaan dengan himpunan yang didefinisikan dalam
matematika.
1. Himpunan kosong
Definisi
Suatu himpunan A dikatakan himpunan kosong jika dan hanya jika n(A) = 0.
Himpunan kosong dilambangkan dengan
kardinal dari
(dibaca phi). Karena bilangan
sama dengan nol, maka himpunan tidak mempunyai anggota,
sehingga = { }.
21
Pengertian jika dan hanya jika
A
n(A) = 0. Sebaliknya, jika n(A) = 0 maka A adalah
himpunan kosong.
Berikut disajikan beberapa contoh tentang himpunan kosong.
Contoh 2.4
1. A = himpunan mahasiswa Jurusan Ekonomi dan Bisnis Umsida angkatan
2015/2016 yang mempunyai tinggi badan di atas 3 meter.
2. B = {x | 6 < x < 7, x bilangan bulat}
3. C = {x | x bilangan prima kelipatan 6}
4. D = {x | x2 < 0, x bilangan real}
2. Himpunan Semesta
Definisi
Himpunan semesta S adalah himpunan yang memuat semua anggota
himpunan yang dibicarakan.
Jika anda cermati definisi di atas, tampak bahwa suatu himpunan tertentu
merupakan himpunan semesta bagi dirinya sendiri. Himpunan semesta dari
suatu himpunan tertentu tidaklah tunggal, tetapi mungkin lebih dari satu. Coba
anda perhatikan contoh berikut :
Misalkan A = {a, b, c}, maka himpunan semesta dari A antara lain adalah :
S1 = {a, b, c}
S2 = {a, b, c, d}
S3 = {a, b, c, d, e}
S4 = {a, b, c, d, e, f}
Dari contoh di atas, jelas bahwa himpunan semesta dari suatu himpunan
tidaklah tunggal.
Suatu himpunan bisa merupakan himpunan semesta bagi himpunan
tertentu asalkan semua anggota dari himpunan tertentu itu menjadi anggota
dari himpunan semesta.
22
F. Relasi antar Himpunan
1. Himpunan yang sama
Definisi
Dua buah himpunan A dan B dikatakan sama, dilambangkan A = B, jika dan
hanya jika setiap anggota di A merupakan anggota di B, dan juga setiap anggota
di B merupakan anggota di A.
Pada definisi di atas, digunakan perkataan jika dan hanya jika, ini
mengandung arti bahwa :
a. jika himpunan A sama dengan B, maka setiap anggota di A merupakan
anggota di B, dan
b. jika terdapat dua himpunan sedemikian hingga setiap anggota pada
himpunan pertama merupakan anggota pada himpunan kedua dan setiap
anggota pada himpunan kedua merupakan anggota pada himpunan pertama,
maka dikatakan bahwa kedua himpunan itu sama.
Contoh 2.5
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} dan
B = {x | x < 9, x bilangan cacah}
Himpunan B jika dituliskan dengan metode tabulasi maka di dapat B ={0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8}
Dengan memperhatikan anggota-anggota pada A dan B, maka jelas bahwa A = B.
Contoh 2.6
Misalkan C = {a, b, c, d} dan D = {c, a, b}.
Meskipun setiap anggota di D merupakan anggota di C, akan tetapi tidak setiap
anggota di C merupakan anggota di D.
Dengan demikian C D.
2. Himpunan bagian
Definisi.
A dikatakan himpunan bagian dari B, dilambangkan A
B, jika dan hanya jika
setiap anggota di A merupakan anggota di B.
Jika A
B digambarkan dengan menggunakan diagram venn, maka didapatkan
sebagai berikut.
23
S
Gambar 2.2 A
Sebagai contoh bahwa {a, b, c}
B
{a, b, c, d} dan {2, 4, 6, 8}
10, 12, 14}. Anda pastinya juga setuju bahwa A
A. Penulisan B
{0, 2, 4, 6, 8,
B adalah ekivalen dengan B
A lazimnya dimaknai sebagai B superset dari A.
Definisi.
A dikatakan himpunan bagian sejati (proper subset) dari B, A
B, jika dan hanya
jika setiap anggota di A merupakan anggota di B dan paling sedikit terdapat satu
anggota di B yang bukan merupakan anggota A.
Sebagai contoh, perhatikan bahwa {1, 2, 3, 4, 5}
{a, b, c}
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} akan tetapi
{c, a, b}.
3. Himpunan Lepas
Definisi
A dan B dikatakan lepas (disjoint) jika dan hanya jika tidak terdapat anggota
bersama pada A dan B, atau dengan kata lain A dan B dikatakan lepas jika
A
B
. Simbol A
B menyatakan irisan dari A dan B.
Berikut adalah deskripsi dari A lepas dengan B.
Gambar 2.3 A
B
Contoh 2.7
Misalkan A = {a, b, c, d, e} dan B = {f, h, i, j, k} maka didapatkan bahwa
A
B
. Karena A
B
maka A dan B merupakan himpunan yang lepas.
24
4. Himpunan Bersilangan
Definisi
A bersilangan dengan B jika dan hanya jika A
, atau dengan kata lain
B
irisan dari kedua himpunan tersebut tidak kosong. Berikut adalah deskripsi dari
A bersilangan dengan B.
Gambar 2.4 A
B
Contoh 2.8
Misalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = {d, e, f, g, h, i} maka didapatkan bahwa
A
B = {d, e, f}. Karena A
B = {d, e, f
maka A dan B merupakan
himpunan yang bersilangan.
5. Himpunan Ekuivalen
Definisi
A ekuivalen dengan himpunan B, dilambangkan A~B, jika dan hanya jika
banyaknya anggota dari A sama dengan banyaknya anggota B, atau n(A) = n(B).
Contoh 2.9
A = { 1, 3, 5, 7, 9, 11 }
B = { a , b, c, d, e, f }
n(A) = 6 dan n(B) = 6
Maka A ~ B
6. Himpunan Kuasa (Power Set)
Definisi
Himpunan Kuasa dari himpunan A, dilambangkan P(A), adalah suatu himpunan
yang anggotanya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk
himpunan kosong dan himpunan A sendiri.
Contoh 2.10
A = {a, b, c}.
Himpunan bagian dari A adalah , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}.
Sehingga P(A) = { , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b,c}, {a, b, c}}
25
G. Operasi Himpunan
1. Irisan (Intersection)
Definisi
Irisan dari A dan B, dilambangkan A
B , adalah himpunan yang anggota-
anggotanya merupakan anggota dari himpunan A dan sekaligus anggota
himpunan B.
A
B
xx
A dan x
Gambar 2.5 A
B
B
Contoh 2.11
Misalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = {a, e, g} maka A
B = {a, e}.
Diagram venn-nya adalah sebagai berikut.
Gambar 2.6
Daerah yang diarsir menyatakan A
B
Contoh 2.12
Misalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = { g, h, i, j} maka A
B
Diagram venn-nya adalah sebagai berikut
Gambar 2.7
Karena A
B
maka tidak ada daerah yang diarsir
26
.
2. Gabungan (Union)
Definisi
Gabungan antara himpunan A dan himpunan B dilambangkan A
B , adalah
himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan A atau
anggota himpunan B.
A
B
xx
A atau x
Gambar 2.8 A
B
B
Contoh 2.13
Misalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = {a, e, g} maka A
B = {a, b, c, d, e, f, g}.
Diagram venn-nya adalah sebagai berikut.
Gambar 2.9
Daerah yang diarsir menyatakan A
B.
Contoh 2.14
Misalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = { g, h, i, j} maka A
B = {a, b, c, d, e, f, g, h,
i, j}. Diagram venn-nya adalah sebagai berikut.
Gambar 2.10
Daerah yang diarsir menyatakan A
27
B
3. Komplemen
Definisi
Diberikan himpunan universal (semesta) S dan himpunan A. A
dari A, dilambangkan A
S , komplemen
S yang tidak termasuk
di A.
A'
x x S dan x
A
Gambar 2.11
Contoh 2.16
Misalkan S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} dan B = {1, 3, 5, 7, 9} maka B
himpunan bilangan S selain B, yaitu B
4. Selisih Himpunan
Selisih dari A dan B, dilambangkan A
B, adalah himpunan yang anggota-
anggotanya merupakan anggota dari himpunan A tetapi bukan merupakan
anggota dari himpunan B.
