Bab 1 Vektor

BAB 1
BESARAN VEKTOR
TUJUAN PEMBELAJARAN
1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem
koordinat cartesius
2. Menjumlahan vektor secara grafis dan matematis
3. Melakukan perkalian vektor dengan besaran skalar dan vektor lain
Mempelajari fisika secara utuh dan mendalam tidak bisa dilakukan
tanpa memahami aturan-aturan pengoperasian vektor. Sebagaimana telah
dipelajari di sekolah menengah, sebagian besaran hanya dinyatakan
dengan nilai (magnitude) dan satuan saja, sementara sebagian besaran
lainnya dinyatakan dengan nilai, satuan, dan juga arah. Besaran-besaran
jenis pertama dinamakan besaran skalar sedangkan besaran-besaran jenis
kedua dinamakan besaran vektor. Contoh dari besaran skalar adalah
jarak, kelajuan, massa, suhu, waktu, tekanan, usaha, dan energi. Sebagai
contoh misalnya waktu, kita cukup mengatakan satu menit, satu jam, atau
satu hari untuk menyatakan selang waktu tertentu. Adapun contoh dari
besaran vektor adalah perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya,
momentum, impuls, dan momen gaya (torsi). Perpindahan misalnya,
ketika seorang siswa mengikuti latihan baris-berbaris, lalu ada instruksi
dari pelatihnya untuk melangkah beberapa langkah tanpa menyebutkan
arah, maka siswa tersebut kemungkinan besar akan kebingungan. Ke arah
mana dia harus melangkah? Ke kanan, ke kiri, ke depan, ataukah ke
belakang? Oleh karena itu, besaran perpindahan memerlukan arah
sehingga merupakan jenis besaran vektor.
A. Representasi Besaran Vektor
Besaran vektor biasanya dilambangkan dengan huruf kapital dan
dicetak tebal atau bisa juga huruf biasa (tidak tebal) namun dengan anak
panah diatasnya. Pada buku ini, besaran vektor ditandai dengan huruf
(kapital atau tidak) yang tegak dan dicetak tebal. Secara geometris, vektor
Bab 1 Besaran Vektor
2
direpresentasikan dengan anak panah. Arah anak panah menyatakan arah
vektor dan panjangnya menyatakan nilai vektor.
B
A
Gambar 1. Vektor perpindahan seekor semut pada selang waktu tertentu
Sebagai contoh, pada Gambar 1 ditampilkan lintasan gerak seekor
semut dalam selang waktu tertentu. Mula-mula semut itu berada di titik A
lalu bergerak dengan lintasan yang ditunjukkan oleh garis putus-putus
dan akhirnya sampai pada titik B. Besar perpindahan yang dialami semut
adalah sama dengan panjang garis lurus yang menghubungkan titik A
dengan titik B, dan arah perpindahannya adalah dari titik A menuju titik
B. Perpindahan semut itu secara grafis diwakilkan oleh anak panah
dengan pangkal berada pada titik A dan kepala berada pada titik B. Anak
panah ini selanjutnya disebut sebagai vektor perpindahan semut.
Selanjutnya pada Gambar 2 diberikan contoh dua buah vektor
berbeda yang diberi nama vektor
dan vektor .
A2
A1
(a)
(b)
Gambar 2. Contoh dua buah vektor dengan nilai dan arah yang berbeda
(a) Vektor
(b) Vektor
Vektor
memiliki nilai dan arah. Nilainya disimbolkan dengan
atau | |, yang mana secara geometri direpresentasikan oleh panjang
anak panah. Arah vektor
adalah ke kanan atau membentuk sudut 0
terhadap horizontal. Sementara itu, vektor
memiliki nilai
atau | |
dan arah
terhadap horizontal. Tampak bahwa nilai vektor
lebih
besar daripada nilai vektor .
Bab 1 Besaran Vektor
3
Suatu vektor lebih mudah dianalisis jika digambarkan pada sistem
koordinat cartesian, seperti vektor pada Gambar 3 (a) dan vektor
pada Gambar 3 (b). Vektor-vektor tersebut dapat diuraikan pada tiap-tiap
sumbu koordinat. Penguraian vektor pada suatu sumbu koordinat
dilakukan dengan memproyeksikan vektor pada sumbu tersebut. Vektor
dalam koordinat dua dimensi dapat diurai menjadi dua vektor komponen,
vektor komponen
pada sumbu x dan vektor komponen
pada sumbu
y. Sementara Vektor yang berada pada koordinat tiga dimensi dapat
diurai menjadi tiga vektor komponen, ,
and
secara berturut-turut
adalah vektor komponen
(a)
sumbu x, sumbu y, dan sumbu z.
