Persamaan Diverensial

Persamaan Diverensial
Pertemuan 3
Persamaan Diverensial Total
• Persamaan Diferensial (PD) adalah persamaan
yang memuat turunan-turunan / derivatif dari
satu atau lebih peubah (variable) bebas
terhadap satu atau lebih peubah tak bebas
• Secara umum, PD dapat dibedakan (klasifikasi)
menjadi 2, yaitu
1. PD Biasa (Ordinary Differential Equations)
2. PD Parsial (Partial Differential Equations)
1. PD Biasa
• PD Biasa (Ordinary Differential Equations), yaitu
PD yang memuat 1 peubah bebas dan 1 peubah
tak bebas. PD jenis ini dapat dirumuskan
• Contoh :
– Persamaan
– dy/dx+ xy = 0 dan
– d2y/dx2+dy/dx – xy = 0
adalah persamaan diferensial biasa karena variable
tak bebas y hanya bergantung pada variable bebas x
2. PD Parsial
• yaitu PD yang memuat 1 peubah tak bebas
dan lebih dari satu peubah bebas. PD jenis ini
dengan dua peubah bebas dapat dirumuskan
• Contoh :
– Persamaan dz/dy+ dz/dx= 0
adalah persamaan diferensial parisial karena
variable tak bebas z bergantung pada variable
bebas x dan y.
Persamaan diverensial eksak
• Persamaan Diferensial Eksak adalah suatu PD
tingkat satu dan berpangkat satu yang
berbentuk
• Serta jika memenuhi
Contoh
• Jika f adalah suatu fungsi dua peubah
yang mempunyai derivative parsial
tingkat satu yang kontinyu dalam suatu
domain d, maka diferensial total fungsi
f yaitu df didefinisikan oleh
• Misal penyelesain umum PD (i) adalah
F(x, y) = C dengan C adalah konstanta
sebarang, maka
• Sehingga solusi PD Eksak berbentuk F(x, y) = C. Berdasarkan hal tersebut,
dapat dicari solusi PD sebagai berikut :
• NOTE : bentuk ∫x adalah integral terhadap x, dimana y
dipandang sebagai konstanta dan g(y) konstanta integral yang
harus dicari.
• karena g'(y) merupakan fungsi dengan peubah y saja maka
setelah disederhanakan merupakan fungsi dari y atau
konstanta. Dengan kata lain g(y) dapat dicari
• Integralkan kedua ruas terhadap variabel y, diperoleh
Contoh
1. Cari solusi dari PD (x + y) dx + (x – y) dy = 0
Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD
eksak
• Jawab
• Karena
maka PD tesebut adalah PD
eksak,
maka untuk mencari solusinya, kita akan menggunakan
• cari g'(x)
Persamaan Diverensial Tidak Eksak
• Persamaan Diferensial Tidak Eksak adalah
suatu PD tingkat satu dan berpangkat satu
yang berbentuk
• dan memenuhi syarat
• Penyelesaian PD tidak eksak dapat diperoleh
dengan dengan mengalikan PD (i) dengan
suatu fungsi u yang disebut Faktor Integral
(FI), sehingga diperoleh PD eksak yaitu
• karena PD sudah berbentuk eksak, maka
memenuhi
• Secara umum Faktor Integral terdiri dari tiga
kasus yaitu
• (a) FI u sebagai fungsi x saja
– karena u sebagai fungsi x saja, maka
– Oleh karena itu, Rumus Umum Faktor Integral
diatas dapat ditulis
• (b) FI u sebagai fungsi y saja
– karena u sebagai fungsi y saja, maka
– Oleh karena itu, Rumus Umum Faktor Integral
diatas dapat ditulis
• (c) FI u sebagai fungsi x dan y
– misal bentuk peubah x, y = v
– maka FI : u = u(v)
– Jika pers (iii), (iv) dan (v) disubstitusikan ke
RUMUS UMUM FAKTOR INTEGRAL, maka
Contoh
• sehingga diperoleh PD eksak adalah
• Karena PD diatas sudah berbentuk PD eksak,
sehingga untuk mencari solusinya digunakan
Penyelesaian PD Eksak.
• Karena PD diatas sudah berbentuk PD eksak,
sehingga untuk mencari solusinya digunakan
Penyelesaian PD Eksak.
• Karena PD diatas sudah berbentuk PD eksak,
sehingga untuk mencari solusinya digunakan
Penyelesaian PD Eksak.