Diktat Aljabar Linear Sistem Persamaan Linear dan Matriks 1

Diktat Aljabar Linear
Sistem Persamaan Linear dan Matriks
1. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS
1.1. PENGANTAR
DEFINISI 1.1 : PERSAMAAN LINEAR
Suatu persamaan linear dengan n peubah x1, x2, … , xn dapat dinyatakan dalam bentuk :
a1 x1 + a2 x2 + … + an xn = b
(1.1)
dimana a1, a2, … ,an dan b adalah konstanta-konstanta real.
DEFINISI 1.2 : PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR
Penyelesaian dari persamaan linear (1.1) adalah urutan dari n bilangan s1, s2, … , sn
sehingga persamaan tersebut dipenuhi bila
x1 = s1 , x2 = s2 , …, xn = sn
(1.2)
disubstitusikan terhadapnya.
Himpunan semua pemecahan persamaan tersebut dinamakan himpunan penyelesaian.
DEFINISI 1.3 : SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Suatu himpunan berhingga dari persamaan- persamaan linear dalam peubah-peubah x1,
x2, … , xn dinamakan sistem persamaan linear atau sistem linear.
Suatu urutan bilangan-bilangan s1, s2, … , sn dinamakan pemecahan dari sistem tersebut
jika (1.2) adalah pemecahan dari masing-masing persamaan pada sistem tersebut.
Sebuah sistem sebarang yang terdiri dari m persamaan linear dengan n bilangan yang
tidak diketahui :
a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2
:.
:
(1.3)
.
.
.
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm
DEFINISI 1.4 : KONSISTENSI
1. Sebuah sistem persamaan yang tidak memiliki penyelesaian dikatakan tidak
konsisten. Jika ada setidak-tidaknya satu pemecahan, maka sistem persamaan
tersebut dikatakan konsisten.
2. Suatu sistem persamaan linear mungkin tidak memiliki penyelesaian, atau memiliki
persis satu penyelesaian, atau memiliki tak berhingga banyaknya penyelesaian.
Dalam 2 dimensi dapat digambarkan sebagai berikut :
y
k
y k
l
y
k,l
l
x
x
x
Gb.1.1 (a)
(b)
(c)
tidak ada penyelesaian terdapat satu penyelesaian tak hingga banyak penyelesian
Siana Halim- Teknik Industri UK. Petra 1
Sistem Persamaan Linear Dan Matriks
Diktat Aljabar Linear
PROPOSISI 1.5 : AUGMENTED MATRIX
Persamaan (1.3) dapat dituliskan dalam bentuk augmented matrix (matriks yang
diperbesar) sebagai berikut :
 a11

 a 21
 !

a m1
a12
...
a 22
!
a1n
... a 2 n
!
a m2
... a mn
b1 

b2 
! 

bm 
(1.4)
PROPOSISI 1.6 : OPERASI BARIS ELEMENTER
Penyelesaian sistem persamaan (1.3) dapat dilakukan dengan operasi baris elementer
(OBE) pada matriks diperbesarnya, dengan catatan matriks tidak memilik ukuran yang
terlalu besar.
OPERASI BARIS ELEMENTER :
1. Kalikanlah sebuah baris dengan sebuah konstanta yang tidak sama dengan nol
2. Pertukarkanlah kedua baris tersebut
3. Tambahkanlah perkalian dari satu baris pada baris yang lain.
1.2. SISTEM PERSAMAAN LINEAR HOMOGEN
DEFINISI 1.7: SISTEM PERSAMAAN LINEAR HOMOGEN
Sebuah sistem persamaan linear dikatakan homogen jika pada persamaan (1.3) nilai bi = 0
untuk setiap i = 1,2,...,m
Tiap-tiap sistem persamaan linear homogen adalah sistem yang konsisten, karena x1=x2 =
... = xn = 0 selalu merupakan penyelesaian. Penyelesaian ini dinamakan penyelesaian
trivial. Jika ada penyelesaian lain yang memenuhi persamaan homogen tersebut, maka
penyelesaian tersebut dinamakan penyelesaian tak trivial.
TEOREMA 1.8:
Sistem persamaan linear homogen dengan lebih banyak bilangan tak diketahui
(peubahnya) daripada banyaknya persamaan, selalu mempunyai tak hingga banyak
penyelesaian.
1.3. MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS
DEFINISI 1.9: MATRIKS
Matriks adalah suatu susunan dari banjar (array) bilangan-bilangan dalam bentuk segi
empat, dengan jumlah baris sebanyak m dan jumlah kolom sebanyak n dan dinotasikan
sebagai A = (aij) mxn i = 1,…,m dan j = 1,…, n serta aij adalah elemen dari matriks A
pada baris ke-i kolom ke-j
2
Siana Halim- Teknik Industri UK. Petra
Diktat Aljabar Linear
A=
 a11

