BAB II

Persamaan Differensial Order Tinggi
1
BAB II
PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDER SATU
A. PERSAMAAN DIFERENSIAL VARIABEL TERPISAH
Pengertian
Persamaan linear order satu
dapat disajikan dalam bentuk
'
f ( x , y , y ) =0
M ( x , y ) dx +N ( x , y ) dy=0
Contoh 2.1.11
dx 3 xy +x
=
dy x− y 3
2
Jika fungsi
fungsi
dari
dapat ditulis sebagai
M (x , y)
x
dan
dan
M ( x , y ) dx +N ( x , y ) dy=0
N (x , y )
funsi
( x− y 3 ) dx−( 3 xy +x 2 ) dy=0
dapat dinyatakan sebagai perkalian
dari
y
saja,
maka
persamaan
disebut persamaan terpisah
Definisi 2.1
Persamaan
M ( x , y ) dx +N ( x , y ) dy=0
dapat dinyatakan oleh persamaan
disebut persamaan (variabel) terpisah jika
dimana
Persamaan Differensial Order Tinggi
2
Contoh 2.1.2
2
2
3
( x +2 x y )dx −( y x +4 x )dy=0
dapat dinyatakan sebagai
merupakan
2
persamaan
terpisah
sebab
3
x (1+2 y )dx−x ( y +4 )dy =0
Contoh 2.1.3
3
2
( x− y )dx−(3 xy +x )dx=0
bukan merupakan persamaan terpisah, sebab
tidak bisa dinyatakan sebagai
f (x )g( y )dx+q ( x )r( y )dy=0
.
Contoh 2.1.4
2
dy 4 x+ xy
=
dx y−x 2 y
sebagai
merupakan persamaan terpisah, sebab dapat dinyatakan
2
2
x (4+ y )dx− y (1−x )dy=0
Persamaan Differensial Order Tinggi
3
Solusi persamaan terpisah
Jika diberikan persamaan terpisah
f (x )g( y )dx+q ( x )r( y )dy=0
, maka
untuk mencari solusi dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:
1) Bagikan persamaan terpisah dengan
diperoleh
f (x)
r ( y)
dx +
dy =0
g (x )
g( y)
g( y)
, dimana
q(x )
q(x )
dan
, sehingga
g( y)
keduanya
tidak nol
2) Integralkan persamaan
F( x )+G( y )=C ,
Dari
C
langkah-langkah
f (x)
r ( y)
dx +
dy =0
g (x )
g( y)
, sehingga diperoleh
merupakan konstanta integrasi.
yang
diberikan,
maka
untuk
mencari
solusi
persamaan terpisah kita mengusahakan agar koefisien dx hanya fungsi
dari x dan koefisien dy hanya fungsi dari y.
Contoh 2.1.5
Tentukan solusi persamaan diferensial
1
dx+ y 2 dy=0
x
Persamaan Differensial Order Tinggi
4
Jawab:
Karena koefisien dx hanya fungsi dari x;
fungsi dari y;
y
1
x
dan koefisien dy hanya
maka langkah 1) ditiadakan. Sehingga kita langsung
2
pada langkah ke-2).
1
∫ x dx+∫ y 2 dy=C
ln
ln
ln
1
|x|+ y 3 =C
3
1
|x|=C− y 3
3
|x|=ln
x=
e
ca−
y3
3
3
c−
y
ln c
3
C
e
y3
3
y3
3
merupakan solusi persamaan terpisah yang diberikan
xe =C
Contoh 2.1.6
Tentukan solusi persamaan diferensial
2
2
x ( y−4 )dx+ y ( x −1)dy=0
jawab:
Persamaan Differensial Order Tinggi
1)
2)
2
;
2
x ( y−4 )dx+ y ( x −1)dy=0
2
( x −1 )( y−4 )
2
y
dy=∫ 0
∫ x 2x−1 dx+∫ y−4
1
1
∫ dx +∫ x2−1 dx+∫ dy+4 ∫ y−4 dy=C
1
1
x+ 2 ln|x−1|− 2 ln|x +1|+ y +4 ln|y−4|=C
1
2
ln|
ln|
x−1
|+4 ln|y−4|=C−x− y
x+1
x−1
|+8 ln|y−4|=2 C−2 x−2 y
x+1
x 1
x 1
ln
8
|y−4| =ln e
2c−2x−2 y
x−1
( y−4 )8 =C1 e−2 x−2 y ,
x+1
( )
ln e 2c =C 1
Contoh 2.1.7
Tentukan solusi masalah nilai awal
Jawab:
1)
2
dy 4 x+ xy
=
dx y−x 2 y
2
dy 4 x+ xy
=
,
dx y−x 2 y
y(2)=1
5
Persamaan Differensial Order Tinggi
2)
x
6
y
∫ 1−x 2 dx−∫ 4+ y 2 dy =∫ 0
misal
u=1−x 2 ,
du
dx
v =4+ y 2
dv
=−2 x
dy
=2 y
1
dv= ydy
2
−1
du=xdx
2
x
y
x
y
∫ 1−x 2 dx−∫ 4+ y 2 dy=∫ 0
∫ 1−x 2 dx−∫ 4+ y 2 dy =C
−1 /2∫
1
u
du−
1
2
∫ 1 v dv=C
−1/2ln u−1/2ln v=C
1
1
2
ln|1−x2|+ 2 ln|4+ y 2|=−C
2
2
ln(1−x )+ln(4+ y )=−2 C
ln|1−x 2|+ln|4+ y 2|=ln e−2 c
(1−x 2 )(4+ y 2 )=C1 ,
C1 =e−2c
Dengan mensubtitusi syarat y(2) = 1, maka C 1 = -15 dan solusi
masalah nilai awalnya
( 1−x 2 )( 4+ y 2 )=−15
Persamaan Differensial Order Tinggi
7
Contoh 2.1.8
Tentukan solusi persamaan
( xy−x ) dx+ ( xy+ y ) dy =0
Jawab:
1)
( xy−x ) dx+ ( xy+ y ) dy =0
:
x ( y −1 ) dx + y ( x+1 ) dy =0
2)
x
( y−1 ) ( x+1 )
y
∫ x+1 dx+ ∫ y−1 dy=∫ 0
x
1
∫ dx− ∫ x+1 dx+ ∫ dy+4 ∫ y−1 dy=C
x−ln|x+1|+ y+ln|y−1|=C
ln e ( x+ y )−ln|x+1|+ln|y−1|=ln C
e( x+ y )( x +1)−1 ( y−1)=C
x y
( y−1 )e e =C ( x+1)
diberikan.
