perbandingan antara hasil perkiraan permeabilitas

Proceeding Simposium Nasional IATMI
25 - 28 Juli 2007, UPN “Veteran” Yogyakarta
_______________________________________________________________________________
PERBANDINGAN ANTARA HASIL PERKIRAAN PERMEABILITAS
MENGGUNAKAN PERSAMAAN KOZENY-CARMAN DAN
PERSAMAAN FRAKTAL
Oleh:
Yosaphat Sumantri
Jurusan Teknik Perminyakan, Universitas Pembangunan Nasional “Veteran” Yogyakarta,
Jl. SWK 104 (Lingkar Utara) Condongcatur, Yogyakarta-55283
Telp. (0274) 486056, Fax. (0274) 486056
e-mail : [email protected]
ABSTRAK
Permeabilitas merupakan salah satu sifat fisik batuan yang sangat penting di dalam teknik
perminyakan, terutama teknik reservoir dan teknik produksi, karena harga permeabilitas batuan
menentukan tingkat produktivitas suatu reservoir. Salah satu model hubungan antara permeabilitas
dengan sifat-sifat batuan yang terkenal adalah persamaan Kozeny-Carman. Persamaan Kozeny-Carman
dapat diturunkan melalui penggabungan antara persamaan aliran fluida di dalam pipa silindris
(persamaan Hagen-Poiseuille) dengan persamaan aliran fulida di dalam media berpori (persamaan
Darcy). Kelemahan persamaan Kozeny-Carman adalah menyederhanakan ruang pori-pori batuan yang
menjadi jalan fluida mengalir di dalam batuan sebagai sekumpulan pipa kapiler silindris. Penyederhanaan
semacam ini menyebabkan geometri dan struktur pori-pori batuan yang dilalui fluida tidak terwaliki
dengan baik.
Sumantri (2006) menurunkan persamaan permeabilitas melalui pendekatan fraktal untuk
menghilangkan kekurangan seperti yang terdapat dalam persamaan Kozeny-Carman tersebut di atas.
Dengan mendasarkan konsep fraktal dan persamaan viskositas Newton dapat diturunkan persamaan
fraktal tentang aliran fluida dalam pipa yang memiliki bentuk penampang tidak-beraturan (irregular).
Penggabungan persamaan ini dengan persamaan aliran dalam media berpori menghasilkan persamaan
fraktal hubungan antara permeabilitas dengan sifat-sifat fisik yang lain serta parameter fraktal geometri
dan struktur sistem pori-pori batuan dengan memperhitungkan arah sumbu aliran.
Dalam paper ini dibandingkan hasil penggunaan persamaan Kozeny-Carman dan persamaan
Fraktal untuk memperkirakan permeabilitas absolut 18 sampel batupasir yang diambil dari Formasi
Menggala dan Bekasap, Cekungan Sumatera Tengah, yang berumur Miosen. Melalui perbandingan ini
dapat diketahui kapan persamaan Kozeny-Carman dapat menghasilkan perkiraan permeabilitas cukup
baik dan kapan tidak sehingga perkiraan permeabilitas perlu menggunakan persamaan lain.
Keywords : Permeabilitas,Tortuositas, Faktor Bentuk, Fraktal, Dimensi Fraktal.
PENDAHULUAN
Salah satu sifat fisik batuan reservoir
adalah permeabilitas, yaitu tingkat kemudahan
batuan untuk dapat dilalui fluida melalui poriporinya. Sifat fisik ini penting karena sangat
menentukan
tingkat
produktivitas
suatu
reservoir.
Penelitian tentang permeabilitas batuan telah
banyak dilakukan. Disamping hubungannya
dengan porositas, umumnya permeabilitas
dihubungkan juga dengan sifat-sifat batuan yang
lain seperti: ukuran dan sortasi butiran, specific
surface area (luas permukaan dinding pori-pori
dibagi dengan volume pori), distribusi ukuran
pori-pori, komposisi mineral, saturasi air yang
tidak-dapat dikeluarkan (irreducible), sifat
kelistrikan batuan, respon terhadap medan
___________________________________________________________________________________
IATMI 2007-TS-07
Proceeding Simposium Nasional IATMI
25 - 28 Juli 2007, UPN “Veteran” Yogyakarta
_______________________________________________________________________________
magnet, dan kapasitas pertukaran kation (cation
exchange capacity). Salah satu persamaan
hubungan tersebut, yang terkenal adalah
persamaan Kozeny-Carman.
Persamaan
Kozeny-Carman
dapat
diperoleh dari penggabungan antara persamaan
aliran fluida di dalam pipa silindris (persamaan
Hagen-Poiseuille) dengan persamaan aliran
fulida di dalam media berpori (persamaan
Darcy). Dengan demikian, dalam persamaan
Kozeny-Carman ruang pori-pori batuan yang
menjadi jalan fluida mengalir di dalam batuan
dianggap sebagai sekumpulan pipa kapiler
silindris yang tidak saling-berhubungan.
Anggapan semacam ini dapat menyebabkan
penggunaan
persamaan
Kozeny-Carman
menghasilkan perkiraan permeabilitas yang
tidak sesuai dengan harga sebenarnya.
Adalah kenyataan bahwa ruang poripori batuan memiliki geometri (bentuk dan
ukuran) dan struktur (hubungan antar pori) yang
kompleks. Oleh sebab itu, cara pendekatan lain
diperlukan untuk dapat menghilangkan atau
meminimalkan kekurangan yang ada pada
persamaan
Kozeny-Carman.
Salah
satu
alternatif adalah melalui penerapan konsep
fraktal. Konsep fraktal dipercaya sangat
potensial untuk mendeskripsi kompleksitas sifatsifat fisik batuan berpori dan proses yang terjadi
di dalamnya (Sahimi dan Yortsos, 1990;
Garrison, dkk., 1991; Sumantri, 1995; Civan,
2003 ). Obyek fraktal adalah suatu sistem
atau obyek yang terbentuk akibat proses
pengulangan atau penggandaan dari bagianbagian yang lebih kecil yang bentuknya
sama atau serupa.