 a 21
 !

 a i1
 !

a m1
Sistem Persamaan Linear dan Matriks
a12
a 22
!
" a1 j
" a2 j
!
ai2
!
"
a m2
" a mj
a ij
!
a1n 
" a 2 n 
! 

" a in 
! 

" a mn 
"
(1.5)
CATATAN-CATATAN 1.10:
1. Matriks A dikatakan berukuran m x n (berdimensi mxn)
2. Matriks A dengan dimensi 1 x n disebut sebagi vektor baris, sedangkan yang
berdimensi m x 1 disebut sebagai vektor kolom
3. Jika jumlah baris sama dengan jumlah kolom, yaitu m = n, maka matriks A dikatakan
sebagai matriks bujur sangkar dengan orde n.
4. Pada matriks (1.5) jika m=n, maka elemen aii disebut sebagai elemen diagonal dari A,
elemen-elemen lain merupakan elemen di luar diagonal dari A
5. Pada matriks (1.5) dengan m=n, bila aii ≠ 0 sedangkan elemen di luar diagonal dari A
sama dengan nol, yaitu, aij = 0 untuk i≠ j, maka matriks A disebut sebagai matriks
diagonal
6. Jika pada matriks diagonal di atas nilai aii = c untuk setiap i=1,..,n maka matriks
tersebut dikatakan sebagai matriks skalar. Dengan kata lain matriks skalar adalah
matriks diagonal dengan seluruh diagonalnya bernilai sama.
7. Jika pada matriks diagonal di atas nilai aii = 1 untuk setiap i=1,…,n maka matriks
tersebut dikatakan sebagai matriks identitas (dinotasikan dengan In).
8. Jika pada matriks diagonal di atas nilai aii = 0 untuk setiap i=1,..,n maka matriks
tersebut dikatakan sebagai matriks NULL (dinotasikan dengan Onxn). Secara umum
untuk sebarang matriks Amxn, bila seluruh elemennya bernilai 0 maka matriks tersebut
dinotasikan dengan Omxn
DEFINISI 1.11: OPERASI-OPERASI PADA MATRIKS
1. Dua matriks A = (aij) dan B = (bij) dikatakan sama jika dan hanya jika A dan B
memiliki dimensi yang sama, misal m x n, dan aij = bij ∀ i= 1,…,m dan j = 1,…,n.
2. Penjumlahan Matriks
Jika dua buah matriks memiliki dimensi yang sama, mereka dikatakan comformable
untuk penjumlahan.
Jika A = (aij)mxn dan B = (bij)mxn maka
A+B = (aij + bij)mxn
3. Perkalian Matriks dengan Skalar
Jika A adalah matriks berukuran mxn dan c adalah scalar maka
cA = (c aij)mxn
4. Pengurangan Matriks
A – B = (aij – bij)mxn
Hal ini beralasan karena :
A – B = A + (-1) B
= (aij)mxn + (-1) (bij)mxn
= (aij + (-1) bij)mxn
= (aij – bij)mxn
Siana Halim- Teknik Industri UK. Petra 3
Sistem Persamaan Linear Dan Matriks
Diktat Aljabar Linear
5. Perkalian Matriks
Misalkan A = (aij)mxp dan B = (bij)pxn maka perkalian antara A danB adalah C=(cij)mxn
n
yaitu AB= C dimana cij =
∑
aik bkj ∀i = 1,..,m j = 1,…,n
k =1
[ai1 ai2 …
 b1 j 
  =a
b
i1
ain]  2 j 
= c ij
!
 