A B
xx
A dan x
B
Gambar 2.12
Contoh 2.17
Misalkan A = {a, b, c, d, e, f} dan B = {a, e, g} maka A - B = {b, c, d, f}.
Diagram venn-nya adalah sebagai berikut.
Gambar 2.13
Daerah yang diarsir menyatakan A B
28
H. Sifat-sifat Operasi pada Himpunan
1. Sifat Identitas
A
A
2. Sifat Dominasi
A
3. Sifat Komplemen
A
A' S
4. Sifat Idempoten
A
A
A
5. Sifat Penyerapan
A
A
B
A
6. Sifat Komutatif
A
B
B
A atau A
B
B
A
7. Sifat Asosiatif
A
B
C
A
B
A B C
A
Sifat De-Morgan
B
C atau A
B
C
A
B
C
8. Sifat Distributif
A
B'
A' B ' atau A
A
C atau A
B'
B
C
A
B
A
C
A' B '
9. Sifat Komplemen ke-2
' S atau S '
I.
Rangkuman
1. Himpunan dalam pengertian matematika objeknya / anggotanya harus tertentu
(well defined), jika tidak ia bukan himpunan.
2. Penulisan Himpunan.
Ada empat metode dalam menuliskan himpunan :
a. Cara Tabulasi
Cara ini sering disebut juga dengan cara pendaftaran (roster method) atau
enumerasi, yaitu cara menyatakan suatu himpunan dengan menuliskan
anggotanya satu per satu. Untuk membedakan anggota yang satu dengan
yang lainnya digunakan tanda koma (,). Jika banyaknya anggota himpunan itu
29
cukup banyak atau tak hingga, untuk menyingkat tulisan lazimnya dengan
menggunakan tanda titik tiga yang berarti dan seterusnya, asal aturannya
sudah tampak pada pernyataan anggota yang telah dituliskan.
b. Cara Pencirian / Deskriptif
rule method
atau disebut
juga metode pembentuk himpunan. Dalam menggunakan metode deskripsi
ini, anggota dari suatu himpunan tidak disebutkan satu per satu, tetapi
penyajian anggota himpunannya dilakukan dengan mendefinisikan suatu
aturan/rumusan yang merupakan batasan bagi anggota-anggota himpunan.
c. Simbol-simbol Baku
Berikut adalah contoh-contoh himpunan yang dinyatakan dengan simbol
baku, yang sering kita dijumpai, yaitu :
N = himpunan bilangan asli = {1, 2, 3, ...}
P = himpunan bilangan bulat positif = {1, 2, 3, ...}
Z = himpunan bilangan bulat {...,-2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
d. Diagram Venn
Dalam diagram venn himpunan semesta S digambarkan dengan persegi
panjang, sedangkan untuk
himpunan lainnya digambarkan dengan
lengkungan tertutup sederhana, dan anggotanya digambarkan dengan
noktah. Anggota dari suatu himpunan digambarkan dengan noktah yang
terletak di dalam di dalam daerah lengkungan tertutup sederhana itu, atau di
dalam persegi panjang untuk anggota yang tidak termasuk di dalam
himpunan itu.
3. Beberapa konsep macam-macam himpunan :
a. Himpunan Kosong
Suatu himpunan A dikatakan himpunan kosong jika dan hanya jika n(A) = 0.
Himpunan kosong dilambangkan dengan
kardinal dari
(dibaca phi). Karena bilangan
sama dengan nol, maka himpunan tidak mempunyai anggota,
sehingga = { }
30
b. Himpunan Semesta
Himpunan semesta S adalah himpunan yang memuat semua anggota
himpunan yang dibicarakan
4. Relasi antar Himpunan :
a. Himpunan yang sama
Dua buah himpunan A dan B dikatakan sama, dilambangkan A = B, jika dan
hanya jika setiap anggota di A merupakan anggota di B, dan juga setiap
anggota di B merupakan anggota di A.
b. Himpunan Bagian
A dikatakan himpunan bagian dari B, dilambangkan A
B, jika dan hanya jika
setiap anggota di A merupakan anggota di B.
c. Himpunan Lepas
A dan B dikatakan lepas (disjoint) jika dan hanya jika tidak terdapat anggota
bersama pada A dan B, atau dengan kata lain A dan B dikatakan lepas jika
A
B
d. Himpunan Bersilangan
A bersilangan dengan B jika dan hanya jika A
B
, atau dengan kata lain
irisan dari kedua himpunan tersebut tidak kosong
e. Himpunan Ekuivalen
A ekivalen dengan himpunan B, dilambangkan A~B, jika dan hanya jika
banyaknya anggota dari A sama dengan banyaknya anggota B, atau n(A) =
n(B).
f. Himpunan Kuasa (Power Set)
Himpunan Kuasa dari himpunan A, dilambangkan P(A), adalah suatu
himpunan yang anggotanya merupakan semua himpunan bagian dari A,
termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.
5. Operasi Himpunan
a. Irisan (Intersection)
Irisan dari A dan B, dilambangkan A
B , adalah himpunan yang anggota-
anggotanya merupakan anggota dari himpunan A dan sekaligus anggota
himpunan B.
A
B
xx
31
A dan x B
b. Gabungan (Union)
Gabungan antara himpunan A dan himpunan B dilambangkan A
B , adalah
himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan A atau
anggota himpunan B.
A
B
xx
A atau x
B
c. Komplemen
Diberikan himpunan universal (semesta) S dan himpunan A. A
S,
komplemen dari A, dilambangkan A
S yang
tidak termasuk di A.
A'
x x S dan x
A
d. Selisih
Selisih dari A dan B, dilambangkan A
B, adalah himpunan yang anggota-
anggotanya merupakan anggota dari himpunan A tetapi bukan merupakan
anggota dari himpunan B.
A B
xx
A dan x
B
6. Sifat-sifat Operasi pada Himpunan
a. Sifat Identitas
A
A
b. Sifat Dominasi
A
c. Sifat Komplemen
A
A' S
A
A
d. Sifat Idempoten
A
e. Sifat Penyerapan
A
A
B
A
f. Sifat Komutatif
A
B
B
A atau A
B
B
C atau A
B
C
A
g. Sifat Asosiatif
A
B
C
A
B
32
A
B
C
h. Sifat Distributif
A
B
C
A
B
A
C atau A
B
C
A
B
A
C
i. Sifat De-Morgan
A
B'
A' B' atau A
B'
A' B '
j. Sifat Komplemen ke-2
' S atau S '
J.
Latihan
1. Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 3, 5}, B = {2, 3, 4}. Dengan menggunakan
cara tabulasi tentukan himpunan berikut :
a. A
B
b. A
B
c.
A
B '
d.
A
B '
e.
f.
g. A' B'
h. A' B'
i. Apakah A
B '
A' B ' ?
j. Apakah A
B '
A' B ' ?
2. Dengan menggunakan diagram venn tunjukkan bahwa :
a. A
B
C
A
B
A
C
b. A
B
C
A
B
A
C
3. Dari 100 orang mahasiswa, 60 mahasiswa mengikuti kuliah Bahasa Inggris, 50
mahasiswa mengikuti kuliah Statistika, 30 mahasiswa mengikuti kuliah
Matematika Dasar, 30 mahasiswa mengikuti kuliah Bahasa Inggris dan Statistika,
16 mahasiswa mengikuti kuliah Bahasa Inggris dan Matematika Dasar, 10
mahasiswa mengikuti kuliah Statistika dan Matematika Dasar, dan 6 mahasiswa
mengikuti kuliah ketiga-tiganya. Berapa banyak mahasiswa yang mengikuti
kuliah Bahasa Inggris, atau Statistika, atau Matematika Dasar?
4. Manakah dari himpunan berikut ini, yang merupakan himpunan kosong?
Jelaskan!
