hilbert space in sequence space 2 - e

HILBERT SPACE IN SEQUENCE SPACE  2
Wahidah Alwi
Jurusan Matematika,
Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM
[email protected]
ABSTRACT
The main object of the vectors are the vectors can be added together and
generate a vector, and produces a number is multiplied by another vector.
Any set of objects with properties like this are called "vector space". In this
study aims to assess pre-Hilbert space and Hilbert space in a sequence
Info:
Jurnal MSA Vol. 2 No. 1
Edisi: Januari – Juni 2014
Artikel No.: 5
Halaman: 28 - 34
ISSN: 2355-083X
Prodi Matematika UINAM
space  2 . Based on the purpose of the study, it was found that a vector
space form a pre Hilbert space when equipped with the inner product space.
While a pre-Hilbert space is complete if every Cauchy sequence (xn) in X,
convergent in X called a Hilbert space.
Key Word: vector space, pre-Hilbert and Hilbert space, sequence space
2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Ruang Vektor
1. PENDAHULUAN
Ruang vektor merupakan suatu himpunan obyek
yang dapat dijumlahkan satu sama lain dan
dikalikan dengan suatu bilangan, yang masingmasing menghasilkan anggota lain dalam
himpunan itu. Struktur matematika yang akan
dibahas dalam tulisan ini adalah ruang preHilbert dan ruang Hilbert.
Ruang pre-Hilbert adalah ruang vektor riil atau
kompleks yang dilengkapi dengan inner product.
Sedangkan ruang Hilbert adalah ruang vektor riil
atau kompleks yang dilengkapi dengan hasil kali
dalam (inner product) dan lengkap.
Ruang barisan  2 adalah himpunan semua
barisan bilangan kompleks x = (n) yang
mempunyai jumlah kuadrat mutlak berhingga,

