∏ ∑

Diktat Aljabar Linear
Vektor & Nilai Eigen
8. VEKTOR DAN NILAI EIGEN
8.1. PENGANTAR
DEFINISI 8.1:
Jika A adalah matriks bujur sangkar berukuran n x n, maka vektor tak nol x ∈ Cn
dikatakan sebagai vektor eigen dari A jika
Ax = λx
(8.1)
dengan λ ∈ C, λ dinamakan sebagai nilai eigen dari A sedangkan x dikatakan sebagai
vektor eigen yang bersesuaian dengan λ.
Persamaan (8.1) ekivalen dengan sistem persamaan linear homogen
(A - λI) x = 0
karena x nontrivial jika
atau
A − λI = 0
n
n
f(λ) = (-1) (λ + a1 λn-1 + a2 λn-2 + ...+ an-1 λ + an) = 0
!
!
λn + a1 λn-1 + a2 λn-2 + ...+ an-1 λ + an = 0
(8.2)
(8.3)
n
dengan : - a1 = Tr(A) =
∑a
(8.4)
ii
i =1
ISTILAH-ISTILAH 8.2:
Jika persamaan (8.1) terpenuhi, maka
(a) λ(A) = {λ | λ adalah nilai eigen dari A} dinamakan sebagai spektrum dari A
! λ ∈ λ(A)
" ∃ x ≠ 0 sedemikian hingga (A-λI) x = 0
" A -λI adalah singular
" p(λ) := |A-λI| = 0
(b) p(λ) disebut sebagai polinomial karakteristik dari A dengan derajat p = n
(c) Persamaan p(λ) = 0 disebut sebagai persamaan karakteristik
TEOREMA 8.3:
Dari teori dasar pada aljabar dapat disimpulkan bahwa:
Jika λ(A) = {λ1 λ2 ... λn} merupakan himpunan diskrit dari bilangan kompleks λi∈ C, dan
n
p(λ) =
∏
n
(λ i − λ )
maka p(0) = det(A) =
i =1
∏λ
i
(8.5)
i =1
Selanjutnya dari:
n
p(λ) := |A-λI| =
∏ (a
ii
− λ ) + q (λ )
dengan derajat q ≤ 2
i =1
maka akan didapat Teorema Vieta sebagai berikut :
n
∑
i =1
λ i =Trace(A) =
n
∑a
ii
(8.6)
i =1
Siana Halim- Teknik Industri UK. Petra 37
Vektor & Nilai Eigen
Diktat Aljabar Linear
TEOREMA 8.4:
Misalkan λi , i = 1,2,...,n adalah nilai-nilai eigen yang berbeda dari matriks A = (aij) ∈
Cnxn dan misalkan xi ,i = 1,2,..,n adalah vektor –vektor eigen yang bersesuaian maka
B={x1, x2,..,xn} bebas linear dan dapat membentuk basis untuk Cn
TEOREMA 8.5:
Jika A dan B adalah matriks –matriks yang serupa, maka A dan B memiliki karakteristik
polinomial yang sama yang berarti pula memiliki nilai-nilai eigen yang sama
Bukti:
Karena A dan B serupa, maka terdapatlah matriks nonsingular X sedemikian hingga
B=X-1 A X.
Det (B - λI) = Det (X-1 A X - λ X-1X)
= Det (X-1 (A - λI) X)
= Det (X-1 ) Det (A - λI) Det(X)
= Det (A - λI)
TEOREMA 8.6:
Misalkan A λxi = λi xi , xi ≠ 0, i = 1,...,n dan X := [x1, x2 , ...,xn] ∈ Cnxn, maka
AX = XΛ dimana Λ = diag (λ1, λ2,..., λn}
Jika x1, x2 , ...,xn bebas linear, berarti X tak singular dan didapat
X-1AX = Λ
maka A dikatakan dapat didiagonalkan
8.2. PERMASALAHAN VEKTOR DAN NILAI EIGEN
Dari uraian di atas tampak jelas ada dua masalah utama dalam bahasan vektor dan nilai
eigen yaitu:
(1) Mendapatkan nilai eigen itu sendiri bukanlah hal yang mudah, karena nilai eigen
didapat dari pemecahan akar-akar polinomial karakteristik.
(2) Akar-akar polinomial karakteristik tidak selalu berbeda, sehingga bila persamaan
(8.1) digunakan untuk mencari vektor –vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai
eigen yang ada maka belum tentu vektor –vektor eigen ini saling bebas linear.
Dengan kata lain bila terdapat nilai-nilai eigen yang sama, maka dengan hanya
menggunakan persamaan (8.1) maka vektor –vektor eigen yang didapat pasti saling
bergantung linear.
Untuk menyelesaikan masalah pertama digunakan metode aljabar linear numerik, seperti
, Specktum Slicing, Bisection, Devide and Conquer, Power Method, Invers Iteration, QR
Decomposition, Rayleigh-Ritz Method, Arnoldi,BiCG, GMRES, dan lain-lain.
TIDAK DIBAHAS PADA KULIAH INI !!!
38
Siana Halim- Teknik Industri UK. Petra
Diktat Aljabar Linear
Vektor & Nilai Eigen
Sedangkan untuk menyelesaiakan masalah kedua digunakan metode generalized eigen
vector.
8.3. GENERALIZED EIGEN VECTORS
DEFINISI 8.7:
Vektor tak nol x dikatakan sebagai generalized eigen vector dari A dengan rank k yang
bersesuaian dengan nilai eigen λ jika dan hanya jika
(8.7)
(A - λI)k x = 0 dan (A-λI)k-1 x ≠ 0.
Dalam hal ini k merupakan jumlah nilai eigen yang sama.
CATATAN –CATATAN 8.8:
• Jika k = 1, maka didapat persamaan vektor eigen biasa, persaman (8.1)
• Himpunan vektor {x1, x2, ...,xk} yang didefinisikan pada persmaan (8.7) disebut rantai
dari generalized eigen vectors yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigennya.
TEOREMA 8.9:
Himpunan dari generalized eigenvetors , S ={x1, x2, ...,xk} bebas linear.
8.4. JORDAN’S CANONICAL FORM
Jika TEOREMA 8.6 tidak dapat terpenuhi karena matirks A tidak simetris, ataupun
memiliki nilai-nilai eigen yang berulang, sehingga vektor –vektor eigen yang saling
bebas linear tidak didapat, maka teorema berikut (tanpa pembuktian) menjamin matriks
yang tidak terdiagonalisasi tersebut dapat ditransformasi menjadi hampir diagonal.
TEOREMA 8.10:
Setiap matriks bujur sangkar A dapat ditrasnformasikan oleh matriks nonsingular X
sedemikian hingga :
X-1 A X = J
Dimana J adalah :
J1
0

!

!
0

0
J2
0
0 
0 # 0 
"
! 

" ! 
0 0 J p 
0
#
Ji disebut Jordan Blok
Matriks –matriks ini berbentuk :
[λi ]
λ i
1

0
λ i 
λ i
1

 0
[λi ]
λ i
0

1
λ i 
λ i
0

 0
0
λi
1
1
λi
0
0
0 
λ i 
0
1 
λ i 
... atau Dalam satu blok hanya terdapat 1 nilai-nilai
eigen yang sama pada diagonal utamanya.
Siana Halim- Teknik Industri UK. Petra 39
Vektor & Nilai Eigen
Referensi
40
Siana Halim- Teknik Industri UK. Petra
Diktat Aljabar Linear