(b)
Gambar 3. Vektor dalam koordinat cartesian dan penguraiannya
Pada Gambar 3 (a), vektor S diuraikan menjadi dua vektor
komponennya, maka jumlah kedua vektor komponen tersebut sama
dengan vektor S,
=
+
dengan
= vektor komponen dari vektor S pada sumbu x
= vektor komponen dari vektor S pada sumbu y
Berdasarkan gambar, nilai vektor
yaitu
dengan nilai-nilai dari vektor komponennya,
menggunakan teorema pitagoras, yaitu
=
dengan
+
dapat dinyatakan
dan
dengan
Bab 1 Besaran Vektor
4
= nilai vektor
= nilai vektor komponen
= nilai vektor komponen
Sementara itu, vektor T pada Gambar 3 (b) terurai pada tiga
sumbu, maka hubungan yang berlaku adalah
=
+
+
dengan
= vektor komponen T pada sumbu x
= vektor komponen T pada sumbu y
= vektor komponen T pada sumbu z
Nilai vektor T, yaitu
jika dinyatakan dalam nilai-nilai vektor
komponennya yaitu
,
, and
dengan menggunakan teorema
pitagoras, diperoleh
=
+
+
dengan
= nilai vektor T
= nilai vektor komponen
= nilai vektor komponen
= nilai vektor komponen
B. Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor tak berdimensi yang memiliki nilai
sama dengan satu. Vektor satuan dilambangkan dengan huruf yang
dicetak tebal dan diberi tanda “topi” di atasnya. Oleh karena tidak
memiliki dimensi maka vektor satuan bukan lah vektor dalam arti yang
sebenarnya, ia hanya membawa informasi arah saja.
Pada sistem koordinat cartesian, didefinisikan vektor satuan pada
$
masing-masing sumbu. Vektor-vektor satuan tersebut adalah ̂, "̂, dan #
yang secara berturut-turut mengarah pada sumbu x positif, sumbu y
positif, dan sumbu z positif, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.
Bab 1 Besaran Vektor
5
Dengan adanya definisi vektor satuan
$ maka sembarang vektor dalam
̂, "̂, dan #
koordinat cartesian dapat dinyatakan
menggunakan vektor-vektor satuan tersebut.
Vektor S dan T pada Gambar 3 sebelumnya,
jika dinyatakan dengan vektor satuan maka
menjadi
= S& ̂ + S' "̂
=
̂+
"̂ +
$
#
z
$
#
̂
"̂
y
Gambar 4. Vektor satuan
pada sistem koordinat
cartesian
Selanjutnya, kita juga dapat mencari vektor satuan pada sembarang
arah, misalnya vektor satuan yang searah dengan vektor . Vektor satuan
ini diperoleh dengan membagi vektor
dengan nilainya sendiri, .
Vektor satuan ini dilambangkan dengan (, dan disebut sebagai vektor
satuan dari .
(=
Contoh Soal
Posisi titik A (-6,6) dan titik B (5,2) dalam koordinat cartesius masingmasing dinyatakan oleh vektor ) dan vektor )* .
a) Nyatakan vektor ) dan )* dalam ungkapan vektor satuan adalah ̂, "̂,
$ , serta tentukan vektor-vektor komponennya masing-masing !
dan #
b) Tentukan vektor satuan dari vektor ) dan vektor )*
Penyelesaian
a) Vektor ) = −6 ̂ + 6 "̂,
komponennya adalah
) = −6 ̂, dan ) = 6 "̂
Vektor )* = 5 ̂ + 2 "̂,
komponennya adalah
)* = 5 ̂, )* = 2 "̂
b) Vektor satuan dari )
Bab 1 Besaran Vektor
). =
). =
). =
). =
6
Vektor satuan dari )* :
)*
).* =
/0
5 ̂ + 2 "̂
). =
√5 + 2
5 ̂ + 2 "̂
). =
√29
3 ̂
2 "̂
). =
+
√29 √29
)
45
−6 ̂ + 6 "̂
6(−6) + 6
−6 ̂ + 6 "̂
6√2
− ̂ + "̂
). = −
√2
√
̂
+
"̂
√
C. Penjumlahan Vektor
Penjumlahan vektor hanya dapat dilakukan terhadap besaranbesaran yang sejenis. Penjumlahan vektor dapat dilakukan secara grafis
maupun menggunakan vektor komponen. Penjumlahan vektor secara
grafis dapat dilakukan dengan metode jajargenjang dan metode poligon.
