(ms.3) subruang coninvarian dari matriks kuadrat - Statday

PROSIDING
Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
ISSN : 2087-5290.
Vol 2, November 2011
(MS.3)
SUBRUANG CONINVARIAN DARI MATRIKS KUADRAT KOMPLEKS
Euis Hartini
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Padjadjaran,
Jl. Raya Bandung-Sumedang KM. 21 Jatinangor
Email : [email protected]
Abstrak
( ), diperoleh skalar
Di dalam persamaan
=
, di mana matriks
C adalah
nilai coneigen dari nilai dan
adalah vektor coneigen (vektor coninvarian) dari
( ) mempunyai vektor coninvarian.
yang berkaitan dengan . Tidak setiap matriks di
Dengan demikian, didefinisikan subruang ℒ
dan ℒ subruang coninvarian dari matriks
jika ℒ ∁ ℒ dengan ℒ = { |x
ℒ } di mana adalah konjugat dari vektor kolom x.
( ) ( ≥ 3) mempunyai
Pada paper ini akan dibuktikan untuk setiap matriks
subruang coninvarian dimensi-1 atau 2. Sedangkan untuk matriks normal konjugat
(
) , jika setiap subruang coninvarian dari
maka berlaku juga subruang
coninvarian dari .
Kata Kunci : Nilai coneigen, vektor coninvarian, subruang coninvarian, dan matriks normal
konjugat.
1. PENDAHULUAN
Sebarang vektor
lapangan
kedalam
yang ditransformasikan oleh matriks kuadrat
, sehingga
=
karakteristik atau vektor eigen dari
berordo
×
atas
, di mana disebut vektor invarian atau vektor
yang berkaitan dengan skalar (nilai eigen) dari
matriks .
Untuk menentukan
nilai eigen dari matriks
persamaan karakteristik det(
berkaitan dengan yaitu (
Menurut sifat jika
×
dan jika
,
,
,…,
berordo
− ) = 0 dan untuk menentukan
×
, yaitu melalui
vektor invarian yang
− ) = 0.
,…,
adalah nilai eigen yang berlainan dari matriks
berordo
merupakan vektor-vektor invarian tak nol yang masing-masing
berkaitan dengan nilai eigennya, maka { } untuk i= 1, 2, … , adalah bebas linier. Jika
eigen dari
berordo
×
maka rank
invarian yang berkaitan dengan
Selanjutnya untuk skalar
−
adalah
nilai
− 1 dan dimensi ruang vektor
adalah 1.
∈
dan vektor tak nol
coneigen dan vektor coninvarian yang berkaitan dengan
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
∈
masing-masing disebut nilai
dari matriks
∈
( ), berlaku
258
PROSIDING
Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
=
ISSN : 2087-5290.
Vol 2, November 2011
̅ . Di dalam ruang vektor yang skalarnya bilangan real disebut ruang vektor real dan
ruang vektor yang skalarnya kompleks disebut suatu ruang vektor kompleks. Dengan
demikian di dalam ruang vektor yang skalarnya coneigen invarian dari matriks kuadrat
kompleks disebut ruang vektor coneigen invarian matriks kuadrat kompleks.
2. PEMBAHASAN
Dalam pembahasan paper ini diberikan definisi-definisi untuk menunjang
pembuktian teorema berikutnya, yaitu sebagai berikut
Definisi 1. Kenormalan suatu matriks kuadrat
∗
=
(1)
Definisi 2. Suatu matriks
∗
=
adalah
∗
∈
( ) dikatakan normal konjugat jika
∗
(2)
Misalkan matriks ,
∈
( ) dikatakan consingular jika
=
untuk matriks
nonsingluar.
Didefinisikan matriks perkalian berikut ini.
= ̅ dan
̅=
=
(3)
Karena tidak setiap matriks di
( ) mempunyai vektor coneigen maka didefinisikan
berikut ini :
Definisi 3. Subruang ℒ
∈
( ) jika
dengan ℒ = { |x
dan ℒ subruang coninvarian dari matriks
ℒ∁ ℒ
ℒ } di mana
(4)
adalah konjugat dari vektor kolom x.
Hal khusus, jika dimensi ℒ = 1 , maka untuk setiap vektor tak nol x ∈ ℒ disebut vektor
coneigen (vektor coninvarian) dari .
Berikut ini contoh dari Definisi 3.
Contoh 1.