Contoh 2.1.9
merupakan solusi persamaan terpisah yang
Persamaan Differensial Order Tinggi
Tentukan solusi persamaan
'
y +( y −1)cos x=0
Jawab :
1)
'
y +( y −1)cos x=0
dy/dx+( y −1)cos x=0
dy=−( y−1)cos xdx
dy +( y −1)cos xdx=0
2)
:
( y−1 )
1
∫ y−1 dx+∫ cos xdx=∫ 0
ln|y−1|−sin x=C
ln|y−1|=lne
C−sin x
y−1=C1 e−sin x
y=1+Ce
−sin x
Contoh 2.1.10
Tentukan solusi persamaan
Jawab:
1)
y ( 2+ x2 ) y ' =4 x ( 1+2 y 2 )
y ( 2+ x2 ) dy /dx=4 x ( 1+2 y 2 )
y ( 2+ x2 ) y ' =4 x ( 1+2 y 2 )
8
Persamaan Differensial Order Tinggi






y 2  x 2 dy  4 x 1  2 y 2 dx 0 : 2  2 x 2 1  2 y 2
2)
y
9

4x
∫ 1+2 y 2 dy−∫ 2+x 2 dx=∫ 0
1
4
ln ( 1+2 y 2 )−2 ln( 2+ x 2 )=C
4
ln ( 1+2 y 2 )=ln e c +2 ln ( 2+ x 2 )
1
2 1/4
( 1+2 y ) =C 1 (2+ x 2 )2 ,
C1 = ln ec
Latihan
Dalam soal 1 sampai dengan 6, maakah persamaan yang diberikan
merupakan persamaan terpisah.
1.
2.
3.
dy
= y3+ y
dx
dy
=sin( x+ y )
dx
ds s+1
s + =
dt
st
2
4.
5.
6.
dy 3 e x+ y
=
dx x 2 +2
ds
=t ln ( s 2t ) +8 t 2
dt
( xy 2 +3 y 2 ) dy −2 xdx =0
Dalam soal 7 sampai dengan 14 tentukan solusi persamaan yang
diberikan:
Persamaan Differensial Order Tinggi
7.
8.
9.
10.
11.
2
dy x −1
= 2
dx
y
12.
dy 1
=
dx xy 3
13.
dx
=3 xt 2
dt
y '+ ye
cos x
14.
sin x=0
dy sec2 y
=
dx 1+ x 2
dy
= y (2+ sin x )
dx
dy 1− y
x =
dx 3 y
2
2
( x+xy 2 )dx+e x ydy=0
10
Dalam soal 15 sampai dengan 20 tentukan solusi masalah nilai awal.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
'
3
y =x ( 1− y ) ,
dy
=( 1+ y 2 ) tan x ,
dx
2
dy 3 x +4 x+2
=
,
dx
2 y +1
dy
=2 x cos2 y ,
dx
dy
=8 x3 e−2 y ,
dx
dy
= y sin θ ,
dθ
y(0) = 3
y(0) =
√3
y(0) = -1
y(0) =
π /4
y(1) = 0
y(
π
) = -3
B. PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN
Pengertian
Persamaan diferensial linear order satu
dalam bentuk
M ( x, y )dx +N ( x, y )dy =0
(2.2.1)
atau
dy /dx=f ( x , y )
(2.2.2)
'
f (x , y , y )=0
sering ditulis
Persamaan
(2.2.1)
dan
(2.2.2)
dinamakan
persamaan
homogen
f (x , y)=g( y/x )
Contoh 2.2.1
Persamaan
'
y =( 2 x− y ) / ( x+ y )
'
y =( 2 x− y ) / ( x+ y )
dy 2 x− y
=
dx x + y
dy 2 x
y
=
−
dx x + y x + y
y
x
dy
2
=
−
dx
y
y
1+
1+
x
x
dy
y
=g
dx
x
()
Contoh 2.2.2
merupakan persamaan homogen, sebab
jika
dy y 2 +3 xy
=
dx
x2
merupakan persamaan homogen, sebab
dy y 2 +3 xy
=
dx
x2
dy y 2 3 xy
= +
dx x 2 x2
dy y 2
y
=
+3
dx x
x
() ()
dy
y
=g
dx
x
()
Contoh 2.2.3
2
3
3
2
3
3
( xy +x )dy−4 y dx=0
( xy +x )dy−4 y dx=0
3
dy
4y
= 2 3
dx xy + x
4 y3
dy
y3
= 2 3
dx xy x
+
y3 y3
dy
4
=
dx x x
+
y y
3
()
merupakan persamaan homogen, sebab
dy
y
y
=4
+
dx
x
x
3
( )( )
dy
y
=g
dx
x
()
Definisi 2.2
Fungsi
dikatakan homogen derajad n jika
F( x , y)
Contoh 2.2.4
2
F( x , y)
=x + y
2
=
F(tx ,ty )
=
=
derajad 2, sebab
2
2
(tx) +(ty )
t 2 ( x2 + y 2 )
t 2 F ( x, y )
Perhatikan persamaan (2.2.1)
homogen derajad n untuk
M ( x, y)
M ( x , y )dx +N ( x , y )dy =0 .
dan
n
M (tx ,ty )=t M ( x , y )
Bila
1
t= ,
x
maka
y
1n
M (1, )=
M ( x , y)
x
x
()
1
x
−n
y
x
() ( )
M ( x, y)=
M 1,
N ( x, y ),
maka
Jika diasumsikan
Analog
1
N ( x, y )=
x
−n
( ) N (1, xy )
Dari persamaan (2.2.1) diperoleh
M ( x, y)
dy
=−
,
dx
N( x , y)
−n
1
y
−
M 1,
x
x
dy
=
,
dx
1 −n
y
N 1,
x
x
() ( )
() ( )
dy
=−
dx
y
x
( ),
y
N ( 1, )
x
M 1,
dy
y
=g
dx
x
()
Dari sini dapat kita lihat bahwa, persamaan (2.2.1) akan homogen
derajad n jika
M ( x, y)
dan
N ( x, y )
homogen derajad n.