1. Metode Jajargenjang
Vektor A and vektor B pada Gambar 4 merupakan vektor-vektor
sejenis. Penjumlahan kedua vektor dengan metode jajargenjang dilakukan
dengan membuat dua garis putus-putus yang masing-masing sejajar
dengan vektor A dan B. Garis putus-putus yang sejajar dengan vektor A
diletakkan di ujung vektor B, dan garis putus-putus yang sejajar dengan
vektor B, diletakkan di ujung vektor A. Hasilnya, diperoleh bangun jajar
genjang yang dibentuk oleh kedua vektor dan kedua garis putus-putus
tersebut. Resultan dari vektor dan B adalah sebuah vektor yang terletak
pada diagonal jajar genjang tersebut dengan titik pangkal berimpit dengan
titik pangkal kedua vektor (Gambar 5).
:=
9
*
9
+*
*
Gambar 5. Penjumlahan vektor A dan B dengan metode jajargenjang
Bab 1 Besaran Vektor
7
Jika nilai vektor A dan vektor B diketahui serta sudut yang
dibentuk oleh keduanya diketahui maka nilai resultan vektor R dapat
diperoleh dengan menggunakan rumus cosinus, yaitu
;=6
+ < + 2 < cos 9
dengan
= nilai vektor A
< = nilai vektor B
9 = sudut yang dibentuk oleh vektor A dan B
2. Metode Poligon
Penjumlahan vektor dengan metode poligon disebut juga dengan
penjumlahan vektor dengan metode segibanyak. Jika vektor yang
dijumlahkan hanya dua buah maka disebut juga dengan metode segitiga.
Penjumlahan beberapa vektor dengan metode poligon dilakukan dengan
menggeser vektor kedua sehingga pangkal vektor kedua berimpit dengan
ujung vektor pertama. Selanjutnya vektor ketiga digeser posisinya
sehingga pangkalnya berimpit dengan ujung vektor kedua, begitu
seterusnya sampai vektor teraktir. Resultan vektor dari penjumlahan ini
adalah suatu vektor dengan titik pangkal yang berimpit pada pangkal
vektor pertama dan ujung yang berimpit dengan vektor terakhir. Perlu
diketahui bahwa suatu vektor dapat digeser posisinya dengan syarat
panjang dan arahnya tetap sama.
*
*
(a)
:
(b)
:
*
(c)
Gambar 6. Penjumlahan dua vektor
Sebagai contoh, pada Gambar 6 (a) terdapat dua vektor sejenis,
vektor
dan vektor *. Penjumlahan keduanya dilakukan dengan
menggeser vektor B sehingga pangkalnya berimpit dengan ujung vektor
A. Maka vektor resultan :, dimana : = + *, adalah suatu vektor
dengan titik pangkal yang berimpit dengan titik pangkal vektor A dan
Bab 1 Besaran Vektor
8
ujung yang berimpit dengan ujung vektor B, Gambar 6 (b). Hasil yang
sama akan diperoleh jika * + . Pada Gambar 6 (c) terlihat bahwa
: = * + . Dengan demikian, berlaku sifat komutatif pada
penjumlahan vektor, yaitu : = + * = * + .
Lebih lanjut, jika tiga buah vektor dijumlahkan, misalnya vektor
, *, dan C , maka caranya dengan menggeser vektor * agar pangkalnya
berimpit dengan ujung vektor , setelah itu menggeser vektor C agar
pangkalnya berimpit dengan ujung vektor *, seperti yang ditunjukkan
pada Gambar 7. Maka diperoleh resultan vektor, : = + * + C
C
*
*
C
:
Gambar 7. Penjumlahan tiga vektor
3. Metode Vektor Komponen
Sekarang mari kita lihat bagaimana menggunakan metode vektor
komponen untuk menjumlahkan vektor secara matematis. Anggap kita
memiliki dua vektor, dan *, yaitu
=
̂+
"̂
* = < ̂ + < "̂
Jika dijumlahkan maka resultannya adalah
: = +*
̂+
:=D
"̂E + (< ̂ + < "̂)
̂ + < ̂) + ( "̂ + < "̂)
:=(
:=(
+< ) ̂+D
+ < E "̂
Sementara itu, vektor : dapat dinyatakan dengan vektor satuan,
: = ; ̂ + ; "̂
maka diperoleh nilai vektor komponen dari :, yaitu
; =
+<
+<
; =
Bab 1 Besaran Vektor
9
Contoh Soal
Pada gambar di samping, diberikan
tiga vektor gaya. Tentukan resultan
dari ketiga gaya itu menggunakan
metode jajargenjang, poligon, dan
vektor komponen!