yaitu  2 = {x = (n) :   n
n 1
2
  }. Jika x = (n)
dan y = (n), ditulis x = y bila n = n untuk setiap
n.
Berdasarkan hal tersebut di atas, maka penulis
akan mengkaji ruang pre-Hilbert dan ruang
Hilbert dalam suatu ruang barisan  2 .
.
2
Obyek utama tentang vektor adalah vektorvektor dapat dijumlahkan dan menghasilkan
vektor, dan dikalikan dengan suatu bilangan
menghasilkan vektor lagi. Sebarang himpunan
obyek dengan sifat seperti ini disebut “ruang
vektor”. Pada bagian ini semua anggota
himpunan bilangan kompleks ¢ dipandang
sebagai “skalar”.
Sebelum mendefinisikan ruang vektor V atas ¢
maka ada dua operasi yang harus diperhatikan
yaitu:
(i) Operasi tambah di dalam himpunan V.
Maksudnya adalah jika a, b  V, maka (a
+ b) juga di V. Dalam hal ini, V harus
tertutup terhadap operasi tambah.
(ii) Operasi perkalian “skalar” antara anggota
– anggota himpunan ¢ dengan anggota –
anggota himpunan V. Maksudnya adalah
jika   ¢ dan a  V maka  juga di V.
Definisi 2.1.1 (Berberian, 1961:3)
Ruang vektor V atas ¢ adalah himpunan obyek –
obyek x, y, z, … disebut vektor. Vektor nol
dinotasikan dengan , untuk setiap vektor x,
28
Jurnal MSA Vo. 2 No. 1 Ed. Jan-Juni 2014
negatif dari x dinotasikan dengan –x. Aksioma –
aksioma berikut diasumsikan berlaku:
(A) Untuk setiap pasangan vektor x, y di V
terdapat vektor yang disebut “jumlah x dan
y”, dinotasikan x + y di V, dan berlaku:
(A1) x + y = y + x untuk setiap x, y  V
(A2) x + (y + z) = (x + y) + z untuk setiap x,
y, z V
(A3) Terdapat dengan tunggal   V
sedemikian sehingga x +  = x untuk
setiap x  V
(A4) Untuk setiap x  V, terdapat dengan
tunggal –x  V yang disebut negatif x
sedemikian sehingga x + (-x) = 
(M) Untuk setiap skalar  dan setiap vektor x di
V, terdapat vektor disebut “hasil kali x
dengan ”, dinotasikan dengan x di V,
dan berlaku:
(M1) (x + y) = x + y untuk setiap x, y
 V dan  adalah skalar
(M2) ( + )x = x + x untuk setiap x 
V dan ,  adalah skalar
(M3) ()x = (x) untuk setiap x  V dan
,  adalah skalar
(M4) 1 . x = x untuk setiap x  V
Sebagai catatan, x + (-y) biasa ditulis dengan x – y.
Teorema 2.1.2 (Berberian, 1961: 6)
Untuk sebarang ruang vektor:
(i) Persamaan vektor x + y = z mempunyai satu
dan hanya satu penyelesaian x
(ii) Jika z + z = z maka z = 
(iii)  =  untuk setiap skalar 
(iv) 0x =  untuk setiap vektor x
(v) Jika x =  maka  = 0 atau x = 
Akibat 2.1.3 (Berberian, 1961:7)
Konjugate dari bilangan kompleks  akan
dinotasikan dengan *. Jadi, jika  =  + i, 
dan  bilangan riil, maka * =  - i. Sifat-sifat
yang telah dikenal dengan baik dari konjugate
adalah (*)* = , ( + )* = * + *, ()* = * *,
|| = * , dan * =  jika dan hanya jika 
bilangan riil.
Definisi 2.2.1
Diberikan ruang vektor V atas field ¢ yaitu:
a. Fungsi , : V  V  ¢ dikatakan inner
product bila memenuhi:
(I1). x, y * = y, x (tanda * dinotasikan
sebagai konyugate)
(I2). x, y =  x, y jika x dan y V dan 
adalah skalar
(I3). x  y,z = x, z + y,z jika x, y dan z
V
(I4). x, x  0 untuk setiap x V dan x, x
= 0 hanya jika x = .
b. Ruang vektor V yang diperlengkapi dengan
inner product dinamakan ruang inner product
atau ruang Pre-Hilbert.
Salah satu sifat sederhana inner product
diberikan dalam teorema berikut ini.
Teorema 2.2.2 (Berberian, 1961:27)
Dalam sebarang ruang Pre-Hilbert berlaku:
(1). x, y  z = x, y + x, z
(2). x, y = * x, y
(3). , y = x,  = 0
(4). x - y,z = x, z – y,z
x, y - z = x, y – x, z
Untuk sebarang ruang vektor V berlaku:
(i). (-)x = (-x) = -( x)
(ii). (x – y) =  x -  y
(iii). ( - )x =  x -  x
2.2 Ruang Pre-Hilbert dan Ruang Hilbert
(5). Jika x, z = y, z untuk setiap z, maka x =y.
Bukti:
Ambil sebarang x, y, z  X dan  adalah skalar,
maka:
(1). Gunakan aksioma (I1) dan (I3) pada definisi
2.3.1.
29
Jurnal MSA Vo. 2 No. 1 Ed. Jan-Juni 2014
x, y  z = y  z, x * = [ y, x + z, x ]*
= x, x  * x, y   y, x  * y, y
= x, x  * x, y  [ y, x  * y, y ] …*)
= y, x * + z, x *
= x, y + x, z
(2). Gunakan aksioma (I1) dan (I2) pada definisi
2.3.1
Dengan memilih   ¢ sehingga * =
y, x
y, y
dimana y  0, maka *) menjadi,
x, y = y, x * = [ y, x ]*
0  x, x
= * y, x *
= * x, y
x,   x,     x,   x, 
menurut
(1) di atas. Oleh karena itu x,  = 0.
0  x, x -
-
x, y *
y, y
Dan sama untuk x, y  z  x, y  x, z .
y =  atau x = y.
y, y
.
2
 x, x . y, y .
x, y  x, x
1/ 2
. y, y
1/ 2
Atau
untuk setiap z, maka
x  y, z  x, z  y, z  0 untuk setiap z.
Khusus untuk z = x – y, diperoleh
x  y, x  y = 0. Menurut aksioma (I4), x –
| x, y | 2
Jadi
= x, z  y, z
y, z
y, y
x, y
= x, z  (1) y, z
x, z =
x, y = x, x
Akibatnya dipenuhi
x  (-y),z = x, z   y, z
= x, z  (1) y, z
(5). Jika
y, x
x, y
(3). , y    , y  , y  , y
menurut
aksioma (I3) pada definisi 2.3.1, oleh karena
itu , y
= 0. Begitu pula untuk
(4). x  y, z =
-
x, y  x . y .
Teorema 2.2.4 (Berberian, 1961:30)
Ketaksamaan Segitiga
Di dalam sebarang ruang Pre – Hilbert,
Teorema 2.2.3 (Berberian, 1961:30)
||x + y||  ||x|| + ||y||.
Ketaksamaan Cauchy – Schwarz
Dalam sebarang ruang Pre – Hilbert,
x, y  x y .
Bukti:
Jika x =  atau y = , maka (x|y) = 0, jelas
ketaksamaan berlaku. Jika y  0, maka untuk
setiap   ¢ berlaku,
0  x  y, x  y  x, x  y  y, x  y
30
Bukti:
Dinotasikan Re () bagian rill dari
bilangan kompleks . Jelas bahwa Re()  |Re
()|  ||. Dengan menerapkan ketaksamaan
Cauchy-Schwarz diperoleh,
||x + y||2 = ||x||2 + ||y||2 + x, y + x, y
*
Jurnal MSA Vo. 2 No. 1 Ed. Jan-Juni 2014
n
= ||x||2 + ||y||2 + 2 Re ( x, y )
=