Sumantri (2006) mengemukakan suatu
model persamaan permeabilitas yang diturunkan
melalui penerapan konsep fraktal. Untuk
keperluan penurunan persamaan, batuan berpori
dimodelkan sebagai kumpulan pipa kapiler yang
bentuk penampangnya tidak beraturan dan
saling berpotongan dengan pipa-pipa kapiler
yang memiliki arah orthogonal yang berbeda.
Model persamaan permeabilitas yang diperoleh
dinamai Persamaan Fraktal Permeabilitas Media
Berpori.
Mengingat persamaan Kozeny-Carman
menggunakan parameter-parameter bulk yang
tidak tergantung arah aliran, sedangkan
Persamaan Fraktal Permeabilitas Media Berpori
menggunakan
parameter-parameter
yang
harganya tergantung arah aliran, maka
pembandingan
hasil
perhitungan
kedua
persamaan tersebut hanya dilakukan untuk arah
horizontal (arah-X) saja.
PERSAMAAN KOZENY-CARMAN
Pada tahun 1927, dengan memodelkan
ruang pori-pori batuan sebagai sekumpulan pipa
kapiler lurus sama panjang dan tidak saling
berhubungan maka Kozeny (Dullien, 1979;
Amyx, 1960) mendapatkan hubungan antara
permeabilitas (k) dengan sifat-sifat fisik batuan
sebagai berikut :
k=
CK
S p2
=
3
CK
S v2
=
3
CK
) 2 S s2
(1
,
(1)
dimana :
= porositas (fraksi), Sp = luas
permukaan pori-pori dibagi volume pori-pori, Sv
= luas permukaan pori-pori dibagi volume bulk
batuan, Ss = luas permukaan pori-pori dibagi
volume butiran batuan. Konstanta CK disebut
konstanta Kozeny. CK = 0,50 untuk lingkaran,
CK = 0,56 untuk persegi empat dan CK = 0,597
untuk segi tiga sama sisi. Kozeny (1927)
mendapatkan bahwa untuk material-material
alam harga CK adalah antara 0,22 sampai 0,24.
Carman (1937) mendasarkan pada
kenyataan bahwa pipa salur fluida tidak lurus
sehingga panjang jalur aliran fluida (Le) lebih
besar daripada media berporinya (L) maka
Carman memodifikasi persamaan Kozeny
menjadi :
k=
=
ko
( )S
Le
2
L
2
p
=
3
ko
( )S
Le
3
ko
( ) (1
Le
2
L
) 2 S s2
2
L
,
2
v
(2)
dimana: (Le/L)2 adalah tortuositas ( ) yang
didefinisikan sebagai kuadrat perbandingan
antara panjang jalur fluida (Le) dengan panjang
media berpori (L), dan ko adalah faktor bentuk
(shape factor) penampang saluran. Persamaan
(II.14) kemudian dikenal sebagai persamaan
Kozeny-Carman dan ko(Le/L)2 adalah konstanta
Kozeny-Carman CK’, dimana CK’ = 1/CK.
Menurut Dullien (1979) Persamaan
Kozeny-Carman didasarkan pada teori radius
hidrolik (hydraulic radius) yang menganggap
pori-pori sebagai pipa-pipa kapiler dengan
bentuk yang sembarang tetapi secara rata-rata
___________________________________________________________________________________
IATMI 2007-TS-07
Proceeding Simposium Nasional IATMI
25 - 28 Juli 2007, UPN “Veteran” Yogyakarta
_______________________________________________________________________________
memiliki panjang dan luas penampang yang
sama, dan mempunyai diameter hidrolik (dH )
sebesar empat kali perbandingan luas
penampang alir dengan kelilingnya. Dengan
definisi , Sp, Sv, dan Ss yang sama seperti pada
Pers. (II.13) maka dapat ditulis persamaan:
dH =
4 x volume ruang pori
luas permukaan pori
4
4
4
,
=
=
=
S p Sv (1 ) S s
Dengan anggapan tidak seluruh ruang
pori berperan aktif dalam aliran fluida pada
suatu arah tertentu (Bear, 1988; Mortensen,
1998), maka porositas yang berperan aktif
dalam aliran (active-flow porosity) pada arah
ortogonal-i dapat dinyatakan dengan persamaan
sebagai berikut:
ai
(3)
d H2
16 k o (Le L )
2
.
(4)
PERSAMAAN FRAKTAL
PERMEABILITAS MEDIA BERPORI
Berdasarkan hukum viskositas Newton
dan aplikasi konsep fraktal maka untuk fluida
tak-mampat yang mengalir secara laminer dan
mantap di dalam pipa yang memiliki penampang
seperti digambarkan pada Gambar-1, Sumantri
(2006) menurunkan persamaan fraktal untuk
aliran fluida di dalam pipa sebagai berikut:
Qp =
d Dp + 2
p
,
4 µ ( Dp + 2)( Ds + 1) Le
(5)
dimana: d = diameter pipa, µ = viskositas fluida,
Dp = dimensi fraktal penampang pipa, Ds =
dimensi fraktal dinding pipa, Le = panjang pipa,
dan p = perbedaan tekanan antara ujung pipa.
Selanjutnya dengan memodelkan sistem
jaringan pori-pori batuan sebagai kumpulan pipa
kapiler ortogonal yang berkelok-kelok dan
saling berpotongan, penampang berbentuk
tidak-beraturan, dan berdinding tidak rata
(Gambar-2), maka untuk arah ortogonal-i, di
dalam media berpori dengan luas penampang Ai
terdapat ni pipa kapiler masing-masing memiliki
panjang Lei sehingga berdasarkan Pers. (5) dapat
ditulis persamaan laju alir fluida di dalam media
berpori yang memiliki panjang makroskopik Li
untuk arah ortogonal-i sebagai berikut:
Dp + 2
ni d i i
Qi =
4 µ ( Dpi + 2)( Ds i + 1)( Lei / Li )
ni d i
Dpi
pi
.