33
a. {x |x nama huruf vokal selain a, i, u, e, o di dalam alfabetl}
b. {x |x2 = 9 dan 2x = 4}
c.
d. {x |x + 6 = 6, x bilangan asli}
5. Misalkan A = {1, 2, 3}, B = {0, 1, 2}, C = {3, 1, 2}, D = {a, b, c}, E = {1, 2}, F = {0, 1, 2,
3}, dan G = {bilangan cacah antara 0 dan 4}
a. Himpunan manakah yang sama dengan A ?
b. Himpunan manakah yang ekivalen dengan A ?
c. Jika H dan I adalah himpunan, sedemikian sehingga berlaku H = I, apakah H ~
I ? Jelaskan!
d. Jika J dan K adalah himpunan, sedemikian sehingga berlaku J ~ K, apakah J = K
? Jelaskan!
6. Misalkan A = {2, {4,5}, 4}. Manakah pernyataan yang salah? Jelaskan!
a. {4, 5}
b. {4, 5}
c. {{4, 5}}
A
A
A
34
BAB III
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR
A. Pendahuluan
Dasar dari suatu persamaan adalah sebuah pernyataan matematika yang
terdiri dari dua ungkapan pada ruas kanan dan ruas kiri yang dipisahkan oleh tanda
variabel. Dan sebuah penyelesaian dari suatu persamaan berupa nilai yang jika
disubstitusikan pada variabel menghasilkan sebuah pernyataan yang benar.
Sementara itu, istilah-istilah seperti lebih dari, kurang dari, lebih besar, lebih
kecil, lebih tinggi, lebih rendah, tidak sama sudah menjadi bahasa sehari-hari dalam
masyarakat. Istilah-istilah tersebut digunakan untuk menentukan nilai maksimum
atau nilai minimum dari suatu permasalahan atau pernyataan yang dapat
dimodelkan secara matematis.
Diharapkan mahasiswa dapat menentukan penyelesaian dari persamaan linear
satu variabel dan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear satu variabel.
B. Persamaan Linear Satu Variabel
Definisi
Suatu persamaan yang memuat satu variabel berpangkat satu.
Contoh 3.1
1. x = 9
2. 5x + 4 = 29
3. 3x 2 = x + 24
Sebuah penyelesaian untuk suatu persamaan adalah sebarang bilangan yang
membuat persamaan itu benar jika bilangan itu disubstitusikan pada variabel.
Contoh 3.2
1. 3x = 21
Persamaan ini mempunyai penyelesaian bilangan 7, karena 3(7) = 21 adalah
benar. Sementara bilangan 5 bukan sebuah penyelesaian dari 3x = 21, karena
3(5) = 21 adalah salah.
35
2. 3x 2 = x + 24
Jika persamaan ini diselesaikan maka mempunyai penyelesaian bilangan 13,
karena 3(13) 2 = 13 + 24.
Prinsip Penjumlahan dan Perkalian
Ada dua prinsip yang diperbolehkan untuk menyelesaikan bermacam-macam
persamaan.
Pertama, Prinsip Penjumlahan
Untuk sebarang bilangan real a, b dan c, jika a = b maka berlaku
a +c = b + c
a c=b c
Kedua, Prinsip Perkalian
Untuk sebarang bilangan real a, b dan c, jika a = b maka berlaku
a.c=b.c
a
c
b
, benar dengan c
c
0.
Contoh 3.3
Tentukan penyelesaian dari 3x
2
31 .
Penyelesaian :
3x
3x
2
2 2
3x
31
31 2
menggunaka n prinsip penjumlaha n, kedua ruas ditambah 2
33
1
3x
3
1
33
3
menggunaka n prinsip perkalian, kedua ruas dikali
x 11
Contoh 3.4
Tentukan penyelesaian dari 3 x 1
1 5 5x 5
Penyelesaian :
3x 1
1
5 5x 5
sifat distributif
3 x 3 1 5 5 x 25
3x 4
3x 4 4
3x
3x 5x
8x
5x 20
5x 20 4
kedua ruas ditambah 4
5 x 16
5x 5 x 16
16
36
kedua ruas ditambah 5x
1
3
1
8x
8
1
. 16
8
kedua ruas dikali
1
8
x=-2
C. Persamaan Ekuivalen
Definisi
Persamaan Ekuivalen adalah persamaan yang mempunyai himpunan penyelesaian
yang sama.
Contoh 3.5
(1)
2x = 12
(2)
- 5x = - 30
(3) 3x + 5 = 23
(4) 2x 5 = x + 1
Keempat
persamaan
tersebut
ekuivalen
karena
mempunyai
himpunan
penyelesaian yang sama yaitu x = 4.
D. Persamaan Linear Bentuk Pecahan Satu Variabel
Yaitu persamaan yang memuat pecahan. Untuk menyelesaikan persamaan pecahan
ini digunakan perkalian dengan variabel.
Contoh 3.6
Tentukan penyelesaian dari
x 2
5
x
3
Penyelesaian :
37
1
.
5
x
2 x
5
3
x 2 x
15
5
3
15
x
2
5
3x
8x
1
5
15
15
x
3
3
6
5x
3
8x
6
3
6
6
3
8x
9
1
8x
8
x
1
5
kedua ruas dikali 15
sifat distributi f
6
kedua ruas ditambah 6
1
9
8
kedua ruas dikali
1
8
9
8
E. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
Definisi
Suatu pertidaksamaan yang hanya mempunyai satu variabel dengan pangkat
tertinggi variabelnya satu.
Contoh 3.7
1. x < 9
2. 5x + 4 > 29
3. 3x 2 < x + 24
Pada prinsipnya penyelesaian pertidaksamaan linear mirip dengan persamaan
linear. Hal ini dapat dilihat pada tabel perbandingan berikut.
No Penyelesaian Persamaan
1. Prinsip Penjumlahan
Menambah
dengan
bilangan yang sama pada
kedua ruas.
2. Prinsip Perkalian
Kedua
ruas
dikalikan
dengan bilangan yang
sama.
Penyelesaian Pertidaksamaan
Prinsip Penjumlahan
Menambah dengan bilangan yang sama
pada kedua ruas.
Prinsip Perkalian
1. Jika kedua ruas dikalikan dengan
bilangan positif yang sama maka
tanda
pertidaksamaan
tidak
berubah.
2. Jika kedua ruas dikalikan dengan
bilangan negatif yang sama, tanda
pertidaksamaan berubah dari <
sebaliknya.
38
Contoh 3.8
Tentukan penyelesaian dari 2x
6.
4
Penyelesaian :
2x 4
6
2x 4 4
6 4
kedua ruas ditambah 4
2 x 10
1
1
2x
10
2
2
x 5
kedua ruas dikali
Jadi himpunan penyelesaiannya x x
1
5
5
Contoh 3.9
Tentukan penyelesaian dari 3x 5
x 7.
Penyelesaian :
3x 5 5
3x
3x
x 7 5
kedua ruas ditambah 5
x 12
x
x
x 12
2x
12
kedua ruas ditambah
1
1
2x
12
2
2
x 6
kedua ruas dikali
Jadi himpunan penyelesaiannya x x
x
1
2
6 .
Contoh 3.10
Tentukan penyelesaian dari 3 x
2 2x
7
23
x
4 .
Penyelesaian :
3x
2 2x 7
3x
23
x
4
4 x 14
6
2x
x 14
2
2x
x 14 14
2
2 x 14
x
x
4
sifat distributi f
kedua ruas ditambah
14
kedua ruas ditambah
x
2 x 12
2x
12
3x
12
1
1
. 3x
. 12
3
3
x 4
39
kedua ruas dikali
1
3
Jadi himpunan penyelesaiannya x x
4
Contoh 3.11
Tentukan himpunan penyelesaian dari 3
x 7 11 .
Penyelesaian :
3
x 7 11
Untuk menyelesaikan soal ini menggunakan dua langkah karena menyelesaikannya
menggunakan kombinasi pertidaksamaan.
Langkah I.
3
x
7
3 7
x
7 7
4
x
x
kedua ruas ditambah
4
7
...(1)
Langkah II.
x
7
11
x
7
7
x
4
11 7
kedua ruas ditambah
7
...( 2)
Dari (1) dan (2) dikombinassikan maka himpunan penyelesaiannya x
4
x
4
F. Pertidaksamaan Linear Bentuk Pecahan Satu Variabel
Yaitu pertidaksamaan yang memuat pecahan. Untuk menyelesaikan
pertidaksamaan pecahan ini digunakan perkalian variabel.