Teorema
Jika diberikan persamaan homogen
mentransformasikan variabel
M ( x , y )dx +N ( x, y )dy =0 .
maka dengan
persamaan homogen menjadi persamaan
Bukti :
Karena
M ( x , y)dx +N ( x , y )dy =0
homogen, maka dapat ditulis sebagai
(2.2.3)
dy
y
=g
dx
x
()
Dengan subtitusi
y
v=
x
atau
y=vx
dy=vdx +xdv
(2.2.4)
(2.2.5)
jika (2.2.4) dan (2.2.5) disubstitusikan ke (2.2.3), maka diperoleh
dy
y
=g
dx
x
()
v+x
dv
y
=g
dx
x
v +x
dv
=g( v )
dx
()
v −g (v )+x
dv
=0
dx
v −g (v )dx +xdv=0
(2.2.6) persamaan (2.2.6)
merupakan persamaan terpisah dalam v dax. Bukti selesai. Jika (2.2.6)
diselesaikan
[v-g(v)]dx + xdv = 0 : x[v – g(v) ]
1
1
∫ x dx +∫ v−g( v) dv=∫ 0
ln x + F(v) = C
ln x + F
y
x
()
= e, dimana
1
∫ v−g (v ) dv=F (v )
Contoh 2.2.5
Tentukan solusi persamaan y’ = (2x – y) / (x + y)
Jawab :
y
x
dy
2
=
−
dx
y
y
1+
1+
x
x
1 n
y
M 1,
x
x
() ( )
( ) N (1, yx )
−
dy
=
dx
1
x
−n
y
(
x)
dy
=−
dx
y
N ( 1, )
x
M 1,
dy
y
=g
dx
x
Dari sini dapat kita lihat bahwa, persamaan (2.2.1) akan homogen derajad n
jika M(x,y) dan N(x,y) homogen derajad n.
Teorema
Bukti:
Karena M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 homogen, maka dapat ditulis sebagai
(2.2.3)
dy
y
=g
dx
x
Dengan substitusi
y
v=
x
atau
(2.2.4)
y=vx
dy = v dx + x dv
(2.2.5)
Jika (2.2.4) dan (2.2.5) disubstitusikan ke (2.2.3), maka diperoleh
dy
y
=g
dx
x
dv
y
=g
dx
x
dv
v +x =g ( v )
dx
dv
v −g ( v ) +x
=0
dx
v +x
( )
(2.2.6)
[ v −g ( v ) ] dx+ xdv =0
Persamaan (2.2.6) merupakan persamaan terpisah dalam v dan x.
Bukti selesai.
Jika (2.2.6) diselesaikan
[ v−g ( v ) ] dx +xdv=0 : x [ v−g ( v ) ]
∫ 1x dx+∫ 1v−g ( v ) =∫ 0
ln x +F ( v )=C
y
1
ln x +F =e ,dim ana∫
dv=F ( v )
x
v−g ( v )
()
Contoh 2.2.5:
Tentukan solusi persamaan y’ = (2x - y)/(x + y)
Jawab:
y
x
dy
2
=
−
dx
y
y
1+
1+
x
x
Dengan mengambil
dy = v dx +x dv
y
v=
x
atau
y=vx
dy 2
v
=
−
dx 1+v 1+v
dv 2−v
v+ x =
dx 1+v
vdx+ xdv 2−v
=
dx
1+v
( vdx+ xdv )( 1+v )=( 2−v ) dx
2
vdx+ xdv+v +xvdv=( 2−v ) dx
( v +v 2 −1+v ) dx + ( xv +x ) dv=0
( v +v 2 −1 ) dx +x ( v+1 ) dv =0 : x ( v 2 +2 v−1 )
dv=∫ 0
∫ 1x dx+∫ v 2+1
v +2 v−1
1
ln x + Ln ( v 2 +2 v−1 )=C
2
2
ln ( v +2 v −1 ) . x 2 =ln e 2c
( v 2 +2 v −1 ) . x 2=C1
y 2 +2 xy −x2 =C
Contoh 2.2.6:
Tentukan solusi persamaan (xy2 + x3)dy – y3dx = 0
Jawab:
(xy2 + x3)dy – y3dx = 0
3
dy
y
= 2 3
dx xy +x
y3
dy y 3
=
dx xy 3 x 3
+
y3 y3
dy 1
=
dx x x 3
+
y y
dy y
y 3
= +
dx x
x
dy
y
=g
hom ogen
dx
x
()
( )( )
()
Substitusi y = vx
v=
y
x
Maka (2.2.7) menjadi
v+x
dv
=v +v 3
dx
dv 3
=v
dx
xdv=v 3 dx
xdv−v 3 dx=0: x ( v 3 )
∫ 1v dv−∫ 1x dx=∫ 0
ln v 3−ln x=C
ln v 3=C+ln x
y 3
=C+ln x
x
y 3 =x 3 ( C+ln x )
x
()
Contoh 2.2.7
Tentukan solusi
dy y
y
= −tan
dx x
x
Jawab:
Subtitusi y = vx
→v=
y
x
dy
dv
=v +x
dx
dx
v +x
dv
=v−tan ( v )
dx
xdv +tan ( v ) dx=0: ( x ) ( tan ( v ) )
dv
dx
∫ tan ( v ) +∫ x =∫ 0
1
∫ sin ( v )
1
dv +∫ dx=C
x
cos ( v )
cos ( v )
1
∫ sin ( v ) dv +∫ x dx=C
lnsin ( v ) +ln x=C
sin
( yx )=Cx
Latihan
Dalam soal 1 sampai dengan 6, manakah yang merupakan persamaan
homogen:
1.
2.
3.
( x− y ) dx+ xdy=0
4.
( xy + y 2 + x 2 ) dx−x 2 dy=0
5.
dy
= y−x−1+ ( x− y +2 ) −1
dx
6.
dy
5
−5 y =− xy 3
dx
2
( 3 t−x−6 ) dt+ ( t+x +2 ) dx=0
sin ( x+ y ) dx =cos ( x+ y ) dy
Dalam soal 7 sampai dengan 16 tentukan solusi persamaan homogen:
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
( 3 x 2− y 2 ) dx+ ( xy−x 3 y−1 ) dy =0
( xy+ y 2 ) dx −x2 dy=0
( y 2 −xy ) dx+ x2 dy=0
dx x 2 +t √ t 2 + x 2
=
dt
tx
dy x 2 − y 2
=
dx 3 xy
( x 2 +2 y 2 ) dx + ( 4 xy− y 2 ) dy=0
( x 2 + y 2 ) dx+2 xydy=0
14.
dy
=
dθ
15.
16.