Li
Ai =
(Lei
Li )
Ai
sehingga:
sehingga persamaan Kozeny-Carman bisa ditulis
dalam bentuk lain, yaitu:
k=
=
ni d i
Dpi
(Lei
Li )
,
,
(7)
ai
dimana : ai = volume pori yang berperan aktif
terhadap aliran pada arah-i dibagi volume bulk
batuan (fraksi), di = diameter pipa kapiler pada
arah-i (cm2), ni = jumlah pipa kapiler pada arah
ortogonal-i, Dpi = dimensi fraktal penampang
pori (pipa) pada arah-i, Dsi = dimensi fraktal
dinding pori-pori pada arah-i,
= luas
penampang media berpori pada arah-i (cm2), Li
= panjang makroskopik media berpori pada
arah-i (cm), Lei = panjang rata-rata pipa kapiler
pada arah-i (cm).
Pori-pori yang tidak berperan aktif
terhadap aliran fluida (dalam hal ini cairan)
dapat berupa pori-pori berukuran sangat kecil
(Dullien, 1979), pori-pori dead-end, dan poripori symmetry-bypassed (Tiab dan Donaldson,
2004). Fraksi volume pori yang berperan aktif
terhadap aliran (faktor porositas aktif) untuk
arah ortogonal-i dapat dinyatakan dengan
persamaan:
f ai =
ai
,
(8)
= porositas efektif media berpori.
Bila dianggap pada suatu arah ortogonal
aliran fluida di dalam media berpori melewati
sejumlah pipa kapiler dengan diameter hidrolik
rata-rata = dHi dan panjang rata-rata = Lei, maka
penggabungan Pers. (6), Pers. (7), Pers. (8), dan
persamaan Darcy untuk aliran horizontal fluida
di dalam media berpori menghasilkan
persamaan fraktal permeabilitas untuk berbagai
arah ortogonal, yaitu:
dimana:
(6)
___________________________________________________________________________________
IATMI 2007-TS-07
Proceeding Simposium Nasional IATMI
25 - 28 Juli 2007, UPN “Veteran” Yogyakarta
_______________________________________________________________________________
ki =
2
d Hi
f ai
L
4 ei
Li
,
2
(9)
( Dpi + 2)( Dsi + 1)
dimana: ki = permeabilitas pada arah-i (cm2),
(Lei/Li)2 = tortuositas pada arah-i, dHi = diameter
hidrolik rata-rata pada arah-i (cm).
Tortuositas untuk masing-masing arah
ortogonal dapat didekati melalui harga dimensi
fraktal pori sayatan-tipis batuan (Sumantri,
1995; Abdassah dkk., 1996), sebagai berikut:
i
L
= ei
Li
2
2
Dp m
Dpi
.
(10)
Dpm adalah dimensi fraktal model pori ideal,
yang dihitung berdasarkan harga porositasnya
dengan persamaan:
Dp m = 2,0444
0 ,1061
.
(11)
Dengan memasukkan Pers. (10) ke
dalam
Pers.
(9),
kemudian
konversi
permeabilitas dari cm2 ke milidarcy (md) dan
diameter hidrolik rata-rata dari cm ke mikron
(µm) maka Persamaan Fraktal Permeabilitas
Media Berpori dapat ditulis menjadi:
1.013,274 f ai
ki =
4
Dp m
Dpi
2
d Hi
2
. (12)
( Dpi + 2)( Dsi + 1)
Pers. (12), menyatakan hubungan antara
permeabilitas batuan dengan porositas efektif
bulk, faktor porositas aktif, diameter hidrolik
rata-rata, dimensi fraktal penampang pori, dan
dimensi fraktal dinding pori. Kecuali porositas
(dalam hal ini adalah porositas efektif) yang
merupakan sifat bulk, semua besaran pada Pers.
(12) merupakan parameter bersifat direksional
(tergantung arah).
DIMENSI FRAKTAL
Istilah
”fraktal”
pertama
kali
dimunculkan oleh Mandelbrot dari bahasa Latin
”fractus” (pecah) untuk mendeskripsi obyek
yang
sangat
tidak-beraturan
untuk
disederhanakan ke dalam aturan geometri klasik
(Falconer, 1990). Pengertian fraktal hanya dapat
didefinisikan secara sugestif, yaitu bahwa dalam
suatu obyek fraktal, bagian-bagian dari
himpunan atau obyek tersebut, dengan cara-cara
tertentu,
merupakan skala kecil dari
keseluruhan.
Dimensi fraktal merupakan ukuran dari
tingkat ketidak-teraturan suatu obyek fraktal bila
dilihat pada skala yang sangat kecil. Dimensi
dari obyek fraktal tidak perlu berupa bilangan
bulat, tetapi bisa merupakan bilangan pecahan
antara 0 dan 4.
Terdapat banyak bentuk atau definisi
dari dimensi fraktal. Namun yang paling sering
digunakan karena relatif mudah cara
perhitungannya adalah dimensi boks (box
dimension). Bila F adalah suatu sub-himpunan
dari Rn dan N @ adalah jumlah terkecil dari
lingkupan dengan diameter terbesar C yang
dapat melingkupi F, maka dimensi boks
didefinisikan sebagai :
log N
,
(13)
D B = lim
0
log
dimana N @ dapat berupa salah satu dari :
1. Jumlah terkecil bola dengan radius yang
dapat melingkupi F,
yang
2. Jumlah terkecil kotak dengan sisi
dapat melingkupi F,
3. Jumlah terkecil mesh kotak dengan sisi
yang memotong F,
4. Jumlah
terkecil
bentuk
sembarang
berdiameter terbesar
yang dapat
melingkupi F,
5. Jumlah terkecil bola dengan radius yang
saling terpisah dan berpusat didalam F.
Prinsip perhitungan dimensi boks adalah dengan
membuat mesh kotak segi-empat dengan
panjang sisi ) pada ruang Euclidian Rn (Gambar
3). Untuk mendapatkan harga dimensi boks
sesuai dengan Pers. (13), maka harga N didekati
melalui jumlah mesh dengan sisi
)yang
memotong F. Harga dimensi box didekati
melalui harga kemiringan garis lurus plot log N
terhadap –log . Gambar 4 adalah diagram alir
program BOX COUNTING yang dipergunakan
untuk menghitung dimensi fraktal penampang
pori (Dp) dan dimensi fraktal dinding pori (Ds)
citra digital sayatan-tipis conto batuan yang
digunakan dalam penelitian ini.
