NILAI EIGEN dan VEKTOR EIGEN

07/11/2015
NILAI EIGEN dan VEKTOR EIGEN
Yang dipelajari….
1. Masalah Nilai Eigen dan Penyelesaiannya
2. Masalah Pendiagonalan
Referensi :
Kolman & Howard Anton.
Ilustrasi
Misalkan t : Rn  Rn dengan definisi
t(x) = A.x , utk setiap x  Rn
dengan A adalah matriks ukuran nxn.
Masalah :
Dapatkah ditentukan vektor x s.d.h x dan Ax
sejajar?
Pertanyaan ini jika dituliskan secara matematis
menjadi :
Dapatkah ditentukan x sedemikian hingga
Ax = x , utk suatu skalar  .
1
07/11/2015
• Perhatikan gambar berikut:
• Masalah yang dikemukakan di atas merupakan awal munculnya
istilah “Nilai Eigen” dan “Vektor Eigen”
• Masalah diatas merupakan permasalahan yang sering muncul di
bidang selain matematik, misalnya dibidang fisika (fisika nuklir dan
elastisitas), teknik (elektro dan kimia), biologi, mekanika kuantum.
Definisi 1
Misalkan A adalah matriks ukuran nxn.
Suatu skalar  yang memenuhi
persamaan
A.x = x
disebut nilai eigen dari matriks A, dan
vektor x  Rn disebut vektor eigen yang
bersesuaian dengan nilai eigen .
2
07/11/2015
1. Masalah Nilai Eigen dan Penyelesaiannya
• Masalah Nilai eigen :
Masalah mencari penyelesaian persamaan
A.x = .x, dimana A adalah matriks sebarang
ukuran nxn (diketahui), x vektor di Rn dan 
adalah sebarang skalar di R (dicari).
Ilustrasi
• Misalkan
• Maka

0
A
1

2
1
2

0

1  1 2 
A     
1
1  2 
1
1
2 
1
1
yang berarti x    dan  = ½ .
1
3
07/11/2015
Gambarnya….
1
x 
1
 12
Ax   
1
 2
Definisi 1
Jika A adalah matriks berukuran nxn, maka
nilai eigen dari A adalah akar-akar dari
persamaan karakteristik matriks A.
4
07/11/2015
Definisi 2
• Misalkan A = [aij] adalah matriks berukuran nxn.
Polinomial Karakteristik dari A adalah
p() = (det(In – A)) =
  a11
 a
21

 :

  a n1
 a12
  a 22
:
 an 2
 a1n 
...  a 2 n 

:
: 

...   a nn 
...
Persamaan karakteristik dari A adalah
det(In – A) = 0
Penyelesaian dari persamaan diatas disebut akar-akar
karakteristik dari matriks A.
Catatan:
• Polinomial karakteristik dari matriks
berukuran nxn merupakan polinomial
berderajad n, dan bisa dituliskan :
p() = ( - a11) ( - a22)… ( - ann)
= n + c1 n-1 + c2 n-2 + … + cn
5
07/11/2015
Contoh 1:
7  4 
Misalkan A  

5  2
Tentukan polinomial karakteristik dan akar-akar
karakteristik dari A.
Penyelesaian:
p ( )  det  I 2  A  
 7
4
5
2
 2  5  6    2   3
p    0    2,   3
Contoh 2
Tentukan nilai eigen dan vektor eigen untuk matriks pada contoh 1.
Penyelesaian:
Untuk nilai eigen 1 = 2 :
Utk nilai eigen 2 = 3 :
dibentuk SPL
dibentuk SPL
(3I2 – A)x = 0
(2I2 – A)x = 0
  5
 5

4   x1  0 
 
4   x2  0 
x1 = 4/5x2
 4 / 5

 1 
Jadi vektor eigen: v1  

  4 4   x1  0 
  5 5   x   0 

 2   
x1 = x2
1
Jadi vektor eigen:
v2   
1
6
07/11/2015
Teorema
Jika A adalah sebuah matriks berukuran nxn dan λ
adalah sebuah bilangan real, maka pernyataanpernyataan berikut ini ekivalen.
1. λ adalah sebuah nilai eigen dari A
2. Sistem persamaan (λI-A)x = 0, mempunyai solusi
nontrivial
3. Terdapat sebuah vektor taknol x pada Rn
sedemikian rupa sehingga Ax=λx
4. λ adalah sebuah solusi dari persamaan
karakteristik det (λI-A) = 0
Teorema
Jika k adalah bilangan bulat positif, λ adalah nilai
eigen dai suatu matriks A, dan x adalah vektor
eigen yang terkait dengan λ, maka λk adalah
nilai eigen dari Ak dan x adalah vektor eigen
yang terkait dengannya.
7
07/11/2015
Contoh 3
Dapatkan nilai eigen dan vektor eigen dari A3
dengan A seperti contoh 2.
Nilai eigen dari matriks A berdasarkan contoh
2 adalah 1 = 2 dan 2 = 3. Maka berdasarkan
Teorema, nilai eigen dari A3 adalah 13 = 23 = 8
dan 23 = 33 = 27 dengan vektor eigen sama
seperti pada contoh 2.
Nilai eigen dan keterbalikan (invers)
Teorema:
Sebuah matriks bujursangkar A dapat dibalik (
mempunyai invers) jika dan hanya jika c = 0
bukan merupakan nilai eigen dari A.
Contoh 4:
Pada contoh 2 matriks A mempunyai invers
karena nilai eigen tidak nol.
8
07/11/2015
Soal latihan
Dapatkan nilai eigen dan vektor eigen dari soal
berikut serta apakah matris tersebut
mempunyai invers:
2 3
1. A  