θ sec
( y θ )+ y
θ
dy y ( ln y−ln x +1 )
=
dx
x
( 3 x− y ) dx−( x+ y ) dy=0
Dalam
soal 17 sampai dengan 20 tentukan solusi
masalah nilai awal:
17.
18.
19.
20.
2
2
( x +3 y ) dx −2 xydy =0,
( 2 x −5 y ) dx + ( 4 x− y )=0
( 3 x 2 +9 xy +5 y 2 ) dx−( 6 x 2+ 4 xy ) dy =0
( xy 2 +x 3 ) dy − y 3 dx=0
y(2)=6
y(1)=4
y(2)=-6
y(1)=1
C. PERSAMAAN DIFFERENSIAL EKSAK DAN FAKTOR INTEGRASI
Persamaan Differensial Eksak
Misalkan f(x,y) = C suatu keluarga lengkungan, maka differensial total
df(x,y) adalah:
∂f
∂f
df ( x, y )= ( x , y ) dx+ ( x, y ) dy=0
∂x
∂y
(2.3.1)
Contoh 2.3.1:
f(x,y) = x3y2 mempunyai differensial total df = 3x2y2 dx + 2x3y dy
Contoh 2.3.2:
f(x,y) = x sin y – y 2 mempunyai differensial total df = sin y dx + (x cos
y – y2) dy
Selanjutnya kita akan membahas persamaan eksak.
Persamaan
diferensial order satu
f(x,y,y’) = 0
dapat dinyatakan sebagai
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
(2.3.2)
Contoh 2.3.3
dy 2
=x −sin 3 x
dx
Dapat disajikan sebagai (x2 – sin 3x) dx – dy = 0
Contoh 2.3.4
2
dy 3 x − y
=
dx
x−1
Dapat disajikan sebagai (y – 3x2) dx + (x - 1) dy = 0
Definisi 2.3
Contoh 2.3.5
3x2y2 dx + 2x3y dy = 0 merupakan persamaan eksak karena ada f(x,y)
= x3y2 mempunyai diferensial total df = 3x2y2 dx + 2x3y dy
Contoh 2.3.6
Sin y dx + (x cos y – y 2)dy merupakan persamaan eksak sebab ada
fungsi f(x,y) = x sin y – y 2 mempunyai diferensial total df(x,y) = sin y dx + (x
cos y – y2) dy
Teorema:
Contoh 2.3.7
Selidikilah apakah persamaan (15x2y2 – y4)dx + (10x2y – 4xy3 + 5y4)dy = 0
eksak!
Jawab :
M(x,y) = 15x2y2 – y4
∂M
=30 x 2 y−4 y 3
∂y
dan
dan
N(x,y) = 10x3y – 4xy3 + 5y4
∂N
=30 x 2 y−4 y 3
∂x
Setelah mengetahui sebuah persamaan eksak atau tidak, permasalahan
selanjutnya bagaimana mencari solusi persamaan yang eksak tersebut?
Adapun langkah-langkah menemukan suatu fungsi f(x,y) solusi PD eksak
yaitu:
1.
dari definisi diferensial total (2.3.1) dan (2.3.2) dapat dilihat
bahwa:
dan
∂f
=M ( x , y )
∂x
2.
∂f
=N ( x, y )
∂y
Integralkan M(x,y) terhadap x dengan y tetap
∂f
dx=M ( x, y ) dx
∂x
f ( x , y ) =∫ M ( x , y ) dx+φ ( y )
Dimana
ϕ ( y)
3.
adalah fungsi sembarang dari y saja
Fungsi f(x,y) dalam langkah ke-2, dideferensialkan parsial
terhadap y dan diperoleh
∂f ∂
dφ
= [∫ M ( x, y ) dx ] +
∂y ∂y
dy
N ( x , y )=∂ ∫ M ( x, y ) dx+φ' ( y )
∂y
φ' ( y )=N (x , y)− ∂ ∫ M (x , y)dy
∂y
φ ( y )=∫ φ' dy
Selanjutnya
4.
Catatan:
φ( y)
disubstitusikan ke f(x,y) dalam langkah ke-2
Dengan demikian diperoleh f(x,y) = C
Dari langkah ke-2 dapat diintegralkan N(x,y) terhadap y dengan x
tetap. Langkah selanjutnya adalah sama hanya peranan x diganti y dan
sebaliknya.
Contoh 2.3.8
Tentukan solusi persamaan diferensial berikut:
(15x2y2 – y4)dx + (10x2y – 4xy3 + 5y4)dy = 0
Jawab:
Dari contoh 2.3.7 di atas, PD ini adalah eksak. Sehingga solusinya dapat
dicari dengan langkah-langkah sebagai berikut:
∂f
=10 x2 y−4 xy 3 +5 y 4 =N ( x, y )
∂y
f (x , y )=∫ ( 10 xy−4 xy 3 +5 y 4 ) dy+φ ( x )
=5 x 2 + y 2 −xy 4 + y 5 +φ ( x )
∂f (x , y )
=15 x 2 y 2− y 4 +φ '( x )
∂x
M=
φ'( x )
∂f
=15 x2 y 2 − y 4 +φ' ( x )
∂x
=0
φ( x)=C0
2
2
4
5
f (x , y )=5 x + y −xy + y +C0 =C 1
=
5 x2 + y 2 −xy 4 + y 5
=C
,C = C1 – C0
Contoh 2.3.9
Tentukan solusi persamaan diferensial xy2 dx + x2y dy = 0
Jawab:
Akan diselidiki keeksakannya.
M(x,y) = xy2
N(x,y) = x2y
∂M
=2xy
∂y
∂N
=2 xy
∂y
Jadi persamaannya eksak.
Langkah-langkah mencari solusinya:
1.
∂F 2
=x y=N ( x, y)
∂y
2. F(x,y) =
∫ x 2 ydy+φ (x )
F(x,y) =
1
2
3.
x 2 y 2 + φ( x )
∂F
=xy 2 +φ1 ( x )
∂x
M =
xy2 =
1
φ ( x)
φ( x)
F(x,y) =
2
1
xy +φ ( x)
2
1
xy +φ ( x)
=0
= C0
+ Co = C1
1
2
2
x y
2
=
= C1 – Co
1
2
2
=
x y
2
2 2
x y =C ,
C = 2(C1 - Co)
Jadi solusi persamaan di atas
2 2
x y =C
Contoh 2.3.10
Diberikan persamaan (x2 + y2) dx + 2xy dy = 0. Tentukan solusinya!