Penyelesaian
Penjumlahan dengan metode jajargenjang dan poligon diberikan oleh
gambar berikut.
(a) Metode jajargenjang
(b) Metode poligon
Tampak bahwa resultan vektor yang diperoleh dari kedua metode ini
adalah sama. Jika dinyatakan dalam vektor satuan, resultannya adalah
F: ≡ F + F + FH = 10 ̂ − 2 "̂
Sementara itu, untuk menjumlahkan dengan metode vektor komponen,
terlebih dahulu kita harus menuliskan ketiga vektor dengan ungkapan
$ . Dari gambar diperoleh
vektor satuan ̂, "̂, dan #
F = −4 ̂ + 4"̂ ,
F = 9 ̂ , dan
FH = 5 ̂ − 6"̂
Maka resultan dari ketiga vektor itu adalah
F: = F + F + FH
F: = (−4 ̂ + 4 "̂) + (9 ̂) + (5 ̂ − 6 "̂)
F: = 10 ̂ − 2 "̂
Hasil ini sama dengan yang diperoleh sebelumnya. Namun, metode
vektor komponen lebih mudah digunakan.
Bab 1 Besaran Vektor
10
D. Pengurangan Vektor
Pengurangan vektor adalah penjumlahan suatu vektor dengan
vektor negatif. Jika vektor
dikurangi dengan vektor * maka sama
dengan vektor ditambahkan dengan negatif dari vektor *.
−* =
+ (−*)
Negatif dari vektor * yaitu vektor −* adalah suatu vektor yang
memiliki nilai sama dengan vektor * namun berlawanan arah. Pada
Gambar 8 (a), diberikan vektor , *, dan C. Negatif dari ketiga vektor
tersebut ditunjukkan oleh Gambar 8 (b).
C
−
*
−C
−*
(a)
(b)
Gambar 8. (a) Vektor , *, dan C
(b) Negatif dari vektor , *, dan C
Dengan menggunakan vektor negatif, prosedur pengurangan vektor
secara prinsip sama dengan penambahan vektor. Berikut ini diperlihatkan
hasil dari pengurangan vektor : − *, * − C, dan * − .
−*
*−C
−*
*
(a)
−C
*
(b)
Gambar 9. Pengurangan vektor (a)
−
*−
(c)
−*
(b) * − C
(c) * −
Jika vektor dapat dinyatakan dalam vektor-vektor komponennya,
pengurangan vektor dapat dilakukan secara matematis. Misalnya
=
̂+
"̂
* = < ̂ + < "̂
Maka pengurangan vektor
−* =
̂+
dengan vektor *
"̂ − D< ̂ + < "̂E
Bab 1 Besaran Vektor
̂− < ̂+
−* =
−* = (
−< ) ̂+D
11
"̂ − < "̂
− < E "̂
Contoh Soal
Tentukan hubungan yang benar dari vektor-vektor kecepatan pada tiaptiap gambar berikut!
JH
J
J
(a)
J
JH
J
JH
J
(b)
J
(c)
Penyelesaian
Hubungan vektor dapat dicari dengan menggunakan metode poligon pada
penjumlahan vektor. Pertama menentukan titik acuan, misalnya titik
sudut sebelah kiri bawah segitiga. Setelah itu, tentukan arah putaran,
misalnya jika arah vektor searah dengan arah putaran jarum jam, maka
bernilai positif, dan jika berlawanan arah maka negatif.
Untuk gambar (a)
Untuk gambar (c)
J + (−JH ) + (−J ) = 0
−J + JH + J = 0
J − JH − J = 0
J = J + JH
J + JH = J
Untuk gambar (b)
J + JH + J = 0
J + J + JH = 0
E. Perkalian Vektor
Suatu vektor dapat dikalikan dengan konstanta, besaran skalar, atau
dengan vektor lainnya. Jika vektor dikalikan dengan suatu konstanta
atau besaran skalar positif, misalnya K, maka hasilnya adalah vektor K ,
Bab 1 Besaran Vektor
12
yaitu suatu vektor dengan arah sama dengan vektor dan bernilai K .