k 1
 ||x||2 + ||y||2 + 2 | x, y |
*
k
(  k* )*
(Sifat konjugate)
n
=
 
k 1
 ||x||2 + ||y||2 + 2 ||x|| ||y||
*
k
k
(Sifat konjugate)
*
k
(Sifat komutatif)
n
=
2
= (||x|| + ||y||)
 
k 1
Karena kedua ruas tak negatif maka
||x + y||  ||x|| + ||y||.
k
= y, x
n
 (  
(I2).  x, y =
Dari sifat-sifat sederhana di atas,
mudah ditunjukkan bahwa setiap ruang PreHilbert V merupakan ruang bernorma , sebab jika
didefinisikan || x || =
x, x untuk setiap x  V
maka || . || memenuhi sifat:
k 1
  ( 
k
k 1
(ii). || x|| = || ||x||  x  V
)
*
k
(Sifat
)
perkalian skalar dengan vektor)
n
 ( 
k
k 1
|| x || = 0 jika dan hanya jika x = 
*
k
n
=
=
(i). || x ||  0  x  V
k
*
k
)
=  x, y
(I3). x  y, z =
(iii). ||x + y||  ||x|| + ||y||  x, y  V
n
 (
k 1
Definisi 2.2.5
=
Ruang Pre-Hilbert dikatakan lengkap jika
setiap barisan Cauchy (xn) di dalam X,
konvergen di dalam X
k
  k )  k*
n
n
k 1
k 1
 (k  k* )   ( k  k* )
(Sifat distributif)
= x, z  y, z
Definisi 2.2.6 (Berberian, 1961:40)
Ruang Pre-Hilbert (inner product) yang
lengkap dinamakan ruang Hilbert
n
(I4). x, x   (k *k )
k 1
Contoh 3.1
n
Misalkan ruang vektor F = {x = (1, 2, …,
n
*
n
n)}, didefinisikan x, y =   k  k . x, y 
k 1
n.
n
F . Akan ditunjukkan bahwa F adalah ruang
pre-Hilbert.
Solusi:
Ambil sebarang x, y, z  V dan  skalar,
sehingga memenuhi inner product berikut:
   
