PENDAHULUAN - M. Ali Fauzi

BAB I
VEKTOR DAN MATRIKS
Kompetensi Vektor dan Matriks
Mahasiswa mampu:
1.
Memberikan contoh macam-macam vektor
dan Matriks
2.
Mengoperasikan jumlahan, pengurangan
dan perkalian vektor ataupun matriks
@copyright by Naniek - 2007
7
Pengantar
Untuk mengawali belajar Aljabar Linear dan Matriks
perlu diingat kembali pengertian dari vektor serta
matriks, macam-macam vektor serta matriks
kemudian melakukan operasi aljabar atas vektor dan
matriks. Vektor dan matriks melandasi dalam belajar
Aljabar, karena permasalahan-permasalah yang ada
dibawa dulu dalam bentuk vektor atau matriks,
kemudian diselesaikan secara aljabar, misalnya
dipakai untuk menyelesaikan Sistem Persamaan
Linear, Transformasi Linear.
@copyright by Naniek - 2007
8
PENDAHULUAN
VEKTOR

MATRIKS

Tidak secara lengkap terdefinisi sampai
besar dan arahnya ditentukan
• Contoh :
pergerakan angin  menunjukkan laju dan arah


Laju angin dan arah angin membentuk
besaran vektor yang disebut :
KECEPATAN
Vektor dapat disajikan secara geometris
sebagai ruas garis berarah atau panah
@copyright by Naniek - 2007
10





Ekor panah disebut ttk pangkal
Arah panah menentukan
arah vektor
Panjang panah menentukan
arah vektor
Ujung panah disebut
ttk ujung
Maka vektor v =
V = AB
@copyright by Naniek - 2007
11
VEKTOR EKUIVALEN

Vektor-vektor yang panjang dan arahnya
sama
v=w=z
@copyright by Naniek - 2007
12
OPERASI VEKTOR

VEKTOR NOL

PENJUMLAHAN VEKTOR
• Vektor yang panjangnya nol
• Dinyatakan dengan O
+
@copyright by Naniek - 2007
13
VEKTOR NEGATIF

Adalah vektor yang besarnya sama
tetapi arahnya terbalik/berlawanan
@copyright by Naniek - 2007
14
PENGURANGAN VEKTOR

Jika v dan w adalah 2 vektor sebarang,
maka selisih w dari v didefinisikan
sebagai :
v – w = v + (-w)
-
@copyright by Naniek - 2007
15
PERKALIAN VEKTOR

Jika v adalah suatu vektor
tak nol dan k adalah suatu
bilangan real tak nol
(skalar), maka hasil kali kv
didefinisikan sebagai
vektor yang panjangnya
(k*panjang v)dan yang
arahnya sama dengan
arah v jika k>0 dan
berlawanan arah dengan v
jika k< 0
@copyright by Naniek - 2007
16
MACAM-MACAM VEKTOR


Vektor adalah larik berdimensi satu
Vektor a dengan cacah n elemen ditulis :
 a1 
a 
biasa disebut vektor kolom
 2
a . 
atau vektor saja
 
dengan notasi ditulis:
.
 an 
a = (ai)
@copyright by Naniek - 2007
17
MACAM-MACAM VEKTOR

VEKTOR NOL
• adalah vektor dengan
semua elemennya bernilai
nol

0 
0 
 
a  .
 
.
0
VEKTOR BASIS
• adalah vektor dengan
anggota ke I bernilai 1 dan
elemen lainnya bernilai nol
@copyright by Naniek - 2007
0 
1 
 
e2  0
 
0 
0
18
SIFAT OPERASI VEKTOR

Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam
ruang berdimensi 2 atau 3 dan k serta l adalah
skalar, maka hubungan berikut ini berlaku :
•
•
•
•
•
•
•
•
u+v=v+u
(u + v) + w = u + (v + w)
u+0=0+u=u
U + (-u) = 0
k (lu) = (kl) u
K (u+v) = ku + kv
(k + l)u = ku + lu
1.u = u
@copyright by Naniek - 2007
19
NORMA SUATU VEKTOR

Panjang suatu vektor u sering disebut sebagai Norma u dan
dinyatakan dengan ||u||
u  u1  u2
2

2
Jika P1(x1,y1,z1) dan P2(x2,y2,z2) adalah 2 titik di dlm ruang
berdimensi 3 maka jarak d antara kedua titik tersebut adalah
norma vektor P1P2
karena
P1 P2  ( x2  x1 , y2  y1 , z2  z1 )
maka
d
x2  x1 2   y2  y1 2  z2  z1 2
@copyright by Naniek - 2007
20
HASIL KALI TITIK

Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam
ruang berdimensi 2 atau 3 dan θ adalah sudut
antara u dan v, maka hasil kali titik atau hasil kali
dalam Euclidean u.v didefinisikan sebagai :
 u v cos 
u.v  
0

jika u  0 dan v  0
jika u  0 dan v  0
atau
u.v  u1v1  u2v2
@copyright by Naniek - 2007
21
MENCARI SUDUT ANTAR
VEKTOR
u.v
cos  
u.v
Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol dan adalah sudut
antara kedua vektor tersebut, maka
• Θ lancip jika dan hanya jika u.v > 0
• Θ tumpul jika dan hanya jika u.v < 0
• Θ =π/2 jika dan hanya jika u.v = 0
@copyright by Naniek - 2007
22
MATRIKS
•Kompetensi
• Macam-macam Matriks
• Operasi Matriks
Kompetensi
Mahasiswa mampu:
• Mendefinisikan matriks
• Memberikan contoh macam-macam matriks
• Mengoperasikan jumlahan, pengurangan dan
perkalian matriks.
@copyright by Naniek - 2007
24
Pengantar
• Mengawali belajar aljabar linear dan matriks
perlu diingatkan kembali pengertian matriks,
macam-macam matriks, serta operasi aljabar
atas
matriks. Hal ini karena persoalan
nantinya dibawa kedalam bentuk matriks,
kemudian bagaimana menyelesaikannya.
@copyright by Naniek - 2007
25
MATRIKS
• Adalah larik berdimensi
dua (karena
mempunyai baris dan
kolom)
• Susunan elemenBaris=m
elemen yg disusun
menurut baris & kolom
serta merupakan satu
kesatuan.
 a11 a12
a
 21 a22
A .
.

.
 .
am1 am 2
@copyright by Naniek - 2007
.
.
.
.
.
.
.
.
a1n 
a2 n 
. 

. 
amn 
Kolom=n
A  (aij )
mxn
26
MACAM-MACAM
MATRIKS
• Matriks Nol
– Adalah matriks dengan semua
elemennya bernilai nol.
– O=(0)
• Matriks Bujur Sangkar
– Adalah suatu matriks dimana cacah
baris dan cacah kolomnya sama
– A = ( aij ) dengan i = 1, 2, 3, . . . n
j = 1, 2, 3, . . . n
@copyright by Naniek - 2007
0
0

A  .

.
0
0 . . 0
0 . . 0
. . . .

. . . .
0
0
1 2  4
A  0 3 0 
1  3 2 
27
MACAM-MACAM
MATRIKS
• Matriks Persegi Panjang
– Adalah matriks dengan cacah baris dan cacah
kolom tidak sama.
– A = (aij) dengan i = 1, 2, . . n
j = 1, 2, . . m
1 0 2 3
A  2 1 3 0
4 1 2 3
• Matriks Diagonal
– Adalah matriks bujur sangkar dengan elemenelemen pada diagonal utama bernilai real dan
elemen-elemen lainnya bernilai nol
– A = ( aij ) dengan aij = 0
untuk i ≠ j
aij = real untuk i = j
@copyright by Naniek - 2007
 1
0
A
0

0
0
8 0 0 
0 3 0

0 0  5
0 0
28
MACAM-MACAM
MATRIKS
• Matriks Satuan (identitas)
– Adalah matriks bujursangkar dengan
elemen-elemen pada diagonal utama
bernilai 1 dan elemen lainnya bernilai nol
– A = ( aij ) dengan aij = 1 untuk i = j
aij = 0 untuk i ≠ j
• Matriks Segitiga Atas
– Adalah matriks bujur sangkar dengan
elemen-elemen dibawah diagonal utama nol
dan elemen-elemen lainnya bernilai real
– A = ( aij ), dengan aij = 0 untuk i > j
aij =  untuk i ≤ j,  ε Real
@copyright by Naniek - 2007
1 0 0 
A  0 1 0
0 0 1 
 1
0
A
0

0
10  2
8
1
0
3
0
0
5
6 
4

 5
29
MACAM-MACAM
MATRIKS
• Matriks Transpose
1 0 3 
– Adalah matriks dimana susunan
A  6 5 6
elemen-elemen berkebalikan antara
3 10 8
posisi baris dan kolom
– A=(aij); AT =(aji)
• Matriks Simetris
– Adalah matriks dimana susunan
elemen-elemen antara matrik
dengan transpose nya sama
– A=AT; maka A adalah matriks
simetris
1
0
A
3