1+
maka
3
− 2 −1 −
− )=
= ( − 2)( − 3) − 2 =
−1 +
−3
=
det (
2
1−
−5 +4
= ( − 1)( − 4)
=0
Jadi, nilai coneigen matriks A adalah
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
= 1 dan
=4
259
PROSIDING
Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
ISSN : 2087-5290.
Vol 2, November 2011
−1
−1 −
0
=
diperoleh
= (−1 − ) dan
= .
−1 +
−2
0
−1 −
(−1 − )
Jadi, =
=
merupakan ruang eigen ( ruang solusi/ coninvarian) yang
1
−1 −
berdimensi satu dengan basis =
, u merupakan vektor coninvarian dari A.
1
2
−1 −
0
Untuk =
= 4 maka
=
diperoleh =
dan = . Jadi,
−1 +
1
0
Untuk
=
=
= 1 , maka
=
merupakan ruang eigen (ruang solusi/coninvarian) yang berdimensi satu
1
dengan basis
=
, v merupakan vektor coninvarian dari A.
1
Dengan demikian,
Jadi, berlaku
ℒ=
2
1−
1+
3
−1 −
1
=
−1
−1 +
dan ℒ =
1
1
ℒ∁ ℒ.
Sebagai dasar pada subruang coninvarian diberikan teorema berikut ini.
Teorema 1. Untuk setiap matriks
( ) ( ≥ 3) mempunyai subruang coninvarian
dimensi 1 atau 2.
Bukti :
Misalkan
merupakan vektor eigen
= ̅
untuk suatu λ
dengan
=
(5)
. Didefinisikan
=
(6)
Andaikan dan adalah bergantung linier, yaitu
=
̅
Untuk suatu
(7)
, maka
adalah vektor coninvarian dari
dan ℒ =
{ } merupakan
subruang coninvarian dimensi-1. Persamaan (7) akan berlaku
= ̅
=| |
, sedangkan persamaan (5) nilai eigen
nonnegatif. Diasumsikan bahwa dan
ditulis sebagai
=
merupakan bilangan
adalah bebas linier. Maka persamaan (6) dapat
dan persamaan (5) dapat ditulis sebagai berikut
= ̅ ̅,
(8)
hal ini berarti ℒ = span{x, y} adalah subruang coninvarian dimensi-2 dari
.
Sehingga didapat hubungan matriks berikut ini
̅
A{ , } = { , } 0
.
1 0
Dengan
vektor eigen dari
(9)
dari persamaan(6) dan perkalian persamaan (8) dengan
diperoleh
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
260
̅
PROSIDING
Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
= ̅
Jadi vektor
ISSN : 2087-5290.
Vol 2, November 2011
= ̅ .
=
(10)
berkaitan dengan nilai eigen , dan vektor
berkaitan ̅ . Dengan demikian ℒ
subruang dimensi-2, dalam hal ini subruang invarian dari invarian
dibangun oleh dua
vektor eigen yaitu pasangan nilai eigen konjugat kompleks.
Jika
≠ 0 maka dari (9) berlaku
= √ dan untuk (6) dapat didefinisikan
=
(11)
Maka diperoleh
=
,
=
dan
[
]=[
]
0
̅
.
0
(12)
Diberikan contoh untuk matriks berordo 3 x 3 atas bilangan kompleks.
Contoh 2.
−1
1
= − 1
untuk menentukan nilai coninvarian dari matriks A dengan melalui
1
−1
+1
−1
det ( − ) = 0 yaitu
=0
−1
−
−1
−
+1
⇒ ( + 1)( − 1)( + 1) +
⇒
+
⇒
+
− ( − 1) −
( + 1) −
( + 1) = 0
=0
( + 1) = 0
Jadi, nilai coninvarian dari A adalah
1
Untuk
= 0 maka
−1
−1 −
−1
−
1
= 0 dan
= −1
0
= 0 diperoleh
0
= 1,
= 0, dan
= 1. Jadi,
1
= 0 merupakan ruang eigen (ruang solusi/coninvarian) yang berdimensi satu dengan
1
1
basis = 0 , u merupakan vektor coninvarian dari A.
1
0
−1
0
Untuk = 1 maka
= 0 diperoleh = − , = 1, dan
= 0. Jadi,
−2 −
−1 −
0
0
−
= 1 merupakan ruang eigen (ruang solusi/coninvarian) yang berdimensi satu dengan
0
−
basis = 1 , v merupakan vektor coninvarian dari A.
0
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
261
PROSIDING
Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
ISSN : 2087-5290.
