PERSAMAAN PASTI (EXACT EQUATIONS)

1.3 PERSAMAAN PASTI (EXACT EQUATIONS)
Persamaan diferensial orde-pertama
dy
0
(1.15)
dx
dikatakan pasti jika ada suatu fungsi  dengan turunan parsial pertama kontinu sebagai
M ( x, y )  N ( x, y )
 ( x, y )
 ( x, y )
 M ( x, y ) ,
(1.16)
 N ( x, y ) ,
x
y
Hubungan antara fungsi  dan penyelesaian persamaan diferensial itu dijelaskan dalam
teorima berikut.
Teoma 1.1 Jika persamaan diferensial (1.15) adalah pasti dan jika fungsi  mempunyai
sifat-sifat (1.16) maka suatu fungsi f , dengan y  f (x) , penyelesaian dari persamaan
diferensial itu jika dan hanya jika fungsi itu memenuhi persamaan yang bentuknya
 ( x, y )  c
dimana c adalah konstanta.
BUKTI Seandainya fungsi f adalah penyelesaian Persm.(1.15). Jika y  f (x) kita maka
dipunyai
 ( x, y )  ( x, y ) dy

0
x
y dx
atau
d ( x , y )
0
dx
Disini  ( x, y )  c . Sebaliknya, andaikan fungsi (diferensial) f memenuhi persamaan
 ( x, y )  c . Maka dengan diferensial implisit akan dipunyai
 ( x, y )  ( x, y ) dy

0
x
y dx
Atau
M ( x, y )  N ( x, y )
dy
 0,
dx
Fungsi itu merupakan penyelesaian persamaan diferensialnya.
Perhatikan bahwa jika Persm.(1.15) pasti/eksak, maka diferensial total dari  adalah
d 


dx 
dy  M dx  N dy ,
x
y
Sepanjang ada kurva penyelesaian, d  0 , dan penyelesaian itu memenuhi persamaam
yang berbentuk  ( x, y )  c .
Diperlukan suatu kriteria untuk menentukan suatu persamaan eksak atau tidak. Selain itu
juga perlu suatu metode untuk mendapatkan fungsi  ketika persamaan itu eksak.
Berikut ini diasumsikan bahwa fungsi M dan N adalah kontinu bersama dengan turunan
parsial pertamanya dalam suatu daerah.
Andaikan bahwa Persm.(1.15) eksak.
N  
x
Maka ada fungsi  sehingga M  
x
dan
. Karena itu
M
 2

,
y yx
M
 2

,
x xy
Dan karena turunan parsial kedua campuran dari  adalah sama (selama  ,  x ,  y ,  xy ,
dan  yx adalah kontinu), akan dipunyai
M N
,