Contoh 3.12
Tentukan himpunan penyelesaian dari
x
3
1
x
.
4
Penyelesaian :
x
3
12
x
3
4x
4 x 3x
x
1
x
4
x
4
12 3 x
12 1
kedua ruas dikali 12
12 3 x 3 x
kedua ruas ditambah
12
Jadi himpunan penyelesaiannya x x
40
12
3x
G. Rangkuman
1. Persamaan adalah sebuah pernyataan matematika yang terdiri dari dua
ungkapan pada ruas
sama dengan)
2. Penyelesaian untuk suatu persamaan adalah sebarang bilangan yang membuat
persamaan itu benar jika bilangan itu disubstitusikan pada variabel.
3. Untuk setiap a, b, c
R
Jika a = b maka a + c = b + c
4. Untuk setiap a, b, c
R
Jika a = b maka a . c = b . c
5. Untuk setiap a, b, c
Jika a = b maka
a
c
R
b
, c
c
0
Jika a . b = 0 maka a = 0 atau b = 0
Jika a = 0 atau b = 0 maka ab = 0
6. Persamaan-persamaan yang mempunyai himpunan penyelesaian yang sama
disebut persamaan ekuivalen
7.
8. Prinsip-prinsip untuk menyelesaikan pertidaksamaan :
a. Prinsip Penjumlahan, kedua ruas ditambah dengan bilangan yang sama.
b. Prinsip Perkalian, kedua ruas dikalikan dengan bilangan yang sama.
1) Jika dikalikan dengan bilangan positif tanda pertidaksamaan tidak
berubah.
2) Jika dikalikan dengan bilangan negatif tanda pertidaksamaan berubah
kebalikannya.
41
H. Latihan
1. Tentukan penyelesaian dari persamaan berikut :
a.
x 1=x+3
b. 19x 78 + 53x = 30 + 18x
c. (3x 2) 2(6 x) = 1
d. 3(7 2x) + (x 1) 5(2 x) = 2x + 1
2. Tentukan penyelesaian dari persamaan berikut :
a.
12
x
3
4
b.
2x x
9 12
c.
1
x
5
6
5
4
x 2
x 2
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut :
a.
- 24x < 8
b.
(3x 2) 2(6 x) > 1
c.
3(7 2x) + (x 1) 5(2 x
x+1
4. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut :
1
2
a.
x
b.
3 x
3
x
4
1
2
1
x
3
c.
d.
1
4
3
1
2
1
x
3
x 2
1
5
5. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
42
1
2
3
4
2x 1
BAB IV
FUNGSI
A. Pendahuluan
Salah satu konsep dalam matematika yang paling penting adalah konsep
fungsi. Dengan konsep fungsi, para matematikawan maupun para ahli di bidang
yang lain dengan jelas dapat mengetahui apakah suatu struktur identik dengan
struktur yang lain. Dan hampir semua cabang matematika menggunakan konsep
fungsi dalam pengembangannya.
Fungsi linear dan fungsi kuadrat merupakan salah satu fungsi yang banyak
digunakan dalam kehidupan. Banyak masalah sehari-hari menjadi lebih mudah
diselesaikan dengan menggunakan konsep fungsi linear dan fungsi kuadrat.
Diharapkan mahasiswa dapat menerapkan konsep fungsi baik fungsi linear
maupun fungsi kuadrat dalam berbagai permasalahan sehari-hari dan berbagai
bidang pengembangan ilmu yang lain
B. Pengertian Fungsi
Definisi
Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang
memasangkan setiap elemen dari A secara tunggal, dengan elemen pada B.
Apabila f memetakan suatu elemen x
A ke suatu y
B dikatakan bahwa y
adalah peta dari x oleh f dan peta ini dinyatakan dengan notasi f(x), dan biasa ditulis
dengan f : x
f(x), sedangkan x biasa disebut prapeta dari f(x).
Himpunan A dinamakan daerah asal (domain) dari fungsi f , sedangkan
himpunan B disebut daerah kawan (kodomain) sedangkan himpunan dari semua
peta di B dinamakan daerah hasil (range) dari fungsi f tersebut.
Contoh 4.1
Gambar 4.1
43
Diagram sebagaimana pada Gambar 1 di atas adalah fungsi karena pertama,
terdapat relasi (yang melibatkan dua himpunan yakni A dan B) dan kedua,
pemasangan setiap elemen A adalah secara tunggal.
Contoh 4.2
Gambar 4.2
Diagram 4.2 bukan merupakan fungsi karena ada elemen A yang dipasangkan
tidak secara tunggal dengan elemen pada B.
C. Sifat Fungsi
Dengan memperhatikan bagaimana elemen-elemen pada masing-masing
himpunan A dan B yang direlasikan dalam suatu fungsi, maka kita mengenal tiga
sifat fungsi yakni sebagai berikut :
1. Injektif (Satu-satu)
Misalkan fungsi f menyatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu fungsi satusatu (injektif), apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan
pada dua elemen yang berbeda di B. Selanjutnya secara singkat dapat dikatakan
bahwa f : A B adalah fungsi injektif apabila a
berakibat f(a
f( ) atau
ekuivalen, jika f(a) = f( ) maka akibatnya a = .
Contoh 4.3
1. Fungsi f pada R yang didefinisikan dengan f(x) = x2 bukan suatu fungsi
satu-satu sebab f(-2) = f(2).
2. Perhatikan gambar berikut.
Gambar 4.3
44
Adapun fungsi pada A = {bilangan asli} yang didefinisikan dengan f(x) = 2x
adalah fungsi satu-satu, sebab kelipatan dua dari setiap dua bilangan yang
berlainan adalah berlainan pula.
2. Surjektif (Onto)
Misalkan f adalah suatu fungsi yang memetakan A ke B maka daerah hasil
f(A) dari fungsi f adalah himpunan bagian dari B, atau f(A)
B.
Apabila f(A) = B, yang berarti setiap elemen di B pasti merupakan peta dari
sekurang-kurangnya satu elemen di A maka kita katakan f adalah suatu fungsi
f memetakan A Onto B
Contoh 4.4
1. Fungsi f : R R yang didefinisikan dengan rumus f(x) = x2 bukan fungsi yang
onto karena himpunan bilangan negatif tidak dimuat oleh hasil fungsi
tersebut.
2. Perhatikan gambar berikut.
Gambar 4.4
Misal A = {a, b, c, d} dan B = {x, y, z} dan fungsi f : A
dengan
diagram
panah
adalah
B yang didefinisikan
suatu
fungsi
yang
surjektif karena daerah hasil f adalah sama dengan kodomain dari f
(himpunan B).
3. Bijektif (Korespondensi Satu-satu)
Suatu pemetaan f : A B sedemikian rupa sehingga f merupakan fungsi
f adalah fungsi yang
A dan B berada dalam korespondensi satu-
45
Contoh 4.5
1. Perhatikan gambar berikut.
Gambar 4.5
Relasi dari himpunan A = {a, b, c} ke himpunan B = {p, q, r} yang didefinisikan
sebagai diagram di samping adalah suatu fungsi yang bijektif.
2. Fungsi f yang memasangkan setiap negara di dunia dengan ibu kota negaranegara di dunia adalah fungsi korespondensi satu-satu (fungsi bijektif),
karena tidak ada satu kotapun yang menjadi ibu kota dua negara yang
berlainan.
D. Jenis Fungsi
Jika suatu fungsi f mempunyai daerah asal dan daerah kawan yang sama,
misalnya D, maka sering dikatakan fungsi f pada D. Jika daerah asal dari fungsi tidak
dinyatakan maka yang dimaksud adalah himpunan semua bilangan real (R). Untuk
fungsi-fungsi pada R kita kenal beberapa fungsi antara lain sebagai berikut.
1. Fungsi Konstan
Definisi
f:x
C dengan C konstan disebut fungsi konstan (tetap). Fungsi f memetakan
setiap bilangan real dengan C.
Contoh 4.6
Fungsi f : x
Gambar 4.6
f(-2) = 3, f(0) = 3, f(5) = 3.
46
2. Fungsi Identitas
Definisi
Fungsi R
R yang didefinisikan sebagai f : x
x disebut fungsi identitas.