 bnj 
1j
+ a i2 b 2j + … + a in b nj
(1.6)
A dan B dikatakan comformable untuk perkalian jika dan hanya jika jumlah kolom
dari matriks A sama dengan jumlah baris dari matriks B.
1.4. ATURAN – ATURAN DALAM ILMU HITUNG MATRIKS
Dalam perkalian matriks belum tentu berlaku hukum komutatif, yaitu AB ≠ BA walaupun
AB dan BA yang didefinisikan memiliki ukuran yang comformable.
Teorema 1.12:
Dengan menganggap bahwa ukuran-ukuran matriks comformable maka aturan-aturan
ilmu hitung matriks berikut adalah valid. Notasi dengan huruf besar adalah matriks dan
huruf kecil adalah skalar.
1. A + B = B + A
9. A+ 0 = 0 + A = A
2. A + (B+C) = (A+B) + C
10. A- A = 0
3. A(BC) = (AB)C
11. 0 – A = - A
4. A (B±C) = (AB ±AC)
12. AO = 0 ; 0A = 0
5. (B ± C)A = (BA ± CA)
6. a (B±C) = aB ± a C
7. (a±b) C = aC ± bC
8. a(BC) = (aB)C = B(aC)
1.5. PARTISI MATRIKS
Matriks A dapat dipartisi menjadi submatriks-submatriks yang lebih kecil dengan
memisahkannya dengan baris-baris vertikal dan horisontal antara baris-baris dan kolomkolomnya.
Contoh 1.13:
A=
1
0
 5 −4
− 4
6 −4
1 

 1 −4
6 − 4


1 −4
5
 0
Matriks A di atas dapat dipartisi menjadi , misalnya
 A11

 A21
4
A12 

A22 
=
1
0
 5 −4
− 4

6
4
1
−


 1 −4
6 − 4


1 −4
5
 0
Siana Halim- Teknik Industri UK. Petra
Diktat Aljabar Linear
Sistem Persamaan Linear dan Matriks
Submatriks Aij disebut juga sebagai blok matriks. Secara umum jika blok-blok matriks
ini memiliki ukuran-ukuran yang bersesuaian, maka perkalian blok-blok ini dapat
diselesaikan dengan cara seperti pada perkalian matriks biasa.
PROPOSISI 1.14
n
Jika A = (Aij)sxt
B = (Bij)txr maka AB = (Cij) dimana Cij =
∑
Aik Bkj dengan syarat
k =1
blok-blok Aik Bkj conformable seperti pada perkalian matriks biasa.
1.6. OPERASI DARI TRANSPOSE DAN TRACE
DEFINISI 1.15 : TRANSPOSE
Transpose dari matriks A = (aij)mxn adalah matriks AT = (bij)nxm dimana bij = aji.
Jika AT = A , A adalah matriks bujur sangkar, maka A disebut matriks simetrik.
Jika AT = - A, maka A disebut matriks skew simetrik.
Hukum-hukum yang berlaku pada transpose
Jika A = (aij)mxn B = (bij)mxn dan c – sklar, maka :
(AT)T = A
(A + B)T = AT + BT
(cA)T = c AT
TEOREMA 1.16
Jika A = (aij)mxp B = (bij)pxn maka (AB)T = BT AT
DEFINISI 1.17: TRACE
Trace dari matriks bujur sangkar A =(aij)nxn didefinisikan sebagai jumlahan dari diagonaldiagonal utama dari matriks A.
n
Tr(A) =
∑a
ii
(1.7)
i =1
Hukum-hukum yang berlaku pada trace
Jika A = (aij)nxn B = (bij)nxn dan c – scalar, maka:
Tr(A+B) = Tr(A) + Tr(B)
Tr(cA) = c Tr(A)
Tr(AB) = Tr (BA)
Siana Halim- Teknik Industri UK. Petra 5