___________________________________________________________________________________
IATMI 2007-TS-07
Proceeding Simposium Nasional IATMI
25 - 28 Juli 2007, UPN “Veteran” Yogyakarta
_______________________________________________________________________________
SAMPEL YANG DIGUNAKAN,
PREPARASI SAMPEL, DAN SIFAT-SIFAT
FISIK SERTA FRAKTAL SAMPEL
PERKIRAAN PERMEABILITAS
MENGGUNAKAN PERSAMAAN
KOZENY-CARMAN
Untuk keperluan pembandingan ini
digunakan 18 sampel batupasir yang memiliki
rentang harga porositas dan permeabilitas yang
cukup lebar. Sampel-sampel dalam bentuk core
plug berdiameter 1,5 inci dan panjang 1 inci
diambil dengan cara dibor tegak lurus terhadap
inti-bor Formasi Menggala dan Formasi
Bekasap yang berumur Miosen dari cekungan
Sumatera Tengah. Tabel 1 adalah nama formasi
dan kedalaman asal, jenis batuan, dan ukuran
butir masing-masing sampel.
Masing-masing core plug di-bersihkan
(cleaning), dikeringkan, kemudian dipotong
menjadi bentuk kubus (box) dengan lebar sisisisinya 2,10 cm agar bisa diukur permeabilitas
absolutnya pada ketiga arah ortogonal (X, Y,
dan Z) dan porositas efektifnya. Sumbu X
adalah sumbu horizontal (sejajar perlapisan),
sumbu Y adalah sumbu vertikal (Tegak lurus
perlapisan), dan sumbu Z adalah sumbu
diagonal.
Masing-masing potongan sisi kubus
dibuat menjadi sayatan-tipis. Dengan demikian,
masing-masing arah ortogonal sampel memiliki
paling tidak 2 sayatan-tipis. Masing-masing
sayatan-tipis
kemudian
difoto
dengan
fotomikrograf digital dengan pembesaran 150x
untuk keperluan analisis fraktal dengan program
BOX COUNTING.
Setelah diukur permeabilitas dan
porositasnya, masing-masing kubus sampel
Bila permeabilitas (k) dinyatakan dalam
milidarcy (md) dan diameter hidrolik rata-rata
(dH) dalam mikron (µm) maka persamaan
Kozeny-Carman, Pers. (4), menjadi:
1013,274 d H2
.
(14)
k=
2
16 k o Le L
Seperti yang umum dilakukan dalam
penggunaan persamaan Kozeny-Carman, harga
faktor bentuk (ko) diambil = 2 dan harga (Le/L)2
= 2,5 untuk semua sampel. Sedangkan harga
porositas efektif ( ) dan diameter hidrolik ratarata (dH) masing-masing sampel adalah seperti
terdapat pada Tabel 2.
Hasil perhitungan
permeabilitas dengan menggunakan persamaan
Kozeny-Carman untuk 18 sampel disajikan
dalam Tabel 3. Tabel 3 juga memperlihatkan
prosentase
kesalahan
hasil
perhitungan
permeabilitas dengan menggunakan persamaan
Kozeny-Carman terhadap permeabilitas terukur
masing-masing sampel.
digunakan untuk pengukuran distribusi
ukuran pori menggunakan metode Mercury
Intrusion Capillary Pressure. Data distribusi
ukuran pori digunakan untuk penentuan
diameter hidrolik rata-rata sampel. Tabel 2
memperlihatkan hasil pengukuran sifat-sifat
fisik dan fraktal masing-masing sampel.
Gambar 5 memperlihatkan plot antara
porositas plug dengan permeabilitas horizontal
terukur (arah-X) yang memperlihatkan bahwa
hubungan antara porositas dengan permeabilitas
pengukuran menghasilkan titik-titik data yang
menyebar. Hal ini mengindikasikan bahwa
permeabilitas sampel-sampel batupasir ini tidak
memiliki hubungan yang sederhana hanya
dengan porositas saja.
( )
PERKIRAAN PERMEABILITAS
MENGGUNAKAN PERSAMAAN
FRAKTAL
Dengan menggunakan data porositas
efektif, dimensi fraktal penampang pori arah-X
(DpX), dimensi fraktal dinding pori arah-X
(DsX), diameter hidrolik rata-rata (dH), faktor
porositas aktif arah-X (faX) dari Tabel 2, dan
dimensi fraktal pori model yang dihitung dengan
Pers. (11) maka perhitungan permeabilitas
masing-masing sampel dapat dilakukan dengan
menggunakan Persamaan Fraktal Permeabilitas,
Pers. (12). Hasilnya disajikan pada Tabel 4.
Tabel 4 juga memperlihatkan prosentase
kesalahan hasil perhitungan permeabilitas
dengan menggunakan persamaan fraktal
terhadap permeabilitas terukur masing-masing
sampel.
Perbandingan
harga
permeabilitas
terukur terhadap permeabilitas terhitung
menggunakan persamaan Kozeny-Carman dan
persamaan fraktal disajikan pada Gambar 6.
___________________________________________________________________________________
IATMI 2007-TS-07
Proceeding Simposium Nasional IATMI
25 - 28 Juli 2007, UPN “Veteran” Yogyakarta
_______________________________________________________________________________
PEMBAHASAN
Pada Gambar 6 dapat dilihat bahwa
persamaan
Kozeny-Carman
menghasilkan
harga-harga permeabilitas yang lebih rendah
daripada permeabilitas terukur (sebenarnya)
pada harga permeabilitas yang tinggi, tetapi
menghasilkan harga permeabilitas lebih tinggi
daripada permeabilitas terukur pada harga
permeabilitas yang rendah. Harga R2 dari garis
korelasi titik data cukup baik, yaitu 0,9316. Dari
Tabel 3 juga dapat dilihat bahwa hasil
perhitungan dengan menggunakan persamaan
Kozeny-Carman memiliki prosentase kesalahan
yang relatif lebih besar pada harga permeabilitas
terhitung kurang dari 1000 md. Untuk 18 sampel
batupasir yang digunakan dalam penelitian ini,
persamaan
Kozeny-Carman
memberikan
kesalahan rata-rata sebesar -74,29%.
