Al - e-Journal Unpatti - Universitas Pattimura

Jurnal Barekeng
Vol. 8 No. 2 Hal. 47 – 52 (2014)
MATRIKS PANGKAT DAN KEPERIODIKANNYA DALAM ALJABAR MAX-PLUS
The Power of Matrices and its Periodic in the Max-Plus Algebra
VENN YAN ISHAK ILWARU
Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Pattimura
Jl. Ir. M. Putuhena, Kampus Unpatti, Poka-Ambon
E-mail: [email protected]
ABSTRAK
Dalam aljabar max-plus telah banyak dipelajari tentang sifat-sifat matriks.Salah satunya
adalah keperiodikan suatu matriks yang tidak tereduksi. Telah diketahui pada aljabar maxk
plus bahwa barisan pangkat A dalam Aljabar Max-Plus, dengan A adalah matriks persegi
yang tidak tereduksi, menjadiperiodiksetelahwaktuterbatasT(A), danperiodeakhir 
samadengan siklisitas grafkritis dari A. Dalamhubunganini dipelajari masalah komputasi
dari matriks persegi yang berukuran n n yaitu jika diberikan k, hitung periodik pangkat
Ar dengan r  k (mod  ) untuk r  T  A . Ide utama adalah menggunakan penskalaan
similaritas diagonal yang sesuai A
X 1 AX , yang disebut penskalaan visualisasi.
Kata Kunci : Graf Kritis, Periodik Pangkat, Periodik akhir.
PENDAHULUAN
TINJAUAN PUSTAKA
Pada Aljabar max-plus banyak permasalahan yang
muncul, sehingga permasalahan itu dapat diselesaikan
dengan mendapatkan suatu solusi yang tepat.Dalam
penyelesaiannya, dibutuhkan analisis atau dengan
menggunakan komputasi.Aljabar max-plus sering
digunakan untuk memodelkan suatu permasalahan seperti
transportasi, manufacturing, penjadwalan, sistem antrian,
lalu lintas dan sebagainya.
Salah satu kegunaan dari pada aljabar max-plus
yaitu dapat menyelesaikan dan mendapatkan suatu
keperiodikan dari suatu permasalahan.Periodik yang
dimaksud disini adalah periodik secara berkala.Untuk
mempelajari periodik secara berkala, maka perlu dibahas
visualisasi, dan perpangkatan matriks.Sehingga dapat
membantu dalam menyelesaiakan dan mendapatkan suatu
periodik secara berkala.
Pada penelitian ini akan dibahas mengenai
permasalahan yang diberikan oleh Sergei Sergeev (2009)
Pada penelitian-penelitian sebelumnya telah banyak
dibahas mengenai matriks tidak tereduksi dan matriks
boolean. Pada (Bart De Schutter dkk, 1998) telah
diberikan mengenai definisi dari pada matriks tidak
tereduksi dan matriks boolean. Pada (Martin
Cavalec,1999) juga telah diberikan definisi mengenai
keperiodikan suatu matriks.
Berikut ini akan diberikan materi yang diperlukan
dalam pengerjaan penelitian. Materi yang diperlukan
yaitu aljabar max-plus, vektor dan matriks pada aljabar
max-plus, masalah spektral pada aljabar max-plus dan
teori Kleene star.
r
A dan mendapatkan
perilaku periodik akhir dari A  x .
yaitu menghitung periodik pangkat

l

def
def
Didefinisikan     dan e  0 . Himpunan Rmax
adalah himpunan    , dimana  adalah himpunan
bilangan riil.
Definisi 1
Simbol Rmax menyatakan himpunan     dengan
dua operasi biner yaitu maksimum yang dinotasikan
dan penjumlahan yang dinotasikan  .

