fungsi - url.ph

Sistem Bilangan Real
MA 1114 Kalkulus 1
1
1.1 SISTEM BILANGAN REAL


Semesta pembicaraan dalam Kalkulus : Himp. Bilangan Real.
Himp. Bilangan Real merupakan gabungan dari himp. bilangan
Rasional dan himp. Bilangan Irasional. Secara lengkap dapat
dilihat dari bagan berikut:
R = Himp.Bil. Real
Q = Himp.Bil. Rasional
Z = Himp.Bil. Bulat
Gb. 1.1 Diagram Venn
Himpunan Bilangan Real
N = Himp. Bil. Asli
MA 1114 Kalkulus 1
2
Garis bilangan :
Interval dan himpunan

Himpunan Bilangan Real ( R ) secara kongkrit dapat dinyatakan
sebagai suatu garis bilangan.
R
-3
-2
-1
0
koordinat

2
1
2
3
4
Gb. 1.2 Garis bilangan Real

Bagian yang lebih kecil dari garis bilangan disebut interval
( selang ).
MA 1114 Kalkulus 1
3
Interval dan Penulisannya
[a , b]  x| a  x  b
(a , b)  x| a  x  b
[a , b)  x| a  x  b
(a , b]  x| a  x  b
(a , )  x| x  a
(, a]  x | x  a
(, )  R
a
b
a
b
a
b
a
b
interval tutup
interval buka
interval setengah buka
interval setengah buka
interval tak terbatas
a
a
MA 1114 Kalkulus 1
interval tak terbatas
4
Operasi Himpunan:
Dua himpunan tak kosong A dan B dapat dioperasikan:
1. Irisan : A  B  x | x  A dan x  B
2. Gabungan : A  B  x | x  A atau x  B
3. Selisih : A  B  x | x  Adan x  B
MA 1114 Kalkulus 1
5
Contoh:
1. Jika A  (3,8] , B  [5,1) , C  [0, 2]
Maka : A  B  (3,8]  [5,1)  (3,1)
A  B  (3,8]  [5,1)  [5,8]
B  C  [5,1)  [0, 2]  [5, 2]
B  C  [5,1)  [0, 2]  [0,1)
2. Jika P  (1,3] , Q  {x | x  2}
Maka : P  Q  (1,3]  {2}  (1, 2)  (2,3]
MA 1114 Kalkulus 1
6
1.2 Pertaksamaan



Bentuk umum pertaksamaan adalah :
A( x ) C ( x )

B ( x ) D( x )
(1.1)
dengan A(x), B(x), C(x) dan D(x) suku banyak.
( tanda < dapat diganti oleh : >, ,  ).
Himpunan semua bilangan Real x yang memenuhi pertaksamaan
(1.1) disebut Himpunan Penyelesaian (Hp) pertaksamaan
(berupa selang)
MA 1114 Kalkulus 1
7
Cara menentukan himpunan penyelesaian :


Buat ruas kanan (1.1) menjadi nol atau A( x)  C ( x)  0
B( x) D( x)
Bentuk menjadi P ( x )
Q( x)



0
Faktorkan atau uraikan P(x) dan Q(x) menjadi faktor linier dan atau
faktor kuadrat definit positif
Tentukan titik pemecah ( pembuat nol ) dari masing-masing faktor
linier , lalu gambarkan dalam garis bilangan.
Gunakan satu titik uji untuk menentukan tanda ( + atau - ) interval
pada garis bilangan
MA 1114 Kalkulus 1
8
Contoh
Tentukan Himpunan Penyelesaian dari :
Jawab :
2
 x 1
x
2
 x 1  0
x
2  x2  x
(1  x)( 2  x)
0 
0
x
x
titik pemecah : x=1 , x=-2 , x=0
Maka
Hp   ,2  0,1
MA 1114 Kalkulus 1
++
-2
---
++
0
--1
9
1.3 Pertaksamaan dengan Nilai Mutlak

Definisi nilai mutlak adalah :

Sifat-sifat nilai mutlak :
 x ,x  0
x 
 x ,x  0
x | x|

,y0
1. xy | x || y | dan
y
| y|
2. Jika a  0 maka
x  a  a  x  a
 x2  a2
x  a  x  a atau x  a
 x2  a2
3. | x  y |  | x |  | y |
4. | x |  | y | 
2
x  y
2
MA 1114 Kalkulus 1
10
Contoh :

Tentukan Hp dari 2 
5
1
x
Jawab : Dengan menggunakan sifat yang ke 2 bagian 2, kita dapatkan
5
2 1
x
atau 2 
5
 1
x
Ini tak lain merupakan dua pertaksamaan yang akan dicari
penyelesaiannya.
5
2x  5  x
x5
(i). 2   1  0 
0 
 0  x  5 atau x  0
x
x
x
(ii). 2  5  1  0  2 x  5  x  0  3 x  5  0   5  x  0
x
x
x
3
Sehingga Himpunan penyelesaian dari pertaksamaan tersebut adalah :
 ,5  0,      5 ,0    ,5    5 ,0   0,  .

3


MA 1114 Kalkulus 1
3

11
1.4 Akar Kuadrat



Setiap bilangan positif mempunyai dua akar kuadrat. Misalnya, dua akar
kuadrat dari 4 adalah 2 dan -2 ; dua akar kuadrat dari 16 adalah 4 dan -4.
Untuk a  0 , lambang a disebut akar kuadrat utama dari a, yang
menunjukkan akar kuadrat tak negatif dari a.
Jadi
42
dan
(10) 2  100  10
• Jadi , penting untuk diingat bahwa ,
x2 | x |
MA 1114 Kalkulus 1
12
Soal Latihan
Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
2x  2
1.
1 x
4  2x
7.
x  2 x 1

2.
2
x
x3
8.
3. 2  x  3  2 x  3
4. x  1 2  2 x  2  2
5. 2 x  3  4 x  5
6. x  3x  2
9.
10.
4
1  1
x
2
 x 1
x
13. x 2 
5
x  1
2
14. x 2  2 x  3  0
1
3 6
x
15. x 2  x  1  0
x
x2

x 1
x 1
11.3 | x || x  1 | 5
12. 2 | x2  x | 6
MA 1114 Kalkulus 1
13