Persamaan Fraktal Permeabilitas
Media Berpori menghasilkan titiki-titik data
yang sangat mendekati garis kemiringan
45o, baik pada harga permeabilitas terukur
yang tinggi maupun yang rendah. Hal ini
ditunjukkan oleh garis korelasi titik-titik
data yang dihasilkan persamaan fraktal
hampir berimpit dengan garis kemiringan
45o pada Gambar 6. Harga R2 dari garis
korelasi titik data juga sangat baik, yaitu
0,9802. Tabel 4 memperlihatkan, untuk 18
sampel batupasir yang digunakan dalam
penelitian ini, persamaan fraktal memberikan
kesalahan rata-rata yang kecil, yaitu (-) 4,40%.
Dengan demikian, untuk 18 sampel yang
digunakan dalam penelitian ini Persamaan
Fraktal Permeabilitas Media Berpori
menghasilkan perkiraan harga permeabilitas
absolut yang lebih baik dibanding
persamaan Kozeny-Carman.
Analisis terhadap penyebab mengapa
persamaan
Kozeny-Carman
menghasilkan
harga-harga perkiraan permeabilitas lebih
rendah daripada permeabilitas sebenarnya pada
harga permeabilitas yang tinggi, tetapi
menghasilkan harga permeabilitas lebih tinggi
daripada permeabilitas sebenarnya pada harga
permeabilitas yang rendah dapat dilakukan
dengan menganalisa Pers. (9) dan data sifat-sifat
fraktal sampel pada Tabel 2 sebagai berikut.
Bila dianggap jalur aliran fluida di
dalam media berpori berupa sekumpulan pipa
kapiler dengan penampang berbentuk lingkaran
(Dp = 2), dinding pipa berupa garis lurus (Ds =
1), arah sumbu aliran tidak diperhitungkan, dan
dengan anggapan seluruh ruang pori berperan
aktif terhadap aliran (fa=1) maka Persamaan
Fraktal Permeabilitas Media Berpori dalam
bentuk seperti pada Pers. (9) dapat ditulis
menjadi sebagai berikut:
1x
k=
4
Le
L
d H2
2
.
(15)
(2 + 2)(1 + 1)
Selanjutnya, dengan menganggap harga faktor
bentuk (ko) = 2 maka Pers. (15) menjadi:
k=
d H2
,
(16)
2
Le
16 k o
L
sama dengan persamaan Kozeny-Carman, Pers.
(4), kecuali untuk harga tortuositas, (Le/L)2.
Pada kenyataannya, harga faktor
porositas aktif, fa, untuk batuan alamiah
umumnya < 1, bahkan bisa jauh lebih kecil dari
1, seperti dapat dilihat pada Tabel 2 dimana fa
berharga antara 0,1 sampai 0,9. Harga empiris
tortuositas = 2,5 yang umum digunakan dalam
persamaan Kozeny-Carman kemungkinan
merupakan kombinasi dari harga tortuositas
yang sebenarnya dan fraksi volume poripori yang tidak aktif terhadap aliran, dimana
fraksi volume pori-pori yang tidak aktif
terhadap
aliran
memperbesar
harga
tortuositas dari harga sebenarnya. Batuan
yang memiliki harga permeabilitas relatif rendah
umumnya memiliki banyak pori-pori tidak aktif
terhadap aliran sehingga harga fa jauh lebih kecil
dari 1, sebaliknya batuan yang memiliki harga
permeabilitas relatif tinggi umumnya hampir
semua pori-porinya berperan aktif terhadap
aliran sehingga harga fa mendekati harga 1.
Bentuk penampang pori-pori batuan alamiah
umumnya tidak beraturan sehingga Dp < 2.
Sedangkan, permukaan dinding pori-pori batuan
alamiah umumnya tidak halus, jadi harga Ds
umumnya > 1, sehingga harga (Dp+2)x(Ds+1)
sebenarnya selalu lebih besar dari 8 atau 4ko,
seperti dapat dilihat pada Tabel 2.
Dengan demikian, anggapan bahwa Dp
= 2, Ds = 1, dan tortuositas = 2,5 yang
membuat penyebut pada Pers. (9) lebih besar
daripada harga sebenarnya masih belum cukup
untuk mengimbangi harga pembilang yang jauh
___________________________________________________________________________________
IATMI 2007-TS-07
Proceeding Simposium Nasional IATMI
25 - 28 Juli 2007, UPN “Veteran” Yogyakarta
_______________________________________________________________________________
lebih kecil dari 1 sebagai akibat anggapan
bahwa seluruh ruang pori berperan aktif
terhadap aliran (fa=1) pada harga permeabilitas
batuan yang rendah. Hal inilah yang
menyebabkan hasil perkiraan permeabilitas
dengan Pers. (16) atau persamaan KozenyCarman cenderung lebih besar daripada harga
sebenarnya pada batuan yang memiliki
permeabilitas rendah. Sebaliknya, pada batuan
yang memiliki permeabilitas tinggi, karena
harga fa mendekati 1, maka anggapan harga Dp
= 2, Ds = 1, dan totuositas = 2,5 menyebabkan
penyebut pada Pers. (9) lebih besar daripada
harga sebenarnya, sehingga hasil perkiraan
permeabilitas dengan Pers. (16) atau persamaan
Kozeny-Carman cenderung lebih kecil dari
harga sebenarnya.