48
Barekeng Vol. 8 No. 2 Hal. 47 – 52 (2014)
Untuk setiap
dan
a, b  Rmax , didefinikan operasi 
 adalah
a  b  maks a, b  dan a  b  a  b .
a  Rmax dan  didapatkan
a      a  a dan a      a   .
Himpunan Rmax dengan operasi  dan  disebut
Sehingga untuk setiap
Aljabar
Max-plus
   Rmax , , ,  , e  .
dan
dinyatakan
dengan
bilangan riil yang berhingga sehingga x  p   x  q   c .
vektor
p q
yang

 x  q  j  1 .
Algoritma Power (Subiono, 2000, hal. 86)
1) Ambil sebarang vektor awal x  0   x0  u   ,
x0 mempunyai minimal satu elemen
yaitu
berhingga.
2) Iterasi x  k  1  A  x  k  hingga ada bilangan
Komutatif
x, y  Rmax : x  y  y  x
bulat p, q dengan p  q  0 dan sebuah bilangan
riil csehingga x  p   x  q   c , hingga suatu
dan
x y  yx
Distributif  terhadap 
periodik didapatkan.
3) Hitung nilai eigen   c .
x, y, z  Rmax : x   y  z    x  y    x  z 
Eksistensi elemen nol, yaitu 
pq
4) Hitung vektor eigen
p q


v     p q  j   x  q  j  1 .
x  Rmax : x      x  x
e.

 p  q  j 
Dari teorema di atas, didapatkan Algoritma Power
untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen.
x, y, z  Rmax : x   y  z    x  y   z
d.
eigen
v  
dan
c.
c
dengan
pq
bersesuaian
adalah
Maka nilai eigen dari sistem adalah  
j 1
Berikut adalah sifat-sifat Aljabar Max-plus (Heidergott
dkk, 2006) sebagai berikut:
a. Asosiatif
x, y, z  Rmax : x   y  z    x  y   z ,
b.
sistem akan
bersifat periodik setelah iterasi yang berhingga. Misalkan
p, q adalah bilangan bulat dengan p  q  0 dan c adalah
def
def
x  0   ,
dan jika diberikan nilai awal
j 1
Eksistensi elemen satuan , yaitu e
x  Rmax : x  e  e  x  x
f.
Elemen nol adalah absorbing untuk operasi
g.
x  Rmax : x      x  
Idempoten dari operasi 
x  Rmax : x  x  x
Lemma 1
nn
Misalkan A  Rmax
Untuk setiap

mempunyai nilai eigen 
A
yang
Proposisi 1
nn
Diberikan A  Rmax
terdefinisi dan X  diag  x 
1) Jika x 
2) Jika
pl

n
i 1
A.*i maka X 1 AX adalah visualisasi
x   i 1 A.*i
n
maka
X 1 AX
adalah
visualisasistrictly.
Teorema 1
nn
Sebarang matriks tidak tereduksi A  Rmax
mempunyai
satu dan hanya satu nilai eigen  . Nilai eigen  ini
adalah bilangan berhingga dan nilainya sama dengan
bobot rata-rata maksimum dari sirkuit pada G  A yaitu:
pC  A
 A2  A, aii  1, i
star
Kondisi   A  1 menunjukan bahwa ada hubungan yang
kuat antara kleene stars dan masalah spektral.
pw
  A  max
Kleene
 aij a jk  aik , aii  1, i, j, k
berhingga, maka ada sebuah sirkuit p di G  A sehingga