4
@copyright by Naniek - 2007
4
5 6 7 
6 8 9

7 9 10
1 6 3 
AT  0 5 10
3 6 8 
0 3
1
0
t
A 
3

4
4
5 6 7 
6 8 9

7 9 10
0 3
30
OPERASI ALJABAR ATAS
MATRIKS
•
•
•
•
Operasi Perkalian Skalar
Operasi Penjumlahan
Operasi Pengurangan
Operasi Perkalian
@copyright by Naniek - 2007
31
PERKALIAN DENGAN
SKALAR
1 2
A

3
6


K=2
kA
1 2
2

3
6


@copyright by Naniek - 2007
=
2 4 
6 12


32
PENJUMLAHAN
MATRIKS
A=
1
2
3
6
+
+
2
B=
3
4
6
A+B
= 3
6
=
12
6
@copyright by Naniek - 2007
33
PENGURANGAN
MATRIKS
A=
1
2
3
6
-
2
B=
3
4
6
A-B
= -1 -2
=
00
@copyright by Naniek - 2007
34
PERKALIAN MATRIKS

A
mxn

B C
nxk
mxk
• A=(aij) dengan i=1,2,3,…,m dan j=1,2,3,…,n
• B=(bjk) dengan j=1,2,3,…,n dan k=1,2,3,…,p
Maka :
A x B = (aij) x (bjk)
@copyright by Naniek - 2007
35
PERKALIAN MATRIKS
A
=
1
2
3
B =
0
4
5
x
+
x
+
x
= 9
x
+
x
+
x
= 16
x
+
x
+
x
= 3
x
+
x
+
x
= 13
x
+
x
+
x
= 8
x
+
x
+
x
= 14
1
-4
0
4
2
1
0
1
2
AxB=
@copyright by Naniek - 2007
36
Program MATLAB (1)
>> a=[ 2 4 3 6; -12 9 -32 50; 1 4 8 12; 10 3 9 -12] %
membentuk matriks
a=
2 4 3 6
-12 9 -32 50
1 4 8 12
10 3 9 -12
>> b=diag(a) % Membentuk matriks diagonal dari matriks a
b=
2
9
8
-12
@copyright by Naniek - 2007
37
Program MATLAB (2)
>> I=eye(4) % Membentuk matriks satuan berukuran 4
I=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
>> c=triu(a) % Membentuk matriks segitiga atas dari a
c=
2 4 3 6
0 9 -32 50
0 0 8 12
0 0 0 -12
@copyright by Naniek - 2007
38
Program MATLAB (3)
>> d=tril(a) % Membentuk matriks segitiga bawah dari matriks
a
d=
2 0 0 0
-12 9 0 0
1 4 8 0
10 3 9 -12
>> e=a' % Membentuk transpose matriks
e=
2 -12 1 10
4 9 4 3
3 -32 8 9
6 50 12 -12
@copyright by Naniek - 2007
39
Program MATLAB (4)
>> f=a+e % Mencari jumlahan matriks
f=
4 -8 4 16
-8 18 -28 53
4 -28 16 21
16 53 21 -24
@copyright by Naniek - 2007
40
Program MATLAB (5)
>> g=a*f % Mencari perkalian matriks
g=
84
290
70
163
552
3804
238
-1587
196
476
272
108
-140
-914
-152
796
>> j=inv(a) % Mencari invers matriks
j=
-0.8878 0.1113 0.3557 0.3756
1.2050 -0.0991 -0.4995 -0.3100
0.0783 -0.0312 0.0344 -0.0566
-0.3799 0.0446 0.1973 0.1097
@copyright by Naniek - 2007
41
Rangkuman
• Dua buah matriks dapat di jumlahkan atau
dikurangkan jika matriks tersebut mempunyai ukuran
sama.
• Matriks A dapat dikalikan dengan matriks B, jika
jumlah kolom matriks A = dengan jumlah baris matriks
B
• Jumlahan matriks berlaku hukum komutatif
• Perkalian dua buah matriks belum tentu hukum
komutatif berlaku.
• Operasi pembagian dalam matriks tidak ada definisi
@copyright by Naniek - 2007
42
Soal-soal (1)
1. Tulislah contoh matriks persegi panjang
berukuran 5 x 3
2. Jika diketahui matriks bujur sangkar
berukuran 5, berilah contoh matriks sbb:
– Matriks bujur sangkar
– Matriks diagonal
– Matriks segitiga atas dan matriks segitiga
bawah
3. Berilah dua buah contoh matriks simetris
@copyright by Naniek - 2007
43
Soal-soal (2)
4. Jika diketahui
A = 17 08 103 ; B =

5

6
9
6

2

4
2
3
1
 2 1

7


4
0  3


 2  6 1 
Hitunglah: A + BT; BT – A; AB; BA.
@copyright by Naniek - 2007
44