ma1201 matematika 2a - FMIPA Personal Blogs

MA1201 MATEMATIKA 2A
MA1201 MATEMATIKA 2A
Hendra Gunawan
Semester II, 2013/2014
Semester
II, 2013/2014
5 Maret 2014
Kuliah yang Lalu
yang Lalu
10.1‐2 Parabola, Elips, dan
0.
a abo a, ps, da Hiperbola
pe bo a
10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang
10.5 Sistem Koordinat Polar
10.5 Sistem
11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R3
11 2‐4
11.2
4 Vektor, Hasilkali
Vektor Hasilkali Titik, Hasilkali
Titik Hasilkali Silang
11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang
Kurva
11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang
11.8 Permukaan di Ruang
11.8 Permukaan
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
2
Kuliah Hari Ini
10.1‐2 Parabola, Elips, dan
0.
a abo a, ps, da Hiperbola
pe bo a
10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang
10.5 Sistem Koordinat Polar
10.5 Sistem
11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R3
11.2‐4
11.2
4 Vektor, Hasilkali
Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali
Titik, Hasilkali Silang
11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang
Kurva
11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang
11.8 Permukaan di Ruang
11.8 Permukaan
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
3
MA1201 MATEMATIKA 2A
11.1 SISTEM
11.1
SISTEM KOORDINAT
CARTESIUS DI R3
• Memahami sistem koordinat Cartesius
di R3
• Mengenali dan menggambar grafik per‐
per
samaan di R3
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
4
Apa yang Akan
yang Akan Dipelajari
Kelak kita akan membahas vektor di bidang
(R2) dan di ruang (R3), dan setelah itu kita
akan membahas pula fungsi bernilai vektor.
Sistem koordinat Cartesius (dan polar) di R2 telah kita pelajari dengan baik.
Sekarangg kita akan mempelajari
p j sistem
koordinat Cartesius di R3.
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
5
Sistem Koordinat Cartesius di R3
Sistem Koordinat Cartesius
di R3 terdiri dari 3 sumbu
yang saling tegak lurus dan
berpotongan di titik O, yang kemudian disebut sebagai
titik asal. Ketiga sumbu tsb
biasanya disebut sebagai
sumbu‐x, sumbu‐y, dan
sumbu‐z, dan membagi
ruang menjadi 8 oktan.
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
z (pos)
(p )
O
y (pos)
x (pos.)
6
Sistem Koordinat Cartesius di R3
Setiap titik P di R3 dinyata‐
kan sebagai koordinat
P(x,y,z), seperti pd gambar.
Jarak antara 2 titik P(x1,y1,z1) dan Q(x2,y2,z2) diberikan
) diberikan
oleh rumus|PQ| = z
P
O
( x2  x1 )  ( y2  y1 )  ( z2  z1 ) .
2
2
2
y
x
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
7
Persamaan Bola, Bidang, dan
Bola, Bidang, dan Garis
1. Persamaan bola yang berpusat di P(a,b,c) dan
berjari‐jari R adalah
( x  a )  ( y  b)  ( z  c )  R .
2. Persamaan umum bidang di R3 adalah
2
2
2
2
Ax  By
A
B  Cz
C  D, A  B  C  0.
3. Persamaan x  a y  b z  c


p
q
r
menyatakan
e yata a ga
gariss lurus
u us ya
yang melalui
g e a u T(a,b,c) (a,b,c)
dan searah dengan vektor (p,q,r).
2
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
2
2
8
Contoh: Menggambar Bidang di R3
Contoh: Menggambar
Gambarlah bidang yang memiliki persamaan
z
x  2 y  3 z  6.
R
Jawab: Bidang melalui
titik
i ik P(6,0,0), Q(0,3,0), P(6 0 0) Q(0 3 0)
dan R(0,0,2).
Q
O
y
P
x
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
9
Soal
Gambarlah bidang di R3 yg memiliki persamaan
2 x  3 z  12.
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
10
MA1201 MATEMATIKA 2A
11.2 4 VEKTOR, HASILKALI
11.2‐4
VEKTOR, HASILKALI TITIK, TITIK,
DAN HASILKALI SILANG
• Memahami sifat‐sifat
sifat sifat vektor di R2 dan R3
• Menghitung jumlah dua vektor, hasilkali
vektor dengan skalar, dan
skalar dan besar vektor
• Menghitung hasilkali titik dan hasilkali
silang dua vektor, dan
vektor dan mengetahui sifat‐
sifat
sifatnya
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
11
Apa dan Mengapa Vektor
Kuantitas panjang, massa, dan
panjang, massa, dan waktu
merupakan skalar, yang dapat dinyatakan
dengan sebuah bilangan.