n
(I1). x, y
*
=
k 1
k
* *
k
=

k 1
2
k
 0 , jelas sebab k2  0
untuk setiap k.
Selanjutnya kesamaan berlaku jika dan
hanya jika |1| = |2| = ... = |n| = 0. Tetapi ini
benar jika dan hanya jika 1, 2, ..., n = 0, yaitu
jika dan hanya jika x = .
Contoh 3.2
Diberikan V ruang vektor fungsi kontinu pada
[a,b], a < b.
Jadi V = {x : [a,b]  ¢, x kontinu}.
31
Jurnal MSA Vo. 2 No. 1 Ed. Jan-Juni 2014
= x, z  y, z
Didefinisikan
b
b
x, y =  x ( t ) . y( t )* dt untuk setiap x, y  V.
(I4). x, x   x(t ) x(t )* d (t )
a
a
V biasa disebut ruang Pre – Hilbert fungsi
kontinu pada [a,b].
b
=
Solusi
2
d (t )  0 , jelas sebab x(t)2  0
a
Ambil sebarang x, y, z  V dan  skalar,
sehingga memenuhi inner product berikut:
 x(t ) y(t )  d (t )
b
(I1). x, y
 x(t )
*
=
* *
a
 x(t )
*
* *
( y (t ) ) d (t )
Ruang barisan klasik  2 adalah himpunan semua
barisan bilangan kompleks x = (n) yang
mempunyai jumlah kuadrat mutlak berhingga,
yaitu
a
(Sifat konjugate)
b
=
 x(t )
Selanjutnya kesamaan berlaku jika dan
hanya jika |x(a)| = |x(b)| = 0. Tetapi ini benar jika
dan hanya jika x(a) = x(b) = 0, yaitu jika dan
hanya jika x = .
Definisi 2.2.7
b
=
untuk setiap t.
*
y (t ) d (t )

a
 2 = {x = (n) :   n
(Sifat konjugate)
2
n 1
  }.
b
=
 y(t ) x(t )
*
d (t )
a) Jika x = (n) dan y = (n), ditulis x = y bila n
= n untuk setiap n
a
(Sifat komutatif)
= y, x
3. PEMBAHASAN
b
(I2).  x, y =  ( x(t ) y (t ) ) d (t )
*
Ruang Hilbert  2 adalah himpunan semua
barisan bilangan kompleks x = (n) yang
mempunyai jumlah kuadrat mutlak berhingga,
yaitu
a
b
=   ( x(t ) y (t )* ) d (t )
(Sifat
a

perkalian skalar dengan vektor)
 2 = {x = (n) :   n
2
n 1
b
=   ( x(t ) y (t )* ) d (t )
  }.
Jika x = (n) dan y = (n), ditulis x = y bila n =
n untuk setiap n.
a
=  x, y
Pertama kita tunjukkan  2 ruang vektor.
b
(I3). x  y, z =  ( x(t ) y(t )) z (t ) d (t )
*
Yaitu, jika x = (n), y = (n)   2 ,  bilangan
kompleks maka x + y   2 dan x   2 .
a
=
b
b
 ( x(t ) z(t ) ) d (t )   ( y(t ) z(t )
*
a
(Sifat distributif)
32
a
*
d (t )
Telah
k  k
diketahui
2
 k  k
2
 2 k
2
 2 k
2
Jurnal MSA Vo. 2 No. 1 Ed. Jan-Juni 2014
Berarti  k   k
2
 2 k
2
 2 k
2

mk  nk   mj  nj  x m  x n
2
2
2
0
j1
Oleh karena itu diperoleh:


k 1

  k  2  k  2  k  
2
k

2
k 1
2
k 1
Selanjutnya, karena
 
k 1
2
k

2
Sekarang kita definisikan x = (k).


k 1
2
k
 ,
maka x   2 .
Kedua, ditunjukkan  2 ruang Pre – Hilbert.
Untuk setiap x = (n) dan y = (n)   2 ,