Jawab:
Pertama-tama akan dilihat apakah persamaannya eksak atau bukan.
M = x2 + y2
∂M
=2 y
∂y
N = 2xy
∂N
=2 y
∂x
Jadi persamaan diferensialnya eksak.
Langkah-langkah mencari solusinya:
1.
2.
∂F
=2 xy=N (x , y)
∂y
F( x , y)=∫ 2 xydy+φ( x )
2
F( x , y )=xy +φ( x )
3.
∂F 2 1
= y +φ ( x )
∂x
2
1
M=y +φ ( x)
( x 2+ y 2 )= y 2 + φ1 ( x )
1
φ ( x )=x
2
φ( x )=∫ x 2 dx=
F(x,y) = xy2 +
1
2
x 3 + Co
1
2
= xy2 +
x 3 +Co=C1
= C,
1
2
x
C = C1 – Co
3
xy2 +
Jadi solusinya
=C
1
2
x
3
Contoh 2.3.11
Tentukan solusi persamaan (x2 - y) dx – x dy = 0.
Jawab:
Pertama diuji keeksakannya:
M = x2 – y
N= -x
∂M
=−1
∂y
∂N
=−1
∂x
Berarti persamaan diferensialnya eksak
Langkah-langkah mencari solusinya
1.
2.
∂F
=−x=N ( x , y)
∂y
F( x , y)=∫ −xdy+φ( x )
F( x , y )=−xy+φ (x )
3.
∂F
=− y +φ 1 ( x )
∂x
1
M=− y +φ (x )
2
1
x − y =− y+φ ( x )
1
φ ( x )=x
2
φ( x )=∫ x 2 dx=
1
F( x , y )=−xy +
=−xy +
3
1
3
x3 +Co
x3 +Co=C 1
= C,
1
3
C = C1 – Co
x3
Jadi solusinya
=−xy +
=C
1
3
x
3
Faktor Integrasi
Pada bagian di atas, telah dibahas tentang pengujian keeksakan dari
suatu persamaan dan langkah-langkah kita mencari solusi sebuah persamaan
diferensial eksak. Permasalahan berikutnya bisakah kita membuat persamaan
yang tidak eksak menjadi eksak? Ika bias, bagaimana mengubah persamaan
yang bukan eksak tersebut sehinnga menjadi eksak.
Contoh 2.3.12
Persamaan 2y dx + x dy = 0 tidak eksak. Akan tetapi jika persamaannya
dikalikan dengan x diperoleh 2xy dx + x 2 dy = 0 yang merupakan persamaan
eksak. Buktikan!
Definisi 2.4
Jika persamaan M(x,y) dx N(x,y) dy = 0 adalah persamaan tak eksak, akan tetapi bila
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dikalikan dengan fungsi µ(x,y), sehingga µ(x,y) [M(x,y) dx +
N(x,y) dy] = 0 merupakan persamaan eksak maka fungsi µ(x,y) dinamakan faktor
Pada contoh 2.3.12 di atas, faktor integrasinya x
integrasi.
Jika persamaannya tiddak eksak kemudian dapat dijadikan eksak,
maka solusi persamaan yang tidak eksak sama dengan solusi umum
persamaan yang eksak. Oleh karena itu, kita cukup mencari solusi umum
persamaan eksaknya.
Dalam menentukan faktor integrasi untuk suatu persamaan yang
bukan eksak, ada beberapa ide/petunjuk untuk menentukan faktor integrasi.
Pandang persamaan
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 yang tidak eksak
Akan dicari fungsi µ(x,y) (faktor integrasi) sehingga persamaan µ(x,y) [M(x,y)
dx + N(x,y) dy ] = 0
Menjadi eksak, berarti
Sekarang kita dapat meninjau beberapa kasus:
(i)
Misalkan µ = µ(x) yaitu fungsi dari x saja. Maka
dan
. Sehingga
menjadi
Bila
suatu fungsi dari x
Misalkan
Maka dari
didapat
atau
merupakan faktor integrasinya
(ii) misalkan
Maka
Sehingga
yaitu fungsi dari y saja.
dan
menjadi
Bila
suatu fungsi dari y, misalkan
Dari
, maka
didapat
atau
dy
merupakan faktor integrasinya
Dari (i) dan (ii) terlihat bahwa faktor integrasi
sangat tergantung
dari
menjadi
dimana z dapat merupakan fungsi dari x
Dari x saja, fungsi y saja atau fungsi x dan y.
Pada (i), z merupakan fungsi x saja, yang berakibat α=1 dan β=0. Sedangkan
pada (ii) z merupakan fungsi dari y saja berakibat α=0 dan β=-1. Jadi kita
dapat menentukan nilai dari α dan β.
Contoh 2.3.13
Tentukan faktor integrasi dan solusi persamaan (3-2y) dx + (x 2-1) dy = 0, jika
mempunyai faktor integrasi hanya fungsi dari x.
Jawab:
(3-2y) dx + (x2-1) dy =0
M=3-2y, N=x2-1
(tidak eksak)
,
A = 1, B=-1
egra
yang merupakan faktor integrasi yang dicari
Jika faktor integrasi ini dikalikan ke soal diperoleh
Solusinya dicari sebagai berikut:
Contoh 2.3.14
solusi persamaan (x2+2y)dx-x dy=0
berarti
persamaan
eksak.
α = 1 , β = 0 maka:
(faktor inttegrasi)
Sehingga :
Berarti
Solusinya:
eksak
tidak
Sehingga
Latihan
Dalam soal 1 sampai dengan 7 selidikilah apakah persamaannya eksak atau
tidak. Jika eksak tentukan solusinya.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
dy=0
7.
Dalam soal 8 sampai dengan 16, tentukan solusi masalah nilai:
8.
y(1)=
9.
π
10.
y(0)=1
11.
y(1)=2
12.
y(0)=3
13.
y(0)=
14.
π
/2
15.
y(0)=-1
16.
x(1)=1
17.
y(-1)=2
18.
y(2)=1
19.
Tentukan nilai A agar persamaannya eksak dan tentukan solusi
persamaan eksaknya.
a.
b.
c.
d.
20.
Tentukan fungsi M(x,y) agar persamaan berikut eksak
a.
b.
Dalam soal 19 sampai dengan 23, tentukan faktor integrasinya:
21.
faktor integrasi fungsi dari x
22.
integrasi fungsi dari y
mempunyai
mempunyai faktor
23.
mempunyai faktor
integrasi fungsi dari xy
24.
mempunyai faktor integrasi
fungsi dari x+y
25.