y
x
(1.17)
Jadi jika persamaan eksak, maka kondisi (1.17) terpenuhi.
Teorima 1.2 Bila M dan N memenuhi kondisi (1.17) dalam daerah segiempat D. Maka
persamaan M  Ny" 0 adalah eksak.
Bukti Bila (x0, y0) sembarang titik tetap dalam D. Kita tentukan fungsi  dari dua
peubah dengan formula
x
y
x0
y0
 ( x, y )   M ( s, y 0 )ds   N ( x, t )dt
(1.18)
Untuk (x,y) dalam D.
Lihat Gambar 1.1.
Kita perlu memverifikasi bahwa
 x  M dan  y  N .
Dengan mendiferensialkan respek terhadap x, didapatkan
 ( x, y )
N ( x, t )
 M ( x, y 0 )  
dt ,
x
x
y0
y
Selama kondisi (1.17) terpenuhi, N ( x, t ) / x  M ( x, t ) / dt . Karena itu
 ( x, y )
M ( x, t )
 M ( x, y 0 )  
dt
x
t
y0
y
 M ( x, y 0 )  M ( x , y )  M ( x, y 0 )
 M ( x, y ).
Dengan cara yang serupa/mirip dapat ditunjukkan (Latihan 1) bahwa  / y  N .
Selama fungsi  itu mempunyai sifar-sifat (1.16) maka persamaan diferensialnya eksak.
Gambar 1.1
Formula (1.18) dapat digunakan untuk mendapatkan suatu fungsi  ketika persamaan
(1.15) adalah eksak. Akan tetapi, fungsi itu biasanya dapat diperoleh dengan cara
prosedur lebih sederhana tanpa harus menghafalkan formula itu. Akan diilustrasikan
metode itu dengan contoh.
Contoh 1. Persamaan
3x 2  2 y 2  (1  4 xy)
dy
0
dx
(1.19)
Adalah eksak, selama
M ( x, y)  3x 2  2 y 2 ,
N ( x, y )  1  4 xy , dan
M ( x, y )
N ( x, y )
 4 y 
y
x
Untuk semua (x,y). Karena dengan Teorima 1.2, ada fungsi  sehingga
 ( x, y )
 ( x, y )
 3x 2  2 y 2 ,
 1  4 xy
x
y
(1.20)
Pengintegrasian dengan respek terhadap x dari hubungan pertama, dapat dilihat bahwa 
berbentuk
 ( x, y)  x 3  2 xy 2  f ( y) ,
(1.21)
Dimana f hanya merupakan fungsi y, selama f ( y ) / x  0 . Harus dipilih f sehingga
kondisi kedua (1.20) terpenuhi. Dibutuhkan bahwa
 ( x, y)
 4 xy  f ' ( y )  1  4 xy
y
Atau
f ' ( y)  1.
Memungkinkan memilih f adalah f(y) = y. Kemudian dari bentuk Persm. (1.21) dapat
dipunyai
 ( x, y)  x 3  2 xy2  y .
Penyelesaian Persm.(1.19) adalah fungsi diferensial yang memenuhi persamaan dalam
bentuk
x 3  2 xy 2  y  c .
Jika persamaan M  Ny' 0 adalah tidak eksak, mungkin dapat dibuat eksak dengan
mengalikannya dengan suatu fungsi. Barangkali fungsi itu adalah  sehingga
 ( x , y ) M ( x , y )   ( x , y ) N ( x, y ) y '  0
Adalah suatu persamaan eksak. Jika fungsi  itu ada, maka fungsi itu disebut faktor
integrasi untuk persamaan asli.
Contoh 2. Persamaan
( xy 2  4 x 2 y)  (3x 2 y  4 x 2 ) y'  0
(1.22)
Adalah persamaan eksak, selama
N ( x, y )
M ( x, y )
 6 xy  12 x 2 .
 2 xy  4 x 2 ,
x
y
Jika ada suatu faktor integrasi berbentuk  ( x, y)  x m y n . (Mungkin bentuknya tidak
seperti itu.) Kalikan persamaan dengan x m y n , maka akan dipunyai
Maka
M ( x, y )
 (n  2) x m1 y n 1  4(n  1) x m 2 y n ,
y
N ( x, y )
 3(m  2) x m 1 y n 1  4(m  3) x m  2 y n ,
x
Dengan membandingkan suku dengan eksponen yang sama dalam dua besaran itu, maka
dapat dilihat bahwa besaran itu sama jika
n  2  3(m  2),
4(n  1)  4(m  3)
Ini merupakan suatu sistem dua persamaan untuk m dan n. Didapatkan bahwa m=-1 dan
n=1. Konsekuensi dari faktor integrasi adalah  ( x, y )  y / x . Dengan mengalikan
persamaan asli dengan faktor integrasi ini, maka diperoleh
( y 2  4 xy 2 )  (3xy 2  4 x 2 y) y'  0
Dengan cara yang sama deperti contoh sebelumnya, maka didapat penyelesaian
persamaan adalah
xy3  2 x 2 y 2  c