Gambar 4.7
f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3
3. Fungsi Linear
Definisi
Fungsi pada bilangan real yang didefinisikan f(x) = ax + b, a dan b konstan
dengan a
Grafik fungsi linier berupa garis lurus. Untuk menggambar grafik fungsi
linier bisa dilakukan dengan dua cara yaitu dengan membuat tabel dan dengan
menentukan titik potong dengan sumbu-x dan sumbu-y.
Contoh 4.7
Gambarlah grafik fungsi y = 2x + 3
Penyelesaian :
Dengan membuat tabel :
y = 2x + 3
x
-1
0
1
y
1
3
5
Gambar 4.8
47
Dari tabel diperoleh titik-titik berupa pasangan koordinat, kita gambar titik
tersebut dalam bidang Cartesius kemudian dihubungkan, sehingga tampak
membentuk garis lurus.
Dengan menentukan titik-titik potong dengan sumbu-x dan sumbu-y
y = 2x + 3
Titik potong grafik dengan sumbu-x :
y
x+3
2x = 3
3
2
x
3
,0
2
sehingga titik potong grafik dengan sumbu x adalah
Titik potong grafik dengan sumbu-y :
x
y = 2x + 3
y = 2.0 + 3
y=0+3
y=3
sehingga
titik
potong
grafik
dengan
sumbu-y
adalah
(0,3)
Kedua titik potong tersebut digambar dalam bidang Cartesius kemudian
dihubungkan sehingga tampak membentuk garis lurus.
Gambar 4.9
48
Beberapa hal penting dalam Fungsi Linear
a. Gradien
Gradien atau koefisien arah (m) adalah konstanta yang menunjukkan tingkat
kemiringan suatu garis.
Perhatikan gambar berikut ini :
Gambar 4.10
m
y
x
y2
x2
y1
x1
f ( x2 )
x2
Persamaan garis y = mx + c, dengan m, c
f ( x1 )
x1
R, c adalah konstanta, dengan m
melambangkan gradien / koefisien arah garis lurus. Pada gambar di atas,
x) dan grafik
fungsi linier dengan arah putaran berlawanan arah dengan arah putaran
jarum jam, maka gradien dapat pula didefinisikan sebagai
m
y
x
tan
Catatan :
1) Jika m = 0 maka grafik sejajar dengan sumbu-x dan ini sering disebut
sebagai fungsi konstan.
2) Jika m
3) Jika m
b. Menentukan Persamaan Garis melalui Satu Titik dan gradien m
Misalkan garis y = mx + c melalui titik P (x1, y1), setelah nilai koordinat titik P
disubstitusikan ke persamaan garis tersebut diperoleh:
y = mx + c
y1 = mx1 + c
49
y y1 = m (x x1)
Jadi persamaan garis melalui titik P (x1, y1), dan bergradien m adalah
y y1 = m (x x1)
c. Menentukan Persamaan Garis melalui Dua Titik
Persamaan garis melalui dua titik A (x1, y1) dan B (x2, y2) dapat dicari dengan
langkah sebagai berikut :
Persamaan garis melalui titik A (x1, y1) dengan memisalkan gradiennya m
adalah
y y1 = m (x x1) .............................. (i)
karena garis ini juga melalui titik B (x2, y2), maka y2 y1 = m (x2
x1), sehingga
diperoleh gradiennya
m
y2
x2
y1
x1
persamaan (ii) disubstitusikan ke persamaan (i) diperoleh
y
y2
y1
y1
x x1
x 2 x1
Jadi persamaan garis melalui dua titik A (x1, y1) dan B (x2, y2) adalah
y
y2
y1
y1
x x1
x 2 x1
d. Menentukan Titik Potong antara Dua Garis
Misalkan dua garis g1 dan g2 saling berpotongan di titik P (x, y) maka nilai x
dan y harus memenuhi kedua persamaan garis tersebut. Titik potong dua
garis dapat dicari dengan metode substitusi, eliminasi, atau membuat sketsa
grafiknya.
e. Hubungan Gradien dari Dua Garis
1) Garis g1 yang bergradien m1 dikatakan sejajar dengan garis g2 yang
bergradien m2 jika memenuhi m1 = m2.
2) Garis g1 yang bergradien m1 dikatakan tegak lurus dengan garis g2 yang
bergradien m2 jika memenuhi m1 . m2
50
4. Fungsi Kuadrat
Definisi
Bentuk umum fungsi kuadrat adalah y = ax2 + bx + c dengan a, b, c
R dan
a
parabola. Jika a > 0, parabola terbuka ke atas sehingga mempunyai titik balik
minimum, dan jika a < 0 parabola terbuka ke bawah sehingga mempunyai titik
balik maksimum.
Langkah-langkah dalam menggambar grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c
a.
y = 0 atau f(x) = 0
Pembuat nol fungsi dari persamaan kuadrat y = ax2 + bx + c diperoleh jika
ax2+ bx + c = 0. Sehingga diperoleh nilai x yang memenuhi ax2 + bx + c = 0.
Nilai ini tidak lain adalah absis titik potong dengan sumbu-x, sedangkan untuk
menentukan titik potong dengan sumbu-y, dapat dilakukan dengan
mensubstitusikan nilai x tadi pada persamaan kuadrat semula.
b. Tentukan sumbu simetri x
b
2a
c. Tentukan titik puncak P (x, y) dengan x
D
b2
b
dan y
2a
D
, dengan nilai
4a
4ac .
Jika ditinjau dari nilai a dan D maka sketsa grafik parabola sebagai berikut :
51
Catatan :
Persamaan Kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat dicari akar-akarnya dengan:
1) Pemfaktoran
2) Melengkapi bentuk kuadrat sempurna
3) Rumus abc : x1.2
b
b2
2a
4 ac
Contoh 4.8
Gambarlah sketsa grafik fungsi y = x2 6x + 5
Penyelesaian :
a. Menentukan
pembuat
nol
fungsi,
dengan
pemfaktoran
diperoleh
x2 6x + 5 = 0
(x 1) (x 5) = 0
x = 1 atau x = 5
b
2a
b. Menentukan sumbu simetri x
6
2(1)
3
c. Menentukan titik puncak P (x, y)
Karena nilai x sudah diperoleh maka tinggal mencari nilai y dengan substitusi
x = 3 pada fungsi semula
y = 32 6 (3) + 5
= 9 18 + 8
= 4
Jadi puncak parabola adalah titik (3, 4) sehingga sketsa grafiknya seperti
pada gambar di bawah ini.
52
E. Rangkuman
1. Pengertian fungsi
Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang
memasangkan setiap elemen dari A secara tunggal, dengan elemen pada B.
2. Sifat-sifat Fungsi
a. Injektif (Satu-satu)
f : A B adalah fungsi injektif apabila a
berakibat f(a
f( ) atau
ekuivalen, jika f(a) = f( ) maka akibatnya a = .
b. Surjektif (Onto)
f adalah suatu fungsi yang memetakan A ke B maka daerah hasil
f(A) dari fungsi f adalah himpunan bagian dari B, atau f(A)
B.
Apabila f(A) = B, yang berarti setiap elemen di B pasti merupakan peta dari
sekurang-kurangnya satu elemen di A maka kita katakan f adalah suatu fungsi
f memetakan A Onto B
c. Bijektif (Korespondensi satu-satu)
f
:
A B
sedemikian
rupa
sehingga
f
merupakan
fungsi
yang injektif dan surjektif sekaligus, maka dikatakan f adalah fungsi yang
A dan B berada dalam korespondensi satu3. Jenis Fungsi
a. Fungsi Konstan
Fungsi f : x
C dengan C konstan disebut fungsi konstan (tetap). Fungsi f
memetakan setiap bilangan real dengan C.
b. Fungsi Identitas
Fungsi R
R yang didefinisikan sebagai f : x
x disebut fungsi identitas.
c. Fungsi Linear
Fungsi pada bilangan real yang didefinisikan f(x) = ax + b, a dan b konstan
dengan a
d. Fungsi Kuadrat
Bentuk umum fungsi kuadrat adalah y = ax2 + bx + c dengan a, b, c
a
R dan
maka sering juga disebut
fungsi parabola. Jika a > 0, parabola terbuka ke atas sehingga mempunyai
titik balik minimum, dan jika a < 0 parabola terbuka ke bawah sehingga
mempunyai titik balik maksimum.