, mempunyai faktor
2
integrasi dari x +y
2
Dalam soal 24 sampai 27, tentukan faktor integrasi dan solusinya
26.
27.
28.
29.
Dalam soal 28 sampai 30, tentukan faktor integrasinya dalam bentuk
30.
31.
32.
D. PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR
Pengertian
Salah satu tipe dari persamaan diferensial order satu yang sering
dipakai dalam aplikasi adalah persamaan linier. Seperti pada bagian
sebelumnya, bahwa persamaan linear order satu dapat disajikan dalam
bentuk
(2.4.1)
Dimana
dan b(x) merupakan fungsi dari x dan
tidak tergantung pada y.
Contoh 2.4.1
merupakan
persamaan
linear
Contoh 2.4.2
bukan persamaan linear.
Jika (2.4.1)dinyatakan dalam bentuk lain, maka persamaan diferensial linear
ditulis sebagai
(2.4.2)
Atau
(2.4.3)
Dimana
merupakan fungsi
yang kontinu pada sebuah interval subset dari R. persamaan (2.4.2) atau
(2.4.3) disebut bentuk standar dari persamaan linear.
Cara mencari solusi persamaan linear dapat dilakukan dengan beberapa
cara, yakni:
1.
Cara Bernaulli
Misalkan solusi (2.4.3) y = uv, dimana u dan v masing-masing fungsi
dari x dan y’ = u’v + uv’. Dengan mensubstitusikan y dan y’ ke (2.4.3),
maka diperoleh
u’v + uv’ + p(x) uv = q(x)
v(u’ + p(x)u) + uv’ = q(x)
Syaratnya ambil u’ + p(x)u = 0 dan uv’ = q(x)
Untuk u’ + p(x)u = 0 didapat
Selanjutnya nilai u di substitusikan ke uv’ = q(x), maka didapat
Sehingga solusi (2.4.3)
y=uv
2.
Cara Lagrange
Cara Lagrange ini dilakukan dengan mengubah persamaan linear
sehingga ruas kanannya sama dengan nol dan mengubah konstanta
(scalar C) menjadi fungsi C(x).
Sekarang kita perhatikan persamaan y’ + p(x)y = q(x)
Ambil y’ + p(x)y= 0. Maka
(2.4.4)
Selanjutnya kita akan mencari fungsi c(x) dari persamaan (2.4.4)
, maka
Jika persamaan ini dideferensial terhadap x, diperoleh
Dari (2.4.4) maka diperoleh
Dengan mensubstitusikan nilai c(x) ke (2.4.4), maka diperoleh solusi
persamaan linear
−∫ p (x)dx
y=e
[∫ e∫
p (x)dx
q(x )dx+K
Contoh 2.4.3
Tentukan solusi persamaan
]
Jawab:
dy 1
− y=x 2 +3 x −2
dx x
Di sini P(x)=
dan Q(x)=
Contoh 2.4.4
Tentukan solusi
Jawab:
dimana P(x)=
Sehingga
dan Q(x)=1
X
3.
Dengan mengubah (2.4.3) menjadi persamaan eksak
Kerena
atau [p(x)y – q(x)]dx+dy=0
belum eksak, (untuk p(x)
) maka perlu kita mencari faktor
integrasinya misalkan u(x). berarti persamaan
[u(x)p(x)y-u(x)q(x)]dx+u(x)dy=0
Merupakan persamaan eksak . dari persamaan diperoleh
dan
Karena eksak maka
Selanjutnya nilai u(x)ini dikalikan ke (2.4.3), maka diperoleh
u(x)
.
Karena
, maka
Dengan mengintegralkan persamaan terakhir terhadap x diperoleh
U(x)y=
Yang merupakan solusi umum dari (2.4.3).
Eksistensi dan ketunggalan solusi (2.4.3) diberikan oleh teorema
berikut.
Misalkan p(x) dan q(x) merupakan fungsi kontinu pada interval (a,b) yang
memuat titik xo. maka untuk sebarang nilai yo, ada dan tunggal solusi y(x) apda
(a,b) untuk masalah nilai awal
Contoh 2.4.5
Tentukan solusi umum persamaan
Jawab:
Dengan mengalikan kedua ruas soal dengan x diperoleh
(*)
Dalam hal ini p(x)=-2/x dan q(x)=x 2 cos x. sehingga di dapat u(x)=exp(
)
u(x)=x-2
Jika (*)dikalikan dengan u(x)=x-2 diperoleh
solusi yang diminta.
Catatan :
Persamaan linear kadang-kadang tidak selalu seperti (2.4.3). akan tetapi bisa
juga berbentuk
Contoh 2.4.6
Tentukan solusi umum persamaan
(*)
Jawab:
Jika diselesaikan dalam
maka diperoleh
dan jelas
tidak linear dalam
y
. Akan tetapi jika kita selesaikan dalam
atau
dx
dy
diperoleh
(**)
dx 3
1
+ x= 2
dy y
y
yang merupakan persamaan linear dalam
. sehingga faktor integrasinya
x
u( y)=exp(∫ p( y) dy )
3
=exp(∫ dy )
y
3
=y
Selanjutnya kita kalikan (**) dengan
y3
u( y)= y
3
, maka diperoleh
dy
+3 y 2 x= y
dx
d
( y 3 x )= y (int egralkan)
dx
2
y
y 3 x= +C
2
1
c
x= + 3
2y y
Contoh 2. 4. 7
Selesaikan persamaan differensial
Jawab :
dx 1−3 xy
= 2
dy
y
dy 1
1
+ y = (1−2 x ) y 4
dx 3
3
dy 1
1
+ y = (1−2 x ) y 4
dx 3
3
bukan persamaan linear dalam y
Untuk mencari solusinya dilakukan dengan substitusi
(*)
1 dy 1 1
+
= (1−2 x)
y 4 dx 3 y3 3
Substitusi
1
−3 dy du
=u
→
=
y3
y 4 dx dx
1 dy
1 du
=−
3 dx
y 4 dx
(**)
Substitusi (**) ke (*), didapat:
1
du
1 1
u

(
1
2
x
)
3dx
3 3
du
u

2
x
1
dx
yang merupakan persamaan linear dalam
dimana
Maka:
P( x )=−1 dan Q( x )=2 x −1
u
P( x ) dx
P( x )
u e∫
=∫ Q( x ) e∫
dx+C
−∫ dx
−∫ dx
ue
=∫ ( 2 x−1) e
dx+C
u e−x =∫ (2 x−1) e−x dx +C
d e−x
=2∫ x e−x −x −∫ e−x dx+ C
−e
=−2∫ x d (e−x )+e−x +C
=−2 x e−x + 2∫ e−x dx+ e−x +C
u e−x =−2 xe− x−2 e−x + e−x +C
u =−2 x−2+1+Ce x
1
=−2 x−1+Ce x
3
y
solusi yang diminta
Latihan
Dalam soal 1 sampai dengan 10 tentukan solusi umum untuk persamaan:
1.
