EKO500 Matematika Ekonomi KALKULUS INTEGRAL

Matematika Ekonomi
KALKULUS INTEGRAL
TONI BAKHTIAR
2012
Kalkulus Turunan dan Kalkulus Integral
2
 Kalkulus dasar terdiri atas dua bagian besar, yaitu
kalkulus turunan dan kalkulus integral, yang
keduanya memiliki hubungan yang erat.
 Seperti diketahui, perhatian utama kalkulus
diferensial adalah menemukan turunan-turunan
atau diferensial dari fungsi dalam peubah bebas x
yang diberikan.
 Namun dalam kalkulus integral, hal sebaliknya yang
menjadi tujuan, yaitu menemukan fungsi-fungsi
primitif jika fungsi turunannya diberikan.
Turunan
3
 Lengkapilah:
f(x)
2 x3  3x 2
(2 x  1)( x 2  2)
sin x / (e3 x  2)
ln(1  x)
x  cos x
2
1/ x
xx
f ’(x)
Antiturunan
4
 Lengkapilah:
f(x)
f ’(x)
2 x3  3x 2
x
1 / x2
sin x
( x  1) / ( x  1)
ln x
e
x2
Antiturunan
5
 Masalah integral umumnya lebih sulit daripada
masalah turunan karena dalam kenyataanya tidak
semua fungsi memiliki fungsi primitif yang
sederhana.
e

x
2
dx 
1
2
 erf ( x).
Dinamika dan Pengintegralan
6
 Konsep integral banyak muncul dalam masalah




ekonomi, seperti misalnya hubungan antara fungsi
marjinal dan fungsi total.
Fungsi biaya bergantung pada tingkat produksi Q
dan mengalami perubahan dengan laju dC/dQ = 2Q.
Dapat dikatakan bahwa perusahaan tersebut
memiliki fungsi biaya marjinal C ’(Q) = 2Q.
Fungsi biaya total: C(Q) = Q2 + k.
Jika fix-cost Cf = 25, maka k = 25.
Dinamika dan Pengintegralan
7
 Kecenderungan menabung marjinal (marginal
propensity to save) atau MPS yang merupakan
fungsi dari besarnya pendapatan (income) Y, yaitu
MPS merupakan turunan pertama dari fungsi
tabungan S.
 Laju perubahan modal pada saat t identik dengan
banyaknya investasi bersih yang terjadi pada saat t
yang dilambangkan dengan I(t), yaitu K’(t) = I(t).
 Hukum Malthus: laju pertumbuhan populasi
sebanding dengan banyaknya populasi pada saat itu.
Dinamika dan Pengintegralan
8
dP(t )
 kP(t ) 
 Hukum Malthus:
dt
P(t )  P0e kt .
 Dari tabel: P(0) = 5.3, P(30) = 13  k  0.03.
P(t )  5.3e0.03t .
 Diperoleh: P(60) = 32, P(90) = 79, P(120) = 194,
P(150) = 477, P(180) = 1173.
 Kenapa terjadi penyimpangan yang besar?
 Dengan demikian:
Integral Taktentu
9
 Misalkan hubungan berikut terpenuhi:
d
F ( x)  f ( x).
dx
 Fungsi primitif F(x) disebut sebagai integral taktentu
(indefinite integral) dari fungsi f(x) atau F(x) disebut
sebagai antiturunan (antiderivative) dari f(x) dan
dilambangkan sebagai
 Secara umum:
F ( x)   f ( x) dx.
 f ( x) dx  F ( x)  C.
Aturan Pengintegralan
10
 Aturan pangkat: (untuk n  1)
 Aturan logaritma:
 Aturan eksponensial:
Aturan Pengintegralan
11
 Aturan trigonometri:
Sifat Pengintegralan
12
Aturan Substitusi
13
 Perhatikan masalah pengintegralan berikut:
 Jika n kecil, katakanlah n = 2 maka integral di atas
dengan mudah dapat diselesaikan dengan Aturan
Pangkat, yaitu
 Bagaimana untuk n besar, misalnya n = 100?
 Aturan apa yang dapat digunakan untuk:
4x 1
 2 x x  1 dx,  x sin( x  1) dx,  2 x2  x  1 dx.
2
3
4
Aturan Substitusi
14
 Untuk n = 100:
 Jika u = g(x) adalah fungsi yang terturunkan dan f
fungsi kontinu maka
Aturan Substitusi
15
Tentukan:
Integral Parsial
16
Integral Parsial
17
 Tentukan:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
 x sin x dx,
 xe dx,
 ln x dx,
 x e dx,
 x cos x dx.
x
2 x
2
Luas Daerah di Bawah Kurva
18
Luas Daerah di Bawah Kurva
19
Luas:
Luas n persegi panjang:
Luas daerah di bawah kurva:
Integral Tentu
20
 Jika f fungsi yang kontinu pada selang [a,b] dan F’(x)
= f(x) maka
 Contoh:
Sifat Integral Tentu
21
Sifat Integral Tentu
22
Sifat Integral Tentu
23
Sifat Integral Tentu
24
Integral Takwajar
25
 Bentuk integral takwajar (improper integral):
 Penyelesaian:
Integral Takwajar
26
 Jika limit-limit di ruas kanan ada dan bernilai
terhingga, dikatakan bahwa integral takwajar
konvergen, dan jika nilainya takhingga dikatakan
divergen.
Integral Takwajar
27
Integral Takwajar
28
Integral Takwajar
29
 Benarkah?
Integral Takwajar (Integran Takhingga)
30
Terapan Integral
31
 Fungsi Total – Fungsi Marjinal
 I (t ) dt  K (t ).
 Investment and capital formation:
 Present value:
(diskret): V  A(1  r )t  A  V (1  r )t ,
 rt
(kontinu) V  Ae  A  Ve .
rt
 Misalkan sejumlah pembayaran harus dilakukan
secara kontinu pada periode [0,T] sebesar f(t) dolar
pada saat t, maka
T
PV   f (t )e  rt dt.
0
Terapan Integral
32
 Nilai rata-rata fungsi: Jika f fungsi yang
terdefinisi pada selang [a,b] maka nilai rata-rata
fungsi f pada selang tersebut diberikan oleh