53
4. Beberapa hal penting dalam fungsi linear
a. Gradien
Gradien atau koefisien arah (m) adalah konstanta yang menunjukkan tingkat
kemiringan suatu garis.
m
y
x
y2
x2
y1
x1
f ( x2 )
x2
f ( x1 )
x1
b. Menentukan Persamaan Garis melalui Satu Titik dan gradien m
Persamaan garis melalui titik P (x1, y1), dan bergradien m adalah
y y1 = m (x x1)
c. Menentukan Persamaan Garis melalui Dua Titik
Persamaan garis melalui dua titik A (x1, y1) dan B (x2, y2) adalah
y y1
y 2 y1
x x1
x 2 x1
d. Menentukan Titik Potong antara Dua Garis
Misalkan dua garis g1 dan g2 saling berpotongan di titik P (x, y) maka nilai x
dan y harus memenuhi kedua persamaan garis tersebut. Titik potong dua
garis dapat dicari dengan metode substitusi, eliminasi, atau membuat sketsa
grafiknya
e. Hubungan Gradien dari Dua Garis
1) Garis g1 yang bergradien m1 dikatakan sejajar dengan garis g2 yang
bergradien m2 jika memenuhi m1 = m2.
2) Garis g1 yang bergradien m1 dikatakan tegak lurus dengan garis g2 yang
bergradien m2 jika memenuhi m1 . m2
5. Langkah-langkah dalam menggambar grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c
y = 0 atau f(x) = 0
a.
b
2a
b. Tentukan sumbu simetri x
54
c. Tentukan titik puncak P (x, y) dengan x
nilai D
b2
b
dan y
2a
D
, dengan
4a
4ac
F. Latihan
1. Diantara fungsi-fungsi berikut, manakah yang merupakan fungsi injektif,
surjektif, serta bijektif? Berilah penjelasannya!
55
2. Suatu fungsi f : R R ditentukan oleh f(x) = x2 - 2
a. Tentukan f(-1), f(a), dan f(1).
b. Tentukan a jika f(a) = 23
c. Anggota manakah dari daerah asal yang mempunyai peta 34 ?
3. Manakah yang merupakan fungsi injektif, surjektif, atau bijektif dari fungsi
dengan domain {1, 2, 3, 4}, yang didefinisikan sebagai berikut?
a. R = {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7); jika kodomainnya {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
b. R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 1); jika kodomainnya {1, 2, 3}
c. R = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1); jika kodomainnya {1, 2, 3, 4}
d. R = {(1, 1), (2, 2), (3, 2), (4, 4); jika kodomainnya {1, 2, 3, 4, 5, 6}
4. Tentukan persamaan garis yang melalui :
a. titik M(1, 2) dan N(-1, 6)
b. titik (-2, 3) dan membentuk sudut 45° terhadap sumbu x positif
5. Diketahui gradien garis g adalah ½ . Jika garis tersebut melalui titik A (2, 3) dan
B(k, 6), tentukan nilai k !
6. Tentukan persamaan garis l yang melalui R (3, 1) dan tegak lurus garis AB
dimana titik A (2, 3) dan B (6, 5) !
56
BAB V
MATRIKS
A. Pendahuluan
Matriks dalam matematika digunakan untuk menyatakan bilangan-bilangan ke
dalam jajaran empat persegipanjang, terbentuknya suatu matriks dapat diperoleh
melalui suatu sistem persamaan linier, demikian pula sebaliknya bahwa suatu
sistem persamaan linier dapat diperoleh melalui suatu matriks. Dalam kehidupan
sehari-hari penggunaan matriks dapat mempermudah penyajian suatu data dari
tabel sekaligus operasi-operasi bilangan yang terkandung di dalamnya. Oleh karena
itu, pemahaman mengenai matriks ini sangat penting untuk diperoleh.
Melalui bab ini, mahasiswa diharapkan memahami pengertian matriks, jenisjenis matriks, operasi dan sifat-sifat matriks, determinan, dan invers, serta dapat
menggunakannya dalam pemecahan masalah.
B. Pengertian Matriks
Matriks adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk baris dan kolom yang
membentuk suatu persegipanjang. Penulisan susunan tersebut dibatasi oleh kurung
siku atau kurung biasa. Bilangan-bilangan dalam matriks bisa berupa bilangan real
ataupun bilangan kompleks. Namun dalam buku ini pembahasan matriks hanya
dibatasi pada bilangan real, lihat contoh 5.1.
Contoh 5.1
Suatu matriks ditentukan oleh banyak baris (misal m baris) dan kolom (misal n
kolom), sehingga suatu matriks yang terdiri dari m x n unsur (biasa disebut ordo
mxn). Notasi matriks menggunakan huruf kapital, sementara notasi untuk
menyatakan unsur-unsurnya menggunakan huruf kecil. Seperti contoh 5.2.
Contoh 5.2
Matriks A di atas terdiri dari 3 baris dan 2 kolom yang memiliki 6 unsur,
sedangkan matriks B terdiri dari 1 baris dan 3 kolom.
57
Jika A adalah suatu matriks, maka simbol untuk menyatakan unsur-unsur pada
baris i dan unsur-unsur pada kolom j adalah
. Sehingga matriks A pada contoh
5.2 dapat ditulis dengan
Jadi bentuk umum suatu matriks A yang memiliki unsur-unsur pada baris ke i
dan unsur-unsur pada kolom j adalah
atau
Keterangan:
A
: Matriks A
: Matriks A berordo
: Unsur matriks A pada baris 1 kolom 2
: Unsur matriks A pada baris m kolom n
: Matriks A yang memiliki i baris dan j kolom
dengan i =
C. Jenis-Jenis Matriks
Pada dasarnya jenis suatu matriks tergantung dari ordo dan unsur-unsurnya,
berikut dijelaskan beberapa jenis-jenis matriks.
1.
Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris, matriks ini
disebut juga vektor baris, misal:
2.
Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom, matriks ini
disebut juga vektor kolom, misal:
3.
Matriks nol adalah matriks yang memiliki unsur nol semua, misal:
4.
Matriks negatif adalah matriks yang semua unsurnya dikalikan dengan bilangan
-1 atau semua unsurenya merupakan bilangan negatif.
58
5.
Matriks bujur sangkar adalah matriks yang memiliki ordo mxm atau memiliki
banyak baris dan kolom yang sama, matriks ini disebut juga matriks persegi,
misal:
6.
Matriks diagonal adalah matriks bujur sangkar yang memiliki semua unsur
bilangan di atas dan di bawah diagonal ialah 0, matriks ini disimbolkan dengan
huruf D, misal:
7.
Matriks skalar adalah matriks diagonal yang memiliki unsur bilangan yang sama
pada diagonalnya, misal:
8.
Matriks identitas adalah matriks skalar yang setiap unsur bilangan pada
diagonalnya ialah 1, matriks ini disebut juga matriks satuan, misal:
Suatu matriks apabila dikalikan dengan matriks satuan maka akan kembali
pada dirinya sendiri, misal A.I=I.A=A
9.
Matriks transpose adalah matriks yang diperoleh dengan menukarkan letak
unsur-unsur pada baris menjadi letak unsur-unsur pada kolom, demikian pula
sebaliknya. Simbol untuk menyatakan matriks transpose dari matriks A adalah
misal:
10. Matriks simetris adalah matriks bujur sangkar yang memiliki sifat bahwa
transposenya sama dengan matriks semula, misal
11. Matriks singular adalah matriks bujur sangkar yang memiliki determinan 0 dan
tidak memiliki invers. Sebaliknya apabila matriks bujur sangkar memiliki
determinan
0 dan memiliki invers, maka disebut matriks non-singular.
59
D. Operasi dan Sifat-sifat Matriks
Sebelum membahas mengenai operasi dan sifat-sifat matriks, akan lebih baik
dipahami terlebih dahulu tentang pengertian dari kesamaan matriks bahwa dua
matriks dikatakan sama jika kedua matriks tersebut memiliki ukuran yang sama dan
unsur-unsur yang bersesuaian pada kedua matriks tersebut sama. Perhatikan
contoh 5.3 berikut.