Namun jika dikalikan dengan konstanta atau besaran skalar negatif −K,
maka hasilnya adalah vektor – K , suatu vektor yang memiliki arah
berlawanan dengan vektor dan bernilai K .
Sementara itu, perkalian vektor dengan vektor tidak sesederhana
perkalian vektor dengan skalar atau konstanta. Terdapat tiga bentuk
perkalian vektor dengan vektor, perkalian titik (dot product), perkalian
silang (cross product), dan perkalian dyadic (perkalian tensor). Masingmasing memiliki aturannya sendiri. Pada modul ini hanya akan dibahas
dua bentuk perkalian, yaitu perkalian titik, dan perkalian silang. Adapun
perkalian dyadic akan dipelajari pada Mata Kuliah Mekanika.
1. Perkalian Titik
Perkalian titik dua vektor menghasilkan besaran skalar. Perkalian
titik vektor dan vektor * didefinisikan sebagai
∙* =
< NOP 9
dengan 9 adalah sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut.
Interpretasi geometris perkalian titik vektor
dan vektor * adalah
perkalian skalar antara panjang vektor * dengan panjang proyeksi vektor
A pada vektor B (Gambar 8.a), atau perkalian skalar antara panjang
vektor A dengan panjang proyeksi vektor B pada vektor A (Gambar
8.b).
9
0
=
(a)
(a)
cos 9
*
<Q = < cos 9 9
*
(b)
Gambar 8. Interpretasi geometris perkalian titik
∙ * = ( NOP 9) < (b)
∙ * = (< NOP 9)
Jika vektor
dan vektor * dinyatakan dengan dalam vektor
satuan, maka perkalian titiknya diuraikan sebagai berikut
Bab 1 Besaran Vektor
∙* =D
∙* =
∙* =
̂+
13
"̂E ∙ (< ̂ + < "̂)
< ( ̂ ∙ ̂) +
< +
<
< ( ̂ ∙ "̂) +
sedangkan hasil perkalian titik vektor
∙
=D
∙* =
∙* =
∙* =
̂+
"̂E ∙ (
( ̂ ∙ ̂) +
+
̂+
"̂)
( ̂ ∙ "̂) +
< ("̂ ∙ ̂) +
< ("̂ ∙ "̂)
dengan dirinya sendiri, maka
("̂ ∙ ̂) +
("̂ ∙ "̂)
Perkalian titik dapat digunakan untuk menentukan sudut yang
dibentuk oleh kedua vektor, yaitu
cos 9 =
∙*
<
Beberapa sifat-sifat perkalian titik
1.
∙*=*∙
2.
∙ =
$ ∙#
$ = (1)(1) cos 0 = 1
3. ̂ ∙ ̂ = "̂ ∙ "̂ = #
$ = #
$ ∙ ̂ = (1)(1) cos 90T = 0
4. ̂ ∙ "̂ = "̂ ∙ #
5. Vektor and * saling tegak lurus jika ∙ * = U dan
bukan nol
dan *
2. Perkalian Silang
Berbeda dengan perkalian titik, perkalian silang dari dua vektor
menghasilkan besaran vektor yang arahnya tegak lurus terhadap kedua
vektor pembentuknya. Perkalian silang dari vektor
and vektor *
didefinisikan sebagai
X
× * = | × *| W
dengan
| × *| = < sin 9
Bab 1 Besaran Vektor
14
X adalah vektor
dan 9 adalah sudut yang dibentuk oleh kedua vektor, dan W
satuan yang menunjukkan arah dari vektor × *.