Akan ditunjukkan bahwa x   2 dan ||xn – x|| 
0.
Diambil  > 0 sebarang.
Karena (xn) barisan Cauchy maka terdapat indeks
p sehingga untuk setiap n, m  p berlaku ||xm- xn||
<  . Untuk setiap bilangan asli r,berlaku:
r

 mk  nk   mk  nk
didefinisikan x, y    k *k .
2
k 1
k 1
r

Ambil m   maka
x, y =
Karena r sebarang maka

k 1




1 2
2
        k k   k  k   .

k 1
k 1
k 1
k 1 2
*
k k

Untuk sifat – sifat hasil skalar x, y    k *k
k 1
 p. Khususnya

 nk   bila n  p.
x, y   x, y
jika x, y  V dan  skalar
x, x  0 untuk setiap x  V dan x, x  0 hanya

k 1
2
k
 nk   bila n
2
k
 pk   . Ini berarti
barisan (k -  )   2 . Karena  2 ruang vektor
maka x = (k) = (k - pk ) + ( pk )   2 .


k 1
x  y, z  x, z  y, z jika x,y dan z  V

p
k
Selanjutnya, karena
 y, x
2
2
k
k 1

mudah ditunjukkan bahwa berlaku:
x, y
 xm  xn

*
k k
*
2
k 1
x, y berhingga,sebab


 
Ini berarti (x + y)   2 .

  
Ini
berarti
barisan
nk  1k , 2k , 3k , ...
merupakan barisan bilangan kompleks lengkap,
maka untuk setiap k terdapat k sehingga
nk   k .
2
k
 nk   bila n  p,
maka
||x – xn||2 =


k 1
2
k
 nk   bila n  p.
Jadi (xn)  x.
jika x = 
4. KESIMPULAN
Ini menunjukkan  2 ruang Pre – Hilbert.
Berdasarkan tujuan penelitian ini yaitu untuk
mengkaji ruang pre-Hilbert dan ruang Hilbert
dalam ruang barisan  2 , maka diperoleh bahwa
suatu ruang vektor membentuk ruang pre Hilbert
jika dilengkapi dengan ruang inner product.
Sedangkan suatu ruang pre-Hilbert yang lengkap
Ketiga, ditunjukkan  2 lengkap. Untuk itu
dimisalkan (xm) barisan Cauchy di dalam  2
dengan xn = (k) yaitu ||xm – xn||  0.
Untuk setiap k, berlaku
33
Jurnal MSA Vo. 2 No. 1 Ed. Jan-Juni 2014
yaitu jika setiap barisan Cauchy (xn) di dalam X,
konvergen di dalam X disebut ruang Hilbert.
5. DAFTAR PUSTAKA
Anton, Howard. 1998. Aljabar Linear Elementer.
Erlangga, Jakarta.
Bartle, G. Robert. 1982. Introduction to Real
Analysis. John Wiley & Sons. Inc,
New York
Berberian.K, Sterling. 1961. Introduktion to
Hilbert Space. Oxpord University
Press, New York
34
Echols, John. M dan Hassan Shadily. 1975.
Kamus Inggris Indonesia. PT
Gramedia Pustaka Utama, Jakarta
Klambauer, Gabriel. 1973. Real Analysis.
American
Elseviser
Publishing
Company, Inc, New York.
Maddox, I. J. 1970. Element of Functional
Analisis. Cambridge at The University
Press.
P. Y. Lee. Zeller Theory And Classical Sequence
Spaces. National University of
Singapore, Singapore.