Dengan
demikian,
tidaklah
mengherankan bahwa Rose dan Bruce (1949)
menemukan harga konstanta Kozeny-Carman
bisa mencapai 100, jauh lebih tinggi daripada
harga yang umum dipercaya oleh para peneliti,
yaitu 5,0. Untuk batuan dengan permeabilitas
rendah, harga konstanta Kozeny-Carman yang
lebih besar dari 5,0 diperlukan sebagai
kompensasi terhadap harga fa yang sebenarnya
jauh lebih kecil dari 1.
Demikian juga, dapat dimengerti bahwa
Willy dan Gardner (1958) menyatakan
persamaan Kozeny-Carman hanya cocok untuk
media berpori yang memiliki ukuran pori
seragam atau dalam rentang yang sempit, karena
pada media berpori yang demikian hampir
semua pori-pori berperan aktif terhadap aliran
sehingga fa mendekati 1. Ukuran pori yang
seragam juga mengindikasikan geometri dan
struktur pori yang relatif tidak kompleks
sehingga harga Dp mendekati 2,0 (lingkaran)
dan harga Ds mendekati 1,0 (garis lurus).
Dengan kata lain, media berpori yang memiliki
ukuran pori seragam atau dalam rentang yang
sempit mendekati asumsi dasar persamaan
Kozeny-Carman yang diadopsi oleh banyak
peneliti lain, yaitu bahwa jalur aliran fluida di
dalam media berpori dianggap sebagai pipa
kapiler silindris sehingga berlaku persamaan
Hagen-Poiseuille.
KESIMPULAN
1. Persamaan Kozeny-Carman menghasilkan
harga permeabilitas yang lebih rendah
daripada harga sebenarnya pada harga
permeabilitas
yang
tinggi,
tetapi
menghasilkan harga permeabilitas lebih
tinggi daripada harga sebenarnya pada harga
permeabilitas yang rendah.
2. Untuk 18 sampel batupasir yang digunakan
dalam penelitian ini, perhitungan dengan
menggunakan persamaan Kozeny-Carman
memiliki prosentase kesalahan yang relatif
lebih besar pada harga permeabilitas kurang
dari 1000 md, sedangkan kesalahan rataratanya adalah (-) 74,29%.
3. Persamaan Fraktal Permeabilitas Media
Berpori menghasilkan titik-titik data
yang sangat mendekati garis kemiringan
45o, baik pada harga permeabilitas
terukur yang tinggi maupun yang
rendah.
4. Untuk 18 sampel batupasir yang digunakan
dalam penelitian ini, persamaan fraktal
memberikan kesalahan rata-rata sebesar (-)
4,40%.
5. Persamaan Fraktal Permeabilitas Media
Berpori dapat menghilangkan kelemahan
dasar persamaan Kozeny-Carman yang
menganggap jalur aliran fluida di dalam
batuan sebagai pipa silindris.
6. Penelitian ini mendukung pernyataan Willy
dan Gardner (1958) bahwa Persamaan
Kozeny-Carman cocok digunakan untuk
media berpori yang memiliki ukuran pori
seragam atau dalam rentang yang sempit.
UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis mengucapkan terima kasih kepada PT.
Caltex Pacific Indonesia dan Unit Jasa
Kepakaran FIKTM ITB, yang telah membantu
dalam penyediaan data dan dana untuk
penelitian ini.
DAFTAR PUSTAKA
Abdassah, D., Permadi, P., Sumantri, Y., dan
Sumantri, R. (1996): Saturation Exponents
Derived from Fractal Modeling of Thinsections, Paper SPE 36978, the 1996 Asia
___________________________________________________________________________________
IATMI 2007-TS-07
Proceeding Simposium Nasional IATMI
25 - 28 Juli 2007, UPN “Veteran” Yogyakarta
_______________________________________________________________________________
Pacific Oil and Gas Conference, Adelaide,
Australia, 28-31 Oktober 1996.
Amyx, J.W., Bass, D. M. JR., dan Whiting, R.
L. (1960): Petroleum ReservoirEngineering
Physical
Properties,
McGraw-Hill
Publishing Company, New York.
Bear, J. (1988): Dynamics of Fluids in Porous
Media, Dover Publication, Inc, New York.
Civan, F. (2003): Leaky-Tube Permeability
Model for Identification, Characterization,
and Calibration of Reservoir Flow Units,
Paper SPE 84603, the SPE Annual
Technical Conference and Exhibition,
Denver, Colorado, USA, 5–8 Oktober.
Collins, R.E. (1976): Flow of Fluids Through
Porous
Materials,
The
Petroleum
Publishing Company, Tulsa.
Dullien, F.A.L. (1979): Porous Media Fluid
Transport and Pore Structure, Academic
Press, New York.
Falconer, K. (1990): Fractal Geometry,
Mathematical
Foundations
and
Applications, John Wiley & Sons Ltd, West
Sussex, England.
Feder, J., (1989): Fractals, Plenum Press, New
York, Fourth Printing.
Garrison, J.R. Jr., Pearn, W.C., dan von
Rosenberg, D.U. (1991): The Fractal Nature
of Geological Data Sets: Power Law
Processes Everywhere!, paper SPE 22842,
the 66th Annual Technical Conference and
Exhibition of SPE, Dallas, Texas.
Karacan, C.O. dan Okandan, E. (1995): Fractal
Analysis of Pore from Thin Sections and
Estimation of Permeability Therefrom,
TJOG, 1, No.2.
Kozeny, J. (1927): Uber Kapillare Leitung des
Wassers im Boden, Sitzungsberichte der
Wiener Akademie der Wissenschaften.
Leverett, M.C. (1941): Capillary Behavior in
Porous Solids, Trans. AIME, 142, 67-74.
Mandelbrot, B.B. (1989): Fractal Geometry:
What it is, and what does it do?,
Proceedings of Royal Society, London.
Mauran, S., Rigaud, L., dan Coudevylle, O.
(2001): Applicaton of the Karman-Cozeny
Correlation to a High-Porosity and
Anisotropic Consolidated Medium: The
Compressed Expanded Natural Graphite,
Transport in Porous Media, 43, 355-375,
Kluwer Academic Publishers, Netherlands.
Mortensen, J., Engstrom, F., dan Lind, I.