Vol 2, November 2011
≤⋯≤
) dari suatu
Selanjutnya akan diberikan matriks normal konjugat ℵ , di mana jika
ℵ maka
Sifat 1. Misalkan
matriks
( ). Jika
∈
=
,...,
…….
(
submatriks dari baris , … ,
∈
≤
ℵ maka
,…,
ℵ dan
ℵ . Sifat subruang coninvarian dari
ℵ diberikan pada teorema
berikut ini.
Teorema 2. Jika untuk setiap subruang coninvarian dari
subruang coninvarian dari
ℵ maka berlaku juga
.
Bukti :
Misalkan ℒ merupakan subruang coninvarian dimensi- dari
(1 ≤
≤ ) . Misalkan basis ortonomal
merupakan elemen ruang
dan didefinisikan
,…,
di ℒ dan
=[
=
…
,…,
,
,…,
],
=
Partisi
yang bersesuaian dengan
(13)
∶
=
dimana
adalah blok
=
× . Dari (13) dapat ditulis
.
(14)
maka menurut definisi subruang coninvarian
Misalkan
= 0.
ℵ berlaku (13)
= 0.
dari (13), diperoleh
=
dan
=
(15)
Persamaan (15) berarti ℒ adalah subruang coninvarian dari
.
Contoh 3.
2
1−
2
1−
maka
=
1−
2
1−
2
2
1−
2
1+
=
= , dan ̅ =
= ∗
1−
2
1+
2
2
1−
2
1+
Jadi, ∗ =
1−
2
1+
2
=
∗
∗
=
∗
̅=
2
1−
1−
2
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
2
1+
=
,
∗
=
=
2
1+
1+
2
,
1+
2
262
PROSIDING
Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
Dengan demikian
∗
=
∗
ISSN : 2087-5290.
Vol 2, November 2011
, sehingga A merupakan matriks normal conjugate.
Selanjutnya, untuk menentukan nilai coneigen dan vektor invariant dari matriks di atas
diperoleh det (λI − ) = 0 ⇒
− 2 −1 +
= ( − 2) – (−1 + ) = 0
1+
−2
⇒ ( − 2) + (−1 + ) (( − 2) − (−1 + ) = 0
Jadi, nilai-nilai coneigen dari matriks A adalah
− 2 = −1 + ⇒
Untuk
− 2 = −(−1 + ) ⇒
= + 3 dan
= +1
= − +3
− + 1 −1 +
−1 +
− +1
−
Jadi, =
=
=
0
maka diperoleh
0
= − dan
=
−1
merupakan ruang eigen (ruang solusi/coninvarian) yang
1
−1
berdimensi satu dengan basis =
, u merupakan vektor coninvarian dari A.
1
Untuk
= +3
+1
−1 +
−1 +
+1
−
=
=
=
0
maka diperoleh
0
= − dan
=
−1
merupakan ruang eigen (ruang solusi/coninvarian) yang
1
−1
berdimensi satu dengan basis =
, v merupakan vektor coninvarian dari A.
1
Jadi,
Karena A matriks normal conjugate, maka nilai coneigen dan vektor coninvarian dari
matriks
sama halnya dengan nilai coneigen dan vektor coninvarian dari matriks A.
3. KESIMPULAN
Untuk setiap matriks A berordo 2 x 2 atas bilangan komplek mempunyai subruang
coninvarian berdimensi -1. Sedangkan untuk setiap matriks A berordo n x n atas bilangan
kompleks dengan n ≥ 3 mempunyai subruang coninvarian berdimensi -1 atau 2.
Untuk A matriks normal conjugate, subruang coninvarian
sama halnya dengan
subruang coninvarian A.
4.
DAFTAR PUSTAKA
Anton, Howard, 2000, Dasar—dasar Aljabar Linear, diterjemkan pleh Ir. Hari Suminto,
Interaksara, Batam
Ayres, Frank ,Jr.PhD, 1994, Matriks, diterjemahkan oleh I Nyoman Susila, Erlangga,
JakartaFaϐbender,H dan Ikramov ,Kh. D.,2006, Some observation on the Youla form and
conjugate-normal matrices. http://www.icm.tu-bs.de/~hfassben/papers/youla.pdf (diakses
pada bulan Juni 2011)
Faϐbender, H, dan Kh. D. Ikramov, 30 November 2007, Conjugate-normal matrices A
Survey. http://www.icm.tu- bs.de/~hfassben/papers/youla.pdf (diakses pada bulan Juni
2011)
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
263