1 0 
0 0  2 
2. B  1 2 1 


1 0 3 
2 0 
3. C  

0  2
2 
 1
4. D  

2

7 

3 0 
5. A  

8  1
2
6. B   0

 0
4
7. C  
0
1
8. D  
4
1 1
2 1

0 3
1
2 
0
2 
MASALAH PENDIAGONALAN
Anita T. Kurniawati
9
07/11/2015
MATRIKS SIMILAR
Definisi
Diberikan matriks A dan B berukuran nxn.
Matriks B dikatakan similar dengan matriks A jika
ada matriks P sedemikian sehingga
B = P-1AP
Contoh 1:
Misalkan
 1 1
A

 2 4
Misalkan juga
Maka :
1 1 
P

1 2 
 2  1
P 1  

 1 1 
2 0
B  P AP  

0 3
1
Jadi B similar dengan A.
10
07/11/2015
Masalah Pendiagonalan ?
Diberikan matriks A ukuran nxn.
Apakah ada matriks s.d.h matriks A similar
dengan matriks diagonal ?
Definisi
• Suatu matriks Anxn dikatakan dapat
didiagonalkan (diagonalizable) jika
ada matriks s.d.h. P-1AP = D, dengan
D adalah matriks diagonal.
11
07/11/2015
Teorema 1
• Suatu matriks Anxn dapat didiagonalkan
(diagonalizable) jika dan hanya jika A
mempunyai n vektor eigen yang bebas linier.
Contoh 2:
Diketahui matriks
 1 1
A

 2 4
Nilai eigen dari A : 1 = 2 dan 2 = 3.
Vektor eigen yang bersesuaian dengan 1 dan 2 adalah :
dan
1
1
x   p
x   p
 2 linier.
1bahwa x dan x bebas
Dapat dibuktikan
1
2
1
1
2
2
Selanjutnya, A dapat didiagonalkan, dengan
(Lihat contoh 1)
1 1 
P

1 2 
12
07/11/2015
Prosedur Pendiagonalan Matriks
Misalkan A adalah matriks ukuran nxn dan mempunyai n
vektor eigen yang bebas linier.
Langkah 1
Carilah n vektor eigen yang bebas linier, misalkan v1, v2,
… , vn.
Langkah 2
Susunlah vektor-vektor vi menjadi suatu matriks P.
Langkah 3
Kalikan P-1AP, maka A akan similar dengan matriks
diagonal D.
Contoh 3:
Diagonalkan matriks
Penyelesaian:
Persamaan karakteristik:
 4  4
 1


A   8  11 8 
8
8
5 

3  52  3  9    1  3  0
2
Vektor eigen yang bersesuaian dengan  = 1 :
 1 
 
v1   2 
  2
 
13
07/11/2015
Vektor eigen yang bersesuaian dengan  = -3 adalah
1
1
 
 
v   1 , v   0 
0
1
 
 
2
3
Dapat dibuktikan bahwa {v1, v2, v3 } adalah bebas linier (coba cek).
Selanjutnya bentuk matriks P :
 1 1 1


P   2 1 0
 2 0 1


dan dapat dihitung bahwa
1
P AP  0

0
1
0 
3 0 

0  3
0
Teorema 2
Jika v1, v2, …, vk adalah vektor2 eigen yang
bersesuaian dengan nilai-nilai eigen
 1,  2,
… , k, maka {v1, v2, …, vk } adalah bebas linier.
Teorema 3
Jika A adalah matriks ukuran nxn dan
mempunyai n nilai eigen real yang berbeda
(tanpa pengulangan), maka A (pasti) dapat
didiagonalkan.
14
07/11/2015
Misalnya….
• Pada Contoh 1, matriks A2x2 mempunyai 2 nilai
eigen yang berbeda, maka A dapat
didiagonalkan.
• Pada Contoh 3, matriks A3x3 mempunyai 2 nilai
eigen berbeda (dengan  = -3 adalah
pengulangan), maka A dapat didiagonalkan
karena A mpy 3 vektor eigen yang bebas linier
(Teorema 1)
Contoh 4:
Diberikan matriks
0 0 1 
A  0 1 2 


0 0 1 
Persamaan karakteristik dari A : p() = ( - 1)2 = 0
Shg nilai eigen dari A : 1 = 0 dan 2 = 3 = 1.
1 
Vektor eigen yang bersesuaian dengan  = 0 :  
0
 
 0 
vektor yang bersesuaian dengan  = 1 :
0 
1 
 
 0 
Jadi menurut Teorema 1, A tidak dapat didiagonalkan.
15
07/11/2015
Soal Latihan
Jika mungkin, diagonalkanlah
matriks berikut:
8  6 
1. A  

 2 10 
 4  3
2. B   0
1

6
 6
 2 3
3. C  

 3 1
 0 3
4. D  

 2 1
 3
0 

5 
16