Kuantitas fisis lainnya seperti kecepatan dan
gaya tidak hanya mempunyai panjang atau
besar (magnitude) tetapi juga arah. Besaran atau kuantitas tsb dikenal sebagai
vektor. Pemahaman tentang vektor juga
diperlukan untuk mempelajari fungsi dengan
b
banyak
k peubah. b h
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
12
Vektor: Pendekatan Geometri
Vektor: Pendekatan
Secara geometri, vektor
geometri, vektor dinyatakan sebagai anak
panah, yang mempunyai titik awal (ekor) dan
titik akhir (kepala), dan dituliskan dengan huruf
tebal misalnya u atau v.
kepala
u
v
ekor
Dua vektor dikatakan sama atau setara apabila
kedua vektor tsb mempunyai panjang dan arah
yang sama. Sbg contoh, u dan v di atas setara.
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
13
Penjumlahan Dua Vektor
Diberikan dua vektor, kita
vektor kita dapat menghitung
jumlahnya dengan dua cara:
u
u
v
u + v
u + v
v
Cara Segitiga
Cara Jajargenjang
Cara
Jajargenjang
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
14
Perkalian dengan Skalar
Kita juga dapat mengalikan vektor dgn skalar:
Kita juga
u
2u
Selisih dua vektor, u
vektor u – v, dimaknai
v dimaknai sebagai
hasil operasi u + (‐1)v.
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
15
Vektor: Pendekatan Aljabar
Vektor: Pendekatan
Di R
Di
R2: vektor
: vektor u dinyatakan
sebagai pasangan terurut
(u1,u
u2). [Dalam
) [Dalam hal ini, ekor
ini ekor
vektor u adalah O(0,0) dan
kepalanya adalah (u1,u
u2).]
)]
Di R
Di
R3: vektor
k u dinyatakan
di
k
sebagai tripel (u1,u2,u3).
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
(u1,u2)
O
(u1,u2,u3)
O
16
Perkalian dengan Skalar dan
Penjumlahan
l h
Di R
Di
R2: Jika
: Jika u = (u
(u1,u2), v
), v = (v
(v1,v2), dan
), dan c c R, maka
R, maka
c u := (cu1,cu2)
u + v
+ v := (u
:= (u1+v1,u
u2+v2)
Di R
Di
R3: Jika
Jik u = (u
( 1,u2,u3), v
) = (v
( 1,v2,v3), dan
) d c R, R
maka
c u := (cu
( 1,cu2,cu3)
u + v := (u1+v1,u2+v2,u3+v3)
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
17
Vektor Basis
Di R
Di
R2: vektor
: vektor i = (1,0) dan
= (1 0) dan j = (0,1) disebut
= (0 1) disebut
sebagai vektor basis (baku). Vektor u dapat
dituliskan sebagai
u = (u1,u2) = u1i + u2j.
Di R3: vektor i = (1,0,0), j = (0,1,0), dan k = (0,0,1) merupakan vektor basis (baku).
( 1,,u2,,u3)) = u1i + u2jj + u3k.
u = (u
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
18
Besar atau Panjang Vektor
Di R2:
Di R
u 
Di R
i 3: u 
u u .
2
1
2
2
u12  u 22  u 32 .
Catatan. Vektor yang panjangnya sama dengan 1 disebut vektor satuan. 3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
19
Teorema (Sifat Aljabar Vektor)
1.
1
2.
3
3.
4.
u + v
+ v = v
= v + u
+u
(u + v) + w = u + (v + w)
u + 0
0 = 0
0 + u = u
u + (‐u) = 0
5. a(bu) = (ab)u
5
a(bu) = (ab)u
6. a(u + v) = au + av
7. (a + b)u = au + bu
( b)
b
8. 1u = u
9 au  a  u .
9.
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
20
Hasilkali Titik
Di R
Di
R2: u  v : u1v1  u 2 v 2 .
Di R
i 3: u  v : u1v1  u 2 v 2  u 3 v 3 .
Catatan: u  u  u .
2
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
21
Sifat Hasilkali Titik
1 u v  v u
1.
2 u  (v  w )  u  v  u  w
2.
3. c ( u  v )  ( c u )  v
4. 0  v  0
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
22
Teorema
Jika θ adalah sudut tak negatif antara dua vektor
tak nol u dan v, maka
u  v  u  v cos  .
Definisi: Dua vektor u dan v tegak lurus jika dan
hanya jika u  v  0 .
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
23
Hasilkali Silang di R3
Definisi: Hasilkali
Definisi:
Hasilkali silang antara u dan v adalah
u x v := (u2v3 – u3v2, u3v1 – u1v3, u1v2 – u2v1)
i
j
k
 u1
u2
u3 .
v1
v2
v3
Dapat diperiksa bahwa u x v = –(v x u). 3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
24
Sifat Hasilkali Silang
1 u  ( u  v )  0  v  ( u  v ).
1.
)
yakni u x v tegak lurus pada u dan v. 2. u, v, dan u x v membentuk tripel tangan
kanan.
3. u  v  u  v sin  .
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
25
Sifat Hasilkali Silang
1 u  (v  w )  u  v  u  w .
1. )
2 k ( u  v )  ( k u )  v  u  ( k v ).
2. 3. ( u  v )  w  u  ( v  w ).
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
26
Soal
Buktikan bahwa: i
bahwa: i x j
x j = k, j
= k j x k
x k = i, k
= i k x i
x i = j. =j
3/7/2014
(c) Hendra Gunawan
27