BAB II Tinjauan Pustaka_ G11ruh

II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Sistem Persamaan Linear dan Matriks
Selain itu, SPL berukuran
juga dapat ditulis dalam bentuk
tersebut
Definisi 2.1.1 (Persamaan Linear)
Suatu persamaan linear dalam
adalah persamaan dengan bentuk
dengan , , …,
bilangan real dan
variabel.
variabel
dengan matriks
dan vektor kolom
(masing-masing berturut-turut berorde
dan
1) adalah
, dan adalah bilangan,
, …,
adalah
(Leon 1998)
Persamaan linear tersebut disebut sebagai
hiperbidang pada ruang Euclid berdimensi ,
.
(Anton & Rorres 2005)
Definisi 2.1.2 (Sistem Persamaan Linear)
Suatu sistem persamaan linear (SPL) dari
persamaan dalam
variabel adalah suatu
sistem berbentuk
, .
Matriks disebut sebagai matriks koefisien,
sedangkan vektor kolom
disebut sebagai
vektor konstanta.
(Leon 1998)
Definisi 2.1.3 (Kekonsistenan dari Suatu
SPL)
dengan
dan
(1
, 1
)
adalah bilangan-bilangan real dan , , …,
adalah variabel. SPL tersebut disebut
sebagai SPL berukuran
.
Penyelesaian SPL berukuran
adalah sebuah vektor kolom berorde
1,
yaitu
Suatu SPL dikatakan konsisten jika
mempunyai paling sedikit satu penyelesaian,
sedangkan suatu SPL yang tidak mempunyai
penyelesaian dikatakan takkonsisten.
(Leon 1998)
Definisi 2.1.4 (Matriks Identitas)
Matriks identitas adalah matriks
yang berorde
, dengan
1,
0,
,
.
(Leon 1998)
yang memenuhi semua persamaan linear
dalam sistem. Vektor yang demikian disebut
sebagai vektor penyelesaian.
(Leon 1998)
SPL berukuran
tersebut dapat
ditulis dalam bentuk
,
1, 2, … ,
dengan vektor-vektor kolom
dan
(masing-masing berorde
1) adalah
,
,
1, 2, … ,
.
(Anton & Rorres 2005)
Definisi 2.1.5 (Invers dari Suatu Matriks)
Suatu matriks
yang berorde
dikatakan taksingular jika terdapat matriks
sehingga
. Matriks dikatakan
invers multiplikatif dari matriks . Invers
multiplikatif dari matriks taksingular secara
sederhana disebut juga sebagai invers dari
.
matriks dan dinotasikan dengan
(Leon 1998)
Definisi 2.1.6
Matriks)
(Transpos
dari
Suatu
Transpos dari suatu matriks
yang berorde
adalah matriks
yang berorde
yang didefinisikan oleh
3
untuk setiap
dan
dinotasikan oleh .
. Transpos dari
(Leon 1998)
dikatakan sama (dinotasikan dengan
jika
untuk setiap
)
.
(Deskins 1964)
2.2. Ruang Vektor
Ruang Vektor Euclid
Definisi 2.3.3 (Kernel
Transformasi Matriks)
dari
dapat dipandang
Ruang vektor Euclid
sebagai himpunan semua vektor yang berorde
1 dengan entri-entrinya berupa bilangan
real.
(Leon 1998)
Misalkan
adalah suatu transformasi
ke
. Kernel (ruang nol)
matriks dari
dari transformasi matriks
dilambangkan
dengan Ker
dan didefinisikan oleh
|
Ker
.
Ruang Vektor
(Leon 1998)
dapat dipandang
Ruang vektor
sebagai himpunan semua matriks yang
berorde
dengan entri-entrinya berupa
bilangan real.
(Leon 1998)
Definisi 2.2.1 (Ruang Bagian dari
)
Jika
adalah suatu himpunan bagian
dan
takkosong dari ruang vektor
memenuhi
1.
2.
,
,
,
maka
Suatu
,
dan
,
dikatakan suatu ruang bagian dari
.
(Leon 1998)
Definisi
2.3.4
(Image
Transformasi Matriks)
dari
Suatu
Misalkan
adalah suatu transformasi
ke
. Image dari
matriks dari
transformasi matriks dilambangkan dengan
Im
dan didefinisikan oleh
|
Im
.
(Leon 1998)
2.4. Ortogonalitas
)
Definisi 2.4.1 (Hasil Kali Skalar di
Misalkan ,
dengan
2.3. Transformasi Linear
,
Definisi 2.3.1 (Transformasi Linear dari
)
ke
Jika adalah suatu matriks yang berorde
dari
, maka suatu transformasi linear
ke
dapat dinyatakan sebagai
, maka hasil kali skalar dari
dan
adalah
.
(Leon 1998)
. Oleh karena itu, setiap
untuk setiap
matriks
yang berorde
dapat
dipandang sebagai transformasi linear dari
.
ke
(Leon 1998)
juga dapat disebut
Transformasi linear
dengan transformasi matriks .
(Anton & Rorres 2005)
Definisi 2.4.2 (Norm dari Suatu Vektor di
)
Misalkan
dengan
, maka norm dari vektor
Definisi 2.3.2 (Kesamaan Transformasi
Matriks)
Misalkan
dan
adalah transformasike
. dan
transformasi matriks dari
di
adalah
.