Secara geometri, nilai dari perkalian silang dua vektor menyatakan
luas bangun jajargenjang yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut
(Gambar 9).
| × *| → luas bangun jajargenjang yang dibentuk oleh
9
dan *
sin 9
<
Gambar 9. Interpretasi geometris dari | × *|
Terdapat aturan untuk menentukan arah dari × * yang disebut
dengan kaidah tangan kanan (right hand rule). Contohnya, perkalian
silang ̂ dengan "̂, ̂ × "̂ seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 10 (a).
z
$
#
"̂
̂
y
(a)
(b)
Gambar 10. (a) Perkalian silang ̂ × "̂ (b) Aturan tangan kanan
Dari definisi perkalian silang, maka
X
̂ × "̂ = | ̂| |"̂| sin 9 W
X
̂ × "̂ = 1 1 sin 90T W
X
̂ × "̂ = W
X ? Jika kita mengepalkan tangan kanan dengan arah
Kemana arah W
lipatan ke empat jari searah dengan putaran dari ujung vektor ̂ ke ujung
vektor "̂ maka ibu jari akan mengarah ke sumbu z, searah dengan vektor
Bab 1 Besaran Vektor
15
$ . Oleh karena nilai vektor W
$
X sama dengan satu, dan searah dengan #
#
$ . Dengan demikian, maka diperoleh
X=#
maka W
$
̂ × "̂ = #
Beberapa sifat dari perkalian silang:
$ , "̂ × #
$ = ̂, #
$ × ̂ = "̂
1. ̂ × "̂ = #
$, #
$ × "̂ = − ̂, ̂ × #
$ = −"̂
2. "̂ × ̂ = −#
$ ×#
$ = 0 ( karena 9 = 0 )
3. ̂ × ̂ = "̂ × "̂ = #
4.
× * = −* ×
5. Vektor sejajar dengan vektor * jika × * = 0 dan
tidak nol
dan *
Contoh Soal
$ dan vektor \ = 2 ̂ − 2"̂ + #
$,
Diberikan vektor [ = ̂ + 2"̂ + 2#
a. gambar vektor [ dan \ dalam koordinat cartesian
b. tentukan nilai vektor [ dan \
c. tentukan hasil dari [ ∘ \
d. tentukan hasil dari [ × \
e. tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor [ and \
f. tentukan vektor satuan yang tegak lurus terhadap bidang yang
dibentuk oleh vektor [ dan \
Penyelesaian
a. Vektor [ dan \ pada koordinat cartesian ditunjukkan oleh gambar
z
b. Nilai vektor [
^=
^ +^
2
+^
^ = √1 + 2 + 2
^ = √9
^=3
_=
_
1
\
2
2
1
2
b. Nilai vektor \
+_
+_
[
y
Bab 1 Besaran Vektor
16
^ = 62 + (−2) + 1
^ = √9
^=3
c. Hasil dari [ ∘ \
$ E ∙ D2 ̂ − 2"̂ + #
$E
[ ∘ \ = D ̂ + 2"̂ + 2#
[∘\=2−4+2
[∘\=0
d. Hasil dari [ × \
$ E × D2 ̂ − 2"̂ + #
$E
[ × \ = D ̂ + 2"̂ + 2#
$ + 2"̂ × 2 ̂ + 2"̂ × (−2"̂) + 2"̂ × #
$
[ × \ = ̂ × 2 ̂ + ̂ × (−2"̂) + ̂ × #
$ × 2 ̂ + 2#
$ × (−2"̂) + 2#
$ ×#
$
[ × \ = +2#
$ − "̂ − 4#
$ +U+
[ × \ = U − 2#
$
[ × \ = a ̂ + H"̂ − 6#
e. sudut yang dibentuk kedua vektor
sin 9 =
|[ × \|
^_
66 + 3 + (−6)
3×3
√81
sin 9 =
9
sin 9 = 1
maka 9 = 90T
sin 9 =
X, maka
f. misalkan vektor satuannya W
[×\
|[ × \|
$
6 ̂ + 3"̂ − 6#
X=
W
c
2
1
2
$
X = ̂ + "̂ − #
W
3
3
3
X=
W
̂ + `"̂ + ` ̂ + U
Bab 1 Besaran Vektor
17
LATIHAN
1.
Tentukan resultan vektor-vektor berikut dengan menggunakan
metode jajargenjang dan poligon
2.
Tentukan hubungan vektor-vektor pada masing-masing gambar
berikut ini !
B
B
B
A
3.
C
5.
6.
C
A
C
Berikut ini adalah vektor-vektor gaya yang bekerja pada suatu balok.
Uraikan vektor-vektor tersebut pada masing-masing sumbu !
f
4.
A
F
FH
θ
g
F
Vektor ) , ) , dan )H berturut-turut adalah vektor posisi titik (3,4,0),
(0,5,-2), dan (8,0,6). Gambarkan vektor ) , vektor ) , dan vektor )H
dalam sistem koordinat cartesian, dan nyatakan ketiga vektor ini
$
dalam ungkapan vektor satuan ̂, "̂, dan #
Vektor ) adalah vektor posisi dari titik (3,4,-5) dan vektor ) adalah
vektor posisi titik (-5,-2,8).
a. hitung resultan kedua vektor menggunakan metode vektor
komponen!
b. cari jarak yang memisahkan kedua titik secara vektor!