(1998): The Relation Among Porosity,
Permeability, and Specific Surface Area of
Chalk From The Gorm Filed, Danish North
Sea, Paper SPE 31062, SPE Reservoir
Evaluation & Engneering, Juni.
Nelson, P. H. (1994): Permeability-Porosity
Relationships in Sedimentary Rocks, The
Log Analyst, Mei-Juni.
Panda, M. N. dan Lake, L. W. (1994):
Estimation of Single-Phase Permeability
from
Parameters
of
Particle-Size
Distribution, AAPG Bulletin, 78, No. 7, Juli.
Permadi, P. (2001): Suatu Kajian Terhadap
Persamaan Kozeny-Carman, JTM-FIKTMITB, VIII, No. 2, Februari.
Pirson, S.J. (1958): Oil Reservoir Engineering,
McGraww-Hill Book Company Inc., New
York, Second Edition.
Rose, W., dan Bruce, W.A. (1949): Evaluation
of Capillary Character in Petroleum
Reservoir Rock, Petroleum Trans., AIME.
Sahimi, M., dan Yortsos, Y. (1990):
Applications of Fractal Geometry to Porous
Media: A Review, Paper SPE 20476.
Sumantri, Y. (1995): Eksponen Saturasi Untuk
Media Berpori Fraktal, Tesis Magister,
Prodi Teknik Perminyakan, Program
Pascasarjana, Institut Teknologi Bandung.
Sumantri, Y., Permadi, P., dan Putra, J.C.E.,
2006:
Estimating
Permeability
for
Sandstones Having Multi-Modal Pore Size
Distribution, Proceedings of IGCE, Jakarta,
Indonesia, 14 - 16 Agustus.
Tiab, D. dan Donaldson, E.C. (2004):
Petrophysics, Elsevier, Inc., UK, Second
Edition.
Welty, J.R., Wicks, C.E., dan Wilson, R.E.
(1984): Fundamentals of Momentum, Heat,
and Mass Transfer, John Wiley&Sons,
Singapore, Third Edition.
___________________________________________________________________________________
IATMI 2007-TS-07
Proceeding Simposium Nasional IATMI
25 - 28 Juli 2007, UPN “Veteran” Yogyakarta
_______________________________________________________________________________
TABEL 1. NOMOR SAMPEL, KEDALAMAN, FORMASI ASAL, JENIS BATUAN DAN
UKURAN BUTIR 18 SAMPEL YANG DIGUNAKAN DALAM PENELITIAN
Nomor
Sampel
Kedalaman
(feet)
Formasi
Jenis
Batuan
Ukuran Butir
1
2.126
Bekasap
Pasir lempungan
lanau medium - pasir halus
2
2.449
Menggala
Pasir lempungan
pasir sangat halus – sangat kasar
3
2.275
Bekasap
Pasir lempungan
lanau medium - pasir kasar
4
2.121
Bekasap
Pasir lempungan
lanau medium - pasir halus
5
2.312
Bekasap
Pasir lempungan
lanau kasar - pasir sangat kasar
6
2.632
Menggala
Pasir lempungan
pasir sangat halus - kasar
7
2.671
Menggala
Pasir lempungan
pasir sangat halus - kasar
8
2.585
Menggala
Pasir lempungan
pasir sangat halus – sangat kasar
9
2.143
Bekasap
Pasir lempungan
lanau medium - pasir halus
10
2.127
Bekasap
Pasir lempungan
lanau medium - pasir halus
11
2.617
Menggala
Pasir lempungan
pasir sangat halus – sangat kasar
12
2.179
Bekasap
Pasir lempungan
lanau halus - pasir kasar
13
2.430
Bekasap
Pasir lempungan
lanau medium - pasir kasar
14
2.384
Bekasap
Pasir lempungan
lanau medium - pasir kasar
15
2.428
Bekasap
Pasir lempungan
lanau medium - pasir halus
16
2.100
Bekasap
Pasir lempungan
pasir sangat halus – kasar
17
2.211
Bekasap
Pasir lempungan
lanau kasar - pasir sangat kasar
18
2.320
Bekasap
Pasir lempungan
lanau medium - pasir kasar
TABEL 2. HASIL PENGUKURAN SIFAT-SIFAT FISIK DAN FRAKTAL 18 SAMPEL
BATUPASIR
Nomor
Sampel
Formasi
1
Bekasap
2
3
(fraksi)
kX
terukur
(md)
DpX
DsX
(Le/L)2
dH
(µm)
faX
(fraksi)
1,5169
1,1319
5,34
0,248
9,1884
(Dp+2)(Ds+1)
0,26
31,65
1,6507
Menggala
0,21
68,29
1,7343
1,5056
1,0717
7,53
0,244
9,3567
Bekasap
0,27
11,08
1,6750
1,5284
1,1082
3,82
0,167
9,2919
4
Bekasap
0,23
31,38
1,5800
1,5291
1,1873
7,12
0,107
9,0542
5
Bekasap
0,37
93,04
1,7805
1,5462
1,0824
6,34
0,210
9,6259
6
Menggala
0,30
100,34
1,7239
1,5138
1,0859
6,92
0,318
9,3611
7
Menggala
0,22
139,14
1,6991
1,5164
1,1165
7,17
0,365
9,3084
8
Menggala
0,26
186,44
1,7295
1,5039
1,0876
7,53
0,424
9,3383
9
Bekasap
0,26
217,17
1,7047
1,4856
1,0903
10,07
0,324
9,2084
10
Bekasap
0,24
298,98
1,7025
1,4648
1,0931
9,08
0,330
9,1259
11
Menggala
0,29
310,11
1,7147
1,4668
1,0906
13,14
0,336
9,1634
12
Bekasap
0,29
410,70
1,6438
1,5543
1,2048
16,01
0,342
9,3074
13
Bekasap
0,33
1.301,32
1,7451
1,5021
1,0871
19,57
0,395
9,3706
14
Bekasap
0,37
1.606,98
1,7358
1,6470
1,1013
14,15
0,897
9,8887
15
Bekasap
0,29
1.933,17
1,7259
1,5166
1,0126
19,10
0,814
9,3766
16
Bekasap
0,33
