Kalkulus I
Oleh :
Epha Diana Supandi, M.Sc
Pokok Bahasan
Sistem Bilangan Real
Pertaksamaan dan Nilai Mutlak
Fungsi Real
Limit Fungsi
Kekontinuan Fungsi
Limit Tak Hingga
Bentuk tak tentu Limit Fungsi
Aplikasi Turunan (Masalah maksimum,
minimum, laju, nilai ekstrim, kemonotonan,
kecekungan, asimtotik, menggambar grafik)
Daftar Referensi
Martono, K.1999. Kalkulus.
Erlangga.Jakarta
Purcell, Edwin J. 2004. Kalkulus edisi 8.
Erlangga. Jakarta
Leithod,L. 1996. The Calculus with
Analytic Geometry.Harper and Row
Publisher. New York.
Sistem Penilaian
UTS
UAS
Tugas
Tugas Kelompok
= 30%
= 30%
= 20%
= 20%
Pendahuluan
Untuk mempelajari kalkulus diperlukan berbagai
sifat bilangan real dan fungsi. Konsep utama
kalkulus tentang limit, kekontinuan, turunan,
differensial dan integral dikaitkan dengan fungsi
real sebagai obyeknya.
Dalam kalkulus bilangan real diperlukan untuk
dapat memberi ruang gerak pada berbagai
operasinya
Pada perrtemuan 1, dipelajari sistem bilangan
real, pertaksamaan, nilai mutlak dan fungsi yang
merupakan pengetahuan dasar untuk
mempelajari konsep limit fungsi.
Sistem Bilangan Real
Sistem Bilangan : himpunan dari bilangan – bilangan
beserta sifat2nya.
Himpunan Bilangan Asli (N) = {1, 2, 3, …}
Himpunan Bilangan Cacah = {0, 1, 2, 3, … }
Himpunan Bilangan Bulat (Z) = { …,-3,-2,-1,0,1,2,3, …}
Himpunan Bilangan Rasional (Q) : Suatu bilangan yang
dinyatakan p/q dengan p dan q bilangan bulat dan q ≠ 0
Himpunan Bilangan Irrasional : bilangan yang tidak
dapat dinyatakan ke bentuk rasional
Himpunan Bilangan Real : Gabungan himpunan
bilangan rasional dengan himpunan bilangan irrasional.
Sistem Bilangan
Bil Real
Bil Rasional
Bil Bulat
Bil Asli
Selang
Suatu himpunan bagian dari himpunan bilangan real.
Penulisan Himpunan
Selang
{x| a < x < b}
{x| a ≤ x < b }
{x | a < x ≤ b }
{x| a ≤ x ≤ b }
{x | x ≤ b }
{x | x < b }
{x | a ≤ x }
{x | a < x }
(a,b)
[a, b)
(a, b]
[a, b]
(-∞, b]
(-∞, b)
[a, +∞)
(a, +∞)
Grafik
a
b
a
b
a
b
a
b
b
b
a
a
Pertaksamaan
A( x) C ( x)
; A, B, C , D suku banyak
B ( x ) D( x )
Bentuk Umum
Pertaksamaan :
Himpunan semua bilangan real x yang
memenuhi pertaksamaan (yaitu bila digantikan
ke pertaksamaan menghasilkan pernyataan
yang benar)
Prosedure Baku menyelesaikan
pertaksamaan adalah :
1.
2.
3.
4.
P( x)
0
Ubahlah bentuk menjadi :
Q( x)
dengan P dan Q adalah suku banyak
Uraikan P dan Q atas faktor linear dan/atau
kuadrat definit positif
Tentukkan tanda pertaksamaan pada garis
bilangan
Tentukan himpunan jawabnya dan tampilkan
dalam bentuk selang
Nilai Mutlak
Nilai mutlak dari bilangan real x, ditulis |x|,
didefinisikan sebagai berikut :
| x |
x, bila x 0
;
x, bila x 0
Sifat-sifat Nilai Mutlak
1.
Untuk setiap bilangan real x berlaku
|x| 0
b) |x| = |- x|
c) - |x| ≤ x ≤ |x|
d) |x|2 = |x2| = x2
a)
2.
Untuk setiap bilangan real x dan y
berlaku :
|x| = |y| ↔ x = ± y ↔ x2 = y2
b) |x – y | = |y – x |
a)
Sifat-sifat Nilai Mutlak
3.
Jika a 0, maka
|x| ≤ a ↔ -a ≤ x ≤ a ↔ x2 ≤ a
b) |x| a ↔ x a atau x ≤ - a ↔ x2 a2
a)
4.
Ketaksamaan segitiga. Untuk setiap
bilangan real x dan y berlaku :
a) |x + y| ≤ |x| + |y|
b) |x – y| ≤ |x| + |y|
c) |x| - |y| ≤ |x – y |
d) | |x| - |y| | ≤ |x – y |
Sifat – sifat nilai mutlak
5.
Untuk setiap bilangan real x dan y
berlaku:
|xy| = |x| |y|
b) |x/y| = |x| / |y|; y ≠ 0
a)
FUNGSI
Definisi
Fungsi f adalah suatu aturan
korespodensi yang menghubungkan tiap
obyek x dalam suatu himpunan (daerah
asal) dengan sebuah nilai unik (tunggal)
f(x) dari himpunan kedua yaitu himpunan
nilai yang disebut daerah hasil fungsi
tersebut.
Jenis – jenis Fungsi
Fungsi
linier
Fungsi kuadrat
Fungsi trigonometri
Fungsi eksponential
Fungsi logaritma
Fungsi linier
Fungsi linear memiliki gambar grafik
sebagai garis lurus. Notasinya adalah sbb:
y = f(x) = a1x + a0; a1 ≠ 0
contoh : y = 4x + 3
a1 disebut gradien atau koefisien
kemiringan
Fungsi kuadrat
Grafik bentuk kuadrat berupa parabola,
dimana bentuk rumusnya adalh:
y = f(x) = a2x2 + a1x +a0; a2 ≠ 0
Contoh : y = x2 – 4x + 3
Fungsi Eksponential
Persamaan umum fungsi eksponen :
y = f(x) = ax; a > 0, a ≠ 1
Fungsi Logaritma
Fungsi ligaritma didefinisikan dengan
persamaan :
y = f(x) = logax , a > 0 , a ≠ 1
Fungsi ini terdefiniskan untuk x > 0, dan
merupakan invers dari fungsi eksponen.
Operasi Fungsi
1.
Jumlah dan Selisih
Misalkan f dan g adalah sebuah fungsi, maka :
(f + g) (x) = f(x) + g(x)
(f – g) (x) = f(x) – g(x)
catatan :
Daerah asal (f + g) dan (f - g) adalah irisan dari
daerah asal f dan g
Operasi Fungsi
2.
Hasil kali, Hasil Bagi dan Pangkat
Dengan anggapan bahwa f dan g mempunyai
daerah asal, maka
(f • g) (x) = f(x) • g(x)
(f/g) (x) = f(x) / g(x) ; g(x) ≠ 0
Operasi perpangkatan pada dasarnya adalah
perkalian berulang. fn artinya f kali f sebanyak n
kali.
Komposisi Fungsi
3.
Komposisi fungsi bisa diibaratkan sebagai dua
fungsi yang berurutan artinya fungsi yang
kedua dioperasikan setelah setelah fungsi
yang pertama bekerja.
Komposit g dengan f, dinyatakan oleh (g◦f)
Jadi (g◦f) (x) = g (f(x)) dan
(f ◦ g) (x) = f(g(x))