$ dan * = 4 ̂ − 2"̂ − 2#
$ maka
Jika = ̂ − 4"̂ + 6#
a. tunjukkan bahwa ∘ B = * ∘ !
b. tunjukkan bahwa × * ≠ * × !
c. tentukan vektor satuan yang tegak lurus dengan bidang yang
dibentuk oleh kedua vektor!
Bab 1 Besaran Vektor
18
RANGKUMAN
1.
2.
3.
4.
Besaran vektor adalah besaran yang dinyatakan dengan nilai, satuan,
dan arah.
Secara geometris, vektor direpresentasikan dengan anak panah. Arah
anak panah menyatakan arah vektor dan panjangnya menyatakan
nilai vektor.
Penjumlahan vektor dibedakan dalam dua jenis, penjumlahan secara
grafis dan penjumlahan secara matematis. Penjumlahan vektor
secara grafis dapat dilakukan dengan metode jajargenjang dan
metode poligon sedangkan penjumlahan secara matematis dilakukan
dengan metode vektor komponen.
Penjumlahan vektor A and B dengan metode jajargenjang
*
:
*
5.
Penjumlahan vektor dengan metode poligon
*
6.
7.
9.
C
:
Penjumlahan vektor A dengan vektor B menggunakan metode
vektor komponen
+ < dan ; =
+<
: = ; ̂ + ; "̂ dimana ; =
Perkalian titik dua vektor menghasilkan besaran skalar. Perkalian
titik vektor dan vektor * didefinisikan sebagai
∙* =
8.
C
*
< cos 9
Perkalian silang dari vektor and vektor * didefinisikan sebagai
X dan | × *| = < sin 9
× * = < sin 9 W
Aturan untuk menentukan arah dari vektor hasil perkalian silang
menggunakan kaidah tangan kanan (right hand rule). Contoh:
$.
̂ × "̂ = #
Bab 1 Besaran Vektor
19
UJI PEMAHAMAN KONSEP
1.
Berikut ini adalah vektor-vektor dari besaran momentum, vektor
yang memiliki nilai paling besar adalah ...
a.
b.
c.
Apa alasannya ?
2.
Hubungan yang benar dari vektor-vektor berikut adalah ...
a. C = + *
C
b. C = − *
*
c. C = * −
Apa alasannya ?
3.
Hubungan yang benar dari vektor-vektor berikut adalah ...
a. + * − C = 0
b. − * + C = 0
*
C
c. + * + C = 0
Apa alasannya ?
4.
Vektor komponen pada sumbu x dari vektor A adalah ....
y
a. NOP 9 ̂
j
x
5.
6.
b. Phi 9 ̂
c. ̂
Apa alasannya ?
Perhatikan gambar pada Soal no.4! Nilai vektor komponen pada
sumbu y dari vektor A adalah ....
a. NOP 9
b. Phi 9
y
c.
Apa alasannya ?
x
Jika C = × * maka arah dari Vektor C adalah ...
a. ke sumbu y positif
b. ke sumbu x positif
*
z
Bab 1 Besaran Vektor
20
c. ke sumbu x negatif
Apa alasannya ?
7.
Perhatikan gambar dua vektor berikut ini. Hasil dari perkalian titik
kedua vektor tersebut adalah ...
a. 0
b. 11 satuan
c. 30 satuan
Apa alasannya ?
8.
Perhatikan kembali gambar pada Soal no. 7, hasil dari
a. 0
$
b. 11 #
$
c. −30 #
×*=⋯
Apa alasannya ?
9.
Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh kedua vektor berikut ini
a. 120o
b. 135o
c. tidak membentuk sudut
Apa alasannya ?
10. Berikut ini yang bukan vektor satuan yang tegak lurus terhadap
$
bidang datar yang dibentuk oleh vektor [ = − ̂ + "̂ dan \ = − ̂ + #
adalah ...
a.
b.
̂
√H
̂
√H
c. −
+
−
̂
√H
"̂
√H
"̂
√H
−
+
−
"̂
√H
$
#
√H
$
#
√H
−
$
#
√H
Apa alasannya ?