2.
3.
dy y
= +2 x +1
dx x
dy
− y=e 3 x
dx
dr
+r tan α=sec α
dα
4.
y
5.
dx
+2 x=5 y 3
dy
dy
x + 3 y +2 x 2=x 3 +4 x
dx
6.
7.
8.
dy
+3 y=3 x 2 e−3 x
dx
dx x 1
+ =
dt t 2 t 2
4
cos θ dr+(r sin θ−cos θ )dθ=0
9.
( x 2 +1)
10.
dy
+ xy=x
dx
dy 2 −4 x
=x e −4 y
dx
Dalam soal 11 sampai dengan 15 tentukan solusi masalah nilai awal:
11.
12.
13.
14.
15.
dy y
− =xe x
dx x
,
y(1)=e
,
dy
+4 y−e− x=0
dx
dy
sin x + y cos x=x sin x
dx
dr
+r tan α=cos 2 α
dα
dx
−x =sin 2t
dt
y (0 )=4 /3
,
,
y (π /2)=2
y(π /4 )=1
,
x(0)=0
E. SUBSTITUSI DAN TRANSFORMASI
Bila persamaan
M ( x, y )dx +N ( x , y )dy =0
Bukan merupakan persamaan terpisah, homogen, eksak dan linear, maka
kita masih mungkin untuk menstransformasikan persamaan tersebut ke
persamaan yang telah kita kenal sebelumnya. Hal ini didasari oleh
pembahasan pada bagian 2.4, bahwa dengan menggunakan faktor integrasi
kita bisa membawa persamaan linear ke bentuk persamaan eksak. Dalam
bagian ini akan dibahas beberapa persamaan yang bisa ditransformasikan ke
persamaan yang sudah dibahas sebelumnya. Sebelum kita melakukan
substitusi atau transformasi ada beberapa prosedur untuk hal tersebut:
1.
Identifikasikan persamaannya dan tentukan substitusi atau
transformasi yang sesuai
2.
Tulis ulang persamaan awal dalam bentuk variabel baru
3.
Selesaikan persamaan hasil transformasi
4.
Nyatakan solusi dalam bentuk persamaan awalnya.
Persamaan Dengan Koefisien Linear
Bentuk umum persamaannya
(ax +by +c )dx +( px+ qy +r )dy=0
(2.5.1)
a, b, c , p , q dan r∈R
Teorema
Diberikan
persamaan
(ax +by +c )dx +( px+ qy +r )dy=0
,
a, b, c , p , q dan r∈R
1.
Jika
c=r =0
maka persamaan (2.5.1) menjadi
(2.5.2)
(ax +by )dx +( px+qy )dy=0
persamaan homogen
2.
Jika
a b
= =k
p q
maka transformasi
z=ax +by
mengubah
(2.5.1) menjadi PD terpisah
3.
Jika
a b
≠
p q
(2.5.3)
sehingga transformasi berikut akan mengubah persamaan homogen
a. Dengan menggunakan variabel baru
ax +by+c=u
adx +bdy=du
px+ qy+ r=v
pdx+qdy =dv
Jika
|a b |≠0
p q
maka
du
|
dv
dx=
|a
p
b
|
q qdu−bdv
=
b| aq−bp
q
a
|
p
dy=
|a
p
du
|
dv adv −pdu
=
b | aq−bp
q
Substitusi harga
dx
dan
dy
kedalam persamaan (2.5.1) didapat
persamaan homogen.
b. Dengan mengambil bentuk- bentuk
ax +by +c=0
px+qy+r=0
adalah persamaan 2 garis yang berpotongan.
misalkan titik potongnya (h, k) maka substitusi:
x=u+h
y=v+k
dx=du
dy=dv
Contoh 2.5.1
Tentukan solusi persamaan
dy 3 x−2 y +1
=
dx 6 x−4 y +1
Jawab:
(6 x−4 y+1 )dy−(3 x−2 y +1)dx=0
a=0, b=−2, p=6, q=−4
a b 1
= =
p q 2
maka
z=3 x−2 y
dz=3 dx −2dy , dx =1/3(dz +2 dy )
Sehingga diperoleh
(2 z+1)dy −( z+1)1/3(dz+2 dy )=0
(6 z+3 )dy−( z+1 )(dz +2 dy )=0
(6 z+3−2 z−2)dy−( z+1)dz=0
(4 z+1 )dy −( z+1)dz=0
dy−
(yang merupakan persamaan terpisah)
( 4zz+1+1 ) dz=0
1
3
:( 4 z+1)
dz
∫ dy − 4 ∫ dz− 4 ∫ 4 z+1 =0
1 3
y− z− ln ( 4 z+1)=C
4 4
3
4 y−z− ln( 4 z +1)=C 1
4
3
4 y−(3 x−2 y )− ln(4 (3 x−2 y)+1)=C1
4
3
6 y−3 x=C 1 + ln(12 x−8 y +1)
4
1
2 y=C+x + ln (12 x−8 y +1)
4
1
2 y−x+C= ln(12 x−8 y+1)
4
Contoh 2.5.2
Tentukan solusi persamaan
(2 x−4 y−10)dx +(5 x− y−7 )dy=0
(*)
Jawab:
a b
≠
p q
maka menggunakan variabel baru
Misal:
du
|
dv
dx=
2
|
5
u=2 x−4 y−10
v =5 x − y−7
du=2dx−4 dy
dv=5 dx−dy
2
|
5
dy=
2
|
5
−4
|
−1 −du+4 dv
=
−4 18
|
−1
sehingga (*)
u
du
|
dv 2dv−5du
=
−4 18
|
−1
(184 dv−du )+v (182 dv−5 du )=0
u(4 dv−du )+v (2 dv −5 du)=0
(4 u+2 v )dv−(u+5 v )du=0
(**)
(persamaan homogen)