Contoh 5.3
Pada contoh 5.3 matriks A = B karena A dan B memiliki ukuran yang sama dan
unsur-unsur yang bersesuaian pun sama. A
karena meski A dan C memiliki
ukuran yang sama, namun ada unsur bersesuaian yang tidak sama yakni 7 dan 9.
A
karena tidak memiliki ukuran yang sama.
Operasi-operasi pada matriks menyebabkan kekhasan atau sifat-sifat pada
matriks yang dijelaskan sebagai berikut.
1.
Penjumlahan matriks
Jika A dan B adalah sebarang dua matriks yang ukurannya sama, maka A
+ B merupakan matriks yang diperoleh dengan menambahkan unsur-unsur
yang bersesuaian pada A dan B. Dalam hal ini artinya jika dua matriks atau
lebih memiliki ukuran yang berbeda, maka matriks-matriks tersebut tidak
dapat dijumlahkan.
Contoh 5.4
Perhatikan matriks-matriks
Sehingga
Namun A + C atau B + C tidak dapat ditentukan.
Sifat-sifat yang berlaku pada penjumlahan matriks adalah
a. A + B = B + A
(sifat komutatif)
b. A + (B + C) = (A + B) + C
(sifat asosiatif)
c. A + 0 = 0 + A = A
(memiliki matriks identitas yakni matriks 0)
60
2.
Pengurangan matriks
Syarat operasi pengurangan sama dengan operasi penjumlahan yakni
ukuran matriks yang dioperasikan harus sama. Jika A dan B adalah sebarang
dua matriks yang ukurannya sama, maka A - B merupakan matriks yang
diperoleh dengan mengurangkan unsur-unsur yang bersesuaian pada A dengan
B.
Contoh 5.5
Pada contoh 5.5 ini, kita gunakan matriks-matriks pada contoh 5.4
Sehingga
Namun A - C atau B - C tidak dapat ditentukan.
Berbeda dengan sifat-sifat yang berlaku pada penjumlahan matriks,
pada pengurangan matriks tidak berlaku sifat komutatif dan sifat asosiatif.
3.
Perkalian skalar dengan matriks
Jika c adalah suatu skalar dan A adalah suatu matriks A, maka hasil kali
cA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan c pada setiap unsur A.
Contoh 5.6
Perhatikan matriks berikut
Sehingga
Secara intuitif, pada contoh di atas dapat diperoleh informasi bahwa jika
A adalah sebarang matriks maka A menyatakan (-1)A. Serta, jika A dan B
adalah dua matriks yang ukurannya sama, maka A B didefinisikan sebagai A +
(-B) = A + (-1)B.
Sehingga sifat-sifat yang berlaku pada perkalian skalar dengan matriks
adalah
a. (-1)A = -A
b. A + (-B) = A + (-1)B
c. A + (-A) = A A = 0
d.
(sifat komutatif)
61
e.
(sifat distributif)
f.
g.
h.
4.
(sifat asosiatif)
Perkalian matriks dengan matriks
Jika A adalah matriks berordo mxn dan B adalah matriks berordo nxr,
Hasil kali A dan B adalah suatu matriks (misal C) yang memiliki ordo mxr. Setiap
elemen dari C (misal cij) diperoleh dari jumlah hasil kali unsur-unsur baris ke-i
dari A dengan unsur-unsur kolom ke-j dari B.
Dari penjelasan tersebut diketahui bahwa syarat dua matriks dapat
dikalikan adalah banyak kolom matriks pertama harus sama dengan banyak
baris pada matriks kedua, sehingga hasil perkalian tersebut memiliki ordo baru
yakni banyak baris matriks pertama kali banyak kolom matriks kedua.
Contoh 5.7
Perhatikan matriks berikut
Karena A adalah matriks berordo 2x3 dan B adalah matriks berordo 3 x
3, maka hasil perkalian A dan B adalah matriks berordo 2x3 (misal AB=C).
Untuk mendapatkan unsur-unsur C (cij), berikut perhitungannya
c11 =
c12 =
c13 =
c21 =
c22 =
c23 =
sehingga
Hasil kali A dan B di atas menghasilkan C, sekarang yang menjadi
pertanyaan adalah apakah hasil kali B dan A menghasilkan C? dengan kata lain
apakah perkalian matriks dengan matriks bersifat komutatif?. Perhatikan
bahwa B dan A tidak dapat dikalikan karena banyak kolom dari B tidak sama
62
dengan banyak baris dari A. Sehingga perkalian matriks dengan matriks tidak
bersifat komutatif atau
.
Sifat-sifat yang berlaku pada perkalian matriks dengan matriks adalah
sebagai berikut
a.
(sifat asosiatif)
b.
(sifat distributif)
c.
d.
e.
f.
5.
(memiliki matriks identitas)
Perpangkatan matriks
Perpangkatan matriks An dengan n>1, n
bilangan asli hanya dapat
dilakukan jika A adalah matriks bujur sangkar dan unsur-unsur hasil
perpangkatan matriks bukan merupakan perpangkatan dari unsur-unsur A.
Dengan demikian jika A matriks bujur sangkar maka berlaku A² = A.A ; A³=A².A
dan seterusnya.
Contoh 5.8
Diberikan A adalah matriks
Perhatikan bahwa unsur-unsur yang bersesuaian pada
bukan hasil
kuadrat dari unsur-unsur pada A.
E. Determinan
Suatu matriks yang memiliki determinan hanyalah matriks bujur sangkar,
determinan dapat didefinisikan sebagai jumlah semua hasil kali elementer. Yang
dimaksud dengan hasil kali elementer adalah setiap hasil kali n unsur dari matriks
tersebut.
Misal matriks A merupakan matriks bujur sangkar, biasanya fungsi determinan
disimbolkan dengan det, jumlah semua hasil kali elementer dari A disimbolkan det
(A) atau sering juga disimbolkan
, sementara jumlah det (A) merupakan
determinan A.
63
Jika A adalah matriks dengan
Maka determinan A dengan menggunakan hasil kali elementer adalah
Contoh 5.9
Diberikan A adalah matriks
Sehingga
Jika A adalah matriks dengan
Maka determinan A dengan menggunakan hasil kali elementer adalah
Cara menentukan determinan matriks ordo 3x3 di atas sering kali disebut
dengan metode sarrus, metode ini hanya dapat digunakan untuk matriks berordo
3x3. Cara kerja metode ini adalah menempatkan dua kolom pertama dari
determinan awal, lalu menjumlahkan hasil kali unsur pada tiap diagonal dari kiri
atas ke kanan bawah yang dikurangi dengan jumlah hasil kali unsur pada tiap
diagonal dari kiri bawah ke kanan atas.
Contoh 5.10
Diberikan A adalah matriks, tentukan det (A) menggunakan metode sarrus
Determinan matriks berordo 4x4 atau lebih dapat dihitung melalui ekspansi
kofaktor, sebetulnya cara ini dapat digunakan untuk mencari determinan pada
semua matriks bujur sangkar yang memiliki berordo berapapun termasuk ordo 2x2
64
dan 3x3. Namun secara umum, cara seperti pada contoh 5.9 dan contoh 5.10
sebelumnya banyak dipandang lebih mudah dan efektif untuk digunakan.
Sebelum menggunakan ekspansi kofaktor, kita harus memahami terlebih
dahulu minor dan kofaktor suatu matriks. Minor unsur
yang dinotasikan dengan
adalah determinan sub matriks setelah menghilangkan baris ke i dan kolom j
dari A. Sementara itu kofaktor unsur
dinotasikan dengan
adalah bilangan
yang
.
Contoh 5.11
Diberikan
Minor unsur
adalah
Sedangkan kofaktor
adalah
Perhatikan bahwa setiap kali mencari
membedakan nilanya adalah tanda
dan j dari perpangkatan
, maka selalu mencari
atau tanda
dan yang
. Hal ini dikarenakan pangkat i
, oleh karena itu apabila dibuat suatu pola pangkat
bilangan ganjil atau genap sebagai tanda untuk mengisi unsur-unsur pada matriks.