3.398,00
1,8120
1,5423
1,0081
23,62
0,761
9,6912
17
18
Bekasap
Bekasap
0,37
0,35
3.737,91
3.644,80
1,7075
1,7496
1,6875
1,4580
1,1459
1,0898
23,04
21,98
0,834
0,793
9,9639
9,2165
___________________________________________________________________________________
IATMI 2007-TS-07
Proceeding Simposium Nasional IATMI
25 - 28 Juli 2007, UPN “Veteran” Yogyakarta
_______________________________________________________________________________
TABEL 3. HASIL PERHITUNGAN PERMEABILITAS ARAH-X DENGAN MENGGUNAKAN
PERSAMAAN KOZENY-CARMAN
Nomor
Sampel
Formasi
k terukur
(md)
Kesalahan
(%)
kK-C
(md)
1
Bekasap
31.65
92.75
-193,08
2
Menggala
68.29
152.47
-123,27
3
Bekasap
11.08
49.72
-348,56
4
Bekasap
31.38
145.50
-363,63
5
Bekasap
93.42
186.04
-99,14
6
Menggala
100.34
184.57
-83,93
7
Menggala
139.14
145.60
-4,64
8
Menggala
186.44
189.09
-1,42
-53,94
9
Bekasap
217.17
334.33
10
Bekasap
298.98
254.80
14,78
11
Menggala
310.11
631.57
-103,66
12
Bekasap
410.70
945.71
-130,27
13
Bekasap
1301.32
1616.31
-24,20
14
Bekasap
1606.98
937.56
41,66
15
Bekasap
1929.84
1358.01
29,63
16
Bekasap
3398.00
2356.64
30,65
17
Bekasap
3737.91
2454.11
34,35
18
Bekasap
3644.80
2131.31
41,52
Rata-rata: :
-74,29
TABEL 4. HASIL PERHITUNGAN PERMEABILITAS ARAH-X DENGAN MENGGUNAKAN
PERSAMAAN FRAKTAL
Nomor
Formasi
Sampel
k terukur
k fraktal
Kesalahan
(md)
(md)
(%)
1
Bekasap
31,65
44,27
-39,90
2
Menggala
68,29
74,19
-8,64
3
Bekasap
11,08
16,12
-45,43
4
Bekasap
31,38
28,96
7,71
5
Bekasap
93,42
74,89
19,83
6
Menggala
100,34
115,50
-15,10
7
Menggala
139,14
102,31
26,47
8
Menggala
186,44
157,92
15,30
9
Bekasap
217,17
211,83
2,46
10
Bekasap
298,98
165,99
44,48
11
Menggala
310,11
424,36
-36,84
12
Bekasap
410,70
576,24
-40,31
13
Bekasap
1301,32
1252,29
3,77
14
Bekasap
1606,98
1544,47
3,89
15
Bekasap
1929,84
2327,14
-20,59
16
Bekasap
3398,00
3673,20
-8,10
17
Bekasap
3737,91
3587,04
4,04
18
Bekasap
3644,80
3364,00
7,70
Rata-rata:
-4,40
___________________________________________________________________________________
IATMI 2007-TS-07
Proceeding Simposium Nasional IATMI
25 - 28 Juli 2007, UPN “Veteran” Yogyakarta
_______________________________________________________________________________
GAMBAR 1. (a) PPENAMPANG MODEL HIPOTETIK PIPA KAPILER
(b) PENAMPANG VOLUME-ATUR FLUIDA YANG MENGALIR DI DALAM PIPA KAPILER
GAMBAR 2. MODEL 3-D MEDIA BERPORI, DIMANA MASING-MASING SUMBU
ORTOGONAL MEMILIKI UKURAN, BENTUK DAN PANJANG PIPA KAPILER YANG
BERBEDA
GAMBAR 3. MESH DENGAN UKURAN
DALAM METODA BOX COUNTING (SUMANTRI,
1995)
___________________________________________________________________________________
IATMI 2007-TS-07
Proceeding Simposium Nasional IATMI
25 - 28 Juli 2007, UPN “Veteran” Yogyakarta
_______________________________________________________________________________
Mulai
Tampilkan window program dan menu utama
Masukkan pilihan dan tampilkan gambar sayatan-tipis
Ubah warna gambar menjadi hitam
untuk pori, putih untuk bukan pori
=0, x=0, y=0
y=0
x=0
= +1
y=0
x=x+
ya
x=x+1
x
ya
x
tidak
x+ Q
x max
tidak
ya
tidak
tidak
y
y+Q
Q<10
tidak
Hitung Dp dan Ds
dengan Pers. (II.12)
ya
y
y max
Hitung porositas
ya
baca warna pixel titik (x,y)
bila warna = hitam; boxp + 1
bila warna = hitam dan sekitarnya ada
warna putih; boxs = boxs + 1
Tampilkan hasil
perhitungan
Simpan hasil
perhitungan
y=y+1
Selesai
GAMBAR 4. DIAGRAM ALIR PROGRAM BOX COUNTING (SUMANTRI, 1995)
___________________________________________________________________________________
IATMI 2007-TS-07
Proceeding Simposium Nasional IATMI
25 - 28 Juli 2007, UPN “Veteran” Yogyakarta
_______________________________________________________________________________
kX pengukuran (md)
10000
1000
100
10
Menggal a
Bekasap
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
pengukuran (fraksi)
GAMBAR 5. HUBUNGAN ANTARA PERMEABILITAS DENGAN POROSITAS
PENGUKURAN UNTUK ARAH-X
10000
k X Terhitung (md)
1000
100
10
Fraktal
Kozeny-Carman
1
1
10
100
1000
10000
k X Terukur (m d)
GAMBAR 6. PLOT PERMEABILITAS TERUKUR TERHADAP PERMEABILITAS
TERHITUNG MENGGUNAKAN PERSAMAAN PERSAMAAN FRAKTAL DAN PERSAMAAN
KOZENY-CARMAN
___________________________________________________________________________________
IATMI 2007-TS-07