(Leon 1998)
4
Definisi 2.4.3 (Norm dari Suatu Matriks di
)
Norm dari suatu matriks
yang berorde
dapat didefinisikan sebagai
,
max
.
(Leon 1998)
|
1.
(Leon 1998)
Lema 2.4.10
Jika
adalah suatu matriks berorde
, maka
.
Bukti dapat dilihat di Leon (1998).
.
)
Definisi 2.4.5 (Proyeksi vektor di
dan
Misalkan ,
vektor pada adalah vektor
Bukti dapat dilihat di Leon (1998).
Jika
dan
adalah ruang-ruang bagian
dan setiap
dapat ditulis secara
dari
unik sebagai jumlah
dengan
dan
dikatakan jumlah langsung
, maka
dari dan , serta dinotasikan dengan
,
,
.
Definisi 2.4.11 (Jumlah Langsung)
,
dan
2.
Im
Ker
,
.
disebut komplemen ortogonal
Himpunan
dari .
Lema 2.4.4
Norm vektor pada Definisi 2.4.2 dan norm
matriks pada Definisi 2.4.3 memenuhi
0,
. Proyeksi
(Leon 1998)
Lema 2.4.12
.
(Leon 1998)
)
Definisi 2.4.6 (Ortogonalitas di
Vektor-vektor
0.
jika
dan
Jika
maka
,
adalah suatu ruang bagian dari
.
Bukti dapat dilihat di Leon (1998).
disebut ortogonal
)
Definisi 2.4.13 (Proyeksi Ortogonal di
(Leon 1998)
Definisi 2.4.7 (Ruang Bagian Ortogonal)
Suatu proyeksi ortogonal di
suatu transformasi matriks dari
sedemikian sehingga
disebut
Dua ruang bagian dan dari
ortogonal jika untuk setiap
dan setiap
0. Jika dan ortogonal, maka
,
ditulis
adalah
ke
.
(Rynne & Youngson 2008)
Definisi 2.4.14 (Proyeksi Ortogonal pada
Ruang Bagian)
.
(Leon 1998)
Lema 2.4.8
Jika dan adalah dua ruang bagian dari
yang ortogonal, maka
.
.
Misalkan adalah ruang bagian dari
Proyeksi ortogonal pada ruang bagian di
yang memenuhi
dinotasikan dengan
,
,
dan
.
(Rynne & Youngson 2008)
Bukti dapat dilihat di Leon (1998).
Teorema
2.4.15
Ortogonal)
Definisi 2.4.9 (Komplemen Ortogonal)
Misalkan suatu hiperbidang di
dan misalkan
mempunyai persamaan
adalah sebarang titik di
, maka proyeksi
, dari
terhadap hiperbidang
ortogonal,
tersebut dinyatakan dengan
.
Misalkan adalah ruang bagian dari
yang
Himpunan semua vektor-vektor di
ortogonal dengan setiap vektor di
dinotasikan dengan , yaitu
(Rumus
Proyeksi
5
lim
.
.
(Rynne & Youngson 2008)
(Anton & Rorres 2005)
Bukti dapat dilihat pada Lampiran 1.
2.5. Masalah Kuadrat Terkecil
Misalkan
adalah SPL
berukuran
. Untuk setiap
didefinisikan sisaan sebagai
yang
,
.
Lema 2.6.3
dan
adalah barisanJika
barisan di
sedemikian sehingga berturutdan
, yaitu
turut konvergen ke
lim
,
lim
,
dan
Norm sisaan diberikan oleh
.
Penyelesaian dari SPL
dapat
dihampiri dengan suatu vektor
.
Vektor seperti ini disebut dengan penyelesaian
hampiran. Salah satu cara untuk mendapatkan
penyelesaian hampiran adalah dengan mencari
sehingga norm sisaan
suatu vektor
minimum,
yakni
minimum.
Meminimumkan
sama dengan
. Masalah ini disebut
meminimumkan
dengan masalah kuadrat terkecil. Suatu vektor
yang menyelesaikan masalah ini disebut
dengan suatu penyelesaian kuadrat terkecil
atas SPL
.
(Leon 1998)
Selanjutnya, himpunan semua vektor
penyelesaian kuadrat terkecil atas SPL
dinotasikan dengan
, .
di
, yaitu
maka barisan
konvergen ke
lim
dan
.
Bukti dapat dilihat di Rynne & Youngson
(2008).
Definisi 2.6.4 (Kekonvergenan
)
Takhingga di
Misalkan
Untuk setiap
Deret
adalah barisan di
, misalkan
adalah jumlah parsial ketersebut. Deret
.
dari barisan
2.6. Barisan dan Deret
Definisi 2.6.1 (Barisan di
)
dikatakan konvergen jika
adalah suatu fungsi dari
Barisan di
. Misalkan
adalah suatu
ke
dengan
barisan di
,
Barisan
.
lim
ada di
dan
biasa dilambangkan dengan
lim
.
(Rynne & Youngson 2008)
Definisi 2.6.2 (Kekonvergenan Barisan di
)
Misalkan
Barisan
jika
0,
adalah barisan di
disebut konvergen ke
sehingga
.
.
(Rynne & Youngson 2008)
Teorema 2.6.5 (Deret Neumann di
)
1, maka
dengan
Jika
taksingular dan
.
, untuk
dan dinotasikan sebagai
Bukti dapat dilihat di Rynne & Youngson
(2008).