adalah
A  Rnn
pw
.
pl
Teorema 2
Misalkan sistem x  k  1  A  x  k  memenuhi asumsi
Proposisi 2
nn
Diberikan A  Rmax
terdefinisi dan diberikan
sedemikian
sehingga
sedemikian sehingga
t  n .
2
Diberikan
i  l  j  , l   ,
t 0
i, j  c
mengakibatkan
 j  s i  , dimana l  s   .
1) Jika A divisualisasikan maka aijt l   ajit  s   1
2) Pada kasus umum aijt l  ajit  s   1
dasar bahwa sistem mempunyai nilai eigen yang tunggal
Ilwaru
49
Barekeng Vol. 8 No. 2 Hal. 47 – 52 (2014)
HASIL DAN PEMBAHASAN
Proyektor Spektral dan Matriks Periodesitas
nn
Untuk matriks A  Rmax
yang tidak tereduksi dan
terdefinisi, sesuai dengan matriks Q  A dengan elemenelemen:
c
qij   a a , i, j  1,..., nc
* *
ik kj
k 1
Operator
max-plus
linear
Q  A
Ar menjadi periodik untuk
Baris dan kolom kritis dari
r  n2 .
Bukti
Diberikan
(1)
matriks
Proposisi 3.
nn
Diberikan A  Rmax
yang tidak tereduksi dan terdefinisi.
i  c , maka terdapat sirkuit kritis dari panjang
li . Oleh karena itu aii kl   1 untuk k  1 . Untuk semua
m  k dan beberapa t  1,..., n , maka diperoleh:
i
adalah
proyektor spektral max-plus linear yang berkaitan dengan
n
A, dalam arti bahwa Rmax
pada eigencone V  A .
Operator ini sangat berkaitan dengan masalah
periodisitas. Q  A disebut juga matriks orbital.
ais
mli 
 aii
 k mli   mli 
 ais i 
kl
ais
Selanjutnya
k
ais i    ais
kl
mli 
m 1
.
(2)
 kl 
Definisi 2.
nn
nn
Diberikan matriks A  Rmax
, Q  Rmax
yang memenuhi
AQ  QA  Q2 disebut spektral proyektor dari A yang
berhubungan dengan nilai eigen
.
nn
Jika diberikan A  Rmax
yang tidak tereduksi dan
terdefinisi dan diberikan C  A adalah primitive, maka
Elemen-elemen ais i merupakan bobot maksimal dari
path dengan panjang k yang bersesuaian dengan matriks
Ali . Karena bobot dari semua sirkuit adalah kurang dari
atau sama dengan 1 dan semua path dari panjang n tidak
sederhana. Maksimum dicapai pada saat k  n . Maka
t 1l 
 tl 
diperoleh bahwa ais i  ais i untuk semua t  n .
Lebih lanjut
ais
 t 1li  d 
terdapat bilangan bulat T  A  sehingga Ar  Q  A ,
untuk semua r  T  A .
t 1li  d 
nn
Untuk matriks A  Rmax
yang tidak tereduksi dan
terdefinisi, setiap kolom kritis (atau baris) dari Q  A
adalah sama dengan korenspondensi kolom (atau baris)
dari
A* . Ketika
C  A
mempunyai
imprimitive, sesuai dengan proposisi
bahwa semua
adalah siklisitas dari C  A . Oleh karena itu, untuk
setiap r yang cukup besar adalah kelipatan dari  , A
adalah matriks dari proyektor spektral dalam eigencone
r
A . Ini juga mengakibatkan bahwa untuk r yang
r
r 
cukup besar, mempunyai A  A . Jumlah r setelah
r
dimulai disebut transient dari  A  dan dinotasikan
dari
dengan T  A . Juga diketahui bahwa
akhir dari
A 
r
r 
sehingga A
r 
aij

tl
d
p
tli  d 
 ais
untuk semua
t  n dan
0  d  li  1 . Sehingga ais k  periodik untuk k  nli
dan semua urutannya untuk setiap i  c dan setiap s,
2
menjadi periodik untuk k  n ■
komponen
C  A  adalah primitive, dimana 
komponen dari
Selanjutnya ais
  aip i  aps 
adalah periode
yakni sedikitnya bilangan bulat

