Transformasi Linear

Transformasi Linear
Definisi
Misalkan V, W suatu ruang vektor atas sebuah field.
T: V  W suatu fungsi.
T disebut transformasi linear jika untuk u, v  V dan k skalar berlaku
1.
2.
(
(
)
)
( )
( )
( )
Contoh
1. Suatu transformasi T: 3  3 didefinisikan sebagai
(( ))
untuk setiap ( )
Vektor (
(
.
) akan ditransformasikan oleh T menjadi vektor ( ), karena
((
))
(
(
(
Vektor ( ) disebut peta dari vektor (
Vektor (
)
))
( )
)
) oleh transformasi T.
) disebut prapeta dari vektor ( ) oleh transformasi T.
Apakah transformasi T merupakan transformasi linear?
Misalkan u, v  3 dan k skalar.
Karena u  3 maka u = (
), karena v  3 maka v = (
) dengan
.
1.
(
)
((
)
((
Transformasi Linear – Onggo Wiryawan
( ))
))
Halaman 1 dari 6
(
((
)
)
(
(
)
))
(
Sedangkan ( )
Ternyata (
)
( )
)
( )
((
))
(( ))
(
)
(
)
(
((
)
)
(
(
)
))
( ), sehingga T bukan transformasi linear.
2. Suatu transformasi T: 2   didefinisikan sebagai
(. /)
untuk setiap . /
.
a. Tentukan hasil transformasi dari . / dan .
/ terhadap T.
b. Tentukan apakah T merupakan transformasi linear.
Jawab
a.
(. /)
/)
(.
b. Misalkan u, v  2 dan k skalar.
Karena u  2 maka u = .
(
)
(.
/
. /)
/)
(.
(
( )
/, karena v  2 maka v = . /.
) (
( )
)
Sedangkan
(
)
((
(
( .
/)
))
)
(.
/)
( )
Transformasi Linear – Onggo Wiryawan
Halaman 2 dari 6
Sehingga dapat disimpulkan bahwa
merupakan transformasi linear.
Teorema
Misalkan
1.
2.
3.
suatu transformasi linear, maka untuk
( )
( )
(
)
( )
( )
berlaku
( )
Bukti
1.
( )
2.
( )
3.
(
(
)
( )
( )
( )
( ))
(
( )
)
( ))
(
( )
( )
( )
( )
Definisi
Misalkan
suatu transformasi linear maka himpunan
( )
* |
yang merupakan himpunan bagian dari
transformasi linear .
+
( )
, disebut Ruang Peta (Image) dari
Sedangkan himpunan
( )
( )
* |
+
yang merupakan himpunan bagian dari , disebut Ruang Nol (Kernel) dari
transformasi linear .
Teorema
( ) dan
( ) masing-masing merupakan subruang dari
dan .
Bukti
Masing-masing dari
dan .
Pada
a.
b.
( ) dan
( ) merupakan himpunan bagian dari dari
( ) akan ditunjukkan bahwa
( ) dan
suatu skalar berlaku
( )
( )
Yaitu misalkan
( ), dan
suatu skalar.
( ) maka akan ada suatu
Karena
. Sehingga dapat ditulis
Transformasi Linear – Onggo Wiryawan
yang merupakan prapeta dari
Halaman 3 dari 6
( )
( ) maka akan ada suatu
Begitu pula untuk
prapeta dari . Sehingga dapat ditulis
(
yang merupakan
)
maka
( )
Terlihat bahwa
( ), maka
( )
(
)
merupakan hasil dari peta
( ). *syarat a terpenuhi
, sesuai definisi
Sedangkan
( )
Terlihat bahwa
( ), maka
Pada
(
merupakan hasil peta dari
( ). *syarat b terpenuhi
( ) akan ditunjukkan bahwa
a.
b.
, sesuai sesuai definisi
( ) dan
suatu skalar berlaku
( )
( )
Yaitu misalkan
Karena
( )
)
( ), dan
( ) maka ( )
sehingga
(
)
suatu skalar.
begitu pula untuk
( )
( ) maka
( )
Terlihat bahwa
dipetakan ke , sesuai definisi
( ). *syarat a terpenuhi
( ), maka
Sedangkan
(
)
( )
Terlihat bahwa
dipetakan ke , sesuai definisi
*syarat b terpenuhi
Misalkan
( ), maka
( ).
suatu transformasi vektor linear.
* +
adalah basis natural dari
* +
adalah basis natural dari
( ) ( )
( ) adalah vektor-vektor di
merupakan kombinasi linear dari * +.
.
.
sehingga masing-masing mereka
Yaitu
( )
( )
Transformasi Linear – Onggo Wiryawan
Halaman 4 dari 6
( )
Sehingga
[
( )
( )
]
[
][
]
( )
Matriks Koefisien
Transpose dari matriks koefisien di atas disebut Matriks Representasi atau
disebut juga Matriks Transformasi dari transformasi linear , relatif terhadap
basis natural * + dan * +.
]  Matriks Transformasi
[
Contoh
Didefinisikan suatu transformasi linear
(( ))
(
)
Tentukan matriks transformasi dari , lalu tentukan peta dari vektor (
).
Jawab
Menentukan matriks transformasi dari artinya menentukan peta dari vektorvektor basis terhadap transformasi linear tersebut.
( )
(( ))
( )
( )
(( ))
( )
( )
(( ))
( )
Sekarang susun ( ) ( ) ( ) secara kolom, maka akan didapatkan matriks
transformasi dari .
, -
Transformasi Linear – Onggo Wiryawan
[
]
Halaman 5 dari 6
Sedangkan peta dari vektor (
((
) adalah perkalian , - dengan vektor (
))
Dengan demikian peta dari vektor (
vektor (
[
](
)
(
).
)
) terhadap transformasi linear
adalah
).
Transformasi Linear – Onggo Wiryawan
Halaman 6 dari 6