Misal
,
z=u/ v
u=vz
,
du=vdz + zdv
Sehingga (**) menjadi
(4 vz+2 v )dv−(vz+5 v )(vdz+zdv )=0
2
2
2
(4 vz−5 vz+2 v−vz )dv−( v z+5 v )dz=0
2
2
2
(−vz −vz+2 v )dv−(v z+5 v )dz=0
2
2
v (−z −z+2 )dv−v ( z+5)dz=0
2
2
……: v (−z −z+2 )
dv
z +5
− 2
dz=0
v −z −z +2
dv
z+5
∫ v −∫ (−z+1)( z+2) dz=∫ 0
ln v−∫
A
B
dz+∫
dz=C
(−z+1 )
( z+2)
z+5= A( z +2 )+B(−z +1)
Ambil
z=−2⇒ B=1
z=1⇒ A=2
Sehingga diperoleh
ln v−∫
2
1
dz−∫
dz=C
−z+1
z +2
ln v+2 ln(−z +1 )−ln( z +2 )=C
2
c
ln v (−z+1) =ln e ( z +2 )
u 2
u
v − +1 =c 1 +2
v
v
(
) ( )
−u+v 2
u+2 v
v
=c1
v
v
(
) (
)
2
{−(2 x−4 y −10)+( 5 x − y−7 ) } =C1 {(2 x−4 y−10 )+( 5 x− y −7) }
2
(3 x +3 y +3 ) =C 1 (12 x−6 y−24)
2
9( x + y +1) =6 C 1 (2 x− y−4 )
2
C2 =2/3 C 1
( x+ y+1 ) =C1 (2 x− y −4 ),
Persamaan Bernoulli
Definisi
Persamaan differensial dengan bentuk
Jika n = 0
(2.5.2) menjadi
, dan
dy
+P( x ) y=Q( x ) y n
dx
(2.5.2)
yanginterval
merupakan
fungsi kontinu pada
I subsetpersamaan
dari R
dy
+P( x ) y=Q( x )
dx
linear.
n = 1 (2.5.2) menjadi
dy
=[ Q (x )−P( x) ] y
dx
dy
+P( x ) y=Q( x ) y
dx
disebut persamaan variabel terpisah
Teorema
Jika diberikan persamaan differensial
dy
+P( x ) y=Q( x ) y n
dx
(2.5.2)
Bukti:
:
dy
+P( x ) y=Q( x ) y n
dx
y
n
(*)
dy
y
+P( x ) y 1−n =Q( x )
dx
−n
v= y
1−n
,
(**)
y= y ( x)
(***)
dv
dy
y n dv
−n dy
=(1−n ) y
→ =
dx
dx dx (1−n ) dx
Persamaan (**) dan (***) disubstitusikan ke (*), maka diperoleh
−n
y
(
y n dv
+P( x )v=Q( x )
1−n dx
)
( 1−n1 dvdx )+P( x )v=Q( x )
dv
+P (x )v=Q 1 ( x ),
dx 1
dimana
dan
P1 ( x )=(1−n)P ( x )
persamaan linear dalam
v
Contoh 2.5.3
Tentukan solusi
dy
+ y =xy 3
dx
dan
x
Q1 ( x )=(1−n)Q( x )
. Bukti selesai .
yang
merupakan
Jawab:
n = 3, P(x)= 1, dan Q(x) = x
Substitusikan
v= y
Sehingga soal
2
y3
−2
=y
atau
dv
dy
=−2 y−3
dx
dx
−1
1−3
dy −1 3 dv
=
y
dx
2 dx
menjadi
dy
+ y =xy 3
dx
dv
+ y =xy 3
dx
dv
−2 y −2 =−2 x
dx
dv
−2 v=−2 x
dx
, yang merupakan persamaan differensial linear dengan
dan
P( x )=−2
Q( x )=−2 x
Sehingga solusinya
−∫ P ( x ) dx
v =e
[∫ Q( x )e∫
P( x )dx
dx+C
]
v =e 2 x [∫ (−2 x )e−2 x dx +C ]
v =−2 e 2 x [∫ xe−2 x dx +C ]
Dengan menggunakan integral parsial untuk
1
1
v =−2 e 2 x − xe−2 x − e−2 x +C
2
4
(
1
v =x+ −2 Ce2 x
2
)
∫ x e−2 x dx
maka diperoleh
1
1
=x+
−2 Ce2 x
2
2
y
2
2
2
2x
2 xy + y −4 y Ce =2
Contoh 2.5.4
Tentukan solusi
dy
− y=e−x y 2
dx
Jawab
−x
n=2, P( x )=−1 dan Q( x )=e
Substitusikan
−1
=y
atau
dv
dy
=−y −2
dx
dx
−v−2
v= y
1−2
maka diperoleh
dy
dv
=−y 2
dx
dx
dan
persamaan
soal
menjadi
linear
dengan
dv
−1
−v=e −x v
dx
dv
+v=e−x
dx
yang
merupakan
persamaan
differensial
−x
P( x )=1 dan Q( x )=e
Solusinya
−x
v=e (−x+C )
. Dengan mensubstitusikan
maka diperoleh solusi yang diinginkan
x
e
y=
C−x
−1
v= y
,
Latihan
Dalam soal 1 sampai dengan 5, tentukan solusi dari persamaan berikut:
1.
2.
3.
4.
5.
(3 y−7 x+7)dx +(7 y −3 x +3 )dy=0
(2 x−5 y +3 )dx−(2 x+4 y −6 )dy=0
dy 4 x− y +7
=
dx 2 x + y −1
(2 x− y+3 )dx+(4 x−2 y+7 )dy=0
( x+ y−1)dx +( y− x−5)dy=0
Dalam soal 6 sampai dengan 10 tentukan solusi persamaan Bernoulli
6.
7.
8.
9.
10.
dy y x
+ =
dx 2 x y 3
,
dy
− y=e 2 x y 3
dx
dx
x
+tx 3 + =0
dt
t
dr r 2 +2 rθ
=
dθ
θ2
dy 3
+ y x + y=0
dx
y(1)=2
11. Sebuah persamaan Riccati dinyatakan oleh
dy
=p ( x ) y 2 +q( x ) y +r( x )
dx
Jika
u( x)
y=u+
solusi persamaan Riccati, tunjukkan bahwa dengan substitusi
mereduksi persamaan tersebut menjadi linear dalam
1
v
v.