 Ar untuk semua r  T  A . Elemen
, dimana i atau j adalah kritis, menjadi periodik jauh
lebih cepat dari bagian non kritis dari A.
Proposisi 4.
nn
Diberikan matriks A  Rmax
yang tidak tereduksi dan
t  0 sehingga t  T  A . Maka untuk
setiap bilangan bulat l  0
terdefinisi dan
c
akt. l    akit  Ai.t l 
i 1
Ar
c
, a.kt l    aikt  A.it l  ,
i 1
(3)
1 k  n
Bukti
Untuk
B  A dan setiap t  T  B  diperoleh
c
bkj    bki* bij* , 1  k , j  n
r
i 1
Berikut ini adalah proposisi untuk menentukan
keperiodikan baris kritis dan kolom kritis dari matriks
Sifat-sifat Periodik Perpangkatan Matriks
Periodik pangkat dari matriks yang tidak tereduksi
dan terdefinisi dijelaskan dengan proposisi-proposisi
berikut.
(4)
Dengan demikian diperoleh
bki*  bki   aki
t 
t
dan
bij*  bij   aij
t
t 
Ilwaru
50
Barekeng Vol. 8 No. 2 Hal. 47 – 52 (2014)
untuk
t  T  B  atau
semua
ekuivalen
dengan
t  T  A dan setiap i  c . Oleh karena itu
c
t
t
(5)
i 1
Pada notasi matriks, persamaan di atas ekuivalen dengan
c
c
Akt.   aki  Ait. , A.tk   aik  A.ti , 1  k  n
t
i 1
t
(6)
i 1
Al akan
Perkalian persamaan (6) dengan matriks pangkat
diperoleh persamaan (3) ■
Pada pembuktian proposisi berikut akan digunakan
prinsip sederhana berikut ini:
aij  ajk  aik
r
r s
s
, i, j, k , r , s
Proposisi 5.
Diberikan matriks
(7)
nn
max
yang tidak tereduksi dan
A R
dan diberikan i, j  Nc  A sedemikian
terdefinisisi
sehingga i  l  j  , untuk 0  1   .
r  n2
1) Terdapat t sedemikian sehingga untuk setiap
 t  l  r
 t  l  r
r l
r l
A.i  A. j , aij
aij
Aj.  Ai.
(8)
r  n2
A.ri  A.rjl , Arj .  Air. l
(9)
s    l . Dengan proposisi 2, terdapat t
aij
t  l 
sedemikian sehingga
aji
t  s 
 1. Jika digabungkan
t  l 
Arj .  Arj .aij
aji
t  l 
t  s 
t  s 
a ji
t  s 
 A.rjt l a ji
 A.i
 Air. t l a ji
 Aj . 
t  s 
(10)
r  2t 1
semua t  0 dan r  n2 maka semua ketidaksamaan pada
persamaan (8) menjadi persamaan. Perkaliannya dengan
t  l
aij  diperoleh persamaan
A.ri  A.rjl , Arj .  Air. l
■
C R
atau sebaliknya
l 
nc
max
R R
matriks yang diekstrak dari klom kritis dari
sebaliknya
 0
dari
baris
 0
kritis
t  l
A
.
menjadi
t  l
A
atau
Diberikan
C : C , R : R . Dengan notasi ini dan dari
proposisi 4 dan proposisi 5, maka dapat disimpulkan
bahwa untuk visualisasi matriks
tidak tereduksi
nn
A  Rmax
l
C
C
l
l
(12)
Persamaan (11) setara dengan persamaan (3). Lebih lanjut
i  l  j  jika dan hanya jika terdapat indeks p  i 
dan s   j  sedemikian sehingga elemen
 A  
C
l
 p, s 
dari
adalah 1, dan semua baris dari R atau kolom dari
C, dengan indeks yang sama dengan kelas siklik adalah
sama satu sama lain .
Dengan menggabungkan persamaan (11) dan persamaan
(12) maka diperoleh
  R
At l  C  A
C
l
(13)
Jika A tidak tervisualisasi tetapi terdefinisi tidak tereduksi,
maka persamaan (12) dan
persamaan (13) dapat
1
dituliskan. Diberikan B  X AX tervisualisasi. Dengan
menerapkan penskalaan invers XBX 1 pada persamaan
(13) (dimana B digantikan dengan A) maka diperoleh
persamaan dari bentuk yang sama, dimana C dan R
adalah matriks yang diekstrak dari kolom kritis atau
At dan AC  digantikan dengan
sebaliknya baris dari
 