Maka dapat dibuat pola sebagai berikut
Mencari deteminan dengan menggunakan ekspansi kofaktor dilakukan dengan
cara menambahkan setiap hasil kali dari unsur-unsur suatu baris dengan kofaktorkofaktornya. Misal A adalah matriks yang berukuran mxm serta
, maka berlaku
65
dan
(ekspansi kofaktor sepanjang baris i)
dan
(ekspansi kofaktor sepanjang kolom j)
Contoh 5.12
Dengan menggunakan A pada contoh 5.11, hitunglah det(A).
Misal det (A) dicari dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom 3.
Perhatikan bahwa nilai det (A) ini sama dengan nilai det (A) pada contoh 5.10.
Manakah penyelesaian yang lebih mudah dan sederhana? Tentu hal ini diserahkan
pada pembaca untuk memilihnya sebagai suatu strategi. Menurut anda mengapa
pada contoh di atas menggunakan ekspansi kofaktor pada kolom ke 3? Bukan pada
kolom yang lain atau suatu baris?. Andaikan kolom yang dipilih bukan ke-3, maka
perhitungannya akan sedikit lebih lama. Memang strategi dalam memilih ekspansi
kolom atau baris atau
adalah dengan cara
memilih kolom atau baris yang memiliki bilangan nol paling banyak.
F. Invers Matriks
Invers matriks dari A adalah matriks B sehingga AB = BA = I, hal ini berlaku jika
A adalah matriks bujur sangkar dan A dapat dibalik (invertible). Notasi untuk
menyatakan invers matriks A adalah
. Sementara untuk mencari
dapat
menggunakan rumus
,
Keterangan:
adjoin matriks A
diperoleh dari mentranspose matriks kofaktor (matriks yang terbentuk
melalui kofaktor-kofaktor yang bersesuaian)
66
Contoh 5.13
Apabila A adalah matriks berordo 2x2 dan
Bagaimanakah
yang terbentuk.
Sebelum mencari
,
kita cari terlebuh dahulu
,
,
dan
, sehingga matriks kofaktor
Jadi
Maka
Hasil akhir di atas dapat menjadi sebuah rumus praktis yang digunakan untuk
mendapatkan invers suatu matriks yang berordo 2x2.
Contoh 5.14
Dengan menggunakan A pada contoh 5.11, berapakah
Sebelumnya telah diperoleh bahwa
Dengan menggunakan rumus
diperoleh
Sehingga matriks kofaktor
Jadi
67
G. Rangkuman
1. Matriks adalah susunan bilangan-bilangan dalam bentuk baris dan kolom yang
membentuk suatu persegipanjang.
2. Matriks yang terdiri dari m x n unsur (biasa disebut ordo mxn) dengan
menyatakan banyak baris dan n menyatakan banyak kolom.
3. Jika A adalah suatu matriks yang memiliki unsur-unsur pada baris ke i dan unsurunsur pada baris j, maka bentuk umum matriks A dituliskan dengan
atau
Keterangan:
A
: Matriks A
: Matriks A berordo
: Unsur matriks A pada baris 1 kolom 2
: Unsur matriks A pada baris m kolom n
: Matriks A yang memiliki i baris dan j kolom
4. Jenis-jenis matriks diantaranya adalah matriks baris, matriks kolom, matriks nol,
matriks negatif, matriks bujur sangkar, matriks diagonal, matriks skalar, matriks
identitas, matriks transpose, matriks simetris, dan matriks singular.
5. Dua matriks dikatakan sama jika kedua matriks tersebut memiliki ukuran yang
sama dan unsur-unsur yang bersesuaian pada kedua matriks tersebut sama.
6. Operasi Penjumlahan Matriks
Jika A dan B adalah sebarang dua matriks yang ukurannya sama, maka A + B
merupakan matriks yang diperoleh dengan menambahkan unsur-unsur yang
bersesuaian pada A dan B.
7. Sifat-sifat yang berlaku pada penjumlahan matriks adalah
a.
A+B=B+A
(sifat komutatif)
b.
A + (B + C) = (A + B) + C
(sifat asosiatif)
c.
A+0=0+A=A
(memiliki matriks identitas yakni matriks 0)
68
8. Operasi Pengurangan Matriks
Jika A dan B adalah sebarang dua matriks yang ukurannya sama, maka A - B
merupakan matriks yang diperoleh dengan mengurangkan unsur-unsur yang
bersesuaian pada A dengan B.
9. Pada operasi pengurangan tidak berlaku sifat komutatif dan sifat asosiatif.
10. Perkalian skalar dengan matriks
Jika c adalah suatu skalar dan A adalah suatu matriks A, maka hasil kali cA adalah
matriks yang diperoleh dengan mengalikan c pada setiap unsur A.
11. Sifat-sifat yang berlaku pada perkalian skalar dengan matriks adalah
a. (-1)A = -A
b. A + (-B) = A + (-1)B
c. A + (-A) = A A = 0
d.
(sifat komutatif)
e.
(sifat distributif)
f.
g.
h.
(sifat asosiatif)
12. Perkalian matriks dengan matriks
Jika A adalah matriks berordo mxn dan B adalah matriks berordo nxr, Hasil kali A
dan B adalah suatu matriks (misal C) yang memiliki ordo mxr. Setiap elemen dari
C (misal cij) diperoleh dari jumlah hasil kali unsur-unsur baris ke-i dari A dengan
unsur-unsur kolom ke-j dari B.
13. Sifat-sifat yang berlaku pada perkalian matriks dengan matriks adalah
a.
(sifat asosiatif)
b.
(sifat distributif)
c.
d.
e.
f.
(memiliki matriks identitas)
14. Perpangkatan matriks
Jika A matriks bujur sangkar maka berlaku A² = A.A ; A³=A².A dan seterusnya
15. Misal matriks A merupakan matriks bujur sangkar, biasanya fungsi determinan
disimbolkan dengan det, jumlah semua hasil kali elementer dari A disimbolkan
69
det (A) atau sering juga disimbolkan
, sementara jumlah det (A) merupakan
determinan A.
16. Determinan matriks A berordo 2x2, dengan menggunakan hasil kali elementer
adalah
17. Determinan matriks A berordo 3x3, dengan menggunakan hasil kali elementer
(metode sarrus) adalah
18. Minor unsur
yang dinotasikan dengan
adalah determinan sub matriks
setelah menghilangkan baris ke i dan kolom j dari A. Sementara itu kofaktor
unsur
adalah bilangan
yang dinotasikan dengan
19. Misal A adalah matriks yang berukuran mxm serta
.
dan
,
maka berlaku
(ekspansi kofaktor sepanjang baris i)
dan
(ekspansi kofaktor sepanjang kolom j)
20. Invers matriks dari A adalah matriks B sehingga AB = BA = I, hal ini berlaku jika A
adalah matriks bujur sangkar dan A dapat dibalik (invertible). Notasi untuk
menyatakan invers matriks A adalah
. Sementara untuk mencari
dapat
menggunakan rumus
,
Keterangan:
adjoin matriks A
diperoleh dari mentranspose matriks kofaktor (matriks yang terbentuk
melalui kofaktor-kofaktor yang bersesuaian)
70
H. Latihan
1. Diberikan matriks-matriks
Hitunglah
a.
c.
e.
g.
b.
d.
f.
h.
2. Dengan menggunakan skalar
dan matriks-matriks pada nomor 1,
tunjukkan hubungan-hubungan berikut
a.
d.
b.
e.
3. Apabila
merupakan unsur pada baris kolom
baris dan kolom mana
dari matriks , tentukan di
akan muncul pada matriks
?
4. Dengan menggunakan matriks-matriks pada nomor 1, carilah
a.
b.
5. Dengan menggunakan matriks-matriks pada nomor 1, buktikan bahwa
hubungan-hubungan
dan
adalah berikut
benar?. Apakah hubungan tersebut berlaku secara umum untuk sebarang dua
matriks yang berukuran sama?. Jelaskan pendapat anda.
6. Misal
adalah matriks yang dapat dibalik dan invers dari
adalah
Tentukan, matriks
7. Melalui ekspansi kofaktor, hitunglah determinan dari matriks-matriks berikut
8. Identifikasilah matriks dari
71