a ,
C
aij    ij

0
jika  i, j   Ec  A ,
jika  i, j   Ec  A ,
i, j  c
Penyelesaian Masalah Keperiodikan
nn
Diberikan A  Rmax
dan   A  1 . t-attraction
cone Attr  A, t  adalah maxcone yang terdiri dari semua
semua bilangan bulat yang lebih besar atau sama dengan
r.
Proposisi 6
Diberikan matriks A tidak tereduksi dan terdefinisi.
Sistem
Ar  x  Ar t  x
setara
r  T  A .
dengan
semua
Bukti
Diambil t  T  A . Untuk setiap l  0 , diberikan
nc
max
   , R    A    R
Ar  x  Ar t  x dan hal ini juga berlaku untuk
r   2t 1
Dengan proposisi 2 , A.ri  A.rjt dan Arj .  Air. t untuk
l 
(11)
vektor x, dimana terdapat bilangan bulat r sehingga
dengan persamaan (7) maka diperoleh
A.ri  A.ri aij
l
cc
matriks AC   aijC   Rmax
yang didefinisikan dengan
2) Jika matriks A adalah visualisasi maka untuk semua
Bukti
Diberikan
l
C l   C  A
akj    aki  aij  , 1  k , j  n
t
At l  C    R  C  R 
Diberikan x yang memenuhi
As  x  As t  x untuk
s  T  A , maka juga akan memenuhi sistem ini untuk
semua yang lebih besar dari s. Karena periodisitas untuk
semua k dari T  A  k  s terdapat l  s sehingga
Ak  Al . Ak  x  Ak t  x
juga memenuhi T  A  k  s
■
Akibat 1.
Attr  A, t   Attr At ,1


Ilwaru
51
Barekeng Vol. 8 No. 2 Hal. 47 – 52 (2014)
Bukti
Dengan proposisi 5, Attr  A, t  adalah solusi untuk
Ar  x  Ar t  x untuk setiap r  T  A
sistem
yang adalah kelipatan dari t ■
Komponen
dari
r t
A x  A
r
 x dengan
Nc  A  1,..., c disebut kritis dan
indeks pada
subsistem dari komponen-komponen dengan indeks ini
disebut subsistem kritis.
Lemma 2.
Diberikan matriks A tidak tereduksi dan terdefinisi dan
diberikan r  T  A . Maka
Ar  x  Ar t  x setara
dengan subsistem kritis.
c
r 
ki
i 1
c
submatriks non kritis dari
Air.  x  aki  Air. t  x
r
(14)
i 1
Hal ini merupakan kombinasi maksimum dari persamaan
pada subsistem kritis ■
Berikutnya diberikan batasan dalam menghitung
kompleksitas
dalam
memutuskan
apakah
x  Attr  A, t  , seperti masalah-masalah yang lain yang
dapat diformulasikan seperti di bawah ini:
P1. Diberikan x, uji apakah x  Attr  A, t 
0  k   , hitung periodik matriks
pangkat A dimana r  k  mod   .
P2. Diberikan x:
penyelesaian untuk P2. Baris non kritis dari matriks A
merupakan generalisasi dari baris kritis, periodik akhir
dari Ar  x ditentukan dari komponen-konponen kritis.

A
r
bulat
x,
hitung
periodik
akhir
dari
 x, r  0 , yang berarti sedikitnya bilangan

sedemikian sehingga
Ar   x  Ar  x
untuk semua r  T  A .
untuk semua
A
r
subeigen dapat dihitung dan mengidentifikasi semua titik
kritis yang dilakukan dengan algoritma FloydWarshall.Selanjutnya mengidentifikasi semua kelas siklik
C  A dengan kondensasi Balcer-Veinott. Dengan
proposisi 4, kolom kritis dan baris kritis menjadi periodik
kritis
r  n2 . Dengan mengetahui kolom kritis dan baris
pada
r '  T  A , itu sudah cukup untuk
Ar untuk r  n2 , yang dapat diselesaikan
2
4
dengan perpangkatan matriks persegi A, A , A ,... .
menghitung
i, j sehingga
 x    Ar t  x  untuk
i
j
i  t  j  . Ini
i  t  j  , artinya
berarti
bahwa
untuk menentukan periode dibutuhkan hanya sub vektor
Ar  x untuk setiap sembarang r  n2 . Untuk
i  c dan
r  n2 ,
barisan
 A  x  , t  0
r
dapat
i
direpresentasikan dengan barisan dari koordinat kritis dari
Ar  x yang ditentukan oleh suatu permutasi pada kelas
siklik   dari komponen strongly connected. Untuk
menghitung periode, dapat diambil contoh banyaknya  
secara berurutan pada barisan dan periksa semua periodeperiode yang mungkin. Periode dari A  x akan tampak
seperti l.c.m. pada periode ini. Ini adalah penyelesaian P3.
r
KESIMPULAN
Kesimpulan yang dapat diperoleh dari penelitian ini
adalah sebagai berikut:
nn
1) Jika diberikan matriks A  Rmax
yang tidak
2)
tereduksi dan tervisualisasi maka baris kritis dan
kolom kritis akan menjadi periodik utuk r  n2 .
Keperiodikan dari perpangkatan matriks persegi Ar ,
dapat dihitung untuk r  T  A dan jika k diketahui.
DAFTAR PUSTAKA
Untuk menyelesaikan P1-P3, maka dapat
menggunakan metode sebagai berikut:
Pertama-tama perhatikan bahwa   A dan vektor
untuk

Untuk visualisasi matriks, diketahui bahwa Air. t  Arj .
r
P3. Diberikan
Ar , untuk setiap r  T  A
sehingga r  k  mod   dapat dihitung. Ini adalah
dari
Bukti
Berdasarkan komponen non kritis Akr.  x  Akr.t  x .
Dengan menggunakan persamaan (3) maka dapat
dituliskan:
a
verifikasi dari subsistem kritis dari Ar '  x  Ar 't  x .
Dengan menggunakan bantuan persamaan (3), sisa


Persamaan (9) digunakan untuk permutasi siklik yang
sesuai dengan kelas siklik. P1 dapat diselesaikan dengan
Bacelli, F., Cohen, G., Olsder, G. J., dan Quadrat, J. P.
(2001), Synchronization and Linearity, John Wiley
& Sons, New York.
Papadimitriou, C. H., Steiglitz, K., Combinatorial
Optimization: “Algorithms and Complexity”,
Prentice Hall, New Jersey, 1982
Heidergott, B. (2006), Max Plus Algebra And Queues,
Vrije Universiteit. Department of Econometrics and
Operations Research De Boolean 1105, 1081 HV
Amsterdam, The Netherlands.
Gavalec, M., “Linear Matrix Period in Max-Plus
Algebra”, Linear Algebra Appl. 307(2000) 167-182
Butkovic, P., Cuninghame-Green, R. A., “On matrix
powers in max-algebra”, Linear Algebra Appl.
Subiono. (2009), Aljabar Max-Plus, Institut Teknologi
Sepuluh Nopember, Surabaya
Ilwaru
Barekeng Vol. 8 No. 2 Hal. 47 – 52 (2014)
52
Sergeev, S., Schneider, H., Butkovic, P. (2009) “On
visualization scaling, subeigenvectors and kleene
stars in max algebra”, Linear Algebra Appl.
Ilwaru